Задания для школьной олимпиады по математике
6 класс
1. Пруд имеет форму квадрата, в вершинах которого растут деревья. Надо увеличить вдвое поверхность пруда, сохранив его форму и не трогая деревьев. Как это можно сделать? (7 баллов)
2. 15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них собрали одинаковое количество орехов. (7 баллов)
3. Тома «Детской энциклопедии» стоят в таком порядке: 1,2,6,10,3,8,4,7,9,5. Как поставить их по порядку, если можно брать 2 соседних тома и ставить их, не меняя порядка рядом на новое место (в начало, конец или между двумя томами)?
(7 баллов)
4. На сколько увеличится объем куба, если каждое его ребро увеличить на 10 %?
(7 баллов)
5. Найти два натуральных числа, зная их сумму 161 и общий делитель 23.
(7 баллов)
Указания и ответы:
2. Доказательство от противного.
4. На 33,1 %.
5.
а = 23, а = 46,
а = 69.
в = 138, в = 115, в = 92.
7 класс
1.
Доказать, что дроби 
; 
; 
равны
между собой. (7 баллов)
2. Существует ли квадрат, у которого длина стороны – целое число, а площадь 102 102 102 102? (7 баллов)
3.
Одно число больше другого на 16. Найти эти числа,
если 
одного числа равны 
другого.
(7 баллов)
4. Найти целые решения уравнения:
(х 2 + 1) (у 2 + 1) = (х + у) 2 + 1 (7 баллов)
5. Из вершины угла, равного ß, проведены биссектриса этого угла и биссектрисы двух образовавшихся углов и проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла, равного ß (данного угла). Какие углы образует луч со сторонами данного угла и с каждой биссектрисой? (7 баллов)
Ответы:
2. нет.
3. 96, 80.
4. (0, 0); (1, 2); (2, 1); (-1, -2); (-2, -1).
8 класс
1. Доказать, что число
20062006 + 20062005 · 20062006 · 20062007 является кубом целого числа. (7 баллов)
2. Когда сумму цифр двузначного числа сложили с ее квадратом, то получилось данное двузначное число. Найдите это число. (7 баллов)
3. Упростите выражение:
(3 + 1) (3 2 + 1) (3 4 + 1) (3 8 + 1) (3 16 + 1) (7 баллов)
4. Построить график функции:
+ 
(7
баллов)
6. На стороне ВС равностороннего треугольника АВС взята точка М, а на продолжении стороны АС за точку С – точка N, причем АМ = МN. Доказать, что ВМ = СN.
(7 баллов)
Указания и ответы:
2. 12; 42; 90. 3. Умножить выражение на (3 –
1); 
9 класс
1. Найдите значение выражения:
- 
(7
баллов)
2. Найдите корни уравнения:
- 
= - 
(7
баллов)
3. Число 392 разделили на натуральное число а и от частного отняли а, с полученной разностью проделали то же самое и с новым результатом проделали то же самое. В ответе получилось –а. Чему равно а? (7 баллов)
4. Постройте график функции:
у = 
(7
баллов)
5. Доказать, что в любом треугольнике АВС расстояние от центра описанного круга до стороны треугольника ВС вдвое меньше расстояния от точки пересечения высот до вершины. (7 баллов)
Указания и ответы:
х
=
при а # 0, а # -
;
а # - 2;
=
| х |
10 класс
1. Построить график функции:
у = 
(7
баллов)
2. Разложить на множители:
2 (х 2 + 6х + 1) 2 + 5( х 2 + 6х + 1) (х 2 + 1) + 2(х 2 + 1) 2
(7 баллов)
3. При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:
 |
х 2 + у 2 = z
х + у + z = а (7 баллов)
4. Решить уравнение:
(2 х 3 + х – 3) 3 = 3 – х 3 (7 баллов)
S∆ KLP = S∆ MNP и КР : РN : KN = 6:5:7. Найти угол LMK.
Ответы:
2.
9 (х + 1) 2 (х + 2 - 
) (х + 2 + ) ;
;
;
11 класс
1. Какие натуральные числа удовлетворяют уравнению
? (7
баллов)
2.
Доказать, что корни уравнения (
+ 
) х
2 – 4 х + 3 = 0 являются целыми числами. (7
баллов)
3. Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны S 1 и S 2. Найти площадь трапеции. (7 баллов)
4. Найти значение выражения:
1! · 3 – 2! · 4 + 3! ·5 – 4! · 6 + …- 2004! · 2006 + 2005! (7 баллов)
5.
Функция у = f (x) такова, что ее графическим образом является гипербола у = -
, смещенная на единицу вверх.
а) Сколько корней имеет
уравнение f (f…(f(x)) = x
2006 раз
б) Построить график функции у = f (f…(f(x))
2007
раз
Указания и ответы:
1.
х = 3, х = 2.
у = 2, у = 3.
2.
Докажите, что + = 1
3.
S = (
+ 
) 2, где S 1 и S2 – площади треугольников, прилежащих к
основанию.
4. Имеем n ! (n + 2) = n ! (n + 1 +1) = (n +1) ! + n !
Ответ: 1
5.
f (x) = 1 - ( x # 0)
2 раза
f (f(x))
= 1 - 
= … = 1 - 
= - 
( x # 0; x # 1) …
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Математические конкурсы, олимпиады школьников являются одной из важных форм внеклассной работы по предмету. Они не только помогают выявить одаренных, способных учащихся, но и стимулируют углубленное изучение предмета, служат развитию интереса к математической науке. Кроме того, конкурсы, олимпиады способствуют пропаганде научных знаний, укреплению связи общеобразовательных учреждений, созданию необходимых условий для поддержки одаренных, способных детей.
Одной из важных целей проведения конкурсов, олимпиад является развитие интереса учащихся к изучаемым предмета.
6 660 880 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Милованова Татьяна Геннадиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.