Задания ЕГЭ (12,13,14,17) математика (профиль)

 Задание 12. Уравнение. Можно посмотреть: YouTube: Математик МГУ

Чтобы решить задание 12 нужно знать:

1.     Задание 13 в ЕГЭ подразделяется на несколько видов:

o    логарифмические и показательные уравнения;

o    тригонометрические уравнения;

o    смешанные уравнения.

2.     Тригонометрические формулы:

o    Основные тригонометрические тождества.

o    Формулы приведения.

o    Формулы сложения.

o    Формулы двойного, тройного и т.д. угла.

o    Формулы половинного угла.

o    Формулы понижения степени.

o    Формулы суммы и разности тригонометрических функций.

o    Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

o    Универсальная тригонометрическая подстановка.

№1. А) Решите уравнение:  

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

№2. А) Решите уравнение:     б)

№3 А) Решите уравнение          б) .

№4. а) Решите уравнение                 б) .

№5. А) Решите уравнение                                          Б)

№6. А) Решите уравнение .      Б)

№7. А) Решите уравнение             Б)

№8. А) Решите уравнение                                       Б)

№9. А) Решите уравнение                       Б)  

№10. А) Решите уравнение                                            Б)

№11. А) Решите уравнение .  Б)

№12. А) Решите уравнение                     Б)

№13. А) Решите уравнение .   Б)

№14. А)                                       Б)

№15.  А)                                        Б)  

Задание 13. Стереометрическая задача

Чтобы решить задание 13 нужно знать: 

• планиметрию и стереометрию.
• теорему Пифагора:  .

Формула вычисления расстояния:

·         от точки до плоскости — общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0. Точка  

• 
•  между плоскостями 
•  между двумя точками на плоскости 
•  между двумя точками в пространстве 

Формула вычисления угла:

• между прямой и плоскостью      где в пространстве заданы уравнение плоскости и направляющий вектор прямой L S = {l;m;n}
• между плоскостями 

№1. Все ребра правильной треугольной призмы  численно равны 12. На   и  отмечены точки K и E соответственно, причём AK = 4, CE = 2.

а) Докажите, что плоскость  делит фигуру на два равных по объёму многогранника.
б) Найдите объём тетраэдра .

№2. Дана правильная треугольная призма . Известно, что на ребре BC лежит точка K, причем она является серединой этого ребра. Длины рёбер:

а) Приведите доказательство того, что
б) Определите угол между плоскостью и прямой .

№3. Дан правильный тетраэдр ABCS, в котором построены: точка K на ребре CS и точка O в плоскости ABC. Причем O является центром ABC и CK = KD.

а) Приведите доказательство того, что АВ⊥СS.
б) Определите градусную меру угла между  и .

№4. Дан цилиндр. Образующая цилиндра перпендикулярна к плоскости основания. На окружности нижнего основания цилиндра лежат точки  и , а на окружности верхнего основания — точки  и , причем так, что  является образующей, а  пересекает центральную ось цилиндра.

а) Приведите доказательство того, что . 
б) Определите градусную меру угла между  и , если , ​, а 

№5. В прямой треугольной призме  известны длины ребер: , , , .

а) Приведите доказательство того, что прямая, по которой пересекаются плоскости  и  параллельна основанию призмы.
б) Определите градусную меру угла между плоскостями  и

Задание 14. Неравенства

1.     Задание подразделяются на несколько видов:

o    рациональные/иррациональные неравенства;

o    показательные неравенства;

o    логарифмические неравенства;

o    неравенства с модулем;

o    смешанные неравенства.

2.     Метод замены множителей в показательных и логарифмических неравенствах:

o    (a^f -  a^g) ↔  (f - g)(a-1)

o    (a^f -  g)↔  (f - log_a g) ∙(a-1), (g ≥ 0)

o    (a^f -  1)↔  f (a-1)

o    log_a f  - log_a g ↔  (a-1) ∙ (f - g)

o    log_a f  - 1 ↔  (a-1) ∙ (f - a)

o    log_a f   ↔  (a-1) ∙ (f - 1)

o    log_a f  + g ↔  (a-1) ∙ (f∙a^g - 1)

o    log_a f  - g ↔  (a-1) ∙ (f - a^g )

o    log_a f  + log_a g ↔  (a-1) ∙ (f ∙g - 1)

o    log_h f  ∙ log_p q  ↔  (h-1) ∙ (f - 1) ∙ (p - 1) ∙ (q - 1)

f, g — функции от x.
a — функция или число.

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, a > 0 и a ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), - обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида .  Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

№1. Решите неравенство:

№2. Решите неравенство:

№3. Решите неравенство:

№4. Решите неравенство:

№5. Решите неравенство:

№6. Решите неравенство:

№7.

№8. 

№9.  

№10.  

№11.  

№12. 

№13.

17. Задания с параметром

1.  Найдите все пары чисел , для каждой из которых имеет не менее трёх корней уравнение:

2.  При каждом параметре  решите неравенство

3.  Найдите все значения параметра , для каждого из которых имеет не менее семи решений система уравнений

4.  Найдите все значения параметра , при каждом из которых имеет хотя бы одно решение система уравнений

5.  Найдите все значения параметра , при каждом из которых следующее уравнение имеет хотя бы один корень: