Занятие элективного курса в 9 классе по теме «Признаки делимости»

Занятие элективного курса в 9 классе по теме «Признаки делимости»

Автушенко Е.И., учитель математики МБОУ СОШ № 5 г. Биробиджана

Цели:

Образовательные: Создать условия для восприятия, осмысления и понимания признаков делимости.

·Способствовать «открытию» признаков делимости на 7, 11, 13.

Развивающие:

·Развивать логическую компетенцию учащихся посредством формирования приемов умственных действий (сравнение, обобщение, анализ, абстрагирование).

Воспитательные:

·Воспитывать культуру труда, математической речи, культуру общения.

Оборудование:

Интерактивная доска, компьютерная презентация, карточки с заданиями, карточки-памятки.

Ход занятия:

1.                 Орг. Момент.

Сегодня мы проводим очередное занятие элективного курса «Вычислительные приемы в математике». Само название курса определяет, что речь на занятиях идет о числах, вычислениях, способах и приемах, упрощающих эти вычисления. Поэтому начнем занятие со знакомства с проектом «Удивительный мир чисел»

2.                 Мотивационно-целевой этап:

 а) Презентация проекта «Удивительный мир чисел»

 б) Актуализация необходимых знаний:

Я думаю, что полезно вспомнить то, что вы уже знали о мире чисел и открыть для себя что-то новое, сегодня мы продолжим путешествие по этому удивительному миру чисел. На прошлом занятии мы говорили о свойствах делимости.

1.                     Не вычисляя значение выражения установите делится ли оно на данное число:

а) 308*12 на 3                 в) 270*39 на 3 и на 13

б)45*27*49 на 15            г) 4500+25 на 5

2.        Объясните, почему выражение не делится на 5:

а) 250 +13;             б) 49-35;              в) 5х-78.

в) постановка целей и задач урока:

Ребята, а что еще помимо свойств делимости помогает ответить на вопрос: делятся ли данные натуральные числа? (признаки делимости). Тогда давайте запишем тему нашего занятия «Признаки делимости» и определим задачи.

(1.              Повторить известные признаки делимости.)

(2.              Открыть для себя новые признаки делимости).

А девизом нашего занятия станут слова:

“Искра знания возгорается в том, кто достигает понимания собственными силами”. Индийский математик XII века Бхаскара.

3.                 Исследовательская работа (работа в группах)

Решением этих поставленных задач мы сейчас займемся. Возьмите лист №1 и выполните указанные задания и через 3 минуты дайте ответы на поставленные вопросы.

Группа 1

Среди указанных чисел найдите те, которые делятся на 2, на 4, на 6.

Сформулируйте признаки делимости на 2, на 4, на 6.

4986,  10008,  332,  1005639,  101010,  25790.

 Ответ: кратны 2 – 4986, 10008, 332, 101010, 25790; кратны 4 – 10008, 332; кратны 6 – 4986, 10008,101010.

Группа 2

Среди указанных чисел найдите те, которые делятся на 3, на 8, на 10.

Сформулируйте признаки делимости на 3, на 8, на 10.

4208,  201102,  457000,  3060,  4521901, 111000.

Ответ: кратны 3 – 201102, 3060, 111000; кратны 8 – 4208, 457000, 111000; кратны 10 – 457000, 3060,111000.

Группа 3

Среди указанных чисел найдите те, которые делятся на 5, на 9, на 100.

Сформулируйте признаки делимости на 5, на 9, на 100.

3575,  108810,  340200,   6943001, 6714, 110100.

Ответ: кратны 5 – 3575, 108810, 340200, 110100; кратны 9 – 108810, 340200, 6714; кратны 100 – 340200,110100.

Проверка: Учащиеся называют ответы, формулируют признаки, учитель показывает на интерактивной доске формулировки известных признаков.

         Мы повторили известные вам признаки делимости, а теперь вам предстоит задание по выводу новых признаков делимости. Вы проведете небольшое исследование. Возьмите лист № 2. Внимательно прочитайте задание и приступайте к его выполнению.

·     Я напоминаю этапы исследования:

·     Выдвижение гипотезы

·     Проверка истинности гипотезы (метод проб)

·     Обоснование утверждения

·     Применение на практике.

Группа 1

Вывести признак делимости на 7.

Выполните с числами 91; 168; 217; 392; 413; 162  следующие действия:

·                   У каждого числа уберите последнюю цифру, из оставшегося числа отнимите удвоенную убранную цифру, проверьте делится ли полученная разность на 7;

·                   Проверьте делимость первоначального числа на 7;

·                   Сделайте предположение о делимости чисел на 7;

·                   Проверьте истинность своей гипотезы на своих примерах;

·                   Сформулируйте признак делимости на 7;

·                   Примените признак делимости на 7 для многозначного числа 86576.  (Указание: признак можно применять несколько раз).

Группа 2

Вывести признак делимости на11.

Выполните с числами 275; 979; 1386; 2827; 12364; 2851 следующие действия:

·                   У каждого числа найдите разность между суммой цифр числа, стоящих на нечетных местах и суммой цифр числа, стоящих на четных местах; проверьте делится ли полученная разность на 11;

·                   Проверьте делимость первоначального числа на 11;

·                   Сделайте предположение о делимости чисел на 11;

·                   Проверьте истинность своей гипотезы на своих примерах;

·                   Сформулируйте признак делимости на 11;

·                   Примените признак делимости на 11 для многозначного числа 9163627.

Группа 3

Вывести признак делимости на13.

Выполните с числами 767; 871; 1131; 1365; 3159; 1263 следующие действия:

·                   У каждого числа уберите последнюю цифру, к оставшемуся числу прибавьте учетверенную убранную цифру, проверьте делится ли полученная сумма на13;

·                   Проверьте делимость первоначального числа на 13;

·                   Сделайте предположение о делимости чисел на 13;

·                   Проверьте истинность своей гипотезы на своих примерах;

·                   Сформулируйте признак делимости на 13;

·                   Примените признак делимости на 13 для многозначного числа 33592.  (Указание: признак можно применять несколько раз).

4.                 Обсуждение результатов исследования.

Какую закономерность вы увидели?

Что вы получили в результате исследования?

Группа 1.

Мы определили такую закономерность, что когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7, то и само число делится на 7, в противном случае оно не делится на 7. И сформулировали признак делимости на 7.

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

 Группа 2.

Мы определили такую закономерность, что если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11, то и само число делится на11, в противном случае оно не делится на 11. И сформулировали признак делимости на 11.

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумма цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

 Группа 3.

Мы определили такую закономерность, что если сумма этого числа без последней цифры с учетверенной последней цифрой делится на 13 , то и само число делится на13, в противном случае оно не делится на 13. И сформулировали признак делимости на 13.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа без последней цифры и учетверенной последней цифры делится на 13.

Мы можем объединить все известные нам признаки в таблицу: 

	Признаки делимости чисел
Делитель	Признак
2	Число оканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8
3	Сумма цифр числа делится на 3
4	Две последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 4
5	Последняя цифра числа 0 или 5
6	Одновременно соблюдаются признаки делимости на 2 и на 3
7	Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7
8	Три последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 8
9	Сумма цифр числа делится на 9
10	Последняя цифра числа 0
11	Разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11
13	Сумма числа десятков с учетверенной цифрой единиц делится на 13

5.                 Закрепление изучаемого материала.

 Возьмите лист №4. Внимательно прочитайте задания и приступайте к их выполнению.

1.                 Выясните, делится ли на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13 а) дата вашего рождения; б) номер вашего телефона.

2.                 Придумайте: а) трёхзначное число, делящееся на 3 и 4; б) пятизначное число, делящееся на 3, 5 и 8.

3.                 Придумайте одно трёхзначное, одно четырёхзначное и одно пятизначное число, делящиеся на 11.

4.                 Найдите наименьшее число, которое при делении на 13, 11 и 7 дает остаток 1, а на 3 делится нацело.

5.           Доказать, что число a  делится на 3.

6.           Доказать, что число a  делится на 9.

7.                 Докажи, что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на 11.

8.                 Придумайте четырёхзначное число, которое делится на 2, 3 и 11, но не делится на 5 и 9.

Решение заданий:

№ 4. Искомое число 1002. Наименьшее число, которое без остатка делится на 7,11 и 13 есть их произведение, т.к. числа простые. Оно равно 1001 (число Шахерезады). Следовательно, наименьшее число, которое при делении на все данные числа даёт в остатке 1 - на единицу больше числа, которое на них делится нацело, т.е. 1001+1=1002. Т.к. сумма цифр найденного числа делится на 3, то оно удовлетворяет и второму требованию, т.е. делится нацело на 3.

№ 5 Каждое из чисел 123 и 567 делится на 3, т.к. сумма цифр каждого делится на 3. Поэтому  и  делятся на 3, откуда следует, что число а делится на 3.

№ 6. Аналогично № 5, использовать признак деления на 9.

№ 7. Если к трёхзначному числу abc приписать его цифры в обратном порядке, получится шестизначное число abccba, которое равно 100000a+10000b+1000c+100с+10b+a = 100001a+10010b+1100c = 11(9091a+910b+100c).
Очевидно, что полученное число делится на 11.

№ 8. Например, число 2838.

6.                 Подведение итогов занятия, рефлексия:

Признаки делимости часто используются при решении олимпиадных задач, при нахождении общего знаменателя дробей, в алгебре – при решении уравнений в целых числах (диофантовы уравнения).

Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах:

Математический фокус:

Запишите трехзначное число и припишите к нему его же еще раз. Разделите полученное шестизначное число на 7. Затем полученное число разделите на 11, а результат – на 13. Что же получится в результате?

Объясните полученный результат.

Ответ: получится первоначальное число, т.к. полученное шестизначное число кратно 1001,а произведение чисел 7, 11, 13 равно 1001.

Наше занятие подошло к завершению. Какие задачи стояли перед нами в начале урока? (Повторить известные признаки делимости. Открыть для себя новые признаки делимости.)

Можно ли считать, что мы их решили? Каждый ответит на этот вопрос сам.

Если вам понравилось занятие, и вы открыли для себя новые знания, то прикрепите к цветку зеленый лепесток.

Если вам понравилось занятие, но занятие не стало для вас открытием, то прикрепите розовый лепесток.

Если не все оказалось понятным, то прикрепите фиолетовый лепесток.

7.                 Домашнее задание: Выполнить оставшиеся задания. (лист №4)

Найти другие формулировки признаков делимости на 7, 11. 13.