Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задания муниципального тура Всероссийской олимпиады по математике 2015 г.

Задания муниципального тура Всероссийской олимпиады по математике 2015 г.

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Задания муниципального тура Всероссийской олимпиады по математике

2015 г.

7 класс

1. Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 29 км. Остановки расположены в точках B, C, D, E. Известно, что hello_html_m6e5d5e20.gif, hello_html_m5f8f37a2.gif, hello_html_m3eabbe5a.gif и какие-то два из отрезков hello_html_m524fb5fd.gif имеют одинаковые длины. Найти hello_html_m524fb5fd.gif.


2. Разделить фигуру на пять равных по площадям и по периметрам фигур:

hello_html_m75e0607d.png


3. Виктор отправился в магазин за спортивным инвентарем. Он планировал купить несколько пар гантелей и несколько скакалок. В этот день магазин проводил акцию, предлагая 10% скидку на всю покупку, или 60% скидку на скакалки. Оказалось, что стоимость покупки со скидкой не зависит от выбранного варианта скидки. Сколько изначально собирался Виктор потратить на покупку скакалок, если на покупку гантелей он собирался потратить 5 тысяч рублей?


4. Пятеро альпинистов из разных городов России приехали, чтобы покорить Эверест. «Откуда вы?» - спросили их.

Александров ответил: «Я живу в Ростове, а Гришин – в Гомеле».

Белкин сказал: «Я приехал из Волгограда, а Владимиров живет в Гомеле».

Владимиров заявил, что Белкин – житель Екатеринбурга, а он из Ростова.

Гришин сказал следующее: «Дудин живет в Ярославле, а я приехал из Гомеля».

Дудин сообщил о том, что Александров прибыл из Волгограда, а он действительно живет в Ярославле.

Кто откуда приехал, если известно, что одно из двух высказываний каждого альпиниста ложно, а другое истинно?


5. Восстановите цифр и опишите этапы восстановления:

8

*



4

*

2




7

*

*



3

*

*


*

*

*

*



*

*

*

*

2

0


6. Подберите два четырехзначных числа, составленных из одних и тех же цифр, разность которых равна 2015.

8 класс

1. Используя пять девяток, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13.

2. Точку А, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично, относительно сторон угла. Полученные точки В и С соединили и точки пересечения ВС со сторонами угла обозначили через D и Е. Докажите, что hello_html_m64c25927.gif.

hello_html_f389f80.png


3. Можно ли из числа 2015 получить число 2016 с помощью двух следующих операций, выполняемых в произвольном порядке:

  1. прибавление к двум соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9;

  2. вычитание из двух соседних цифр по единице, если не одна из них не равна 0?

Если да, то запишите последовательность преобразований, если нет – дайте полное обоснование.


4. Решить систему:

hello_html_32bc8f34.gif


5. На какую цифру заканчивается число hello_html_m11f09823.gif?


6. Пассажир поезда, проехав треть всего пути, лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути пассажир бодрствовал?

9 класс

1. Решить систему:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5bf79885.gif


2. В прямоугольник hello_html_6d676bc9.gif вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как hello_html_m539eb434.gif. Найти стороны вписанного прямоугольника.

hello_html_m33c549ed.png


3. Расположите в порядке возрастания числа: hello_html_m3ac84c02.gif.


4. Каждый из участников школьной благотворительной акции принес с собой либо одну энциклопедию, либо три художественные книги, либо два справочника. Всего собрали 150 энциклопедий. После окончания акции были заполнены две книжные полки в библиотеке, причем на каждой было поровну книг. На первой полке была пятая часть всех справочников, седьмая часть всех художественных книг и все энциклопедии. Сколько всего было участников акции и сколько книг они принесли?


5. Построить график функции hello_html_m7bf51661.gif.


6. Найти произведение всех корней уравнения:

hello_html_m4747e855.gif.

10 класс

1. Найдите остаток при делении многочлена hello_html_d7d0011.gif на hello_html_2f92fc65.gif.


2. Вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, если каждое последующее слагаемое получено по одному и тому же правилу:

hello_html_m37d8f1be.gif


3. Последовательность задана первым членом hello_html_m70dbb2ac.gif и соотношением для каждого последующего члена через предыдущий член последовательности: hello_html_4e3a413f.gif. Докажите, что каждый член последовательности может быть определен по формуле:

hello_html_m34c56f3e.gif.


4. В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, их длины равны 18 см и 24 см. Вычислите площадь треугольника.


5. Доказать, что уравнение

hello_html_m6b630ef8.gif

не имеет решения в натуральных числах.


6. В емкость из кранов непрерывно поступает вода. Наполненной водой емкости хватает, чтобы сутки поить стадо из 17 коров при постоянном поступлении воды из кранов. Если поить 2 коров при тех же условиях, то воды хватит на 10 дней. За сколько дней может осушить емкость одна корова при постоянном поступлении воды из кранов?

11 класс

1. Седьмое слагаемое в разложении hello_html_m4d14a97d.gif не содержит hello_html_m5d1538b4.gif. При каком значении hello_html_m507eb1aa.gif это слагаемое совпадет со вторым слагаемым в разложении hello_html_2d3a8441.gif?


2. На ребрах куба hello_html_1aea940d.gif, с ребром равным hello_html_46078665.gif, даны три точки:

hello_html_m5ad48f59.gifна середине ребра hello_html_m4202d99b.gif;

hello_html_m1c515fe8.gifна середине ребра hello_html_5ec31527.gif;

hello_html_5a3aeaac.gifна середине ребра hello_html_m6f9745a6.gif.

Через эти точки проведите секущую плоскость, опишите процесс построения и вычислите площадь получившегося сечения куба.


3. Расположите в порядке возрастания числа hello_html_28f570d1.gif. Дайте полное обоснование, не пользуясь графической иллюстрацией.


4. Решить неравенство:

hello_html_m697f7163.gif.


5. Решите систему уравнений в натуральных числах:

hello_html_m45b1a5a5.gif


6. При каких hello_html_46078665.gif и hello_html_m2e07775b.gif многочлен hello_html_33812ccf.gif делится без остатка на hello_html_m41898f66.gif?


ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ

7 класс

1. Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 29 км. Остановки расположены в точках B, C, D, E. Известно, что hello_html_m6e5d5e20.gif, hello_html_m5f8f37a2.gif, hello_html_m3eabbe5a.gif и какие-то два из отрезков hello_html_m524fb5fd.gif имеют одинаковые длины. Найти hello_html_m524fb5fd.gif.

Ответ.

hello_html_563d6cf1.gif.

Три случая:

1. hello_html_m2212d87f.gif, hello_html_4a576cd5.gif.

AB=3, BC=9, CD=1, DE=13, EF=3. Последовательность точек — A, B, C, D, E, F

2. hello_html_mb8afdad.gif, hello_html_29d48123.gif. CD=11.

AC=12, CB=1, BD=10, DE=3, EF=3. Последовательность точек — A, C, B, D, E, F

3. hello_html_m294e5f28.gif, hello_html_m2844f6c2.gif, BC=4, CD=6, DE=8, EF=3. Последовательность точек — A, B, C, D, E, F.

4. ВС не может быть равным DE.


2. Разделить фигуру на пять равных по площадям и по периметрам фигур:

hello_html_m75e0607d.png

Решение. Один из вариантов

hello_html_m232b705b.png


3. Виктор отправился в магазин за спортивным инвентарем. Он планировал купить несколько пар гантелей и несколько скакалок. В этот день магазин проводил акцию, предлагая 10% скидку на всю покупку, или 60% скидку на скакалки. Оказалось, что стоимость покупки со скидкой не зависит от выбранного варианта скидки. Сколько изначально собирался Виктор потратить на покупку скакалок, если на покупку гантелей он собирался потратить 5 тысяч рублей?

Решение.

Пусть hello_html_m5d1538b4.gif рублей Виктор планировал потратить на покупку скакалок. Тогда при первом варианте скидки он платит за покупку:

hello_html_m3ddd9bda.gif.

При втором варианте скидки: hello_html_m28236f07.gif.

По условию задачи эти числа равны, следовательно, получаем уравнение:

hello_html_m45fb25a3.gif.

Откуда hello_html_m3aac269e.gif.


4. Пятеро альпинистов из разных городов России приехали, чтобы покорить Эверест. «Откуда вы?» - спросили их.

Александров ответил: «Я живу в Ростове, а Гришин – в Гомеле».

Белкин сказал: «Я приехал из Волгограда, а Владимиров живет в Гомеле».

Владимиров заявил, что Белкин – житель Екатеринбурга, а он из Ростова.

Гришин сказал следующее: «Дудин живет в Ярославле, а я приехал из Гомеля».

Дудин сообщил о том, что Александров прибыл из Волгограда, а он действительно живет в Ярославле.

Кто откуда приехал, если известно, что одно из двух высказываний каждого альпиниста ложно, а другое истинно?

Решение.

Запишем высказывания альпинистов:

1. Александров: hello_html_3805fc30.gif.

2. Белкин: hello_html_m6391f8fe.gif.

3. Владимиров: hello_html_m6c02578.gif.

4. Гришин: hello_html_21e0a2e1.gif.

5. Дудин: hello_html_m186a1e54.gif.

Составим таблицу:

Волгоград

Екатеринбург

Гомель

Ярославль

Александров

+

-

-

-

-

Белкин

-

-

+

-

-

Владимиров

-

-

-

+

-

Гришин

-

+

-

-

-

Дудин

-

-

-

-

+

  1. Пусть Дудин из Ярославля, тогда неверно то, что Александров из Волгограда (5 высказывание) и Гришин из Гомеля (4 высказывание).

  2. Если Гришин не из Гомеля, тогда верно, что Александров из Ростова (1 высказывание).

  3. Если Александров из Ростова, то Владимиров не из Ростова, а значит Белкин из Екатеринбурга (3 высказывание).

  4. Если Белкин из Екатеринбурга, то верным является то, что Владимиров из Гомеля (2 высказывание).

  5. Получается, что Гришин из Волгограда.

Ответ: Александров – Ростов, Белкин – Екатеринбург, Владимиров – Гомель, Гришин – Волгоград, Дудин – Ярославль.


5. Восстановите цифр и опишите этапы восстановления:

8

*



4

*

2




7

*

*



3

*

*


*

*

*

*



*

*

*

*

2

0

Решение.

Последняя цифра результата 0, следовательно, первый сомножитель оканчивается на 5 или 0. По 7 определяем первую цифру первого сомножителя – 3. По тройке второго неполного произведения определяем, что вторая цифра второго сомножителя равна 1. Тогда по предпоследней цифре находим сомножители в произведении: hello_html_2e614868.gif.


6. Подберите два четырехзначных числа, составленных из одних и тех же цифр, разность которых равна 2015.

Решение.

Разность двух четырехзначных чисел, составленных из одних и тех же цифр, делится на 9. Покажем это.

hello_html_14436bb1.gif.

Таким образом, при любой комбинации одних и тех же цифр, разность этих чисел всегда будет делится на 9.

А по условию задачи разность равна 2015, сумма цифр этого числа равна 8 и она не делится на 9. Следовательно, чисел с указанным свойством нет.

8 класс

1. Используя пять девяток, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13.

Решение.

hello_html_m505b804a.gif

hello_html_m64c5a579.gif

hello_html_m1c343be6.gif

hello_html_3a5e4bc4.gif

hello_html_m1b5172db.gif

hello_html_5caa9900.gif

hello_html_m3983022e.gif

hello_html_m33356bad.gif


2. Точку А, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично, относительно сторон угла. Полученные точки В и С соединили и точки пересечения ВС со сторонами угла обозначили через D и Е. Докажите, что hello_html_m64c25927.gif.

hello_html_f389f80.png

Указание. Использовать признак равенства двух прямоугольных треугольников по двум катетам, затем применить неравенство треугольника.


3. Можно ли из числа 2015 получить число 2016 с помощью двух следующих операций, выполняемых в произвольном порядке:

  • прибавление к двум соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9;

  • вычитание из двух соседних цифр по единице, если не одна из них не равна 0?

Если да, то запишите последовательность преобразований, если нет – дайте полное обоснование.

Указание. Пусть hello_html_m49cdac3d.gif, ввести в рассмотрение число hello_html_161582.gif, которое не меняется при выполнении указанных операций.

Ответ: нет.


4. Решить систему:

hello_html_32bc8f34.gif

Указание. Перейти к обратным дробям.

Ответ: hello_html_e1ded43.gif


5. На какую цифру заканчивается число hello_html_m11f09823.gif?

Решение.

Составим следующую таблицу:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

hello_html_m7ada82aa.gif

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

hello_html_m1c1f9e49.gif

4

16

64

256

1024

4096

.

.

Заметив закономерность, определяем последнюю цифру hello_html_m23a9f71d.gif: hello_html_41b742ec.gif, значит последняя цифра – 8.

Последняя цифра hello_html_m456cebfe.gif зависит от четности/нечетности показателя, следовательно, это 4.

При суммировании последней цифрой будет 2.


6. Пассажир поезда, проехав треть всего пути, лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути пассажир бодрствовал?

Решение.

hello_html_m29a3e122.png

ABбодрствовал, BCспал, CDбодрствовал. hello_html_592c3e95.gif. Откуда hello_html_m132ce4da.gif. Получается период бодрствования: hello_html_m5ad3e6ff.gif.

Весь путь: hello_html_m7b6e152d.gif.

Окончательно получаем часть всего пути, когда пассажир бодрствовал: hello_html_m42a20ee1.gif.

9 класс

1. Решить систему:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5bf79885.gif

Указания. Сложить все уравнения и выделить полные квадраты.

Ответ: hello_html_7c23aac3.gif.


2. В прямоугольник hello_html_6d676bc9.gif вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как hello_html_m539eb434.gif. Найти стороны вписанного прямоугольника.

hello_html_m33c549ed.png

Решение.

Треугольники hello_html_m2e12e2a0.gif и hello_html_m2446191f.gif – подобны, поэтому hello_html_ma624295.gif.

Пусть hello_html_e29efc5.gif, тогда hello_html_78951f22.gif.

Подставляем в пропорцию и решаем систему:

hello_html_m60810fab.gif

Тогда hello_html_4ee43a8.gif.

Вычисляем hello_html_55e27daa.gif и hello_html_m30c79274.gif.


3. Расположите в порядке возрастания числа: hello_html_m3ac84c02.gif.

Решение.

Сравним показатели степеней с основанием 2:

hello_html_m58cb1096.gif

hello_html_6929119f.gif

hello_html_6a747ae3.gif

hello_html_7d4dd3a9.gif

Показатель

hello_html_m1ca5dab.gifhello_html_m1acd4492.gif

hello_html_5e677e11.gifhello_html_2e838a8c.gif

222

hello_html_350ad81e.gif16

Ранжирование

(по убыванию)

1

2

3

4

Сравним hello_html_m5f814c11.gif с hello_html_m7ac44b60.gif:

hello_html_m32fc0797.gif.

Оцениваем степени с основанием 22:

hello_html_496407b0.gif

hello_html_1bacd7af.gif

Показатель

hello_html_m4512047d.gif

hello_html_m576d022b.gif

Ранжирование

(по убыванию)

1

2

Сравним степени с основанием 22 со степенями с основанием 2:

hello_html_de1f571.gif,

hello_html_519691.gif.

Таким образом, получаем: hello_html_58f9dc8b.gif.


4. Каждый из участников школьной благотворительной акции принес с собой либо одну энциклопедию, либо три художественные книги, либо два справочника. Всего собрали 150 энциклопедий. После окончания акции были заполнены две книжные полки в библиотеке, причем на каждой было поровну книг. На первой полке была пятая часть всех справочников, седьмая часть всех художественных книг и все энциклопедии. Сколько всего было участников акции и сколько книг они принесли?

Решение.

Пусть hello_html_6f7f817f.gif пятая часть справочников, hello_html_m545653dc.gif седьмая часть всех художественных книг. Тогда на первой полке – hello_html_m4c78dca8.gif книг, на второй – hello_html_7b3c22f4.gif книг.

Из условия задачи количество книг на полках равное:

hello_html_m69d99e6a.gif,

откуда hello_html_7e1f715b.gif.

Но количество справочников кратно 2, а количество художественных книг кратно 3:

hello_html_10755bbf.gif.

Тогда уравнение принимает вид: hello_html_59a3e2e7.gif. Решаем в натуральных числах:

hello_html_m355bf6eb.gif.

Следовательно, hello_html_m60e6aa2.gif, откуда hello_html_m4b3f4e5b.gif. Окончательно получаем, что всего 150 справочников принесли 75 участников, 84 художественные книги принесли 42 участника. Таким образом, в акции приняли участие 267 человек, которые принесли 384 книги.


5. Построить график функции hello_html_m7bf51661.gif.

Ответ.

hello_html_410c52d.gif: hello_html_1d33309.gif,

hello_html_m365e976d.gif: hello_html_m52951650.gif,

hello_html_26ede85c.gif: hello_html_60079026.gif,

hello_html_601e770f.gif: hello_html_m7a034738.gif,

hello_html_m67f0171f.gif: hello_html_2d74e7ba.gif.


6. Найти произведение всех корней уравнения:

hello_html_m4747e855.gif.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду: hello_html_m437703e6.gif.

Введем замену hello_html_m1ffd9609.gif, получаем уравнение: hello_html_79e4d1bb.gif, корни которого hello_html_63dce058.gif.

Тогда hello_html_m38ca7c2.gif, hello_html_6b40b142.gif. Их произведение равно 2014.

10 класс

1. Найдите остаток при делении многочлена hello_html_d7d0011.gif на hello_html_2f92fc65.gif.

Решение.

hello_html_3a86a571.gif

Все слагаемые числителя, кроме последнего делятся на hello_html_m297388a8.gif. Учитывая сокращение на hello_html_m5d1538b4.gif, делаем вывод: остаток равен hello_html_34a05f3c.gif.


2. Вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, если каждое последующее слагаемое получено по одному и тому же правилу.

hello_html_m37d8f1be.gif

Указание. Оценить отношение каждого последующего слагаемого к предыдущему.

Ответ: hello_html_m66f400bc.gif.


3. Последовательность задана первым членом hello_html_m70dbb2ac.gif и соотношением для каждого последующего члена через предыдущий член последовательности: hello_html_4e3a413f.gif. Докажите, что каждый член последовательности может быть определен по формуле:

hello_html_m34c56f3e.gif.

Указание. Метод математической индукции.


4. В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, их длины равны 18 см и 24 см. Вычислите площадь треугольника.

Решение.

.

hello_html_maed4db2.gif.

Из hello_html_5861b1b5.gif находим hello_html_22758c4c.gif.

hello_html_2b82d29.gif.

hello_html_541e2941.gif.

hello_html_28abb090.gif.

hello_html_m8caf05f.gif.

hello_html_5f70b8f8.gif.

hello_html_450176ba.png


5. Доказать, что уравнение

hello_html_m6b630ef8.gif

не имеет решения в натуральных числах.

Решение.

Пусть уравнение имеет натуральное решение, тогда hello_html_1d3a301.gif и hello_html_5eb409e5.gif.

Из этих неравенств следует, что hello_html_m1393da2b.gif и hello_html_m6c629b7d.gif. Покажем это.

Предположим, что hello_html_m33700f98.gif, тогда hello_html_m3a396c6.gif, а это противоречит неравенству hello_html_1d3a301.gif.

Итак, hello_html_m1393da2b.gif, то есть hello_html_md86b1bb.gif, тогда hello_html_644a2adb.gif.

Получили, что hello_html_m4af37f51.gif и hello_html_m59a19a99.gif. Складывая неравенства, получим

hello_html_m1e2855bd.gif, а это противоречит условию задачи, следовательно, предположение было неверным, а значит, уравнение не имеет решения в натуральных числах.


6. В емкость из кранов непрерывно поступает вода. Наполненной водой емкости хватает, чтобы сутки поить стадо из 17 коров при постоянном поступлении воды из кранов. Если поить 2 коров при тех же условиях, то воды хватит на 10 дней. За сколько дней может осушить емкость одна корова при постоянном поступлении воды из кранов?

Решение.

Пусть hello_html_280e2ff0.gif объем воды в емкости, hello_html_m29e871a2.gif объем поступающей из кранов в емкость воды за сутки, hello_html_m538a8983.gif объем воды, выпиваемый одной коровой в сутки. Тогда получаем систему:

hello_html_7f17bbb7.gif

Из этой системы: hello_html_5e0766c6.gif, следовательно, hello_html_m7a4d5adb.gif. Подставляя это уравнение в первое уравнение системы, получаем: hello_html_m1b29fcb6.gif.

Пусть для одной коровы понадобится hello_html_b68dfd8.gif суток, чтобы выпить всю воду из емкости, тогда составляем уравнение: hello_html_89e8bd2.gif.

Подставляем в это уравнение выражение для hello_html_m507eb1aa.gif: hello_html_447d58f3.gif, откуда hello_html_1d51e6d1.gif и, окончательно получаем, что за hello_html_59de10a6.gif суток одна корова выпьет всю воду в емкости при условии, что вода постоянно поступает из кранов в емкость.

11 класс

1. Седьмое слагаемое в разложении hello_html_m4d14a97d.gif не содержит hello_html_m5d1538b4.gif. При каком значении hello_html_m507eb1aa.gif это слагаемое совпадет со вторым слагаемым в разложении hello_html_2d3a8441.gif?

Решение.

Седьмое член в разложении согласно биному Ньютону равен:

hello_html_66c76281.gif.

Так как он не содержит hello_html_m5d1538b4.gif, то hello_html_68788dd0.gif, то есть hello_html_m60bff2df.gif, а само слагаемое hello_html_3cc108c1.gif.

Второе слагаемое в hello_html_2d3a8441.gif имеет вид: hello_html_m72bd0ac2.gif. Тогда решаем уравнение:

hello_html_10d70424.gif. Откуда hello_html_2fbc5d9b.gif.


2. На ребрах куба hello_html_1aea940d.gif, с ребром равным hello_html_46078665.gif, даны три точки:

hello_html_m5ad48f59.gifна середине ребра hello_html_m4202d99b.gif;

hello_html_m1c515fe8.gifна середине ребра hello_html_5ec31527.gif;

hello_html_5a3aeaac.gifна середине ребра hello_html_m6f9745a6.gif.

Через эти точки проведите секущую плоскость, опишите процесс построения и вычислите площадь получившегося сечения куба.

Решение. Сначала через отрезок hello_html_m6e944a27.gif строится плоскость, параллельная ребру hello_html_m77ddfc55.gif.

Затем строим плоскость, проходящую через ребра hello_html_m77ddfc55.gif и hello_html_m6f9745a6.gif.

Пересечение этих плоскостей – hello_html_1d6f5e7a.gif.

hello_html_4b23b64e.gif.

Прямая hello_html_m2b61ee35.gif лежит в плоскости сечения, продолжив ее получаем пересечение секущей плоскости с ребром hello_html_m77ddfc55.gif.

hello_html_6531d1bd.png

Через точки hello_html_m1110cba.gif и hello_html_7cafa5e5.gif строим линии hello_html_27cff325.gif и hello_html_135b7928.gif, параллельные hello_html_m36d4213c.gif. Это пересечение секущей плоскости с верхней и нижней гранями куба.

hello_html_31078202.gifсечение, являющееся правильным шестиугольником, сторона которого равна:

hello_html_25c2ab62.gif, а площадь – hello_html_1c345fe2.gif.

Ответ: hello_html_m5f7f1841.gif.


3. Расположите в порядке возрастания числа hello_html_28f570d1.gif. Дайте полное обоснование, не пользуясь графической иллюстрацией.

Решение.

hello_html_6d5c047e.gif.

Так как hello_html_3d247441.gif, то hello_html_47d76174.gif.

Получается hello_html_m171178b2.gif.


4. Решить неравенство:

hello_html_m697f7163.gif.

Решение.

ОДЗ: hello_html_24949e0c.gif

Домножим на hello_html_m5d1538b4.gif:

а) hello_html_m70a9a655.gif, тогда hello_html_f66dae4.gif, а hello_html_562fb57c.gif. Неравенство принимает вид:

hello_html_4e0ba820.gif,

тогда hello_html_48f0bd09.gif. С учетом ОДЗ: hello_html_m44ec8afd.gif

б) hello_html_7b998fea.gif, тогда hello_html_4c42c4ec.gif, а hello_html_m3a0f36e6.gif. Неравенство принимает вид:

hello_html_51cdb0fa.gif,

тогда hello_html_6fd1f76f.gif. С учетом ОДЗ: hello_html_mc3a74ac.gif.

Ответ: hello_html_72106a0b.gif.


5. Решите систему уравнений в натуральных числах:

hello_html_m45b1a5a5.gif

Решение.

Так как числа натуральные, то hello_html_660ff9ef.gif. Тогда hello_html_m6346dc25.gif, значит:

hello_html_6c5ba26d.gif

hello_html_535fbd9f.gif.

Складываем эти неравенства:

hello_html_6718bf6c.gif,

Откуда

hello_html_m689774df.gif.

Из этого неравенства и второго уравнения системы получаем, что

hello_html_m5b94042a.gif,

следовательно, hello_html_m43a85c32.gif.

Обращаем внимание: из второго уравнения следует, что hello_html_362e9374.gif - четное число, значит hello_html_4c2bb04f.gif. Меньшие натуральные значения для hello_html_59d71272.gif и hello_html_m37fa1959.gif - это 1.

Ответ: hello_html_4c2bb04f.gif, hello_html_30f656fa.gif.


6. При каких hello_html_46078665.gif и hello_html_m2e07775b.gif многочлен hello_html_33812ccf.gif делится без остатка на hello_html_m41898f66.gif?

Решение.

Так как hello_html_3edae94.gif, то находим сначала:

а) hello_html_m267f40f7.gif.

Так как деление должно быть без остатка, то hello_html_52d0d549.gif.

б) Пусть hello_html_m6a26efbe.gif. Продолжаем деление: hello_html_m24fea490.gif.

По следствию теоремы Безу остаток от этого деления находится так:

hello_html_m57e09851.gif.

Так как деление без остатка, то значение остатка должно равняться нулю, то есть hello_html_m51a0e11f.gif.

Подставляем в а): hello_html_55755f80.gif.

Ответ: hello_html_5e341774.gif.

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 29.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров238
Номер материала ДБ-219907
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх