Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Задания муниципального тура Всероссийской олимпиады по математике 2015 г.
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Задания муниципального тура Всероссийской олимпиады по математике 2015 г.

библиотека
материалов

Задания муниципального тура Всероссийской олимпиады по математике

2015 г.

7 класс

1. Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 29 км. Остановки расположены в точках B, C, D, E. Известно, что hello_html_m6e5d5e20.gif, hello_html_m5f8f37a2.gif, hello_html_m3eabbe5a.gif и какие-то два из отрезков hello_html_m524fb5fd.gif имеют одинаковые длины. Найти hello_html_m524fb5fd.gif.


2. Разделить фигуру на пять равных по площадям и по периметрам фигур:

hello_html_m75e0607d.png


3. Виктор отправился в магазин за спортивным инвентарем. Он планировал купить несколько пар гантелей и несколько скакалок. В этот день магазин проводил акцию, предлагая 10% скидку на всю покупку, или 60% скидку на скакалки. Оказалось, что стоимость покупки со скидкой не зависит от выбранного варианта скидки. Сколько изначально собирался Виктор потратить на покупку скакалок, если на покупку гантелей он собирался потратить 5 тысяч рублей?


4. Пятеро альпинистов из разных городов России приехали, чтобы покорить Эверест. «Откуда вы?» - спросили их.

Александров ответил: «Я живу в Ростове, а Гришин – в Гомеле».

Белкин сказал: «Я приехал из Волгограда, а Владимиров живет в Гомеле».

Владимиров заявил, что Белкин – житель Екатеринбурга, а он из Ростова.

Гришин сказал следующее: «Дудин живет в Ярославле, а я приехал из Гомеля».

Дудин сообщил о том, что Александров прибыл из Волгограда, а он действительно живет в Ярославле.

Кто откуда приехал, если известно, что одно из двух высказываний каждого альпиниста ложно, а другое истинно?


5. Восстановите цифр и опишите этапы восстановления:

8

*



4

*

2




7

*

*



3

*

*


*

*

*

*



*

*

*

*

2

0


6. Подберите два четырехзначных числа, составленных из одних и тех же цифр, разность которых равна 2015.

8 класс

1. Используя пять девяток, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13.

2. Точку А, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично, относительно сторон угла. Полученные точки В и С соединили и точки пересечения ВС со сторонами угла обозначили через D и Е. Докажите, что hello_html_m64c25927.gif.

hello_html_f389f80.png


3. Можно ли из числа 2015 получить число 2016 с помощью двух следующих операций, выполняемых в произвольном порядке:

  1. прибавление к двум соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9;

  2. вычитание из двух соседних цифр по единице, если не одна из них не равна 0?

Если да, то запишите последовательность преобразований, если нет – дайте полное обоснование.


4. Решить систему:

hello_html_32bc8f34.gif


5. На какую цифру заканчивается число hello_html_m11f09823.gif?


6. Пассажир поезда, проехав треть всего пути, лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути пассажир бодрствовал?

9 класс

1. Решить систему:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5bf79885.gif


2. В прямоугольник hello_html_6d676bc9.gif вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как hello_html_m539eb434.gif. Найти стороны вписанного прямоугольника.

hello_html_m33c549ed.png


3. Расположите в порядке возрастания числа: hello_html_m3ac84c02.gif.


4. Каждый из участников школьной благотворительной акции принес с собой либо одну энциклопедию, либо три художественные книги, либо два справочника. Всего собрали 150 энциклопедий. После окончания акции были заполнены две книжные полки в библиотеке, причем на каждой было поровну книг. На первой полке была пятая часть всех справочников, седьмая часть всех художественных книг и все энциклопедии. Сколько всего было участников акции и сколько книг они принесли?


5. Построить график функции hello_html_m7bf51661.gif.


6. Найти произведение всех корней уравнения:

hello_html_m4747e855.gif.

10 класс

1. Найдите остаток при делении многочлена hello_html_d7d0011.gif на hello_html_2f92fc65.gif.


2. Вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, если каждое последующее слагаемое получено по одному и тому же правилу:

hello_html_m37d8f1be.gif


3. Последовательность задана первым членом hello_html_m70dbb2ac.gif и соотношением для каждого последующего члена через предыдущий член последовательности: hello_html_4e3a413f.gif. Докажите, что каждый член последовательности может быть определен по формуле:

hello_html_m34c56f3e.gif.


4. В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, их длины равны 18 см и 24 см. Вычислите площадь треугольника.


5. Доказать, что уравнение

hello_html_m6b630ef8.gif

не имеет решения в натуральных числах.


6. В емкость из кранов непрерывно поступает вода. Наполненной водой емкости хватает, чтобы сутки поить стадо из 17 коров при постоянном поступлении воды из кранов. Если поить 2 коров при тех же условиях, то воды хватит на 10 дней. За сколько дней может осушить емкость одна корова при постоянном поступлении воды из кранов?

11 класс

1. Седьмое слагаемое в разложении hello_html_m4d14a97d.gif не содержит hello_html_m5d1538b4.gif. При каком значении hello_html_m507eb1aa.gif это слагаемое совпадет со вторым слагаемым в разложении hello_html_2d3a8441.gif?


2. На ребрах куба hello_html_1aea940d.gif, с ребром равным hello_html_46078665.gif, даны три точки:

hello_html_m5ad48f59.gifна середине ребра hello_html_m4202d99b.gif;

hello_html_m1c515fe8.gifна середине ребра hello_html_5ec31527.gif;

hello_html_5a3aeaac.gifна середине ребра hello_html_m6f9745a6.gif.

Через эти точки проведите секущую плоскость, опишите процесс построения и вычислите площадь получившегося сечения куба.


3. Расположите в порядке возрастания числа hello_html_28f570d1.gif. Дайте полное обоснование, не пользуясь графической иллюстрацией.


4. Решить неравенство:

hello_html_m697f7163.gif.


5. Решите систему уравнений в натуральных числах:

hello_html_m45b1a5a5.gif


6. При каких hello_html_46078665.gif и hello_html_m2e07775b.gif многочлен hello_html_33812ccf.gif делится без остатка на hello_html_m41898f66.gif?


ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ

7 класс

1. Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 29 км. Остановки расположены в точках B, C, D, E. Известно, что hello_html_m6e5d5e20.gif, hello_html_m5f8f37a2.gif, hello_html_m3eabbe5a.gif и какие-то два из отрезков hello_html_m524fb5fd.gif имеют одинаковые длины. Найти hello_html_m524fb5fd.gif.

Ответ.

hello_html_563d6cf1.gif.

Три случая:

1. hello_html_m2212d87f.gif, hello_html_4a576cd5.gif.

AB=3, BC=9, CD=1, DE=13, EF=3. Последовательность точек — A, B, C, D, E, F

2. hello_html_mb8afdad.gif, hello_html_29d48123.gif. CD=11.

AC=12, CB=1, BD=10, DE=3, EF=3. Последовательность точек — A, C, B, D, E, F

3. hello_html_m294e5f28.gif, hello_html_m2844f6c2.gif, BC=4, CD=6, DE=8, EF=3. Последовательность точек — A, B, C, D, E, F.

4. ВС не может быть равным DE.


2. Разделить фигуру на пять равных по площадям и по периметрам фигур:

hello_html_m75e0607d.png

Решение. Один из вариантов

hello_html_m232b705b.png


3. Виктор отправился в магазин за спортивным инвентарем. Он планировал купить несколько пар гантелей и несколько скакалок. В этот день магазин проводил акцию, предлагая 10% скидку на всю покупку, или 60% скидку на скакалки. Оказалось, что стоимость покупки со скидкой не зависит от выбранного варианта скидки. Сколько изначально собирался Виктор потратить на покупку скакалок, если на покупку гантелей он собирался потратить 5 тысяч рублей?

Решение.

Пусть hello_html_m5d1538b4.gif рублей Виктор планировал потратить на покупку скакалок. Тогда при первом варианте скидки он платит за покупку:

hello_html_m3ddd9bda.gif.

При втором варианте скидки: hello_html_m28236f07.gif.

По условию задачи эти числа равны, следовательно, получаем уравнение:

hello_html_m45fb25a3.gif.

Откуда hello_html_m3aac269e.gif.


4. Пятеро альпинистов из разных городов России приехали, чтобы покорить Эверест. «Откуда вы?» - спросили их.

Александров ответил: «Я живу в Ростове, а Гришин – в Гомеле».

Белкин сказал: «Я приехал из Волгограда, а Владимиров живет в Гомеле».

Владимиров заявил, что Белкин – житель Екатеринбурга, а он из Ростова.

Гришин сказал следующее: «Дудин живет в Ярославле, а я приехал из Гомеля».

Дудин сообщил о том, что Александров прибыл из Волгограда, а он действительно живет в Ярославле.

Кто откуда приехал, если известно, что одно из двух высказываний каждого альпиниста ложно, а другое истинно?

Решение.

Запишем высказывания альпинистов:

1. Александров: hello_html_3805fc30.gif.

2. Белкин: hello_html_m6391f8fe.gif.

3. Владимиров: hello_html_m6c02578.gif.

4. Гришин: hello_html_21e0a2e1.gif.

5. Дудин: hello_html_m186a1e54.gif.

Составим таблицу:

Волгоград

Екатеринбург

Гомель

Ярославль

Александров

+

-

-

-

-

Белкин

-

-

+

-

-

Владимиров

-

-

-

+

-

Гришин

-

+

-

-

-

Дудин

-

-

-

-

+

  1. Пусть Дудин из Ярославля, тогда неверно то, что Александров из Волгограда (5 высказывание) и Гришин из Гомеля (4 высказывание).

  2. Если Гришин не из Гомеля, тогда верно, что Александров из Ростова (1 высказывание).

  3. Если Александров из Ростова, то Владимиров не из Ростова, а значит Белкин из Екатеринбурга (3 высказывание).

  4. Если Белкин из Екатеринбурга, то верным является то, что Владимиров из Гомеля (2 высказывание).

  5. Получается, что Гришин из Волгограда.

Ответ: Александров – Ростов, Белкин – Екатеринбург, Владимиров – Гомель, Гришин – Волгоград, Дудин – Ярославль.


5. Восстановите цифр и опишите этапы восстановления:

8

*



4

*

2




7

*

*



3

*

*


*

*

*

*



*

*

*

*

2

0

Решение.

Последняя цифра результата 0, следовательно, первый сомножитель оканчивается на 5 или 0. По 7 определяем первую цифру первого сомножителя – 3. По тройке второго неполного произведения определяем, что вторая цифра второго сомножителя равна 1. Тогда по предпоследней цифре находим сомножители в произведении: hello_html_2e614868.gif.


6. Подберите два четырехзначных числа, составленных из одних и тех же цифр, разность которых равна 2015.

Решение.

Разность двух четырехзначных чисел, составленных из одних и тех же цифр, делится на 9. Покажем это.

hello_html_14436bb1.gif.

Таким образом, при любой комбинации одних и тех же цифр, разность этих чисел всегда будет делится на 9.

А по условию задачи разность равна 2015, сумма цифр этого числа равна 8 и она не делится на 9. Следовательно, чисел с указанным свойством нет.

8 класс

1. Используя пять девяток, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13.

Решение.

hello_html_m505b804a.gif

hello_html_m64c5a579.gif

hello_html_m1c343be6.gif

hello_html_3a5e4bc4.gif

hello_html_m1b5172db.gif

hello_html_5caa9900.gif

hello_html_m3983022e.gif

hello_html_m33356bad.gif


2. Точку А, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично, относительно сторон угла. Полученные точки В и С соединили и точки пересечения ВС со сторонами угла обозначили через D и Е. Докажите, что hello_html_m64c25927.gif.

hello_html_f389f80.png

Указание. Использовать признак равенства двух прямоугольных треугольников по двум катетам, затем применить неравенство треугольника.


3. Можно ли из числа 2015 получить число 2016 с помощью двух следующих операций, выполняемых в произвольном порядке:

  • прибавление к двум соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9;

  • вычитание из двух соседних цифр по единице, если не одна из них не равна 0?

Если да, то запишите последовательность преобразований, если нет – дайте полное обоснование.

Указание. Пусть hello_html_m49cdac3d.gif, ввести в рассмотрение число hello_html_161582.gif, которое не меняется при выполнении указанных операций.

Ответ: нет.


4. Решить систему:

hello_html_32bc8f34.gif

Указание. Перейти к обратным дробям.

Ответ: hello_html_e1ded43.gif


5. На какую цифру заканчивается число hello_html_m11f09823.gif?

Решение.

Составим следующую таблицу:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

hello_html_m7ada82aa.gif

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

hello_html_m1c1f9e49.gif

4

16

64

256

1024

4096

.

.

Заметив закономерность, определяем последнюю цифру hello_html_m23a9f71d.gif: hello_html_41b742ec.gif, значит последняя цифра – 8.

Последняя цифра hello_html_m456cebfe.gif зависит от четности/нечетности показателя, следовательно, это 4.

При суммировании последней цифрой будет 2.


6. Пассажир поезда, проехав треть всего пути, лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути пассажир бодрствовал?

Решение.

hello_html_m29a3e122.png

ABбодрствовал, BCспал, CDбодрствовал. hello_html_592c3e95.gif. Откуда hello_html_m132ce4da.gif. Получается период бодрствования: hello_html_m5ad3e6ff.gif.

Весь путь: hello_html_m7b6e152d.gif.

Окончательно получаем часть всего пути, когда пассажир бодрствовал: hello_html_m42a20ee1.gif.

9 класс

1. Решить систему:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5bf79885.gif

Указания. Сложить все уравнения и выделить полные квадраты.

Ответ: hello_html_7c23aac3.gif.


2. В прямоугольник hello_html_6d676bc9.gif вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как hello_html_m539eb434.gif. Найти стороны вписанного прямоугольника.

hello_html_m33c549ed.png

Решение.

Треугольники hello_html_m2e12e2a0.gif и hello_html_m2446191f.gif – подобны, поэтому hello_html_ma624295.gif.

Пусть hello_html_e29efc5.gif, тогда hello_html_78951f22.gif.

Подставляем в пропорцию и решаем систему:

hello_html_m60810fab.gif

Тогда hello_html_4ee43a8.gif.

Вычисляем hello_html_55e27daa.gif и hello_html_m30c79274.gif.


3. Расположите в порядке возрастания числа: hello_html_m3ac84c02.gif.

Решение.

Сравним показатели степеней с основанием 2:

hello_html_m58cb1096.gif

hello_html_6929119f.gif

hello_html_6a747ae3.gif

hello_html_7d4dd3a9.gif

Показатель

hello_html_m1ca5dab.gifhello_html_m1acd4492.gif

hello_html_5e677e11.gifhello_html_2e838a8c.gif

222

hello_html_350ad81e.gif16

Ранжирование

(по убыванию)

1

2

3

4

Сравним hello_html_m5f814c11.gif с hello_html_m7ac44b60.gif:

hello_html_m32fc0797.gif.

Оцениваем степени с основанием 22:

hello_html_496407b0.gif

hello_html_1bacd7af.gif

Показатель

hello_html_m4512047d.gif

hello_html_m576d022b.gif

Ранжирование

(по убыванию)

1

2

Сравним степени с основанием 22 со степенями с основанием 2:

hello_html_de1f571.gif,

hello_html_519691.gif.

Таким образом, получаем: hello_html_58f9dc8b.gif.


4. Каждый из участников школьной благотворительной акции принес с собой либо одну энциклопедию, либо три художественные книги, либо два справочника. Всего собрали 150 энциклопедий. После окончания акции были заполнены две книжные полки в библиотеке, причем на каждой было поровну книг. На первой полке была пятая часть всех справочников, седьмая часть всех художественных книг и все энциклопедии. Сколько всего было участников акции и сколько книг они принесли?

Решение.

Пусть hello_html_6f7f817f.gif пятая часть справочников, hello_html_m545653dc.gif седьмая часть всех художественных книг. Тогда на первой полке – hello_html_m4c78dca8.gif книг, на второй – hello_html_7b3c22f4.gif книг.

Из условия задачи количество книг на полках равное:

hello_html_m69d99e6a.gif,

откуда hello_html_7e1f715b.gif.

Но количество справочников кратно 2, а количество художественных книг кратно 3:

hello_html_10755bbf.gif.

Тогда уравнение принимает вид: hello_html_59a3e2e7.gif. Решаем в натуральных числах:

hello_html_m355bf6eb.gif.

Следовательно, hello_html_m60e6aa2.gif, откуда hello_html_m4b3f4e5b.gif. Окончательно получаем, что всего 150 справочников принесли 75 участников, 84 художественные книги принесли 42 участника. Таким образом, в акции приняли участие 267 человек, которые принесли 384 книги.


5. Построить график функции hello_html_m7bf51661.gif.

Ответ.

hello_html_410c52d.gif: hello_html_1d33309.gif,

hello_html_m365e976d.gif: hello_html_m52951650.gif,

hello_html_26ede85c.gif: hello_html_60079026.gif,

hello_html_601e770f.gif: hello_html_m7a034738.gif,

hello_html_m67f0171f.gif: hello_html_2d74e7ba.gif.


6. Найти произведение всех корней уравнения:

hello_html_m4747e855.gif.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду: hello_html_m437703e6.gif.

Введем замену hello_html_m1ffd9609.gif, получаем уравнение: hello_html_79e4d1bb.gif, корни которого hello_html_63dce058.gif.

Тогда hello_html_m38ca7c2.gif, hello_html_6b40b142.gif. Их произведение равно 2014.

10 класс

1. Найдите остаток при делении многочлена hello_html_d7d0011.gif на hello_html_2f92fc65.gif.

Решение.

hello_html_3a86a571.gif

Все слагаемые числителя, кроме последнего делятся на hello_html_m297388a8.gif. Учитывая сокращение на hello_html_m5d1538b4.gif, делаем вывод: остаток равен hello_html_34a05f3c.gif.


2. Вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, если каждое последующее слагаемое получено по одному и тому же правилу.

hello_html_m37d8f1be.gif

Указание. Оценить отношение каждого последующего слагаемого к предыдущему.

Ответ: hello_html_m66f400bc.gif.


3. Последовательность задана первым членом hello_html_m70dbb2ac.gif и соотношением для каждого последующего члена через предыдущий член последовательности: hello_html_4e3a413f.gif. Докажите, что каждый член последовательности может быть определен по формуле:

hello_html_m34c56f3e.gif.

Указание. Метод математической индукции.


4. В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, их длины равны 18 см и 24 см. Вычислите площадь треугольника.

Решение.

.

hello_html_maed4db2.gif.

Из hello_html_5861b1b5.gif находим hello_html_22758c4c.gif.

hello_html_2b82d29.gif.

hello_html_541e2941.gif.

hello_html_28abb090.gif.

hello_html_m8caf05f.gif.

hello_html_5f70b8f8.gif.

hello_html_450176ba.png


5. Доказать, что уравнение

hello_html_m6b630ef8.gif

не имеет решения в натуральных числах.

Решение.

Пусть уравнение имеет натуральное решение, тогда hello_html_1d3a301.gif и hello_html_5eb409e5.gif.

Из этих неравенств следует, что hello_html_m1393da2b.gif и hello_html_m6c629b7d.gif. Покажем это.

Предположим, что hello_html_m33700f98.gif, тогда hello_html_m3a396c6.gif, а это противоречит неравенству hello_html_1d3a301.gif.

Итак, hello_html_m1393da2b.gif, то есть hello_html_md86b1bb.gif, тогда hello_html_644a2adb.gif.

Получили, что hello_html_m4af37f51.gif и hello_html_m59a19a99.gif. Складывая неравенства, получим

hello_html_m1e2855bd.gif, а это противоречит условию задачи, следовательно, предположение было неверным, а значит, уравнение не имеет решения в натуральных числах.


6. В емкость из кранов непрерывно поступает вода. Наполненной водой емкости хватает, чтобы сутки поить стадо из 17 коров при постоянном поступлении воды из кранов. Если поить 2 коров при тех же условиях, то воды хватит на 10 дней. За сколько дней может осушить емкость одна корова при постоянном поступлении воды из кранов?

Решение.

Пусть hello_html_280e2ff0.gif объем воды в емкости, hello_html_m29e871a2.gif объем поступающей из кранов в емкость воды за сутки, hello_html_m538a8983.gif объем воды, выпиваемый одной коровой в сутки. Тогда получаем систему:

hello_html_7f17bbb7.gif

Из этой системы: hello_html_5e0766c6.gif, следовательно, hello_html_m7a4d5adb.gif. Подставляя это уравнение в первое уравнение системы, получаем: hello_html_m1b29fcb6.gif.

Пусть для одной коровы понадобится hello_html_b68dfd8.gif суток, чтобы выпить всю воду из емкости, тогда составляем уравнение: hello_html_89e8bd2.gif.

Подставляем в это уравнение выражение для hello_html_m507eb1aa.gif: hello_html_447d58f3.gif, откуда hello_html_1d51e6d1.gif и, окончательно получаем, что за hello_html_59de10a6.gif суток одна корова выпьет всю воду в емкости при условии, что вода постоянно поступает из кранов в емкость.

11 класс

1. Седьмое слагаемое в разложении hello_html_m4d14a97d.gif не содержит hello_html_m5d1538b4.gif. При каком значении hello_html_m507eb1aa.gif это слагаемое совпадет со вторым слагаемым в разложении hello_html_2d3a8441.gif?

Решение.

Седьмое член в разложении согласно биному Ньютону равен:

hello_html_66c76281.gif.

Так как он не содержит hello_html_m5d1538b4.gif, то hello_html_68788dd0.gif, то есть hello_html_m60bff2df.gif, а само слагаемое hello_html_3cc108c1.gif.

Второе слагаемое в hello_html_2d3a8441.gif имеет вид: hello_html_m72bd0ac2.gif. Тогда решаем уравнение:

hello_html_10d70424.gif. Откуда hello_html_2fbc5d9b.gif.


2. На ребрах куба hello_html_1aea940d.gif, с ребром равным hello_html_46078665.gif, даны три точки:

hello_html_m5ad48f59.gifна середине ребра hello_html_m4202d99b.gif;

hello_html_m1c515fe8.gifна середине ребра hello_html_5ec31527.gif;

hello_html_5a3aeaac.gifна середине ребра hello_html_m6f9745a6.gif.

Через эти точки проведите секущую плоскость, опишите процесс построения и вычислите площадь получившегося сечения куба.

Решение. Сначала через отрезок hello_html_m6e944a27.gif строится плоскость, параллельная ребру hello_html_m77ddfc55.gif.

Затем строим плоскость, проходящую через ребра hello_html_m77ddfc55.gif и hello_html_m6f9745a6.gif.

Пересечение этих плоскостей – hello_html_1d6f5e7a.gif.

hello_html_4b23b64e.gif.

Прямая hello_html_m2b61ee35.gif лежит в плоскости сечения, продолжив ее получаем пересечение секущей плоскости с ребром hello_html_m77ddfc55.gif.

hello_html_6531d1bd.png

Через точки hello_html_m1110cba.gif и hello_html_7cafa5e5.gif строим линии hello_html_27cff325.gif и hello_html_135b7928.gif, параллельные hello_html_m36d4213c.gif. Это пересечение секущей плоскости с верхней и нижней гранями куба.

hello_html_31078202.gifсечение, являющееся правильным шестиугольником, сторона которого равна:

hello_html_25c2ab62.gif, а площадь – hello_html_1c345fe2.gif.

Ответ: hello_html_m5f7f1841.gif.


3. Расположите в порядке возрастания числа hello_html_28f570d1.gif. Дайте полное обоснование, не пользуясь графической иллюстрацией.

Решение.

hello_html_6d5c047e.gif.

Так как hello_html_3d247441.gif, то hello_html_47d76174.gif.

Получается hello_html_m171178b2.gif.


4. Решить неравенство:

hello_html_m697f7163.gif.

Решение.

ОДЗ: hello_html_24949e0c.gif

Домножим на hello_html_m5d1538b4.gif:

а) hello_html_m70a9a655.gif, тогда hello_html_f66dae4.gif, а hello_html_562fb57c.gif. Неравенство принимает вид:

hello_html_4e0ba820.gif,

тогда hello_html_48f0bd09.gif. С учетом ОДЗ: hello_html_m44ec8afd.gif

б) hello_html_7b998fea.gif, тогда hello_html_4c42c4ec.gif, а hello_html_m3a0f36e6.gif. Неравенство принимает вид:

hello_html_51cdb0fa.gif,

тогда hello_html_6fd1f76f.gif. С учетом ОДЗ: hello_html_mc3a74ac.gif.

Ответ: hello_html_72106a0b.gif.


5. Решите систему уравнений в натуральных числах:

hello_html_m45b1a5a5.gif

Решение.

Так как числа натуральные, то hello_html_660ff9ef.gif. Тогда hello_html_m6346dc25.gif, значит:

hello_html_6c5ba26d.gif

hello_html_535fbd9f.gif.

Складываем эти неравенства:

hello_html_6718bf6c.gif,

Откуда

hello_html_m689774df.gif.

Из этого неравенства и второго уравнения системы получаем, что

hello_html_m5b94042a.gif,

следовательно, hello_html_m43a85c32.gif.

Обращаем внимание: из второго уравнения следует, что hello_html_362e9374.gif - четное число, значит hello_html_4c2bb04f.gif. Меньшие натуральные значения для hello_html_59d71272.gif и hello_html_m37fa1959.gif - это 1.

Ответ: hello_html_4c2bb04f.gif, hello_html_30f656fa.gif.


6. При каких hello_html_46078665.gif и hello_html_m2e07775b.gif многочлен hello_html_33812ccf.gif делится без остатка на hello_html_m41898f66.gif?

Решение.

Так как hello_html_3edae94.gif, то находим сначала:

а) hello_html_m267f40f7.gif.

Так как деление должно быть без остатка, то hello_html_52d0d549.gif.

б) Пусть hello_html_m6a26efbe.gif. Продолжаем деление: hello_html_m24fea490.gif.

По следствию теоремы Безу остаток от этого деления находится так:

hello_html_m57e09851.gif.

Так как деление без остатка, то значение остатка должно равняться нулю, то есть hello_html_m51a0e11f.gif.

Подставляем в а): hello_html_55755f80.gif.

Ответ: hello_html_5e341774.gif.

Общая информация

Номер материала: ДБ-219907

Похожие материалы