Задания для проведения 1 этапа Всероссийской олимпиады школьников

Задания для проведения школьного этапа олимпиады по математике

10 класс.

1.Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей, либо три ручки за 20 рублей. При этом он в обоих случаях получит одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

2.Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравненияположительны.

3.В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота CD. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника DBC в 3 раза больше площади треугольника ADC.

.

4.Делится ли на 61?

5. Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?

6. Вычислите:

( 1!+2!+3!+4!)((5!+2!):2!)

Решения.

1.Пусть х-оптовая цена ручки. Тогда: (10 – х) руб.- прибыль при продаже одной ручки, (20 – 3х) руб.- прибыль при продаже трех ручек. По условию 10-х =20-3х, откуда х=5.

2. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем при а=-1 является х=1. Подходит.
Если а≠1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется

С учетом первого случая получаем ответ

3. Треугольник CBD подобен треугольнику ACD (свойство высоты прямоугольного треугольник) В подобных треугольниках отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия-отношения сходственных сторон. Поэтому CB : CA=√3. Откуда угол CAB= 60 градусам, угол CBA= 30  градусам.

4. Разложим заданное число на множители. Тогда, получим – делится на 61.

5. Существует.
Число диагоналей выпуклого многоугольника N можно найти по формуле: . (Можно считать этот факт известным или получить формулу в ходе решения задачи). Составим и решим уравнение. . Таким образом, условию задачи удовлетворяет выпуклый двадцатитрехугольник.

6. Ответ:2013

Пояснительная записка.

1 задание.

Для успешного выполнения 1 задания необходимы: умение понимать условие задачи, составлять уравнение по условию задачи и навыки решения простейших линейных уравнений.

2 задание.

Требуются знания по теме «квадратные уравнения», умение анализировать условие и находить нужные решения в зависимости от значения параметра а. Возможно применение теоремы Виета или графическая интерпретация положения графика квадратичной функции в зависимости от коэффициентов квадратного трехчлена.

3 задание.

Геометрическая задача. Необходимы знания по теме «подобные треугольники», свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла, теорема об отношении площадей подобных фигур, определения и значения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

4 задание.

Требуется умения выносить общий множитель за скобки, разложения на множители, знание признаков делимости произведения.

5 задание.

В ходе решения необходимо провести исследование и получить формулу числа диагоналей выпуклого многоугольника. Составить уравнение и решить его.

6 задание.

Знание определения факториала и умение выполнять действия с факториалами.

Источники заданий.

1. Рекомендации по проведению школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2013-2014 учебном году.

2. Олимпиадные задания по математике для 10-11 классов. Сайт Ботвинкиной Людмилы Алексеевны.

3. Олимпиадные задания по математике для 9-10-11 классов. Сайт Дикалова Дмитрия Геннадьевича.

4. Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго «Московские математические олимпиады» Просвещение 2011 год.

5. Интернетресурс по теме «Интересные свойства некоторых чисел»

Составила задания учитель математике БОУ РА «Республиканская гимназия им.В.К.Плакаса» Дадаева Наталия Дмитриевна.

05.10.13г.