Занимательные задачи для 5-6 классов (с ответами)

1.    В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Аня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше, чем Юра, а сумма лет Ани и Светы делится на три?

Ответ.  Свете - 5, Юре - 8, Ане - 13, Лене - 15. Так как в детский сад ходит девочка, то Юре не 5 лет. Аня старше Юры, значит, Ане не может быть 8 лет: ей или 13, или 15 лет. Сумма возрастов Ани и Светы делится на 3.
Но на 3 делится или сумма 5 и 13, или сумма 8 и 13. Значит, Ане не может быть 15 лет, тогда ей 13 лет.
Остальное очевидно.

2.    Встретились три друга - Белов, Серов и Чернов. Чернов сказал другу, одетому в серый костюм: «Интересно, что на одном из нас белый костюм, на другом - серый и на третьем — черный, но на каждом костюм цвета, не соответствующего фамилии». Какой цвет костюма у каждого из друзей?

Ответ. Чернов в белом костюме, Белов - в сером, Серов - в черном.

3.    Башенные часы отбивают три удара за 12 с. В течение какого времени они пробьют шесть ударов?

Ответ. 30 с (интервал между двумя последовательными ударами составляет 6 с).

4.    Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела сказочных животных. Все они, кроме двух, — Говорящие Коты; все, кроме двух, — Мудрые Совы; остальные — Усатые Тараканы. Сколько обитателей в избушке у Бабы Яги (саму Бабу Ягу в расчет не принимать)?

Ответ. Трое (один Говорящий Кот, одна Мудрая Сова и один Усатый Таракан).

5.    — У меня зазвонил телефон.
— Кто говорит?
- Слон.
... А потом позвонил Крокодил...
... А потом позвонили Зайчатки...
... А потом позвонили Мартышки...
... А потом позвонил Медведь...
... А потом позвонили Цапли...
... Итак, у Слона, Крокодила, Зайчаток, Мартышек, Медведя, Цапель и у меня установлены телефоны. Каждые два телефонных аппарата соединены проводом. Сколько для этого понадобилось проводов?

Ответ. 21 провод.

6.    Когда три подруги — Надя, Валя и Маша — вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.

Ответ. У Нади туфли и платье синего цвета; у Вали туфли белые, платье красное; у Маши туфли красные, платье белое.

7.    Король решил уволить в отставку премьер-министра, но не хотел его обидеть. Когда премьер-министр пришёл к королю, тот сказал: «В этот портфель я положил два листа бумаги. На одном из них написано „Останьтесь", на другом — „Уходите". Листок, который вы сейчас не глядя вытянете из портфеля, решит вашу судьбу». Премьер-министр догадался, что на обоих листках написано «Уходите». Однако ему удалось сделать так, что король его оставил. Как поступил премьер-министр?

Ответ. Вытащил один из листов и уничтожил его.

8.    Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжет. Какой вопрос надо им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?

Ответ. Например: «Ты лгун?»

9.    Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой кошке досталось 5 галет, а каждой собаке — 6. Сколько было собак?

Ответ.  6.

10. Во дворе живут 3 девочки и 4 мальчика. Сколькими способами из них можно составить команду, состоящую из двух девочек и двух мальчиков?

Ответ. 18 способами (двух девочек можно выбрать из трех тремя способами, а двух мальчиков из четырех — 6 способами. 3 х 6 = 18).

11. Трое туристов должны перебраться с одного берега реки на другой. В их распоряжении старая лодка, которая может выдержать нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из туристов 45 кг, второго - 50 кг, третьего - 80 кг. Как должны они действовать, чтобы перебраться на другой берег?

Ответ. Один из возможных вариантов переправы:

Ход	1-й берег	2-й берег
0	45, 50, 80	-
1	80	45, 50
2	80, 45	50
3	45	50, 80
4	45, 50	80
5	-	45, 50, 80

12. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Ответ. В чашке — лимонад, в стакане — вода, в кувшине — молоко, в банке — квас.

13. На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и разделились на две стаи: одна стая уселась на ветви старой березы, а другая - на ольху. Через некоторое время с березы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с березы, после чего на березе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально?

Ответ. 30 и 5.

14. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, В другом — мак, а в третьем — еще не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них прикрепила по табличке: «Мак», «Просо» и «Смесь».
Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная надпись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?

Ответ. Надо взять зернышко из мешка, на котором написано «Смесь». В нем не может оказаться смесь. Если там лежит мак, то в мешке с надписью «Мак» лежит просо, а в мешке с надписью «Просо» лежит смесь. Если же там лежит просо, то в мешке с надписью «Мак» лежит смесь, а в мешке с надписью «Просо» лежит мак.

15. Собака погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30 м от нее. Скачок собаки равен 2 м, скачок лисицы 1 м. В то время как лисица делает 3 скачка, собака делает 2 скачка. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лисицу?

Ответ.  120 м.

16. Один из пяти братьев испек маме пирог. Никита сказал: «Это Глеб или Игорь». Глеб сказал: «Это сделал не я и не Дима». Игорь сказал: «Вы оба шутите». Андрей сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул». Дима сказал: «Нет, Андрей, ты не прав». Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

Ответ.  Игорь.

17. У Буратино и Пьеро был велосипед, на котором они отправились в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой шёл пешком, а не бежал. При этом они ухитрились прибыть в деревню почти в 2 раза быстрее, чем если бы оба шли пешком. Как им это удалось?

Ответ. Буратино проехал полдороги на велосипеде, и, оставив его, дальше пошёл пешком. Пьеро дошёл до велосипеда, сел на него и проехал вторую половину пути.

18. Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?

Ответ. На вторник.

19. В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Ответ.  Через 29 суток.

20. Гена пошел с папой в тир. Договорились, что Гена делает 3 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать еще 2 выстрела. Всего Гена сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?

Ответ. (задача сводится к решению уравнения 5 + 2х = 17).

21. Как-то в минуту отдыха друзья-мушкетеры — Атос, Портос, Арамис и д'Артаньян решили померяться силой при перетягивании каната. Портос с д'Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом. Но когда Портос встал в паре с Атосом, то победа против Арамиса с д'Артаньяном досталась им уже не так легко. Когда же Портос с Арамисом оказались против Атоса с д'Артаньяном, то ни одна из этих пар не смогла одолеть друг друга.
Можете ли вы определить, как мушкетеры распределяются по силе?

Ответ. Если знак > означает «сильнее», то: Портос > д'Артаньян > Атос > Арамис.

22. Угол в 12,5 градуса рассматривают в лупу, дающую четырехкратное увеличение. Какой величины покажется угол?

Ответ. Те же 12,5 градуса.

23. Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причём одновременных решений не было. Они ошибаются. Как вы думаете, почему?

Ответ. Сумма конфет, полученных всеми девочками, должна делиться на сумму конфет, получаемых за одну задачу, т. е. должна быть кратна 7.

24. Барон Мюнхгаузен и его слуга Томас подошли к реке. На берегу они обнаружили лодку, способную перевезти лишь одного человека. Тем не менее они переправились через реку и продолжили путешествие. Могло ли так быть?

Ответ. Они подошли с рапных сторон.

25. В дремучем Муромском лесу из-под земли бьют два источника мертвой воды: № 1 и № 2. Из источника № 1 мертвую воду может взять каждый, а источник № 2 находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может.
На вкус и цвет мертвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако если человек выпьет из какого-нибудь источника, он через сутки умрет. Правда, если он выпьет из источника № 1, спасти его может только одно: если он в течение суток выпьет яд из источника № 2. А если он сразу выпьет яд из источника № 2, то ему уже ничто не поможет.
Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и дает ее выпить своему противнику. Кощей обрадовался: «Ура! Я дам яд № 2, и Иванушка-дурачок не сможет спастись! А сам выпью яд из источника № 1, который Иванушка-дурачок мне принесет, затем выпью свой яд № 2 и спасусь!»
В назначенный день оба противника встретились в условленном месте. Они честно обменялись кружками и выпили то, что в них было. Каковы же были радость и удивление обитателей Муромского леса, когда оказалось, что Кощей умер, а Иванушка-дурачок остался жив! Догадайтесь, как?

Ответ.  Иванушка-дурачок принес Кощею простую воду, а сам пе¬ред дуэлью выпил воду из источника № 1.

26. На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Если сорвать один из плодов - вырастет такой же, если одновременно сорвать два одинаковых плода - вырастет апельсин, а если одновременно сорвать два разных плода — вырастет банан.
Ася срывала плоды, и в конце концов на яблоне остался ровно один плод.
Можете ли вы определить, какой это был плод?

Ответ. Несложно увидеть, что как бы мы не срывали плоды, число бананов будет нечетным. Значит, последним останется банан.

27. Иван Иванович ехал из дома на рыбалку. Вначале 3 ч он ехал поездом со скоростью 75 км/ч. Потом 3 ч он шел пешком со скоростью 5 км/ч и 3 ч плыл на лодке со скоростью 6 км/ч. Какой путь он проделал до места рыбалки?

Ответ. 258 км.

28. Кошка в 10 раз сильнее мышки, Жучка в 2 раза сильнее кошки, внучка в 3 раза сильнее Жучки, бабка в 2 раза сильнее внучки, дед в 2 раза сильнее бабки. Все вместе они могут поднять репку, а без мышки — нет. Сколько весит репка, если мышка может поднять только 1 г?

Ответ.  451 г.

29. Катя, Боря, Витя и Юра заняли первые четыре места на олимпиаде. Катя не заняла ни первое, ни последнее место, Боря занял второе место, Витя оказался в числе первых трех призеров. Какое место на олимпиаде занял Юра?

Ответ. Последнее (четвертое)

30. Пять мальчиков обменялись рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий было?

Ответ.  10

31. Вы знаете, что вслед за классом единиц идут классы тысяч, миллионов и миллиардов. А дальше последовательно идут классы триллионов, квадриллионов, квинтиллионов, секстиллионов, септиллионов и т. д. Масса земного шара — 6 секстиллионов тонн. Запишите цифрами это число.

Ответ. 6 000 000 000 000 000 000 000.

32. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш - за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут?
(Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком нельзя.)

Ответ.  Переходят папа и мама - 2 минуты,
Папа, с фонариком возвращается - 1 минута,
Переходят бабушка, и малыш - 10 минут,
Мама с фонариком возвращается - 2 минуты,
Переходят папа и мама - 2 минуты.
Итого: 17 минут.

33. Сто рыбаков съедают сто рыбок за сто дней. За сколько дней двести рыбаков съедят двести рыбок?

Ответ.  За те 100 дней.

34. Прилетели галки, сели на палки. Если на каждой палке сядет по галке, то для одной галки не хватит палки. Если же на каждой палке сядет по две галки, то одна из палок будет без галок. Сколько было палок и сколько было галок?

Ответ.  Галок - 4, палок -3.

35. На острове Буяне четыре королевства, причем каждое граничит с тремя остальными. Нарисуйте карту острова так, как вы ее себе представляете.

Ответ.  Пример показан на рисунке

.

36. Во сколько раз лестница, ведущая на шестой этаж дома, длиннее лестницы, ведущей на второй этаж этого же дома?

Ответ.  Как правило, в 5 раз

37. Фуль, Муль, Шуль и Пуль сидят на скамейке. Если Шуль, сидящий справа от всех, сядет между Фулем и Мулем, то Муль станет крайним слева. В каком порядке сидят четыре друга?

Ответ. Муль, Фуль, Пуль, Шуль.

38. Во дворе гуляли куры, петухи и утки - всего 21 птица. Петухов в 10 раз меньше, чем кур. Сколько во дворе уток?

Ответ. 10 уток (1 петух, 10 кур и 10 уток). Решение единственное, т.к. при 2 петухах число кур равнялось бы 20, что вместе составляет уже 22 птицы.

39. Все животные старухи Шапокляк, кроме двух, - попугаи, все, кроме двух, — кошки, и все, кроме двух, — собаки, а остальные — тараканы. Сколько тараканов живет у старухи Шапокляк?

Ответ.  Или ни одного (если у старухи живут попугай, кошка и собака), или два (если у старухи нет ни попугая, ни кошки, ни собаки).

40. На шахматную доску пролили краску. Может ли количество испачканных клеток быть на 17 меньше количества клеток, оставшихся чистыми? Ответ обоснуйте.

Ответ.  Нет. Если испачкано х клеток, то чистыми осталось х + 17 клеток. Тогда 2х + 17 = 64 и х не является целым числом.

41. В Волшебной стране живут только тролли и гоблины. Чудо-юдо, которое забрело в эту страну, сожрало  всех троллей и  всех гоблинов. Верно ли, что съедена половина населения страны?

Ответ.  Разумеется, нет. Съедена  часть страны. Учащимся достаточно показать, что съедено менее половины всех жителей.

42. Оксана сказала, что чашку разбила Соня. Лена и Соня сказали, кто разбил чашку, но каждая говорила очень тихо и их не услышали. Известно, что одна из трех девочек разбила чашку, и только она и сказала правду. Как ее зовут? Ответ объясните.

Ответ.  Лена. Раз одна из трех девочек разбила чашку, и только она и сказала правду, то эта девочка призналась в том, что именно она разбила чашку. Оксана говорила не о себе, значит, она сказала неправду. А это означает, что чашку не могла разбить ни Оксана, ни Соня.

43. Рядом сидят мальчик и девочка. «Я мальчик», — говорит черноволосый ребенок. «Я девочка», — говорит рыжий ребенок. Выясните цвет волос мальчика и цвет волос девочки, если известно, что хотя бы кто-то из них обязательно говорит неправду.

Ответ. Очевидно, что если лжет один ребенок, то лжет и другой. Поэтому черноволосый ребенок — девочка, рыжий ребенок — мальчик.

44. В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему испытание: «Вот тебе бочка, наполни ее водой ровно наполовину, не испольвуя никаких измерительных приборов». Работник исполнил задание. Как он это сделал?

Ответ. Нужно наклонить бочку, как показано на рисунке. Объем воды под горизонтальной чертой равен половине объема бочки.

45. Имеются два пустых бидона — трехлитровый и пятилитровый. Как, пользуясь этими бидонами, набрать из реки 1 л воды?

Ответ.  Один из способов показан в таблице:

1-й бидон	0	3	0	3	1
2-й бидон	0	0	3	3	5

46. Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне 1 овцу, тогда у меня овец будет вдвое больше, чем у тебя"! А Петр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну"! Сколько же было у каждого овец?

Ответ. У Ивана — 7 овец, а у Петра — 5 овец.

47. Как бы вы назвали известный роман Жюля Верна «20 000 лье под водой» в существующих ныне единицах длины (1 морское лье = - 5 км 555 м)?

Ответ. 111 100 км под водой.

48. «Ну, погоди!» — зарычал волк, заметив в 30 м зайца, бросился за ним, когда тому оставалось до места укрытия 333 м. Догонит ли волк зайца, если он пробегает за минуту 600 м, а заяц — 550 м? Ответ обоснуйте.

Ответ. Да догонит. Скорость сближения волка и зайца 50 м/мин. Значит, волку, чтобы догнать зайца, надо мин. Но за мин заяц пробежит 330 м, то есть чуть-чуть не успеет забежать в укрытие.

49. Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые — через каждые 3 с. Всего было сделано 13 ударов (совпавшие удары воспринимались за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

Ответ. 18 с.

50. В морской порт теплоход «Счастливый» прибывает один раз в 3 дня, теплоход «Удачный» - один раз в 4 дня, теплоход «Надежный» — один раз в 6 дней. Третьего марта все три теплохода были в этом порту. Какого числа они все снова прибудут в этот порт?

Ответ. 15 марта.

51. По улице шла Катя. Встретив старичка, она поздоровалась. Старичок в ответ сказал: «Здравствуй, маленькая девочка». Катя возразила: «Я не маленькая. Я в три раза младше мамы, а мама на 2 года младше отца. Вместе нам 100 лет». Так сколько лет Кате?

Ответ.  14 лет.

52. Над цепью озер летела стая гусей. На каждом озере садилась половина имевшегося в этот момент количества гусей и еще полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озерах. Сколько гусей было в стае?

Ответ.  127 гусей. Не трудно догадаться, что на седьмое озеро сел один гусь. И тогда: на шестое озеро прилетело 3 гуся, из которых 2 осталось на этом озере, до пятого озера долетело 7 гусей, до четвертого - 15, до третьего - 31, до второго - 63, до первого - 127 гусей.

53. Валя и Таня должны были встретиться на станции, чтобы вместе поехать на поезде, который отправляется в 8 ч утра. Валя думает, что ее часы спешат на 35 мин, хотя в действительности они отстают на 15 мин. А Таня думает, что ее часы идут правильно, хотя они на самом деле отстают. На сколько минут отстают часы Тани, если две девочки пришли на станцию одновременно? И когда они встретились?

Ответ. На 50 мин. девочки встретятся в 8 ч 50 мин.

54. Вася вырвал три листа из дневника. Некоторые из них (может быть и все) он разорвал на три части или на пять частей. Некоторые из получившихся кусков бумаги он опять разорвал на три или пять частей, и так далее. Мог ли Вася, действуя таким образом, получить ровно 2000 кусочков бумаги? Ответ объясните.

Ответ.  Нет, не мог. Если разорвать любой лист бумаги натри части, то количество кусков увеличится на 2, а если его разорвать на пять частей, то количество кусков увел ичится на 4. Так как было три листа, то после каждого действия Васи количество кусочков бумаги останется нечетным, следовательно, получится ровно 2000 кусочков не может.

55. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошёл отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправиться двое мальчиков или только один солдат. Смогли ли солдаты переправиться через реку?

Ответ.  Мальчики на лодке плывут к другому берегу. Один из них остается там, а другой возвращается. Один солдат переправляется; вылезает, а мальчик возвращает лодку. Таким образом, чтобы переправить одного солдата, лодка 4 раза плывёт от берега до берега.

56. Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь — опускается на 4 м. За какое время улитка доберётся от подножья до вершины столба?

Ответ. Через 5,5 суток.

57. Кот в Сапогах поймал четырех щук и ещё половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах?

Ответ.  8 щук.

58. Кирпич весит 2 кг и ещё треть собственного веса. Сколько весит кирпич?

Ответ. 3 кг.

59. Три слога в слове. Первый слог —
Большой снеговика кусок.
Осуществляют слог второй
Слоны, придя на водопой.
А третий слог зовётся так,
Как прежде звался твёрдый знак.
Соедини все три как надо —
Получишь ЭВМ в награду!

Ответ. КОМ + ПЬЮТ + ЕР = КОМПЬЮТЕР

60. Три купчихи — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

Ответ.  20 чашек.

61. В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании, прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвёртого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?

Ответ.  400 страниц.

62. Зайцы распилили несколько брёвен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков. Сколько брёвен они распилили?

Ответ. 6 брёвен.

63. Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар — продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой — без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12,5 талера.
Когда мальчик пришёл домой и рассказал всё отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле — каждому за 10 талеров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера. Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашёл инвалидов и отдал им оставшиеся деньги — каждому по одному талеру.
Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рассказал всё отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в тёмный чулан. Сидя в чулане, Ганс задумался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талера: 12,5 — 1 = 11,5.
Значит, сапоги стоили 23 талера: 11,5+'11,5 = 23. И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: 23 + 3 = 26.
Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?

Ответ.  3 талера, которые Ганс истратил на конфеты, надо не прибавить к стоимости сапог, а вычесть из неё. Тогда мы получим 20 талеров — ту сумму, которую в итоге получил Карл.

64. Белоснежка вырезала из батиста большой квадрат и положила его в сундук. Пришёл Первый Гном, достал квадрат, разрезал его на четыре квадрата и положил все четыре снова в сундук. Потом пришёл Второй Гном, достал один из квадратов, разрезал его на четыре квадрата и положил все четыре снова в сундук. Потом пришёл Третий Гном. И он достал один из квадратов, разрезал его на четыре квадрата и положил все четыре снова в сундук. То же самое проделали все остальные гномы.
Сколько квадратов лежало в сундуке после того, как ушёл Седьмой Гном?

Ответ. 22 квадрата.

65. Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?

Ответ. 1728 Коробков.

66. На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Елкина, а на другой — до Палкина. Вдумчивый Наблюдатель заметил, что на каждом столбе сумма равна 13. Каково расстояние от Ёлкина до Палкина?

Ответ. 13 км.

67. За книгу заплатили 100 руб. и осталось заплатить ещё столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за неё заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?

Ответ. Книга стоит 200 руб.

68. Эта задача насчитывает много сотен лет, но до сих пор поражает воображение своей красотой и неожиданностью. Три брата получили в наследство от отца 17 верблюдов. Старшему отец завещал половину стада, среднему — треть, а младшему — девятую часть. Братья пытались поделить наследство и выяснили, что старшему брату придётся взять 8 верблюдов и кусок верблюда, среднему — 5 верблюдов и кусок верблюда, а младшему — верблюда и кусок верблюда. Естественно, разрезать верблюдов не хотелось никому, и братья решили попросить помощи у Мудреца, проезжавшего мимо них на верблюде. Мудрец спешился и присоединил своего верблюда к стаду братьев. От нового стада из 18-ти верблюдов Мудрец отделил половину — 9 верблюдов для старшего брата, затем треть — 6 верблюдов для среднего брата, и, наконец, девятую часть — 2-х верблюдов для младшего брата. После успешной делёжки Мудрец сел на своего верблюда и продолжил путь. А братья стали думать, почему же каждый из них получил больше верблюдов, чем полагалось. Сможете ли вы объяснить, что же произошло?

Ответ. Наследники с самого начала не заметили, что завещанные им доли составляют не 100%, а всего 17/18 от общего количества.

69. Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

Ответ.  147 и 111.

70. Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?

Ответ. Путешественник должен распилить 3-е кольцо. Тогда он получит три звена: первое — из одного кольца, второе — из двух, третье — из четырех. В первый день путешественник даст хозяину гостиницы 1 кольцо. Во второй — даст 2 кольца, заберёт 1. В третий — даст 1 кольцо. В четвёртый — даст 4, заберёт 2 и 1 кольцо. В пятый — даст 1 кольцо. В шестой — даст 2 кольца, заберёт 1. В последний (седьмой) день даст 1 кольцо.

71. Если Конёк-Горбунок не будет семь суток есть или не будет семь суток спать, то лишится своей волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?

Ответ. Он должен сделать не то, что делал перед началом отсчёта первых суток.

72. Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

Ответ. Нет, не может. После того как листок побывает в руках у богатыря, число, на нём написанное, будет менять свою чётность, т. е. станет чётным, если было нечётное, и наоборот. Это значит, что после 33-х изменений число станет нечётным, т.е. никак не сможет равняться 10.

73. Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Ответ. Возьмём из первого мешка 1 монету, из второго — 2, из третьего — 3, ..., из последнего — 10. Взвесим их. Если фальшивая монета в первом мешке — будет не хватать 5 г, если во втором — 10, ... если в последнем — 50 г.

74. Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?

Ответ. Сумма номеров на одном листе нечётна, поскольку это — сумма двух последовательных чисел. Всего страниц 25. Сумма 25 нечётных чисел должна быть нечётной, а у Кольки получилось чётное число. Значит, Колька ошибся в своих вычислениях.

75. Фома и Ерёма нашли на дороге по пачке 11-рублевок. В чайной Фома выпил 3 стакана чая, съел 4 калача и 5 бубликов. Ерёма выпил 9 стаканов чая, съел 1 калач и 4 бублика. Стакан чая, калач и бублик стоят по целому числу рублей. Оказалось, что Фома может расплатиться 11-рублевками без сдачи. Покажите, что это может сделать и Ерёма.

Ответ. Фома смог за свою покупку расплатиться 11-рублёвыми купюрами. Если мы к его покупке добавим 33 ч и 11 б (т. е. 33 стакана чая и 11 бубликов), то за всё в сумме тоже можно будет расплатиться 11-рублевками. Но эта покупка составляет 36 ч + 4 к + 16 б, т. е. ровно в 4 раза больше покупки Еремы. Но числа 4 и 11 взаимно просты, поэтому и за четверть большой покупки (за покупку Еремы) можно расплатиться 11-рублевками без сдачи, что и требовалось доказать.

76. Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым.
— Вот тебе меч-кладенец, — сказала царевичу Баба Яга. — Одним ударом ты можешь срубить Змею либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Запомни: срубишь голову — новая вырастет; срубишь хвост — два новых вырастут; срубишь два хвоста — голова вырастет; срубишь две головы — ничего не вырастет.
За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею Горынычу все головы и все хвосты?

Ответ. Иван-царевич может срубить Змею Горынычу все головы и все Хвосты за 9 ударов. Первыми тремя ударами он срубит по одному хвосту за каждый удар — останутся 3 головы и 6 хвостов. Вторыми тремя ударами он срубит по 2 хвоста за каждый удар — останется 6 голов. Последними тремя ударами он срубит по 2 головы за каждый удар — ничего не останется.

77. На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов — вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода — вырастет апельсин, а если два разных — вырастет банан. В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? Можете ли вы определить, какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?

Ответ. Как бы мы ни срывали плоды, число бананов на яблоне всегда будет нечётным. Действительно, если мы сорвём 2 банана — вырастет апельсин, т. е. число бананов уменьшится на чётное число и останется опять нечётным. (Напомним, что вначале было 15 бананов.) Если же мы сорвём только банан (с апельсином ли, или без апельсина — всё равно), то вырастет снова банан, т. е. число бананов даже не изменится. А отсюда следует вот что: раз нам точно известно, что плод остался только один, то это банан. Другое дело, что здесь мы не обсуждаем вопрос, возможно ли, чтобы остался ровно один плод.
Для того чтобы на яблоне остался только один плод, можно сорвать 7 раз по 2 банана — останется банан и 27 апельсинов, после этого 27 раз сорвать по банану и апельсину — останется только один банан. Из предыдущих рассуждений уже видно, что как бы мы ни срывали плоды, на яблоне всегда останется хотя бы один банан.

78. Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нём каждый 3-й день, Серёжа — каждый 7-й, Ваня — каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все трое встретятся в кинотеатре в следующий раз?

Ответ. Начнём отсчитывать дни от первого посещения кинотеатра всеми мальчиками. Номер дня, когда в кинотеатр приходит Коля, делится на 3, когда приходит Серёжа — делится на 7 и т.д. Значит, чтобы вес трое пришли в кинотеатр, помер дня должен одновременно делиться па 3, на 5 и на 7. Таким образом, помер этого дня должен делиться на 105, т.е. 105, 210, 315 и т.д. Поскольку нас интересует самый первый день, то это день под номером 105 (это значит, что до встречи ребятам придётся ходить в кинотеатр больше 3-х месяцев).

79. Два класса с одинаковым количеством учеников написали контрольную. Проверив контрольные, строгий директор Фёдор Калистратович сказал, что он поставил двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли строгий Фёдор Калистратович?

Ответ. Конечно же, Фёдор Калиетратович ошибся. Число оценок должно быть чётным, поскольку четно число учеников, но если бы Фёдор Калиетратович был прав, то число учеников можно было бы выразить формулой 13 + 2а, где а — число «не двоек», т. е. получается, что число учеников нечётно. Противоречие и доказывает, что Фёдор Калиетратович был неправ.

80. Какой знак надо поставить между 2 и 3, чтобы получилось число больше 2 и меньше 3?

Ответ. Запятую

81. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он продолжит свой путь с той же скоростью, то придёт в школу за 3 мин до звонка, а если вернётся домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 мин. Какую часть пути он прошёл до того, как вспомнил о ручке?

Ответ. 1/4 пути.

82. Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову:
— У нас в классе тридцать пять человек. И представь, каждый из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками...
— Не может этого быть, — сразу ответил Витя Иванов, победитель математической олимпиады. Почему он так решил?

Ответ. Представим себе, что между каждыми двумя друзьями протянута ниточка. Тогда каждый из 35 учеников будет держать в руке 11 концов ниточек, и значит, всего у протянутых ниточек будет 11 х 35 = 385 концов. Но общее число не может быть нечётным, так как у каждой ниточки 2 конца.

83. Вы вошли в тёмную комнату. В коробке у вас всего одна спичка. В комнате находятся свеча, керосиновая лампа и готовая к растопке печь. Что вы зажжёте в первую очередь?

Ответ. Начать придется со спички.

84. Ира, Наташа, Алёша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алёша — больше, чем Витя. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Ответ. Да. Наташа собрала грибов больше, чем Алёша, а Ира — не меньше, чем Витя.

85. Девять одинаковых воробьев склёвывают меньше, чем 1001 зёрнышко, а десять таких же воробьев склёвывают больше, чем 1100 зёрнышек. По скольку зёрнышек склёвывает каждый воробей?

Ответ. 111 зёрнышек.

86. Обязательно ли среди двадцати пяти «медных» монет (т. е. монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинакового достоинства?

Ответ. Да. Если бы каждого из четырех типов монет было не более 6, то всего монет было бы не более 6x4 = 24, а их 25.

87. В 100-значном числе 12345678901234...7890, вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т.д. Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычёркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

Ответ. 4.

88. Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и перворазрядник Рыжов встретились в клубе перед тренировкой. — Обратите внимание, — заметил черноволосый, — один из нас седой, другой — рыжий, третий — черноволосый. Но ни у одного из нас цвет волос не совпадает с фамилией. Забавно, не правда ли? — Ты прав, — подтвердил мастер спорта. Какого цвета волосы у кандидата в мастера?

Ответ. Седые.

89. Король сказал королеве: «Сейчас мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь. Когда же Вам будет столько лет, сколько мне теперь, нам вместе будет шестьдесят три года». Интересно, сколько лет каждому из них?

Ответ. Королю 28 лет, королеве 21 год.

90. Попытайтесь получить миллиард (1000000000), перемножая два целых сомножителя, в каждом из которых не было бы ни одного нуля.

Ответ. 1 000 000 000 = 512 х 1 953 125.

91. В сказочной стране Перра-Терра среди прочих обитателей проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с шестью Карабасами и девятью Барабасами. Каждый Барабас знаком с десятью Карабасами и семью Барабасами. Кого в этой стране больше — Карабасов или Барабасов?

Ответ. Карабасов больше, чем Барабасов.

92. Докажите, что из трех целых чисел всегда можно найти два, сумма которых делится на два.

Ответ. Из трех чисел как минимум два являются одинаковой четности, значит, их сумма будет делится на 2.

93. Для того чтобы разрезать металлическую балку на две части, нужно уплатить за работу 5 рублей. Сколько будет стоить работа, если балку нужно разрезать на 10 частей?

Ответ. 45 рублей, так как распилов надо сделать 9.

94. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?

Ответ. Из второго предложения ясно, что Аня и Валя не в зеленом платье, Надя — не в зеленом и не в голубом. Из третьего предложения следует, что Валя не в розовом и не в белом платье. Тогда Валя будет в голубом платье, а Галя в зеленом. Используя первое предложение, изобразив девочек по кругу, получим, что Галя будет стоять между Валей и Надей. Тогда Аня в белом, а Надя в розовом платье.
Итак, Валя, Аня и Надя соответственно в голубом, белом и розовом платьях.

95. Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.

Ответ. В сутках 24 часа, поэтому
100 ч. = 4 х 24 ч. + 4 ч. = 4 сут. + 4 ч. Тогда, парусник вернется в пятницу в 16 ч.

96. Если Сережа поедет в школу автобусом, а обратно пойдет пешком, то он затратит на весь путь 1 ч 30 мин. Если же в оба конца он поедет автобусом, то затратит всего 30 мин. Сколько времени потратит Сережа ва дорогу, если он пойдет пешком и в школу и обратно?

Ответ.  30 мин : 2 = 15 мин — Сережа едет в школу автобусом в одну сторону.
1 ч 30 мин — 15 мин = 1 ч 15 мин — Сережа идет пешком в одну сторону.
1 ч 15 мин + 1 ч 15 мин = 2 ч 30 мин - Сережа идет пешком и в школу и обратно.

97. Внучке столько месяцев, сколько лет дедушке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?

Ответ. Внучке 7 лет, дедушке 84 года.

98. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30; а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе?

Ответ. 12 поросят и 18 гусей.

99. Из 9 монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая монета фальшивая?

Ответ. Разделим 9 монет на три кучки по 3 монеты.
Произведем первое взвешивание: положим 2 кучки по 3 монеты иа каждую чашку весов.
Возможны 2 случая:
а) весы находятся в равновесии, тогда на весах находятся настоящие монеты; фальшивая монета находится среди тех монет, которые не взвешивались;
б) равновесия на весах нет, тогда фальшивая монета среди тех монет, где кучка легче.
Определив, таким образом, кучку с фальшивой монетой, выполним с ней второе взвешивание. Возьмем из трех монет любые две и положим их на чашки весов.
Снова возможны 2 случая:
а) весы находятся в равновесии, тогда фальшивая монета оставшаяся;
б) равновесия нет, в этом случае фальшивая монета там, где вес меньше.

100.   Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть — пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

Ответ. В сутках 24 ч, из них Стрекоза спала 24 : 2 = 12 (ч), танцевала 24 : 3 = 8 (ч), пела 24 : 6 = 4 (ч). Всего на эти дела она потратила 12 + 8 + 4 = 24 (ч), поэтому на подготовку к зиме времени у нее не осталось.

101.   К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

          Ответ. Могут быть числа: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150

102.   3 ученика делают 3 самолетика за 3 минуты. Сколько учеников сделают 9 самолетиков за 9 минут?

          Ответ. 3 ученика

103.   Три охотника варили кашу. Один положил 2 кружки крупы, второй 1 кружку, а у третьего крупы на было, Кашу же они съели все поровну. Третий охотнил и говорит: «Спасибо за кашу! — и вот вам задача: "Я даю вам 5 патронов. Как поделить эти патроны в соответствии с вашим вкладом в мою порцию каши?»

          Ответ. Второй охотник съел столько каши, сколько положил крупы, поэтому третий охотник от него ничего не получил. Поэтому все патроны надо отдать первому охотнику.

104.   Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:
- если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим; - первая цифра больше последней в 4 раза.
Сколько лет старику Хоттабычу?

          Ответ. Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя — 2. В результате получаем число 8942.
Старику Хоттабычу 8942 года.

105.   Древнегреческая задача.
— Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, — ответил Пифагор, — половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении и, кроме того, Есть еще три женщины.
Сколько всего учеников посещает школу Пифагора?

         Ответ. Решая уравнение

                        ,

                        получаем, что школу посещают 28 учеников.

106.   Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято еще два сообщения, которые, как установили ученые, оказались оба ложными:
а) А — не третья планета от звезды;
б) Б — вторая планета.
Какими планетами от звезды являются А, Б, В?

          Ответ. Так как второе и третье сообщения ложны, то А является третьей планетой, А Б - не второй, поэтому Б - первая планета от звезды. Тогда В будет второй планетой, на которой живут инопланетяне.

107.   Задача Древнего Востока.
Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» — спросил математик у пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», -отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

          Ответ. 315 голов.

108.   Из сборника "1001 ночь".
Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

          Ответ. Если х — число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий - х/8 яблок и четвертый - х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
Женщина собрала в саду 160 яблок.

109.   Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий - в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый - в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

          Ответ. 4 монеты.

110.   Древнеиндийская задача.
Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Ответ. 15 пчел.

---

Литература

1.    Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа по математике. - Саратов: ОАО "Издательство "Лицей", 2002.

2.    Козлова Е.Г. Сказки и подсказки. Задачи для математического кружка. - М.: МЦНМО, 2008.

3.    Павлов А.Н. Внеклассная работа. Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы. - М.: "Издательство НЦ ЭНАС", 2007.

4.    Спивак А.В. Математический кружок. 6-7 классы. - М.: МЦНМО, 2009.

5.    Фарков А.В. Математические олимпиады. ко всем программам по математике за 5-6 классы. - М.: Издательство "Экзамен", 2009.

6.    Щербакова Ю.В. Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях. 5-8 классы. - М.: "Глобус", 2008.