Одним из основных целей математического
образования является формирование у учащихся умения решать задачи, развитие
логики и интуиции. Учебное время, отводимое на изучение математики, можно
условно разделить на две части: затрачиваемое на изучение теории и отводимое на
применение теории, т.е. на решение задач. И времени на решение задач не
хватает. Поэтому учитель вынужден ограничиваться решением одно – двухшаговых
задач и на базе решения таких задач не может быть и речи о развитии мышления.
К этому добавляется дефицит времени, при
котором не до поиска решения нестандартных задач.
Решению этой проблемы помогает
блочно-модульный метод изучения учебного материала.
Данный урок можно
проводить на занятии элективного курса по математике для учащихся 11 класса или
в рамках изучения темы в рамках темы в 11 классе «Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств»
по теме «Метод мажорант»
Продолжительность
2 часа
Урок практикум
ЦЕЛЬ: знакомство с
одним из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методом,
основанным на свойстве ограниченности функций.
ОБРУДОВАНИЕ:
интерактивная доска, теория на раздаточных материалах.
Б6
|
|
|
|
|
|
|
М1
|
М2
|
М3
|
М4
|
М5
|
М6
|
М6 –
нестандартные методы решения уравнений и неравенств
|
|
|
|
|
|
|
1.
Информационный цикл
|
2.
Практический цикл (Самопогружение)
|
3.
Практический цикл (отработка навыков и проверка знаний
|
I. Информационный цикл.
После повторения и проверки опорных знаний перехожу к
изложению новой темы в виде лекции. Так как происходит укрупнение дидактических
единиц, то желательно применение опорных конспектов, таблиц, наглядных средств.
II. Практический цикл (самопогружение).
Ставится цель, выделяются опорные задачи, планируется
деятельность учителя и ученика. Учащийся работает с текстом, отвечая на
контрольные вопросы. На данном уроке идет отработка навыков и умений.
III
цикл желательно проведение самостоятельной работы обучающего характера.
Урок
-практикум-самопогружение
Теория. (раздаточный материал
Мажорантой
данной функции f(x) на
множестве D называется такое число M,
что либо f(x) M для всех ,
либо f(x)M для всех .
Для
удобства последующего изложения введём вспомогательные понятия ограниченности
функции сверху и снизу, которые будут часто использоваться в дальнейшем.
Пусть
функция f(x) определена
на множестве D. Будем говорить, что она ограничена
на этом множестве числом M сверху, если для любого числа х из
множества D выполняется неравенство f(x) M.
Аналогично
будем говорить, что функция f(x) ограничена на множестве D числом т снизу,
если для любого числа х из множества D
выполняется неравенство f(x) т.
Мы
знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, большее или
равное 2 является мажорантой для функций на
любом множестве.
Основная
идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:
Теорема №1.
Пусть
f(x) и g(x) – некоторые
функции, определённые на множестве D. Пусть f(x)
ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу.
Тогда
уравнение f(x) = g(x)
равносильно системе:
Теорема №2.
Пусть
f(x) и g(x) – некоторые
функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x)
ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В
соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:
Теорема №3.
Пусть
f(x) и g(x) – некоторые
неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x)
ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно.
Тогда уравнение f(x)= А равносильно системе уравнений (при
условии, что Аи В):
В
этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x)
и g(x), а также условие положительности А
и В.
Как
искать такое число M? Это можно сделать с помощью производной(найти
наибольшее и наименьшее значения функций f(x) и g(x)). Но чаще всего производная
не понадобится, если хорошо знать множество значений элементарных функций и
владеть следующими неравенствами:
1.
, при и , при , причем равенство достигается только при
2.
, , причем равенство достигается при
Рассмотрим
несколько примеров нахождения мажорант некоторых функций.
1.
Найти множество значений функции:
1) D(y):
Т.к. функция возрастающая и область
её значений , то область значений
функции также . Значит функция не
ограничена сверху и не ограничена снизу.
Ответ:.
2)
Т.к. , то наименьшее значение
функция примет при , а наибольшее при , т.е. . Значит функция имеет
верхнюю и нижнюю границу.
Ответ: .
3)
3
Т.к. и функция возрастающая,
то , т.е. . Функция ограничена
сверху и не ограничена снизу.
Ответ: .
4)
Т.к. при всех действительных
значениях , то . Функция ограничена
снизу и не ограничена сверху.
Ответ:
.
5)
Множество значений функции : , где - ордината вершины
параболы. Найдем : ; , тогда . Таким образом . Учитывая, что функция является возрастающей,
получим .
Таким
образом функция имеет только нижнюю границу.
Ответ:
.
2.
Найдите наибольшее значение функции:
1)
Функция убывающая. Значит, своё
наибольшее значение она принимает при наименьшем значении t,
если таковое имеется.
Функция , , наименьшее значение
этой функции равно -1. Тогда наибольшее значение функции равно .
Ответ: .
3.Упростить выражение для и найти ее наибольшее
значение.
Область определения данной
функции состоит из всех действительных значений . Т.к. и квадратный
трехчлен принимает только
положительные значения, т.к. и , то дробь при всех Значит эта дробь
принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя при .
Ясно,
что при значение , а это наибольшее
значение . Таким образом,
наибольшее значение данной функции равно .
Метод
мажорант позволяет решать задачи, которые традиционными преобразованиями и
методами не решаются.
№ УЭ
|
Учебный
элемент с указанием заданий
|
Учителю
|
УЭ-2
|
Цели:
а) составить алгоритм решения уравнения, используя
предложенный метод;
б) изучить теоретический материал, на
котором основан метод;
в) начните его первичное усвоение.
1. Метод использования свойств функции
Этот метод основан на свойстве
ограниченности функции
1. Реши уравнение: 2=
cosx.
Проверьте правильность решения, используя
лист ответов, в случае необходимости откорректируй алгоритм решения.
|
Работа в парах, группах и индивидуально.
Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу
ответов» у учителя
|
УЭ-3
|
Цели:
а) изучить свойства,
на которых основан данный метод;
б) составить алгоритм его решения.
1. Решить
уравнение:
2. Подготовь ответы на вопросы:
а) дать определение, что какие уравнения
называются равносильными;
б) почему появляется лишний корень?
в) Проверить правильность решения по листу
ответов,
г) Оцените работу: 2 балла – активно
участвовал и выдвигал много предложений; 1 балл – собственных предложений не
выдвигал, но участвовал в работе; 0 баллов – не участвовал.
|
Работайте с конспектом, с тетрадями
|
УЭ-4
|
Цели:
а) изучить новый
материал, на котором основан метод;
б) начать его первичное усвоение;
в) составить алгоритм решения уравнения данным методом.
1. Решить
уравнение: sinxcos4x=1.
а) Разберите теорему № 1
в конспекте.
б)Устно составьте алгоритм
решения этого уравнения.
б) Обсудите составленный алгоритм, вспомните прием нахождения множества
значений функции тригонометрической.
в) Подготовьтесь к
защите составленного алгоритма у доски.
|
Задание выполняете в тетради, а ход решения
и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя
Работа в парах
|
УЭ-5
|
Цели:
а) составить
алгоритм решения системы уравнений и начать его усвоение;
1 Решить систему уравнений:
2. Подготовиться к выступлению о
методах решения систем уравнений с двумя переменными.
Проверить правильность решения по листу
ответов.
|
Работайте самостоятельно.
Работайте с конспектами по подготовке к ЕГЭ
|
УЭ-6
|
Цели:
а) повторить новый материал, на котором
основаны методы;
б) начать их усвоение;
в) составить алгоритмы решения уравнений с помощью предложенных методов.
1. Найти нули функции:
|
Задание выполняете в тетради, а ход решения
и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя
|
УЭ-7
|
Цели:
а) закрепить навыки решения
иррациональных уравнений; б) развивать умения решать иррациональные
уравнения разного вида;
в) составить формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.
Решить
уравнение любое на выбор:
.
Выставьте дополнительные баллы:
5 б. – все понял и могу объяснить другому;
4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. – для полного понимания надо повторить;
2 б. – я ничего не понял.
Подсчитайте общее количество баллов. Кто
набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка
3, меньше 9 баллов оценка Проверьте правильность выполнения по образцу
|
Смотри решение примеров в учебнике и по образцу.
|
УЭ-9
|
Обобщение. Задание составьте схему или
таблицу методов, приемов решения уравнений методом мажорант =метод (оценки) =
решение комбинированных уравнений, основанных на использовании свойств
ограниченности функции
|
Дополнительно
|
УЭ-10
|
Цель: выходной контроль
Выполнив задание, сдай тетрадь учителю на
проверку.
Рефлексия: вернись к цели урока,
проанализируй свою деятельность и работу в группе.
Оцени себя, получи оценку товарищей и
учителя за урок. Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов
и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов
оценка 2.
|
|
Лист ответов:
Задача
1.
Реши уравнение: 2= cosx Очевидно, что нормальными средствами решить это уравнение нельзя,
поэтому используем ограниченность правой и левой частей уравнения.
Так
как sinx, то левая часть уравнения ограничена снизу числом 1. правая часть
также ограничена числом 1, но уже сверху, поэтому исходное уравнение
равносильно системе:
Задача
2.
Решить уравнение:
(как сумма положительных
взаимообратных чисел).
Тогда
Значит
данное уравнение равносильно системе:
Решим
второе уравнение системы:
Проверим,
будет ли решением первого уравнения системы:
верно.
Значит, является решением и всей системы.
Задача 3.
Решить уравнение: sinxcos4x=1.
Переведем
произведение в сумму:
и значит, их сумма равна 2 только в том
случае, когда и тот и другой равны 1. Поэтому это уравнение равносильно
системе:
Методом
подбора находим значения и , удовлетворяющие уравнению :
значит,
Значит,
решением системы уравнений является
Задача 4.
Решить систему уравнений:
Данная система имеет три неизвестных и всего
два уравнения. Однако сразу же ясно, что в первом уравнении левая часть 2 взаимообратных положительных величин, а
правая часть2. поэтому первое уравнение равносильно
системе двух уравнений:
Тем
самым необычность данной системы полностью «снята» - мы имеем обыкновенную
систему трёх уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. Из
двух новых уравнений и второго данного мы получаем: Поэтому
решения данной системы даются формулами: где любые целые числа.
Задача 5.
Найти нули функции:
Для нахождения
нулей функции решим уравнение:
;
Т.к. , а , то уравнение
равносильно системе двух уравнений:
- корни уравнения
(1). Проверкой устанавливаем, что корнем уравнения (2) является только .
Таким образом - единственный нуль
функции.
Ответ:.
Задача 6.
Преобразуем
уравнение:
Разделим обе части
уравнения на 5:
Т.к.
, как сумма двух
взаимно обратных положительных чисел, а при всех
действительных значениях , то уравнение
равносильно системе двух уравнений:
Проверим, верны ли
корни уравнения (1) для уравнения (2).Таким образом: - единственный нуль
функции.
Ответ: .
Задача 8
Решить уравнение:
Решим квадратное
уравнение относительно x:
. Т.к. , то уравнение будет
иметь корни только при условии:
;
Получим:
, тогда:
или .
Задача
9.
Решить уравнение:
Т.к.
, а , то данное уравнение
равносильно системе уравнений:
;
.
Ответ:
.
Задача10
Решить уравнение:
ОДЗ: x>0,
y>0.
Тогда
, как суммы двух
положительных взаимно обратных чисел. Значит и , а их сумма равна 4,
когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе
двух уравнений:
Из этого следует,
что
Ответ: .
Задача11.
Решить уравнение:
Так
как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая
часть больше либо равна 4:
Оценим
правую часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию , график функции
парабола, ветви вниз, вершина:x0=2 y0=16.
Значит y≤16, следовательно:
Следовательно
данное уравнение равносильно системе:
х=2.
Ответ:
х=2
Домашнее
задание:
Повторить
теорию, (дорешать примеры, если не успеем), подыскать в литературе по 2 примера
по данной теме.
Задача
15.
Для чисел верны равенства Найдите , если известно,
что , а
1.Т.к.
и то – корень уравнения
Т.к.
и то
2.
Т.к. , то - корень уравнения
Т.к.
, значит
3.Число
является корнем
уравнения Так как то
Значит, , и, продолжая
аналогично, получаем, что
Из
этого следует, что
Ответ:
x=1
Задача
16.
1)
Для чисел верны равенства Найдите если известно,
что , а
1.
Оценим значение функции сверху. Если , то очевидно, что и тогда . Если , то , и , (т.к. функция возрастающая). Значит .
2.
Найдем производную данной функции при .
.Очевидно, что , при всех . Следовательно на
промежутке функция возрастает и
непрерывна.
3.
Т.к. по условию и , то является корнем
уравнения . Возможны два случая:
a)
.
Т.к.
в этом случае функция возрастает, то уравнение
имеет не более одного корня. А т.к. и , то искомый корень
находится на промежутке , т.е. больше 4. Таким
образом . По условию . Учитывая, что при всех действительных
значениях и , делаем вывод, что
уравнение (1) корней не имеет.
б) Если , тогда , т.е. . Но тогда , поэтому , . Рассуждая аналогично
найдем и и так далее получим . Значит
Ответ: 9.
Задания из УЭ 10 взяты из учебника Алгебра и
начала анализа 11 класс под ред С.М. Никольского стр. 306
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.