Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Занятие элективного курса по математике или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Занятие элективного курса по математике или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

библиотека
материалов

Одним из основных целей математического образования является формирование у учащихся умения решать задачи, развитие логики и интуиции. Учебное время, отводимое на изучение математики, можно условно разделить на две части: затрачиваемое на изучение теории и отводимое на применение теории, т.е. на решение задач. И времени на решение задач не хватает. Поэтому учитель вынужден ограничиваться решением одно – двухшаговых задач и на базе решения таких задач не может быть и речи о развитии мышления.

К этому добавляется дефицит времени, при котором не до поиска решения нестандартных задач.

Решению этой проблемы помогает блочно-модульный метод изучения учебного материала.


Данный урок можно проводить на занятии элективного курса по математике для учащихся 11 класса или в рамках изучения темы в рамках темы в 11 классе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

по теме «Метод мажорант»

Продолжительность 2 часа

Урок практикум

ЦЕЛЬ: знакомство с одним из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методом, основанным на свойстве ограниченности функций.

ОБРУДОВАНИЕ: интерактивная доска, теория на раздаточных материалах.

Б6







М1

М2

М3

М4

М5

М6

М6 – нестандартные методы решения уравнений и неравенств







1. Информационный цикл

2. Практический цикл (Самопогружение)

3. Практический цикл (отработка навыков и проверка знаний


I. Информационный цикл.

После повторения и проверки опорных знаний перехожу к изложению новой темы в виде лекции. Так как происходит укрупнение дидактических единиц, то желательно применение опорных конспектов, таблиц, наглядных средств.

II. Практический цикл (самопогружение).

Ставится цель, выделяются опорные задачи, планируется деятельность учителя и ученика. Учащийся работает с текстом, отвечая на контрольные вопросы. На данном уроке идет отработка навыков и умений.

III цикл желательно проведение самостоятельной работы обучающего характера.

Урок -практикум-самопогружение

Теория. (раздаточный материал

Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что либо f(x)hello_html_m7ceebba.gif M для всех hello_html_m4f2840c1.gif, либо f(x)hello_html_m78774d40.gifM для всех hello_html_m4f2840c1.gif.

Для удобства последующего изложения введём вспомогательные понятия ограниченности функции сверху и снизу, которые будут часто использоваться в дальнейшем.

Пусть функция f(x) определена на множестве D. Будем говорить, что она ограничена на этом множестве числом M сверху, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x)hello_html_m7ceebba.gif M.

Аналогично будем говорить, что функция f(x) ограничена на множестве D числом т снизу, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x)hello_html_m78774d40.gif т.

Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, большее или равное 2 является мажорантой для функций hello_html_495b5299.gifна любом множестве.

Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:

Теорема №1.


Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу.

Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе: hello_html_d57349e.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Теорема №2.


Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:hello_html_64b705e7.gif


Теорема №3.


Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)hello_html_6d9a92cf.gif= Аhello_html_m7b2afaae.gif равносильно системе уравнений (при условии, что Аhello_html_mbe7ced9.gifи Вhello_html_mbe7ced9.gif):hello_html_5a1acd90.gif

В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.

Как искать такое число M? Это можно сделать с помощью производной(найти наибольшее и наименьшее значения функций f(x) и g(x)). Но чаще всего производная не понадобится, если хорошо знать множество значений элементарных функций и владеть следующими неравенствами:

  1. hello_html_5e921715.gif, при hello_html_1797b223.gif и hello_html_3bd5fdbb.gif, при hello_html_m17d3aa58.gif, причем равенство достигается только при hello_html_16c40b86.gif

  2. hello_html_m30e29b78.gif ,hello_html_350679a0.gif , причем равенство достигается при hello_html_1f978b05.gif

Рассмотрим несколько примеров нахождения мажорант некоторых функций.


1. Найти множество значений функции:

1) hello_html_15df6c08.gifD(y): hello_html_20d7a667.gif

hello_html_m4e63071b.gif

Т.к. функция hello_html_12cdbcae.gif возрастающая и область её значений hello_html_m6dba46b0.gif, то область значений функции hello_html_15df6c08.gif также hello_html_m6dba46b0.gif. Значит функция не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Ответ:hello_html_m40ac6947.gif.

2) hello_html_1e8c540b.gif

Т.к. hello_html_m4804739.gif, то наименьшее значение функция примет при hello_html_m54487016.gif, а наибольшее при hello_html_m141e7ae3.gif, т.е. hello_html_f76021e.gif. Значит функция имеет верхнюю и нижнюю границу.

Ответ: hello_html_f76021e.gif.

3) 3hello_html_6f225c30.gif

Т.к. hello_html_5c2a1f7.gif и функция возрастающая, то hello_html_m1e58ac10.gif, т.е. hello_html_1732da13.gif. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Ответ: hello_html_1732da13.gif.

4) hello_html_m64d247e4.gif

Т.к. hello_html_m4adb5b6d.gif при всех действительных значениях hello_html_1fe8ed28.gif, то hello_html_55173acc.gif. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

Ответ: hello_html_m2cf9acdc.gif.

5) hello_html_m33438f4a.gif

Множество значений функции hello_html_224a1dd5.gif: hello_html_3c2ec6d.gif, где hello_html_7dee015a.gif - ордината вершины параболы. Найдем hello_html_7dee015a.gif: hello_html_m673dab8.gif; hello_html_m404b338b.gif, тогда hello_html_m99ea71a.gif. Таким образом hello_html_m23197b7c.gif. Учитывая, что функция hello_html_m290e450a.gif является возрастающей, получим hello_html_470eb7b.gif.

Таким образом функция имеет только нижнюю границу.

Ответ: hello_html_400f2f90.gif.



2. Найдите наибольшее значение функции:

1) hello_html_67ba8b1b.gif

hello_html_1deffc79.gif

Функция hello_html_m58666005.gif убывающая. Значит, своё наибольшее значение она принимает при наименьшем значении t, если таковое имеется.

Функция hello_html_m1084ef31.gif, hello_html_m4fe3b674.gif, наименьшее значение этой функции равно -1. Тогда наибольшее значение функции hello_html_m32184bb9.gif равно hello_html_7d8523a6.gif.

Ответ: hello_html_m60473be8.gif.

3.Упростить выражение для hello_html_29c36ad0.gif и найти ее наибольшее значение.

hello_html_7152ca0a.gifОбласть определения данной функции состоит из всех действительных значений hello_html_m537433be.gif. Т.к. hello_html_4f93ec95.gif и квадратный трехчлен hello_html_m341a6a0.gif принимает только положительные значения, т.к. hello_html_m6e1995d4.gif и hello_html_5b521945.gif, то дробь hello_html_63b46f93.gif при всех hello_html_2d5afa8a.gif Значит эта дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя hello_html_3311d812.gif при hello_html_599a2844.gif.

Ясно, что при hello_html_m33a13f3f.gif значение hello_html_m1f5b9121.gif, а это наибольшее значение hello_html_m35357071.gif. Таким образом, наибольшее значение данной функции равно hello_html_3ab43913.gif.


Метод мажорант позволяет решать задачи, которые традиционными преобразованиями и методами не решаются.

УЭ

Учебный элемент с указанием заданий

Учителю

УЭ-2

Цели:

а) составить алгоритм решения уравнения, используя предложенный метод;

б) изучить теоретический материал, на котором основан метод;
в) начните его первичное усвоение.

1. Метод использования свойств функции

Этот метод основан на свойстве ограниченности функции

1. Реши уравнение: 2hello_html_m890e4e6.gif= cosx.


Проверьте правильность решения, используя лист ответов, в случае необходимости откорректируй алгоритм решения.

 Работа в парах, группах и индивидуально. Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя


УЭ-3

Цели:

а) изучить свойства, на которых основан данный метод;

б) составить алгоритм его решения.

1. Решить уравнение: hello_html_7e1e1493.gif

2. Подготовь ответы на вопросы:

а) дать определение, что какие уравнения называются равносильными;

б) почему появляется лишний корень?

в) Проверить правильность решения по листу ответов,

г) Оцените работу: 2 балла – активно участвовал и выдвигал много предложений; 1 балл – собственных предложений не выдвигал, но участвовал в работе; 0 баллов – не участвовал.

Работайте с конспектом, с тетрадями

УЭ-4

Цели:

а) изучить новый материал, на котором основан метод;
б) начать его первичное усвоение;
в) составить алгоритм решения уравнения данным методом.

1. Решить уравнение: sinxcos4x=1.

а) Разберите теорему № 1 в конспекте.

б)Устно составьте алгоритм решения этого уравнения.
б) Обсудите составленный алгоритм, вспомните прием нахождения множества значений функции тригонометрической.

в) Подготовьтесь к защите составленного алгоритма у доски.


Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя



Работа в парах

УЭ-5

Цели:

а) составить алгоритм решения системы уравнений и начать его усвоение;
1 Решить систему уравнений: hello_html_5d264b3f.gif

2. Подготовиться к выступлению о методах решения систем уравнений с двумя переменными.

Проверить правильность решения по листу ответов.

Работайте самостоятельно.



Работайте с конспектами по подготовке к ЕГЭ

УЭ-6

Цели:

а) повторить новый материал, на котором основаны методы;
б) начать их усвоение;
в) составить алгоритмы решения уравнений с помощью предложенных методов.

1. Найти нули функции:hello_html_5f3beca7.gif



Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя

УЭ-7

Цели:

а) закрепить навыки решения иррациональных уравнений; б) развивать умения решать иррациональные уравнения разного вида;
в) составить формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.

Решить уравнение любое на выбор:

hello_html_m1934a07.gif

hello_html_58516f57.gif

hello_html_7e462b23.gif

.

Выставьте дополнительные баллы:

5 б. – все понял и могу объяснить другому;
4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. – для полного понимания надо повторить;
2 б. – я ничего не понял.

Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка Проверьте правильность выполнения по образцу

   


Смотри решение примеров в учебнике и по образцу.

УЭ-9

Обобщение. Задание составьте схему или таблицу методов, приемов решения уравнений методом мажорант =метод (оценки) = решение комбинированных уравнений, основанных на использовании свойств ограниченности функции

Дополнительно

УЭ-10

Цель: выходной контроль

hello_html_45d88268.gif

hello_html_529a7555.gif

Выполнив задание, сдай тетрадь учителю на проверку.

Рефлексия: вернись к цели урока, проанализируй свою деятельность и работу в группе.

Оцени себя, получи оценку товарищей и учителя за урок. Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка 2.



Лист ответов:


Задача 1.

Реши уравнение: 2hello_html_m890e4e6.gif= cosx Очевидно, что нормальными средствами решить это уравнение нельзя, поэтому используем ограниченность правой и левой частей уравнения.

Так как sinhello_html_4fbf37b8.gifxhello_html_m3eac11f8.gif, то левая часть уравнения ограничена снизу числом 1. правая часть также ограничена числом 1, но уже сверху, поэтому исходное уравнение равносильно системе:hello_html_m549d3352.gifhello_html_508be27b.gif


Задача 2.

Решить уравнение: hello_html_7e1e1493.gif

hello_html_m29dd06c0.gif(как сумма положительных взаимообратных чисел).

Тогда hello_html_m138628b1.gif

hello_html_m70e5511c.gif

Значит данное уравнение равносильно системе:hello_html_m27bf0c54.gif

Решим второе уравнение системы:

hello_html_77c9fd88.gif

Проверим, будет ли hello_html_54e8471a.gif решением первого уравнения системы:

hello_html_324acaa2.gifhello_html_7d207e58.gifверно. Значит, hello_html_54e8471a.gif является решением и всей системы.


Задача 3.

Решить уравнение: sinxcos4x=1.


Переведем произведение в сумму:

hello_html_60e174dd.gif






и hello_html_m8980f09.gif значит, их сумма равна 2 только в том случае, когда и тот и другой равны 1. Поэтому это уравнение равносильно системе:hello_html_m6c7f053e.gif

hello_html_m51add823.gifhello_html_53b34384.gifhello_html_m2123012f.gif


Методом подбора находим значения hello_html_m6994a4e1.gif и hello_html_m601acf03.gif, удовлетворяющие уравнению hello_html_6900c7fa.gif:

hello_html_m16ac29b2.gifhello_html_m25de434e.gifзначит,

hello_html_33484928.gif

Значит, решением системы уравнений являетсяhello_html_f3e571.gif


Задача 4.

Решить систему уравнений: hello_html_5d264b3f.gif

Данная система имеет три неизвестных и всего два уравнения. Однако сразу же ясно, что в первом уравнении левая часть hello_html_m78774d40.gif2 взаимообратных положительных величин, а правая частьhello_html_m7ceebba.gif2. поэтому первое уравнение равносильно системе двух уравнений:

hello_html_d2fbc1a.gif

Тем самым необычность данной системы полностью «снята» - мы имеем обыкновенную систему трёх уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. Из двух новых уравнений и второго данного мы получаем:hello_html_2c951b37.gif Поэтому решения данной системы даются формулами: hello_html_fc2dfac.gifhello_html_m34347182.gifhello_html_5919b7cc.gif где hello_html_6ca078fc.gif любые целые числа.


Задача 5. Найти нули функции:


hello_html_5f3beca7.gif

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

hello_html_79a94e55.gif; hello_html_m77be215f.gif

Т.к. hello_html_d397dbf.gif, а hello_html_m1d7f0a66.gif, то уравнение равносильно системе двух уравнений:

hello_html_m40c3673.gif

hello_html_m463a0f86.gif - корни уравнения (1). Проверкой устанавливаем, что корнем уравнения (2) является только hello_html_43fd3019.gif.

Таким образом hello_html_76c06184.gif - единственный нуль функции.

Ответ:hello_html_md417eed.gif.


Задача 6.

Решить уравнение:

hello_html_m1934a07.gif

Преобразуем уравнение:

hello_html_m7ca23ee9.gif

Разделим обе части уравнения на 5:

hello_html_m39ff7360.gif

hello_html_1261326f.gif

Т.к. hello_html_1451312c.gif, как сумма двух взаимно обратных положительных чисел, а hello_html_47c4a19c.gif при всех действительных значениях hello_html_1fe8ed28.gif, то уравнение равносильно системе двух уравнений:

hello_html_m4aee7b5f.gif

hello_html_m1d2a0d6d.gifhello_html_m4a5188c.gif

Проверим, верны ли корни уравнения (1) для уравнения (2).Таким образом:hello_html_3a94bf2c.gif - единственный нуль функции.

Ответ: hello_html_3a94bf2c.gif.


Задача 8



Решить уравнение:

hello_html_78bfcbbb.gif

Решим квадратное уравнение относительно x:

hello_html_m3e2ab8e0.gif. Т.к. hello_html_631a1297.gif, то уравнение будет иметь корни только при условии:

hello_html_31ceb004.gif; hello_html_m494b201e.gif

Получим:

hello_html_55a9d304.gif, тогда:

hello_html_73b60a79.gif или hello_html_m7d779551.gif.


Задача 9.

Решить уравнение:

hello_html_dc59325.gif

Т.к. hello_html_m3e9409f7.gif, а hello_html_76c54c7e.gif, то данное уравнение равносильно системе уравнений:

hello_html_m262d48c4.gif ; hello_html_7880ec15.gif

hello_html_6aa3ac77.gif.

Ответ: hello_html_5072cd37.gif.


Задача10

Решить уравнение:

hello_html_7e462b23.gif

ОДЗ: x>0, y>0.

hello_html_56640351.gif

Тогда hello_html_145ef633.gif , как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит hello_html_m70ddc038.gif и hello_html_m2bd13e49.gif, а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений:

hello_html_789a8f1d.gif

Из этого следует, что

hello_html_m2097fc2f.gif

Ответ: hello_html_3c8517f6.gif.



Задача11.

Решить уравнение:

hello_html_58516f57.gif

hello_html_m50ac0272.gif

Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4:

Оценим правую часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию hello_html_36f5c14f.gif, график функции парабола, ветви вниз, вершина:x0=2 y0=16.

Значит y≤16, следовательно: hello_html_m6e49986.gif

Следовательно данное уравнение равносильно системе:

hello_html_m505368f2.gif

х=2.

Ответ: х=2


Домашнее задание:


Повторить теорию, (дорешать примеры, если не успеем), подыскать в литературе по 2 примера по данной теме.



Задача 15.

Для чисел hello_html_77130856.gif верны равенства hello_html_688ff953.gif Найдите hello_html_m21147015.gif, если известно, что hello_html_m4b20c268.gif, а

hello_html_m2bd97b0b.gif

1.Т.к. hello_html_m4b20c268.gif и hello_html_m558d631.gif то hello_html_57ad6297.gif – корень уравнения hello_html_m6e05565a.gif

hello_html_m36d49e5b.gif hello_html_m2d3907eb.gif hello_html_669fc4af.gif hello_html_m6f66be2b.gif

Т.к. hello_html_m2b845a35.gif и hello_html_m5b27a134.gif то hello_html_305cfb3c.gif

2. Т.к. hello_html_4f8ec125.gif, то hello_html_m5d87258a.gif - корень уравнения hello_html_14f0fc6f.gif

hello_html_m24c7e6d4.gif

Т.к. hello_html_mb40d1fd.gif, значит hello_html_m2e9965ca.gif

3.Число hello_html_mc26b7d1.gif является корнем уравнения hello_html_m3b76b518.gif Так как hello_html_m4f96ed4c.gif то

hello_html_m152a0a1a.gif Значит, hello_html_m356513e5.gif, и, продолжая аналогично, получаем, что

hello_html_68ca9783.gif

Из этого следует, что hello_html_1ff5860d.gif

Ответ: x=1


Задача 16.

  1. Для чисел hello_html_77130856.gif верны равенства hello_html_688ff953.gif Найдите hello_html_m755794e6.gif если известно, что hello_html_m4b20c268.gif, а

hello_html_4548780a.gif

  1. Оценим значение функции hello_html_m2c701489.gif сверху. Если hello_html_37b02a39.gif, то очевидно, что hello_html_2a2aa1d0.gif и тогда hello_html_62ef1e61.gif. Если hello_html_224514b0.gif, то hello_html_3c88b2e8.gif, hello_html_411fcb56.gif и hello_html_58f22ae4.gif, hello_html_m53f3983c.gif (т.к. функция hello_html_m6791c1cc.gif возрастающая). Значит hello_html_66153f42.gif.

  2. Найдем производную данной функции при hello_html_224514b0.gif.

hello_html_m7ccacf72.gif .Очевидно, что hello_html_d68fbe0.gif, при всех hello_html_224514b0.gif. Следовательно на промежутке hello_html_e9269f7.gif функция возрастает и непрерывна.

  1. Т.к. по условию hello_html_m4ef7b783.gif и hello_html_m54db0f79.gif, то hello_html_57ad6297.gif является корнем уравнения hello_html_2b58f35.gif. Возможны два случая:

a) hello_html_1eaca149.gif.

Т.к. в этом случае функция hello_html_m2c701489.gif возрастает, то уравнение имеет не более одного корня. А т.к. hello_html_m4b4783c1.gif и hello_html_m6352db0.gif, то искомый корень находится на промежутке hello_html_7cacb348.gif, т.е. больше 4. Таким образом hello_html_m7da7c4a4.gif. По условию hello_html_7bd72bd.gif. Учитывая, что hello_html_5cbe5253.gif при всех действительных значениях hello_html_1fe8ed28.gif и hello_html_m7da7c4a4.gif, делаем вывод, что уравнение (1) корней не имеет.

б) Если hello_html_f317b4.gif, тогда hello_html_m392c1c89.gif, т.е. hello_html_m51a09a16.gif. Но тогда hello_html_m7e31b3b6.gif, поэтому hello_html_6fd39f89.gif, hello_html_m4d1f8354.gif. Рассуждая аналогично найдем hello_html_m65b916e3.gif и hello_html_m7452411.gif и так далее получим hello_html_62e89779.gif. Значит hello_html_m24b0f016.gif

Ответ: 9.

Задания из УЭ 10 взяты из учебника Алгебра и начала анализа 11 класс под ред С.М. Никольского стр. 306




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 18.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров176
Номер материала ДВ-269302
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх