Выдаём удостоверения и дипломы установленного образца

Получите 5% кэшбэк!

Запишитесь на один из 793 курсов и получите 5% кэшбэк стоимости курса на карту

Выбрать курс
Инфоурок Математика Научные работыЗАКОНОМЕРНОСТИ И СВЯЗИ В ШАХМАТАХ И МАТЕМАТИКЕ Исследовательская работа

ЗАКОНОМЕРНОСТИ И СВЯЗИ В ШАХМАТАХ И МАТЕМАТИКЕ Исследовательская работа

Скачать материал
библиотека
материалов


XVI городская конференция учащихся


«Первая ступень в науку»


Секция математики







ЗАКОНОМЕРНОСТИ И СВЯЗИ

В ШАХМАТАХ И МАТЕМАТИКЕ

Исследовательская работа







Выполнил: Соловьев Илья Александрович,

МБОУ «СОШ № 32», 8 «А» класс


Руководитель: Механич Г.Б.,

учитель математики МБОУ «СОШ № 32»











Череповец

2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………стр. 3-4

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ………………………………………………стр. 5-13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………стр. 14

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ……………………………стр. 15





























ВВЕДЕНИЕ

"В юности у меня было два любимых занятия: математика и шахматы. Причина, по которой я предпочел шахматы математике, может показаться непосвященному странной, а то и парадоксальной: в шахматах больше жизни,

чем в математике "

Рихард Рети, гроссмейстер, в молодости - учитель математики


Я начал играть в шахматы с 6 лет, мне привила любовь к этой интеллектуальной игре моя бабушка Вера Васильевна. Часто играю в шахматы с мамой, которая с детства мне говорила, что если я буду заниматься шахматами, то с математикой у меня проблем не будет. На практике так и вышло, поэтому я решил посмотреть на шахматы несколько с другой стороны – математической.


В последнее время о шахматах можно узнать разве что на экранах телевизора, а ведь эта настольная игра была очень популярной как у взрослых, так и среди молодежи. Когда - то шахматы были всеобщим достоянием. Знаменитые гроссмейстеры мира устраивали поединки между собой. Так почему же шахматы утратили былую славу? Что же повлияло на это? Что мы потеряли, забыв об этой настольной игре? Почему так трудно найти сверстника для игры в шахматы? Эти вопросы довольно давно меня начали волновать.


Конечно, у математики и шахмат много родственного. Выдающийся математик Г.Харди, проводя параллель между этими двумя видами человеческой деятельности, заметил, что решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы - это «как бы насвистывание математических мелодий».


Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, а математические способности нередко сочетаются с шахматными. Среди крупных ученых известно немало сильных шахматистов: академик А.А. Марков, физик П.Л. Капица. В то же время многие гроссмейстеры имеют математическое или близкое к нему образование. Склонность к занятиям математикой проявлялась у многих чемпионов мира по шахматам. Интересовался ею и первый шахматный король В.Стейниц. Профессиональным математиком был его преемник доктор Эм.Ласкер. Первый советский чемпион мира М.Ботвинник в последние годы все силы отдал разработке алгоритма игры в шахматы и, по существу, переквалифицировался в математика-прикладника. «Играм присущи некоторые черты произведений искусства,- писал Олдос Хаксли.- Когда мы играем в них сами или только наблюдаем, как в них играют другие, мы переходим из непостижимой вселенной данной реальности в маленький, строго упорядоченный мир, созданный человеком, где все ясно, целесообразно и легкодоступно пониманию». Его замечания звучат с особой силой применительно к математическим играм на шахматной доске. Одной из самых популярных игр из числа тех, для которых необходима специальная доска, являются шахматы. Шахматы - объект нашего исследования. Предмет исследования - математические задачи, связанные с шахматной доской и шахматными фигурами.


Цель работы: выявление закономерностей и связей между шахматами и математикой.


Задачи:

1. Провести анкетирование с целью выяснения популярности шахмат в современном обществе в настоящее время.

2. Изучить научную литературу по данному вопросу.

3. Найти связь между шахматами и математикой.

4. Разобрать на примерах, в чем заключается эта связь.


В процессе работы использовались следующие методы:

- теоретический

- эмпирический


Новизна работы заключается в том, что тема математики и шахмат недостаточно освещена в современной литературе. По этой проблеме найдено небольшое количество книг. Практическая значимость работы состоит в том, что задачи с применением шахматной теории часто встречаются на олимпиадах по математике.


Гипотеза: предположим, что между математикой и шахматами есть взаимосвязь.









ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Начинающий шахматист радуется полной свободе, которую он получает в игре: как хочу, так и хожу. Но очень скоро он проникается уважением к теории, ограничивающей эту свободу, потому что на опыте собственных поражений убеждается в том, что знания, полученные из учебников или на шахматных уроках в школе, полезны и нужны для того, чтобы побеждать. И можно надеяться, что это уважение к знаниям постепенно распространится и на всё другое, чему учат в школе. Шахматы учат учиться. С целью выяснения популярности данной игры в современном обществе, мы провели опрос-анкетирование и попытались проанализировать ответы. Среди опрошенных были учащиеся и взрослые различных возрастных групп, которым были предложены актуальные на сегодняшний день вопросы. В опросе принимали участие 163 человека. На вопрос об умении играть в шахматы, большинство взрослых ответили положительно, в то же время среди детей, ответы в основном были отрицательные. Обучение родителями искусству игры – это дело каждого. Конечно же, тут зависит все от желания ребенка. Как выясняется, и тут не все так гладко, большая часть опрошенных детей отзывалась о том, что в шахматы играть уже «не модно».


На вопрос о проведении свободного времени, предлагалось два варианта ответа, компьютер или шахматы, думаю, не стоит дальше говорить, что выбрали дети, и что удивило не меньше, взрослые.

Таким образом, можно сказать, что на сегодняшний день игра мало популярна, хотя многие видят закономерную связь между математическими наклонностями и умением играть в шахматы.

Дети

(12 чел.,56 чел.,43 чел.)

Взрослые

(12 чел., 13чел., 27чел.)

5-7 лет

13-15лет

16-17лет

соседи

родственники

учителя

1

Умеете ли вы играть в шахматы?

Да-

Нет-

8%

92%

13%

87%

28%

72%

67%

33%

77%

23%

81%

19%

2

Если да, то кто вас обучил?

Дедушка-

Бабушка-

Мама-

Папа-

Кружок-

-

8%

-

-

-

4%

5%

-

4%

-

7%

5%

7%

9%

-

17%

8%

-

-

42%

8%

8%

-

-

61%

7%

-

-

4%

70%

3

Если нет, то хотели бы научиться?

Да-

Нет-

83%

-

5%

82%

9%

63%

25%

8%

23%

-

7%

11%

4

Шахматы – это игра или спорт?

Игра-

Спорт-

И то, и другое-

Не знаю-

100%

-

-

-

25%

13%

4%

58%

47%

23%

30%

-

17%

33%

50%

-

15%

15%

9%

61%

7%

22%

71%

-

5

Если у вас есть свободное время, что вы выберите: любую игру на компьютере или игру в шахматы с реальным партнером?


Компьютер:

Шахматы:

67%

33%

88%

12%

93%

7%

75%

25%

69%

31%

33%

67%

6

С каким учебным предметом связаны шахматы?

Математика-

Биология-

Информатика-

Не знаю-

25%

-

-

75%

7%

2%

-

91%

56%

5%

23%

16%

100%

-

-

-

92%

-

-

8%

81%

-

19%

-

7

Почему ваши сверстники не играют в шахматы?

Не модно-

Лень-

Скучно и сложно-

Нет пары-

Нет времени-

-

-

-

-

-

25%

20%

32%

12%

11%

35%

7%

23%

7%

5%

33%

-

33%

8%

25%

-

23%

23%

38%

15%

-

-

15%

33%

52%


Также был задан интересный вопрос, звучал он следующим образом: «С каким предметом тесно связаны шахматы?». Большинство ответивших выбрали ответ «Математика». И это совершенно правильно!


Тесную связь математики и теории шахматной игры подчеркивает тот факт, что во многих сборниках олимпиадных математических задач или книгах головоломок можно найти разнообразные задачи с участием шахматной доски и фигур. Чем же обусловлено такое частое обращение именно к шахматной игре, а не к любому другому виду спорта?


Во-первых, формы мышления шахматиста и математика довольно близки. Можно рассматривать сложившуюся на доске позицию как задачу, решение которой нужно найти, перебрав все возможные варианты, и найдя самый рациональный из них. К этому сводится и большинство математических задач.


Во-вторых, существует распространенное мнение, что и шахматы, и математика развивают ум, учат находить нестандартные решения, стимулируют самостоятельность мышления, учат творчеству. В шахматах невозможно стать великим шахматистом, только лишь слепо повторяя сыгранные ранее дебюты. Также как и в математике, невозможно добиться успеха, не умея мыслить и рассуждать.


Шахматные задачи помогают соотносить мыслительные процессы с практическими действиями, наглядно иллюстрируют условие задачи и ход решения. И хотя, казалось бы, шахматная доска ограничена всего 64 клетками, существует множество математических задач с использованием шахмат и шахматной доски, и все они разнообразны и интересны.


Шахматные задачи можно разделить на задания, связанные с математической логикой, комбинаторные и геометрические задачи. Некоторые задачи исследуют игру с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа, другие рассматривают конкретные игровые позиции, в которых нужно, например, поставить мат за заданное число ходов, а также работа с шахматной доской, как с геометрическим объектом. Все эти направления освещены в таких знаменитых книгах как «Математика на шахматной доске» (1976) Е.Я. Гика, «Комбинаторные задачи на шахматной доске» (1935) Л.Я. Окуневой, «Математические развлечения» Мартина Гарднера. В этих книгах собрано множество материалов, посвященных шахматным задачам.


Условия шахматных задач часто связаны с древними легендами, причем существуют некие противоречия, и одну задачу порой можно встретить в виде совершенно разных легенд.


Например, часто встречающаяся в олимпиадах задача на разрезание шахматной доски сопровождается в разных источниках разными легендами, но задание при этом остается неизменным - разделить шахматную доску на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одной фигуре. 

 

Итак, подобные задачи можно решать, не умея играть в шахматы. Кроме того, они позволяют заинтересовать нас и в игровой форме объяснить некоторые математические приемы решения трудных задач.

Наглядные примеры, как математика связана с шахматами: симметрия на шахматной доске.


Симметрия, как общий принцип гармонии в живой природе имеет глубокий смысл. Изучение ее проявлений, закономерностей играет важную роль в математике, физике, химии, биологии.

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру.


Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Рассмотрим примеры преобразования фигур.


Симметрия относительно точки – центральная симметрия

Пусть существует фигура Х и О – фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры Х в фигуру Х1, при котором ее каждая точка Х переходит в точку Х1, симметричную относительно данной точки О, называют преобразованием симметрии относительно точки О (Рис. 2).

hello_html_m7e1150d4.png

        Рис. 2. Симметрия относительно точки


Симметрия относительно прямой – осевая симметрия

Преобразование фигуры Х в Х1, при котором каждая точка Х  переходит в точку Х1,симметричную относительно прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры Х и Х1 называются симметричными относительно прямой g (Рис. 3).

hello_html_m21a37d8d.pngРис. 3. Симметрия относительно прямой

Разнообразные мотивы симметрии встречаются и на шахматной доске. С одной стороны, речь может идти о симметрии естественной, т. е. возникающей в процессе шахматной партии, а с другой стороны, — используемой в шахматных задачах и этюдах.


Симметрия бывает различных типов; наиболее распространенные – осевая и центральная. На шахматной доске при осевой симметрии осью служит прямая, разделяющая левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «e») или  нижнюю и верхнюю части (граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7 (Рис.4), то мы говорим, что эти кони расположены  симметрично. Осями являются и большие диагонали.

hello_html_m6d85e023.jpg

Рис. 4. Симметричное расположение коней на шахматной доске

Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур.

Известна такая забавная история. Некто  явился в шахматный клуб и объявил,  что нашел верный способ не проигрывать черными. «Каким образом?» — спросили его.  «Очень просто, — ответил гость, — повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем вызвался  С.Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода.  Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур.

Я не Ллойд, но могу поставить мат за 6 ходов при полной симметрии фигур.

1) с2-с3 с7-с6 2) е2-е3 е7-е6 3) Кg1-е2 Кg8-е7

4) Кb1-с3 Кb8с6 5) Кс3-е4 Кс6-е5 6) Ке4-d6х

Система координат


Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.


В ХIVв. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.


Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.

Декартовая система координат на плоскости задается взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом. Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х, вертикальная – осью ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу. Координаты точки обычно указывают в скобках рядом с обозначением точки: Р(х;у)

hello_html_m3a778aba.jpg

Рис. 5. Декартовая система координат

На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).


На рисунке 6 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.

hello_html_m6f0f8f47.jpg

Рис.6. Определение координат шахматных фигур

Четность и нечетность

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.  Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их цифрами (условные знаки для обозначения чисел). Цифры 2, 4, 6, 8 называются четными,  а цифры 1, 3, 5, 7, 9  нечетными. Из признака делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными, остальные – нечетными.


На шахматной доске так же есть  чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода. При каждом ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. (Рис. 7)hello_html_m34fb6ebe.jpg

 Рис. 7. Четность и нечетность на шахматной доске

Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение шахмат к математике.

Геометрия шахматной доски.


Можно сказать, что ничего удивительного и интересного здесь нет. Можно подумать,  что при виде шахматной доски мы сразу вспоминаем геометрию из-за формы доски. Это так, но геометрическая форма ещё не всё.

Дело в том, что при игре в шахматы, как и в любой другой науке, есть свои определённые правила. И существует такое правило, как правило, квадрата.


Квадратом называется прямоугольник,  у которого все стороны равны.   При этой композиции (Рис.8) неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда и т.д. и при этом они часто путаются и, в конце концов, просчитываются.

hello_html_m726b443b.jpg

Рис. 8. Правило квадрата

Однако исход партии легко оценить при помощи «правила квадрата».

Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки. Итак,  в нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.


Задача: проделаем мысленно некоторые манипуляции с шахматной доской. Разрежем ее на четыре части, как показано на рисунке 1 (поля специально не раскрашены), и составим из них прямоугольник (рис.2).

Шахматная доска состоит из 64 клеток, а вот прямоугольник — из 65. При разрезании доски откуда-то взялось одно лишнее поле!

hello_html_m6bdceb2.jpg

Разгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно. Если делать чертеж аккуратнее, то вместо диагонали прямоугольника появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами, которые кажутся почти слившимися. Это как раз и есть то самое «лишнее» поле.


Итак, пришло время ответить на вопрос, на какие же процессы в организме ребенка оказывает влияние шахматы.


Известный факт, игра в шахматы помогает детям достичь высоких результатов в математике. И не только! Многочисленные исследования в области психологии показали, что ребята, с ранних лет практикующие игру в шахматы, достигали вершин в академической карьере. В результате этого, многие развитые страны ввели шахматы в образовательную программу и поощряли детишек за самостоятельное освоение шахмат.


Одним из важных предметов, которые ребенок обязан учить и знать, является предмет математики. Важность математики в том, что она не может быть изучена с помощью запоминания наизусть. Вы не можете просто запомнить формулы алгебры, воспроизвести их и выбросить из памяти. Основы математики, такие как сложение, вычитание, умножение и деление нужно запомнить, ведь они будут полезны в вашей жизни. Надо понимать концепцию, тщательно думать и применять необходимые формулы для решения задач математики.

Мышление, концентрация, решения проблем и аналитические способности являются предпосылками также для игры в шахматы. И хорошо, что эти полезные навыки преподаются в интересной игровой форме. Понимание концепции, применение концентрации, внимания и анализа различных типов проблем является тем, что нужно в математике.


Игра в шахматы не только поможет детям лучше разбираться в математике, но и дать очень важный и бесценный опыт. По данным исследования было установлено, что игра в шахматы помогает детям развивать и укреплять их:

- зрительную память

- концентрацию внимания

- пространственные навыки рассуждения

- способность предвидеть события

- возможность использовать аналитические способности принимать решения

- возможность оценки альтернатив.

Большинство из этих вещей также способствуют умению решения проблем, с которыми все мы сталкиваемся в жизни, и возможности вести успешную жизнь. Физические упражнения и спортивные мероприятия могут сделать тело вашего ребенка сильным и здоровым, а игра в шахматы позволит ему чувствовать себя уверенно и сделает его здоровым не только физически, но и умственно.


Известный факт родом из Италии. Там, для того чтобы проверить теорию связанную с повышением умственных способностей, провели научный эксперимент.


В 2012 году организация "International Conference: Chess and MathematicsLearning by Playing" ("Шахматы и математика - обучение с игрой") в итальянском городе Турине провела конференцию.

Предметом конференции стали исследования, проведенные Итальянским

национальным институтом по оценке системы образования INVALSI в рамках проекта о влиянии занятий шахматами на математические навыки учащихся. Так контрольные исследования 2000 детей в возрасте 8-9 лет показали значительное улучшение способностей учащихся к обучению математике при преподавании шахмат в школе. Сначала шахматы, как часть школьной учебной программы, были реализованы только в Турине (по инициативе известного шахматного клуба Турина), затем, после Всемирной шахматной

олимпиады 2006 года (Турин), проект был распространен на остальные регионы страны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В самом начале работы мы поставили цель выявить закономерности и связи между шахматами и математикой. На приведенных в работе примерах мы подробно разобрали эту связь и считаем, что цели достигли.

Социальный опрос, проведенный нами среди людей разных возрастных групп, убедил нас в том, что шахматы не являются популярной игрой в настоящее время, хотя большинство осознает связь между шахматами и математикой.

Изучив литературу, мы нашли подтверждение, что математика и шахматы связаны между собой. На наш взгляд, математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы, в свою очередь, помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические задачи. Древняя мудрая игра «Шахматы» развивает не только память, логическое мышление, творческие способности человека, но и способствует развитию математических навыков, позволяющих решать сложные задачи, а также соотносить мыслительные процессы с практическими действиями. «В шахматах,- говорил великий русский писатель Л.Н. Толстой,- нужно дорожить не выигрышем, а интересными комбинациями». Наверное, этот большой простор для творчества так привлекает математиков к шахматам.

В дальнейшем мы разберем то, что осталось для нас загадкой, и я обязательно буду продолжать играть в шахматы.

Большинство ошибочно считает, что шахматы - это игра для тех, кто от природы умен и сообразителен. Любой желающий способен повысить существенно свой интеллект, играя в шахматы.

Исследования психологов говорят, что шахматы активизируют два

полушария мозга одновременно и «прокачивают» критическое мышление.

Шахматы справедливо считают единственной игрой из всех, придуманных

человеком, в которой сочетаются спорт, искусство и наука.

Шахматы – это и вид интеллектуальной борьбы, и соревнование. А любое соревнование совершенствует сильные черты личности.

Под словом «игра» понимается не только забава, отдых или спорт, но, что гораздо важнее, возможность создать на шахматной доске необычное,

фантастическое – в этом шахматы близки к искусству. Но к шахматам можно

относиться и как к науке со своими законами, принципами. Эта игра содержит в себе элементы научного исследования – именно такой подход свойственен многим выдающимся шахматистам. Задачи, связанные с шахматной

теорией, широко применяются в математике.

Таким образом, цель работы достигнута. Материалы исследования можно использовать для подготовки к олимпиадам и конкурсам.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

Литература:

1. Гик Е.Я. Шахматы и математика // Квант. – 1983. – Выпуск 24.

2. Гик Е.Я. Математика на шахматной доске. – М.: Аванта+, 2009

3. Коновалов С.П., Рузайкин Г.И. Математика на шахматной доске

// Мир ПК. – 2005. – №09.

4.Окунев Л.Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске,1935.- 89с.


Интернет-ресурсы:

  1. Бабушкин Л. Помогут ли шахматы школе?

http://proint.narod.ru

  1. Википедия. Свободная энциклопедия

http://ru/wikipedia.org

  1. golovolomka.hobby.ru













  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.