Задания для подготовки учащихся к Всероссийской олимпиаде школьников

 Олимпиадные задачи для подготовки учащихся к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников по математике.

1.(8кл).  В школе «Эксперимент» учащимся выставляют оценки от 1 до 5. Роман получил по контрольной работе  двойку. Учитель заметил, что, если ему  изменить эту двойку на пятерку, то средний балл по контрольной работе среди Романов в классе увеличится ровно в два раза. Сколько Романов   писало контрольную работу?

 2.(8кл).  Можно ли заменить в пяти равенствах вида *+*+*=*+*, все звездочки на натуральные числа от 1 до 25 так, чтобы все равенства получились верными, а каждое из чисел использовалось ровно один раз?

3.(9кл).  Можно ли в равенстве 1×2×3…×8×9×10=11×12×13×…×18×19×20 вычеркнуть из левой части один сомножитель, а из правой – несколько, так, чтобы получилось верное равенство?

4.(9кл). На доске написано  натуральное число b. Про него сказали три утверждения:

1)   это число четное;

2)   это число меньше 102;

3)   уравнение х²+20х+b=0  имеет хотя бы один корень.

Какое наибольшее число может быть написано на доске, если из этих трех утверждений ровно два - верные?

5.(10кл). Числа 1,2,3,…,99,100 разбили на 50 пар, и числа в каждой паре сложили. Какое наибольшее количество из этих пятидесяти сумм может делиться на 20?

6.(10кл). Ненулевые числа a, b, c образуют  в указанном порядке арифметическую прогрессию. Докажите, что уравнение

ax²+2bx+c=0  имеет два решения.

7.(9кл) В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель  уменьшили на 3. Могло ли произведение  при этом увеличиться  ровно на 2016?

8.(10кл) В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

9.(11кл)  В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

10.(8кл) На катете BC прямоугольного треугольника ABC (90⁰) выбраны точки M, N так, что углы  CAM, MAN,NAB равны. Прямая, проходящая через точку M , пересекает отрезки AN и AB в точках E  и F соответственно. Найдите AB, если AE=a, угол ANB равен 130⁰, а угол BFM равен 110⁰.

11. (9кл) Из точки А провели касательные АB и AC к окружности  с центром в точке О (B и С-точки касания). Точка М – середина отрезка АО. Докажите, что окружность, описанная около треугольника АВМ, касается прямой АС.