Задания муниципального тура Всероссийской олимпиады по математике 2015 г.

Задания муниципального тура Всероссийской олимпиады по математике

2015 г.

7 класс

1.         Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 29 км. Остановки расположены в точках B, C, D, E. Известно, что , ,  и какие-то два из отрезков  имеют одинаковые длины. Найти .

2.         Разделить фигуру на пять равных по площадям и по периметрам фигур:

3.         Виктор отправился в магазин за спортивным инвентарем. Он планировал купить несколько пар гантелей и несколько скакалок. В этот день магазин проводил акцию, предлагая 10% скидку на всю покупку, или 60% скидку на скакалки. Оказалось, что стоимость покупки со скидкой не зависит от выбранного варианта скидки. Сколько изначально собирался Виктор потратить на покупку скакалок, если на покупку гантелей он собирался потратить 5 тысяч рублей?

4.         Пятеро альпинистов из разных городов России приехали, чтобы покорить Эверест. «Откуда вы?» - спросили их.

Александров ответил: «Я живу в Ростове, а Гришин – в Гомеле».

Белкин сказал: «Я приехал из Волгограда, а Владимиров живет в Гомеле».

Владимиров заявил, что Белкин – житель Екатеринбурга, а он из Ростова.

Гришин сказал следующее: «Дудин живет в Ярославле, а я приехал из Гомеля».

Дудин сообщил о том, что Александров прибыл из Волгограда, а он действительно живет в Ярославле.

Кто откуда приехал, если известно, что одно из двух высказываний каждого альпиниста ложно, а другое истинно?

5.         Восстановите цифр и опишите этапы восстановления:

			*	8	*
			4	*	2
			7	*	*
		3	*	*
*	*	*	*
*	*	*	*	2	0

6.         Подберите два четырехзначных числа, составленных из одних и тех же цифр, разность которых равна 2015.

8 класс

1.         Используя пять девяток, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13.

2.         Точку А, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично, относительно сторон угла. Полученные точки В и С соединили и точки пересечения ВС со сторонами угла обозначили через D и Е. Докажите, что .

3.         Можно ли из числа 2015 получить число 2016 с помощью двух следующих операций, выполняемых в произвольном порядке:

1.                             прибавление к двум соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9;

2.                             вычитание из двух соседних цифр по единице, если не одна из них не равна 0?

Если да, то запишите последовательность преобразований, если нет – дайте полное обоснование.

4.         Решить систему:

5.         На какую цифру заканчивается число ?

6.         Пассажир поезда, проехав треть всего пути, лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути пассажир бодрствовал?

9 класс

1.         Решить систему:

2.         В прямоугольник  вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как . Найти стороны вписанного прямоугольника.

3.         Расположите в порядке возрастания числа: .

4.         Каждый из участников школьной благотворительной акции принес с собой либо одну энциклопедию, либо три художественные книги, либо два справочника. Всего собрали 150 энциклопедий. После окончания акции были заполнены две книжные полки в библиотеке, причем на каждой было поровну книг. На первой полке была пятая часть всех справочников, седьмая часть всех художественных книг и все энциклопедии. Сколько всего было участников акции и сколько книг они принесли?

5.         Построить график функции .

6.         Найти произведение всех корней уравнения:

.

10 класс

1.         Найдите остаток при делении многочлена  на .

2.         Вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, если каждое последующее слагаемое получено по одному и тому же правилу:

3.         Последовательность задана первым членом  и соотношением для каждого последующего члена через предыдущий член последовательности: . Докажите, что каждый член последовательности может быть определен по формуле:

.

4.         В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, их длины равны 18 см и 24 см. Вычислите площадь треугольника.

5.         Доказать, что уравнение

не имеет решения в натуральных числах.

6.           В емкость из кранов непрерывно поступает вода. Наполненной водой емкости хватает, чтобы сутки поить стадо из 17 коров при постоянном поступлении воды из кранов. Если поить 2 коров при тех же условиях, то воды хватит на 10 дней. За сколько дней может осушить емкость одна корова при постоянном поступлении воды из кранов?

11 класс

1. Седьмое слагаемое в разложении  не содержит . При каком значении  это слагаемое совпадет со вторым слагаемым в разложении ?

2. На ребрах куба , с ребром равным , даны три точки:

 на середине ребра ;

 на середине ребра ;

 на середине ребра .

Через эти точки проведите секущую плоскость, опишите процесс построения и вычислите площадь получившегося сечения куба.

3. Расположите в порядке возрастания числа . Дайте полное обоснование, не пользуясь графической иллюстрацией.

4. Решить неравенство:

.

5. Решите систему уравнений в натуральных числах:

6. При каких  и  многочлен  делится без остатка на ?

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ

7 класс

1.         Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 29 км. Остановки расположены в точках B, C, D, E. Известно, что , ,  и какие-то два из отрезков  имеют одинаковые длины. Найти .

Ответ.

.

Три случая:

1.         , .

AB=3, BC=9, CD=1, DE=13, EF=3. Последовательность точек — A, B, C, D, E, F

2.         , . CD=11.

AC=12, CB=1, BD=10, DE=3, EF=3. Последовательность точек — A, C, B, D, E, F

3.         , , BC=4, CD=6, DE=8, EF=3. Последовательность точек — A, B, C, D, E, F.

4.         ВС не может быть равным DE.

2.         Разделить фигуру на пять равных по площадям и по периметрам фигур:

Решение. Один из вариантов

3.         Виктор отправился в магазин за спортивным инвентарем. Он планировал купить несколько пар гантелей и несколько скакалок. В этот день магазин проводил акцию, предлагая 10% скидку на всю покупку, или 60% скидку на скакалки. Оказалось, что стоимость покупки со скидкой не зависит от выбранного варианта скидки. Сколько изначально собирался Виктор потратить на покупку скакалок, если на покупку гантелей он собирался потратить 5 тысяч рублей?

Решение.

Пусть  рублей Виктор планировал потратить на покупку скакалок. Тогда при первом варианте скидки он платит за покупку:

.

При втором варианте скидки: .

По условию задачи эти числа равны, следовательно, получаем уравнение:

.

Откуда .

4.         Пятеро альпинистов из разных городов России приехали, чтобы покорить Эверест. «Откуда вы?» - спросили их.

Александров ответил: «Я живу в Ростове, а Гришин – в Гомеле».

Белкин сказал: «Я приехал из Волгограда, а Владимиров живет в Гомеле».

Владимиров заявил, что Белкин – житель Екатеринбурга, а он из Ростова.

Гришин сказал следующее: «Дудин живет в Ярославле, а я приехал из Гомеля».

Дудин сообщил о том, что Александров прибыл из Волгограда, а он действительно живет в Ярославле.

Кто откуда приехал, если известно, что одно из двух высказываний каждого альпиниста ложно, а другое истинно?

Решение.

Запишем высказывания альпинистов:

1.         Александров: .

2.         Белкин: .

3.         Владимиров: .

4.         Гришин: .

5.         Дудин: .

Составим таблицу:

	Ростов	Волгоград	Екатеринбург	Гомель	Ярославль
Александров	+	-	-	-	-
Белкин	-	-	+	-	-
Владимиров	-	-	-	+	-
Гришин	-	+	-	-	-
Дудин	-	-	-	-	+

3.                             Пусть Дудин из Ярославля, тогда неверно то, что Александров из Волгограда (5 высказывание) и Гришин из Гомеля (4 высказывание).

4.                             Если Гришин не из Гомеля, тогда верно, что Александров из Ростова (1 высказывание).

5.                             Если Александров из Ростова, то Владимиров не из Ростова, а значит Белкин из Екатеринбурга (3 высказывание).

6.                             Если Белкин из  Екатеринбурга, то верным является то, что Владимиров из Гомеля (2 высказывание).

7.                             Получается, что Гришин из Волгограда.

Ответ: Александров – Ростов, Белкин – Екатеринбург, Владимиров – Гомель, Гришин – Волгоград, Дудин – Ярославль.

5.         Восстановите цифр и опишите этапы восстановления:

			*	8	*
			4	*	2
			7	*	*
		3	*	*
*	*	*	*
*	*	*	*	2	0

Решение.

Последняя цифра результата 0, следовательно, первый сомножитель оканчивается на 5 или 0. По 7 определяем первую цифру первого сомножителя – 3. По тройке второго неполного произведения определяем, что вторая цифра второго сомножителя равна 1. Тогда по предпоследней цифре находим сомножители в произведении: .

6.         Подберите два четырехзначных числа, составленных из одних и тех же цифр, разность которых равна 2015.

Решение.

Разность двух четырехзначных чисел, составленных из одних и тех же цифр, делится на 9. Покажем это.

.

Таким образом, при любой комбинации одних и тех же цифр, разность этих чисел всегда будет делится на 9.

А по условию задачи разность равна 2015, сумма цифр этого числа равна 8 и она не делится на 9. Следовательно, чисел с указанным свойством нет.

8 класс

1.         Используя пять девяток, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13.

Решение.

2.         Точку А, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично, относительно сторон угла. Полученные точки В и С соединили и точки пересечения ВС со сторонами угла обозначили через D и Е. Докажите, что .

Указание. Использовать признак равенства двух прямоугольных треугольников по двум катетам, затем применить неравенство треугольника.

3.         Можно ли из числа 2015 получить число 2016 с помощью двух следующих операций, выполняемых в произвольном порядке:

·        прибавление к двум соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9;

·        вычитание из двух соседних цифр по единице, если не одна из них не равна 0?

Если да, то запишите последовательность преобразований, если нет – дайте полное обоснование.

Указание. Пусть , ввести в рассмотрение число , которое не меняется при выполнении указанных операций.

Ответ: нет.

4.         Решить систему:

Указание.  Перейти к обратным дробям.

Ответ:

5.         На какую цифру заканчивается число ?

Решение.

Составим следующую таблицу:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	…
	4	16	64	256	1024	4096	…	….	….	…	…

Заметив закономерность, определяем последнюю цифру : , значит последняя цифра – 8.

Последняя цифра  зависит от четности/нечетности показателя, следовательно, это 4.

При суммировании последней цифрой будет 2.

6.         Пассажир поезда, проехав треть всего пути, лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути пассажир бодрствовал?

Решение.

AB – бодрствовал, BC – спал, CD – бодрствовал. . Откуда . Получается период бодрствования: .

Весь путь: .

Окончательно получаем часть всего пути, когда пассажир бодрствовал: .

9 класс

1.         Решить систему:

Указания. Сложить все уравнения и выделить полные квадраты.

Ответ: .

2.         В прямоугольник  вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как . Найти стороны вписанного прямоугольника.

Решение.

Треугольники  и  – подобны, поэтому .

Пусть , тогда .

Подставляем в пропорцию и решаем систему:

Тогда .

Вычисляем  и .

3.         Расположите в порядке возрастания числа: .

Решение.

Сравним показатели степеней с основанием 2:

Степень
Показатель			222	16
Ранжирование (по убыванию)	1	2	3	4

Сравним  с :

.

Оцениваем степени с основанием 22:

Степень
Показатель
Ранжирование (по убыванию)	1	2

Сравним степени с основанием 22 со степенями с основанием 2:

,

.

Таким образом, получаем: .

4.         Каждый из участников школьной благотворительной акции принес с собой либо одну энциклопедию, либо три художественные книги, либо два справочника. Всего собрали 150 энциклопедий. После окончания акции были заполнены две книжные полки в библиотеке, причем на каждой было поровну книг. На первой полке была пятая часть всех справочников, седьмая часть всех художественных книг и все энциклопедии. Сколько всего было участников акции и сколько книг они принесли?

Решение.

Пусть  пятая часть справочников,  седьмая часть всех художественных книг. Тогда на первой полке –  книг, на второй –  книг.

Из условия задачи количество книг на полках равное:

,

откуда .

Но количество справочников кратно 2, а количество художественных книг кратно 3:

.

Тогда уравнение принимает вид: . Решаем в натуральных числах:

.

Следовательно, , откуда . Окончательно получаем, что всего 150 справочников принесли 75 участников, 84 художественные книги принесли 42 участника. Таким образом, в акции приняли участие 267 человек, которые принесли 384 книги.

5.           Построить график функции .

Ответ.

: ,

: ,

: ,

: ,

: .

6.           Найти произведение всех корней уравнения:

.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду: .

Введем замену , получаем уравнение: , корни которого .

Тогда , . Их произведение равно 2014.

10 класс

1.         Найдите остаток при делении многочлена  на .

Решение.

Все слагаемые числителя, кроме последнего делятся на . Учитывая сокращение на , делаем вывод: остаток равен .

2.         Вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, если каждое последующее слагаемое получено по одному и тому же правилу.

Указание. Оценить отношение каждого последующего слагаемого к предыдущему.

Ответ: .

3.         Последовательность задана первым членом  и соотношением для каждого последующего члена через предыдущий член последовательности: . Докажите, что каждый член последовательности может быть определен по формуле:

.

Указание. Метод математической индукции.

4.         В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, их длины равны 18 см и 24 см. Вычислите площадь треугольника.

Решение.

. . Из  находим . . . . . .

5.         Доказать, что уравнение

не имеет решения в натуральных числах.

Решение.

Пусть уравнение имеет натуральное решение, тогда  и .

Из этих неравенств следует, что  и . Покажем это.

Предположим, что , тогда , а это противоречит неравенству .

Итак, , то есть , тогда .

Получили, что  и . Складывая неравенства, получим

, а это противоречит условию задачи, следовательно, предположение было неверным, а значит, уравнение не имеет решения в натуральных числах.

6.         В емкость из кранов непрерывно поступает вода. Наполненной водой емкости хватает, чтобы сутки поить стадо из 17 коров при постоянном поступлении воды из кранов. Если поить 2 коров при тех же условиях, то воды хватит на 10 дней. За сколько дней может осушить емкость одна корова при постоянном поступлении воды из кранов?

Решение.

Пусть  объем воды в емкости,  объем поступающей из кранов в емкость воды за сутки,  объем воды, выпиваемый одной коровой в сутки. Тогда получаем систему:

Из этой системы: , следовательно, . Подставляя это уравнение в первое уравнение системы, получаем: .

Пусть для одной коровы понадобится  суток, чтобы выпить всю воду из емкости, тогда составляем уравнение: .

Подставляем в это уравнение выражение для : , откуда  и, окончательно получаем, что за  суток одна корова выпьет всю воду в емкости при условии, что вода постоянно поступает из кранов в емкость.

11 класс

1. Седьмое слагаемое в разложении  не содержит . При каком значении  это слагаемое совпадет со вторым слагаемым в разложении ?

Решение.

Седьмое член в разложении согласно биному Ньютону равен:

.

Так как он не содержит , то , то есть , а само слагаемое .

Второе слагаемое в  имеет вид: . Тогда решаем уравнение:

. Откуда .

2. На ребрах куба , с ребром равным , даны три точки:

 на середине ребра ;

 на середине ребра ;

 на середине ребра .

Через эти точки проведите секущую плоскость, опишите процесс построения и вычислите площадь получившегося сечения куба.

Решение. Сначала через отрезок  строится плоскость, параллельная ребру .

Затем строим плоскость, проходящую через ребра  и .

Пересечение этих плоскостей – .

.

Прямая  лежит в плоскости сечения, продолжив ее получаем пересечение секущей плоскости с ребром .

Через точки  и  строим линии  и , параллельные . Это пересечение секущей плоскости с верхней и нижней гранями куба.

 сечение, являющееся правильным шестиугольником, сторона которого равна:

, а площадь – .

Ответ: .

3. Расположите в порядке возрастания числа . Дайте полное обоснование, не пользуясь графической иллюстрацией.

Решение.

.

Так как , то .

Получается .

4. Решить неравенство:

.

Решение.

ОДЗ:

Домножим на :

а) , тогда , а . Неравенство принимает вид:

,

тогда . С учетом ОДЗ:

б) , тогда , а . Неравенство принимает вид:

,

тогда . С учетом ОДЗ: .

Ответ: .

5. Решите систему уравнений в натуральных числах:

Решение.

Так как числа натуральные, то . Тогда , значит:

.

Складываем эти неравенства:

,

Откуда

.

Из этого неравенства и второго уравнения системы получаем, что

,

следовательно, .

Обращаем внимание: из второго уравнения следует, что  - четное число, значит . Меньшие натуральные значения для  и  - это 1.

Ответ: , .

6. При каких  и  многочлен  делится без остатка на ?

Решение.

Так как , то находим сначала:

а) .

Так как деление должно быть без остатка, то .

б) Пусть . Продолжаем деление: .

По следствию теоремы Безу остаток от этого деления находится так:

.

Так как деление без остатка, то значение остатка должно равняться нулю, то есть .

Подставляем в а): .

Ответ: .