Инфоурок Алгебра КонспектыЗанятие элективного курса по математике или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Занятие элективного курса по математике для учащихся 11 класса или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Скачать материал

Одним из основных целей математического образования является формирование у учащихся умения решать задачи, развитие логики и интуиции. Учебное время, отводимое на изучение математики, можно условно разделить на две части: затрачиваемое на изучение теории и отводимое на применение теории, т.е. на решение задач. И времени на решение задач не хватает. Поэтому учитель вынужден ограничиваться решением одно – двухшаговых задач и на базе решения таких задач не может быть и речи о развитии мышления.

К этому добавляется дефицит времени, при котором не до поиска решения нестандартных задач.

Решению этой проблемы помогает блочно-модульный метод изучения учебного материала.

 

Данный урок можно проводить на занятии элективного курса по математике для учащихся 11 класса  или в рамках изучения темы в рамках темы в 11 классе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

по теме «Метод мажорант»

Продолжительность   2 часа

Урок практикум

ЦЕЛЬ: знакомство с одним из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методом, основанным на свойстве ограниченности функций.

ОБРУДОВАНИЕ: интерактивная доска, теория на раздаточных материалах.

Б6

 

 

 

 

 

 

М1

М2

М3

М4

М5

М6

М6 – нестандартные методы решения уравнений и неравенств

 

 

 

 

 

 

1. Информационный цикл

2. Практический цикл (Самопогружение)

3. Практический цикл (отработка навыков и проверка знаний

 

I. Информационный цикл.

После повторения и проверки опорных знаний перехожу к изложению новой темы в виде лекции. Так как происходит укрупнение дидактических единиц, то желательно применение опорных конспектов, таблиц, наглядных средств.

II. Практический цикл (самопогружение).

Ставится цель, выделяются опорные задачи, планируется деятельность учителя и ученика. Учащийся работает с текстом, отвечая на контрольные вопросы. На данном уроке идет отработка навыков и умений.

III  цикл  желательно проведение самостоятельной работы обучающего характера.

Урок  -практикум-самопогружение

 

Теория.  (раздаточный материал

Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что либо f(x) M для всех , либо f(x)M для всех .

Для удобства последующего изложения введём вспомогательные понятия ограниченности функции сверху и снизу, которые будут часто использоваться в дальнейшем.

Пусть функция f(x) определена на множестве D. Будем говорить, что она ограничена на этом множестве числом M сверху, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x) M.

Аналогично будем говорить, что функция f(x) ограничена на множестве D числом т снизу, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x) т.

Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, большее или равное 2 является мажорантой для функций на любом множестве.

Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:

Теорема №1.

 

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена  на этом множестве тем же числом А, но снизу.

Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе:

Теорема №2.

 

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:

 

Теорема №3.

 

Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)= А равносильно системе уравнений (при условии, что Аи В):

В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.

Как искать такое число M? Это можно сделать с помощью производной(найти наибольшее и наименьшее значения функций f(x) и g(x)). Но чаще всего производная не понадобится, если хорошо знать множество значений элементарных функций и владеть следующими неравенствами:

1.                 , при  и , при , причем равенство достигается только при

2.                  , , причем равенство достигается при

Рассмотрим несколько примеров нахождения мажорант некоторых функций.

 

1. Найти множество значений функции:

1)  D(y):

Т.к. функция   возрастающая и область её значений , то область значений функции  также . Значит функция не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Ответ:.

2)

Т.к. , то наименьшее значение функция примет при , а наибольшее при , т.е. . Значит функция имеет верхнюю и нижнюю границу.

Ответ: .

      3) 3

Т.к.  и функция возрастающая, то , т.е. . Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Ответ: .

4)

Т.к.  при всех действительных значениях , то . Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

Ответ:  .

5)

Множество значений функции , где  - ордината вершины параболы. Найдем : ; , тогда . Таким образом . Учитывая, что функция  является возрастающей, получим .

Таким образом функция имеет только нижнюю границу.

Ответ: .

 

2. Найдите наибольшее значение функции:

1)

Функция  убывающая. Значит, своё наибольшее значение она принимает при наименьшем значении t, если таковое имеется.

Функция , , наименьшее значение этой функции равно -1. Тогда наибольшее значение функции  равно .

Ответ: .

3.Упростить выражение для  и найти ее наибольшее значение.

Область определения данной функции состоит из всех действительных значений . Т.к.  и квадратный трехчлен  принимает только положительные значения, т.к.  и , то дробь  при всех  Значит эта дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя  при .

Ясно, что при  значение , а это наибольшее значение . Таким образом, наибольшее значение данной функции равно  .

 

Метод мажорант позволяет решать задачи, которые традиционными преобразованиями и методами не решаются.

№ УЭ

Учебный элемент с указанием заданий

Учителю

УЭ-2 

Цели:

а) составить алгоритм решения уравнения, используя предложенный метод;

б) изучить теоретический материал, на котором основан метод;
в) начните его первичное усвоение.

1. Метод использования свойств функции

Этот метод основан на свойстве ограниченности функции

1. Реши уравнение: 2= cosx.

 

Проверьте правильность решения, используя лист ответов, в случае необходимости откорректируй алгоритм решения.

 Работа в парах, группах и индивидуально. Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя

 

УЭ-3

Цели:

а) изучить свойства, на которых основан данный метод;

б) составить алгоритм его решения.

1. Решить уравнение:

2. Подготовь ответы на вопросы:

а) дать определение, что какие уравнения называются равносильными;

б) почему появляется лишний корень?

в) Проверить правильность решения по листу ответов,

г) Оцените работу: 2 балла – активно участвовал и выдвигал много предложений; 1 балл – собственных предложений не выдвигал, но участвовал в работе; 0 баллов – не участвовал.

Работайте с конспектом, с тетрадями

УЭ-4

Цели:

а) изучить новый материал, на котором основан метод;
б) начать его первичное усвоение;
в) составить алгоритм решения уравнения данным методом.

1. Решить уравнение: sinxcos4x=1.

а) Разберите теорему № 1 в конспекте.

б)Устно составьте алгоритм решения этого уравнения.
б) Обсудите составленный алгоритм, вспомните прием нахождения  множества значений функции тригонометрической.

в) Подготовьтесь к защите составленного алгоритма у доски.

 

Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя

 

 

Работа в парах

УЭ-5

Цели:

а) составить алгоритм решения системы уравнений и начать его усвоение;
1
Решить систему уравнений:

2. Подготовиться к выступлению о методах решения систем уравнений с двумя переменными.

Проверить правильность решения по листу ответов.

Работайте самостоятельно.

 

 

Работайте с конспектами по подготовке к ЕГЭ

УЭ-6

Цели:

а) повторить новый материал, на котором основаны методы;
б) начать их усвоение;
в) составить алгоритмы решения уравнений с помощью предложенных методов.

1. Найти нули функции:

 

 

Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя

УЭ-7

Цели:

а) закрепить навыки решения иррациональных уравнений;           б) развивать умения решать иррациональные уравнения  разного вида;
в) составить формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.

Решить уравнение любое на выбор:

.

Выставьте дополнительные баллы:

5 б. – все понял и могу объяснить другому;
4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. – для полного понимания надо повторить;
2 б. – я ничего не понял.

Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка Проверьте правильность выполнения по образцу

   

 

Смотри решение примеров в учебнике и по образцу.

 УЭ-9

Обобщение. Задание составьте схему или таблицу методов, приемов решения уравнений методом мажорант =метод (оценки) = решение комбинированных уравнений, основанных на использовании свойств ограниченности функции

Дополнительно

УЭ-10

Цель: выходной контроль

 

Выполнив задание, сдай тетрадь учителю на проверку.

Рефлексия: вернись к цели урока, проанализируй свою деятельность и работу в группе.

Оцени себя, получи оценку товарищей и учителя за урок. Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка 2.

 

 

Лист ответов:

 

Задача 1.

Реши уравнение: 2= cosx Очевидно, что нормальными средствами решить это уравнение нельзя, поэтому используем ограниченность правой и левой частей уравнения.

Так как sinx, то левая часть уравнения ограничена снизу числом 1. правая часть также ограничена числом 1, но уже сверху, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

 

Задача 2.

Решить уравнение:

(как сумма положительных взаимообратных чисел).

Тогда

Значит данное уравнение равносильно системе:

Решим второе уравнение системы:

Проверим, будет ли  решением первого уравнения системы:

  верно. Значит,  является решением и всей системы.

 

Задача 3.

Решить уравнение: sinxcos4x=1.

 

Переведем произведение в сумму:

 

 

 

 

 

и значит, их сумма равна 2 только в том случае, когда и тот и другой равны 1. Поэтому это уравнение равносильно системе:

                          

 

Методом подбора находим значения  и , удовлетворяющие уравнению :

 значит,

Значит, решением системы уравнений является

 

Задача 4.

Решить систему уравнений:

Данная система имеет три неизвестных и всего два уравнения. Однако сразу же ясно, что в первом уравнении левая часть 2 взаимообратных положительных величин, а правая часть2. поэтому первое уравнение равносильно системе двух уравнений:

Тем самым необычность данной системы полностью «снята» - мы имеем обыкновенную систему трёх уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. Из двух новых уравнений и второго данного мы получаем: Поэтому решения данной системы даются формулами:    где  любые целые числа.

 

Задача 5.    Найти нули функции:

 

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

            ;

Т.к. , а , то уравнение равносильно системе двух уравнений:

           

 - корни уравнения (1). Проверкой устанавливаем, что корнем уравнения  (2) является только .

Таким образом  - единственный нуль функции.

Ответ:.

 

Задача 6.

Решить уравнение:

Преобразуем уравнение:

Разделим обе части уравнения на 5:

 

Т.к. , как сумма двух взаимно обратных положительных чисел, а  при всех действительных значениях , то уравнение равносильно системе двух уравнений:

   

     

Проверим, верны ли корни уравнения (1) для уравнения (2).Таким образом: - единственный нуль функции.

Ответ: .

 

Задача 8

 

Решить уравнение:

Решим квадратное уравнение относительно x:

. Т.к. , то уравнение будет иметь корни только при условии:

 ;

Получим:

, тогда:

 или .

 

Задача 9.

Решить уравнение:

Т.к. , а , то данное уравнение равносильно системе уравнений:

   ;

.

Ответ: .

 

Задача10

Решить уравнение:

ОДЗ: x>0, y>0.

 

Тогда  , как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит  и , а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений:

  

Из этого следует, что

 

Ответ: .

 

 

Задача11.

Решить уравнение:

Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4:

Оценим правую часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию , график функции парабола, ветви вниз, вершина:x0=2 y0=16.

Значит y≤16, следовательно:

Следовательно данное уравнение равносильно системе:

х=2.

Ответ: х=2

 

Домашнее задание:

 

Повторить теорию, (дорешать примеры, если не успеем), подыскать в литературе по 2 примера по данной теме.

 

 

Задача 15.

Для чисел  верны равенства  Найдите , если известно, что , а

 

1.Т.к.  и  то  – корень уравнения

     

Т.к.  и  то

2. Т.к. , то  - корень уравнения

Т.к. , значит

3.Число  является корнем уравнения  Так как  то

 Значит, , и, продолжая аналогично, получаем, что

 

            Из этого следует, что

Ответ: x=1

 

Задача 16.

1)                 Для чисел  верны равенства  Найдите  если известно, что , а

 

1.                 Оценим значение функции  сверху. Если , то очевидно, что  и тогда . Если , то ,  и ,  (т.к. функция  возрастающая). Значит .

2.                 Найдем производную данной функции при .

 .Очевидно, что , при всех . Следовательно на промежутке  функция возрастает и непрерывна.

3.                 Т.к. по условию  и , то  является корнем уравнения . Возможны два случая:

            a) .

            Т.к. в этом случае функция  возрастает, то уравнение имеет не более одного корня. А т.к.  и , то искомый корень находится на промежутке , т.е. больше 4. Таким образом . По условию . Учитывая, что  при всех действительных значениях  и , делаем вывод, что уравнение (1) корней не имеет.

б) Если , тогда , т.е. . Но тогда , поэтому , . Рассуждая аналогично найдем  и  и так далее получим . Значит

Ответ: 9.

Задания из УЭ 10 взяты из учебника Алгебра и начала анализа 11 класс под ред С.М. Никольского стр. 306

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Занятие элективного курса по математике или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Руководитель клубного филиала

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 842 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 18.12.2015 787
    • DOCX 2.6 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Морозова Галина Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Морозова Галина Николаевна
    Морозова Галина Николаевна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 4
    • Всего просмотров: 18249
    • Всего материалов: 11

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

HR-менеджер

Специалист по управлению персоналом (HR- менеджер)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 429 человек из 72 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика. Сложение и вычитание

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1354 человека из 85 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ЕГЭ по математике в условиях реализации ФГОС СОО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 193 человека из 56 регионов

Мини-курс

Маркетплейсы: организационные, правовые и экономические аспекты

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Основы классической механики

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Интегративные технологии в коррекции учебно-поведенческих нарушений

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе