Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Занятие элективного курса по математике или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Занятие элективного курса по математике или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Одним из основных целей математического образования является формирование у учащихся умения решать задачи, развитие логики и интуиции. Учебное время, отводимое на изучение математики, можно условно разделить на две части: затрачиваемое на изучение теории и отводимое на применение теории, т.е. на решение задач. И времени на решение задач не хватает. Поэтому учитель вынужден ограничиваться решением одно – двухшаговых задач и на базе решения таких задач не может быть и речи о развитии мышления.

К этому добавляется дефицит времени, при котором не до поиска решения нестандартных задач.

Решению этой проблемы помогает блочно-модульный метод изучения учебного материала.


Данный урок можно проводить на занятии элективного курса по математике для учащихся 11 класса или в рамках изучения темы в рамках темы в 11 классе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

по теме «Метод мажорант»

Продолжительность 2 часа

Урок практикум

ЦЕЛЬ: знакомство с одним из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методом, основанным на свойстве ограниченности функций.

ОБРУДОВАНИЕ: интерактивная доска, теория на раздаточных материалах.

Б6







М1

М2

М3

М4

М5

М6

М6 – нестандартные методы решения уравнений и неравенств







1. Информационный цикл

2. Практический цикл (Самопогружение)

3. Практический цикл (отработка навыков и проверка знаний


I. Информационный цикл.

После повторения и проверки опорных знаний перехожу к изложению новой темы в виде лекции. Так как происходит укрупнение дидактических единиц, то желательно применение опорных конспектов, таблиц, наглядных средств.

II. Практический цикл (самопогружение).

Ставится цель, выделяются опорные задачи, планируется деятельность учителя и ученика. Учащийся работает с текстом, отвечая на контрольные вопросы. На данном уроке идет отработка навыков и умений.

III цикл желательно проведение самостоятельной работы обучающего характера.

Урок -практикум-самопогружение

Теория. (раздаточный материал

Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что либо f(x)hello_html_m7ceebba.gif M для всех hello_html_m4f2840c1.gif, либо f(x)hello_html_m78774d40.gifM для всех hello_html_m4f2840c1.gif.

Для удобства последующего изложения введём вспомогательные понятия ограниченности функции сверху и снизу, которые будут часто использоваться в дальнейшем.

Пусть функция f(x) определена на множестве D. Будем говорить, что она ограничена на этом множестве числом M сверху, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x)hello_html_m7ceebba.gif M.

Аналогично будем говорить, что функция f(x) ограничена на множестве D числом т снизу, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x)hello_html_m78774d40.gif т.

Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, большее или равное 2 является мажорантой для функций hello_html_495b5299.gifна любом множестве.

Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:

Теорема №1.


Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу.

Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе: hello_html_d57349e.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Теорема №2.


Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:hello_html_64b705e7.gif


Теорема №3.


Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)hello_html_6d9a92cf.gif= Аhello_html_m7b2afaae.gif равносильно системе уравнений (при условии, что Аhello_html_mbe7ced9.gifи Вhello_html_mbe7ced9.gif):hello_html_5a1acd90.gif

В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.

Как искать такое число M? Это можно сделать с помощью производной(найти наибольшее и наименьшее значения функций f(x) и g(x)). Но чаще всего производная не понадобится, если хорошо знать множество значений элементарных функций и владеть следующими неравенствами:

  1. hello_html_5e921715.gif, при hello_html_1797b223.gif и hello_html_3bd5fdbb.gif, при hello_html_m17d3aa58.gif, причем равенство достигается только при hello_html_16c40b86.gif

  2. hello_html_m30e29b78.gif ,hello_html_350679a0.gif , причем равенство достигается при hello_html_1f978b05.gif

Рассмотрим несколько примеров нахождения мажорант некоторых функций.


1. Найти множество значений функции:

1) hello_html_15df6c08.gifD(y): hello_html_20d7a667.gif

hello_html_m4e63071b.gif

Т.к. функция hello_html_12cdbcae.gif возрастающая и область её значений hello_html_m6dba46b0.gif, то область значений функции hello_html_15df6c08.gif также hello_html_m6dba46b0.gif. Значит функция не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Ответ:hello_html_m40ac6947.gif.

2) hello_html_1e8c540b.gif

Т.к. hello_html_m4804739.gif, то наименьшее значение функция примет при hello_html_m54487016.gif, а наибольшее при hello_html_m141e7ae3.gif, т.е. hello_html_f76021e.gif. Значит функция имеет верхнюю и нижнюю границу.

Ответ: hello_html_f76021e.gif.

3) 3hello_html_6f225c30.gif

Т.к. hello_html_5c2a1f7.gif и функция возрастающая, то hello_html_m1e58ac10.gif, т.е. hello_html_1732da13.gif. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Ответ: hello_html_1732da13.gif.

4) hello_html_m64d247e4.gif

Т.к. hello_html_m4adb5b6d.gif при всех действительных значениях hello_html_1fe8ed28.gif, то hello_html_55173acc.gif. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

Ответ: hello_html_m2cf9acdc.gif.

5) hello_html_m33438f4a.gif

Множество значений функции hello_html_224a1dd5.gif: hello_html_3c2ec6d.gif, где hello_html_7dee015a.gif - ордината вершины параболы. Найдем hello_html_7dee015a.gif: hello_html_m673dab8.gif; hello_html_m404b338b.gif, тогда hello_html_m99ea71a.gif. Таким образом hello_html_m23197b7c.gif. Учитывая, что функция hello_html_m290e450a.gif является возрастающей, получим hello_html_470eb7b.gif.

Таким образом функция имеет только нижнюю границу.

Ответ: hello_html_400f2f90.gif.



2. Найдите наибольшее значение функции:

1) hello_html_67ba8b1b.gif

hello_html_1deffc79.gif

Функция hello_html_m58666005.gif убывающая. Значит, своё наибольшее значение она принимает при наименьшем значении t, если таковое имеется.

Функция hello_html_m1084ef31.gif, hello_html_m4fe3b674.gif, наименьшее значение этой функции равно -1. Тогда наибольшее значение функции hello_html_m32184bb9.gif равно hello_html_7d8523a6.gif.

Ответ: hello_html_m60473be8.gif.

3.Упростить выражение для hello_html_29c36ad0.gif и найти ее наибольшее значение.

hello_html_7152ca0a.gifОбласть определения данной функции состоит из всех действительных значений hello_html_m537433be.gif. Т.к. hello_html_4f93ec95.gif и квадратный трехчлен hello_html_m341a6a0.gif принимает только положительные значения, т.к. hello_html_m6e1995d4.gif и hello_html_5b521945.gif, то дробь hello_html_63b46f93.gif при всех hello_html_2d5afa8a.gif Значит эта дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя hello_html_3311d812.gif при hello_html_599a2844.gif.

Ясно, что при hello_html_m33a13f3f.gif значение hello_html_m1f5b9121.gif, а это наибольшее значение hello_html_m35357071.gif. Таким образом, наибольшее значение данной функции равно hello_html_3ab43913.gif.


Метод мажорант позволяет решать задачи, которые традиционными преобразованиями и методами не решаются.

УЭ

Учебный элемент с указанием заданий

Учителю

УЭ-2

Цели:

а) составить алгоритм решения уравнения, используя предложенный метод;

б) изучить теоретический материал, на котором основан метод;
в) начните его первичное усвоение.

1. Метод использования свойств функции

Этот метод основан на свойстве ограниченности функции

1. Реши уравнение: 2hello_html_m890e4e6.gif= cosx.


Проверьте правильность решения, используя лист ответов, в случае необходимости откорректируй алгоритм решения.

 Работа в парах, группах и индивидуально. Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя


УЭ-3

Цели:

а) изучить свойства, на которых основан данный метод;

б) составить алгоритм его решения.

1. Решить уравнение: hello_html_7e1e1493.gif

2. Подготовь ответы на вопросы:

а) дать определение, что какие уравнения называются равносильными;

б) почему появляется лишний корень?

в) Проверить правильность решения по листу ответов,

г) Оцените работу: 2 балла – активно участвовал и выдвигал много предложений; 1 балл – собственных предложений не выдвигал, но участвовал в работе; 0 баллов – не участвовал.

Работайте с конспектом, с тетрадями

УЭ-4

Цели:

а) изучить новый материал, на котором основан метод;
б) начать его первичное усвоение;
в) составить алгоритм решения уравнения данным методом.

1. Решить уравнение: sinxcos4x=1.

а) Разберите теорему № 1 в конспекте.

б)Устно составьте алгоритм решения этого уравнения.
б) Обсудите составленный алгоритм, вспомните прием нахождения множества значений функции тригонометрической.

в) Подготовьтесь к защите составленного алгоритма у доски.


Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя



Работа в парах

УЭ-5

Цели:

а) составить алгоритм решения системы уравнений и начать его усвоение;
1 Решить систему уравнений: hello_html_5d264b3f.gif

2. Подготовиться к выступлению о методах решения систем уравнений с двумя переменными.

Проверить правильность решения по листу ответов.

Работайте самостоятельно.



Работайте с конспектами по подготовке к ЕГЭ

УЭ-6

Цели:

а) повторить новый материал, на котором основаны методы;
б) начать их усвоение;
в) составить алгоритмы решения уравнений с помощью предложенных методов.

1. Найти нули функции:hello_html_5f3beca7.gif



Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя

УЭ-7

Цели:

а) закрепить навыки решения иррациональных уравнений; б) развивать умения решать иррациональные уравнения разного вида;
в) составить формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.

Решить уравнение любое на выбор:

hello_html_m1934a07.gif

hello_html_58516f57.gif

hello_html_7e462b23.gif

.

Выставьте дополнительные баллы:

5 б. – все понял и могу объяснить другому;
4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. – для полного понимания надо повторить;
2 б. – я ничего не понял.

Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка Проверьте правильность выполнения по образцу

   


Смотри решение примеров в учебнике и по образцу.

УЭ-9

Обобщение. Задание составьте схему или таблицу методов, приемов решения уравнений методом мажорант =метод (оценки) = решение комбинированных уравнений, основанных на использовании свойств ограниченности функции

Дополнительно

УЭ-10

Цель: выходной контроль

hello_html_45d88268.gif

hello_html_529a7555.gif

Выполнив задание, сдай тетрадь учителю на проверку.

Рефлексия: вернись к цели урока, проанализируй свою деятельность и работу в группе.

Оцени себя, получи оценку товарищей и учителя за урок. Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка 2.



Лист ответов:


Задача 1.

Реши уравнение: 2hello_html_m890e4e6.gif= cosx Очевидно, что нормальными средствами решить это уравнение нельзя, поэтому используем ограниченность правой и левой частей уравнения.

Так как sinhello_html_4fbf37b8.gifxhello_html_m3eac11f8.gif, то левая часть уравнения ограничена снизу числом 1. правая часть также ограничена числом 1, но уже сверху, поэтому исходное уравнение равносильно системе:hello_html_m549d3352.gifhello_html_508be27b.gif


Задача 2.

Решить уравнение: hello_html_7e1e1493.gif

hello_html_m29dd06c0.gif(как сумма положительных взаимообратных чисел).

Тогда hello_html_m138628b1.gif

hello_html_m70e5511c.gif

Значит данное уравнение равносильно системе:hello_html_m27bf0c54.gif

Решим второе уравнение системы:

hello_html_77c9fd88.gif

Проверим, будет ли hello_html_54e8471a.gif решением первого уравнения системы:

hello_html_324acaa2.gifhello_html_7d207e58.gifверно. Значит, hello_html_54e8471a.gif является решением и всей системы.


Задача 3.

Решить уравнение: sinxcos4x=1.


Переведем произведение в сумму:

hello_html_60e174dd.gif






и hello_html_m8980f09.gif значит, их сумма равна 2 только в том случае, когда и тот и другой равны 1. Поэтому это уравнение равносильно системе:hello_html_m6c7f053e.gif

hello_html_m51add823.gifhello_html_53b34384.gifhello_html_m2123012f.gif


Методом подбора находим значения hello_html_m6994a4e1.gif и hello_html_m601acf03.gif, удовлетворяющие уравнению hello_html_6900c7fa.gif:

hello_html_m16ac29b2.gifhello_html_m25de434e.gifзначит,

hello_html_33484928.gif

Значит, решением системы уравнений являетсяhello_html_f3e571.gif


Задача 4.

Решить систему уравнений: hello_html_5d264b3f.gif

Данная система имеет три неизвестных и всего два уравнения. Однако сразу же ясно, что в первом уравнении левая часть hello_html_m78774d40.gif2 взаимообратных положительных величин, а правая частьhello_html_m7ceebba.gif2. поэтому первое уравнение равносильно системе двух уравнений:

hello_html_d2fbc1a.gif

Тем самым необычность данной системы полностью «снята» - мы имеем обыкновенную систему трёх уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. Из двух новых уравнений и второго данного мы получаем:hello_html_2c951b37.gif Поэтому решения данной системы даются формулами: hello_html_fc2dfac.gifhello_html_m34347182.gifhello_html_5919b7cc.gif где hello_html_6ca078fc.gif любые целые числа.


Задача 5. Найти нули функции:


hello_html_5f3beca7.gif

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

hello_html_79a94e55.gif; hello_html_m77be215f.gif

Т.к. hello_html_d397dbf.gif, а hello_html_m1d7f0a66.gif, то уравнение равносильно системе двух уравнений:

hello_html_m40c3673.gif

hello_html_m463a0f86.gif - корни уравнения (1). Проверкой устанавливаем, что корнем уравнения (2) является только hello_html_43fd3019.gif.

Таким образом hello_html_76c06184.gif - единственный нуль функции.

Ответ:hello_html_md417eed.gif.


Задача 6.

Решить уравнение:

hello_html_m1934a07.gif

Преобразуем уравнение:

hello_html_m7ca23ee9.gif

Разделим обе части уравнения на 5:

hello_html_m39ff7360.gif

hello_html_1261326f.gif

Т.к. hello_html_1451312c.gif, как сумма двух взаимно обратных положительных чисел, а hello_html_47c4a19c.gif при всех действительных значениях hello_html_1fe8ed28.gif, то уравнение равносильно системе двух уравнений:

hello_html_m4aee7b5f.gif

hello_html_m1d2a0d6d.gifhello_html_m4a5188c.gif

Проверим, верны ли корни уравнения (1) для уравнения (2).Таким образом:hello_html_3a94bf2c.gif - единственный нуль функции.

Ответ: hello_html_3a94bf2c.gif.


Задача 8



Решить уравнение:

hello_html_78bfcbbb.gif

Решим квадратное уравнение относительно x:

hello_html_m3e2ab8e0.gif. Т.к. hello_html_631a1297.gif, то уравнение будет иметь корни только при условии:

hello_html_31ceb004.gif; hello_html_m494b201e.gif

Получим:

hello_html_55a9d304.gif, тогда:

hello_html_73b60a79.gif или hello_html_m7d779551.gif.


Задача 9.

Решить уравнение:

hello_html_dc59325.gif

Т.к. hello_html_m3e9409f7.gif, а hello_html_76c54c7e.gif, то данное уравнение равносильно системе уравнений:

hello_html_m262d48c4.gif ; hello_html_7880ec15.gif

hello_html_6aa3ac77.gif.

Ответ: hello_html_5072cd37.gif.


Задача10

Решить уравнение:

hello_html_7e462b23.gif

ОДЗ: x>0, y>0.

hello_html_56640351.gif

Тогда hello_html_145ef633.gif , как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит hello_html_m70ddc038.gif и hello_html_m2bd13e49.gif, а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений:

hello_html_789a8f1d.gif

Из этого следует, что

hello_html_m2097fc2f.gif

Ответ: hello_html_3c8517f6.gif.



Задача11.

Решить уравнение:

hello_html_58516f57.gif

hello_html_m50ac0272.gif

Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4:

Оценим правую часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию hello_html_36f5c14f.gif, график функции парабола, ветви вниз, вершина:x0=2 y0=16.

Значит y≤16, следовательно: hello_html_m6e49986.gif

Следовательно данное уравнение равносильно системе:

hello_html_m505368f2.gif

х=2.

Ответ: х=2


Домашнее задание:


Повторить теорию, (дорешать примеры, если не успеем), подыскать в литературе по 2 примера по данной теме.



Задача 15.

Для чисел hello_html_77130856.gif верны равенства hello_html_688ff953.gif Найдите hello_html_m21147015.gif, если известно, что hello_html_m4b20c268.gif, а

hello_html_m2bd97b0b.gif

1.Т.к. hello_html_m4b20c268.gif и hello_html_m558d631.gif то hello_html_57ad6297.gif – корень уравнения hello_html_m6e05565a.gif

hello_html_m36d49e5b.gif hello_html_m2d3907eb.gif hello_html_669fc4af.gif hello_html_m6f66be2b.gif

Т.к. hello_html_m2b845a35.gif и hello_html_m5b27a134.gif то hello_html_305cfb3c.gif

2. Т.к. hello_html_4f8ec125.gif, то hello_html_m5d87258a.gif - корень уравнения hello_html_14f0fc6f.gif

hello_html_m24c7e6d4.gif

Т.к. hello_html_mb40d1fd.gif, значит hello_html_m2e9965ca.gif

3.Число hello_html_mc26b7d1.gif является корнем уравнения hello_html_m3b76b518.gif Так как hello_html_m4f96ed4c.gif то

hello_html_m152a0a1a.gif Значит, hello_html_m356513e5.gif, и, продолжая аналогично, получаем, что

hello_html_68ca9783.gif

Из этого следует, что hello_html_1ff5860d.gif

Ответ: x=1


Задача 16.

  1. Для чисел hello_html_77130856.gif верны равенства hello_html_688ff953.gif Найдите hello_html_m755794e6.gif если известно, что hello_html_m4b20c268.gif, а

hello_html_4548780a.gif

  1. Оценим значение функции hello_html_m2c701489.gif сверху. Если hello_html_37b02a39.gif, то очевидно, что hello_html_2a2aa1d0.gif и тогда hello_html_62ef1e61.gif. Если hello_html_224514b0.gif, то hello_html_3c88b2e8.gif, hello_html_411fcb56.gif и hello_html_58f22ae4.gif, hello_html_m53f3983c.gif (т.к. функция hello_html_m6791c1cc.gif возрастающая). Значит hello_html_66153f42.gif.

  2. Найдем производную данной функции при hello_html_224514b0.gif.

hello_html_m7ccacf72.gif .Очевидно, что hello_html_d68fbe0.gif, при всех hello_html_224514b0.gif. Следовательно на промежутке hello_html_e9269f7.gif функция возрастает и непрерывна.

  1. Т.к. по условию hello_html_m4ef7b783.gif и hello_html_m54db0f79.gif, то hello_html_57ad6297.gif является корнем уравнения hello_html_2b58f35.gif. Возможны два случая:

a) hello_html_1eaca149.gif.

Т.к. в этом случае функция hello_html_m2c701489.gif возрастает, то уравнение имеет не более одного корня. А т.к. hello_html_m4b4783c1.gif и hello_html_m6352db0.gif, то искомый корень находится на промежутке hello_html_7cacb348.gif, т.е. больше 4. Таким образом hello_html_m7da7c4a4.gif. По условию hello_html_7bd72bd.gif. Учитывая, что hello_html_5cbe5253.gif при всех действительных значениях hello_html_1fe8ed28.gif и hello_html_m7da7c4a4.gif, делаем вывод, что уравнение (1) корней не имеет.

б) Если hello_html_f317b4.gif, тогда hello_html_m392c1c89.gif, т.е. hello_html_m51a09a16.gif. Но тогда hello_html_m7e31b3b6.gif, поэтому hello_html_6fd39f89.gif, hello_html_m4d1f8354.gif. Рассуждая аналогично найдем hello_html_m65b916e3.gif и hello_html_m7452411.gif и так далее получим hello_html_62e89779.gif. Значит hello_html_m24b0f016.gif

Ответ: 9.

Задания из УЭ 10 взяты из учебника Алгебра и начала анализа 11 класс под ред С.М. Никольского стр. 306



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 18.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров116
Номер материала ДВ-269302
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх