Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Занятие факультатива " Решение задач с параметром"

Занятие факультатива " Решение задач с параметром"


  • Математика

Название документа занятие в сети о корнях.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема занятия: «Расположение корней квадратного трёхчлена при решении задач с параметрами»


Цель:

формировать умение формулировать и обосновывать утверждения о корнях квадратного уравнения.

Учебная задача:

  • научить обучающихся самостоятельно формулировать утверждения о корнях квадратного уравнения.

  • применять полученные утверждения для решения задач с параметром

Развивающие задачи:

  • развивать творческую сторону мышления;

  • учить осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательная задача:

формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.

Оборудование:

  • плакат с правилами (или слайд презентации)

  • проекционное оборудование.

Форма проведения занятия –лекция с применением технологии РКМЧП.


Ход занятия.


  1. На предыдущих занятиях мы решали уравнения , сводимые к квадратным. Сегодня мы посвятим наше занятие исследованию расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

  2. Проблема

Можно ли, не находя корней квадратного уравнения, определить их положение относительно некоторого числа М ?

  1. Актуализация ЗУН

Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратных уравнениях.

Кластер (что я знаю о квадратном уравнении)

  • Парабола

  • Старший коэффициент

  • Вершина параболы

  • Точки пересечения параболы с осью Ох

  • Дискриминант

  • Теорема Виета

  • Свойства коэффициентов

  1. Применение знаний о квадратном трёхчлене к решению задач с параметром.

( В виде кластера оформляем каждое правило, совместно с учащимися разбираем вопрос о расположении параболы, её точек пересечения с осью Ох, вершине параболы, направлении её ветвей, делаем вывод, что графическое представление информации очень компактно и удобно).


В целях экономии времени каждому учащемуся выдаётся опорный конспект со всеми правилами, в дальнейшем при решении задач с параметрами они пользуются этими конспектами, убеждаются, что они в теории параметров играют такую же важную роль, как таблица умножения в математике в целом.

Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена.

Пусть f(x)=ax2+bx+c имеет действительные корни x1 и x2, а M – какое-нибудь действительное число, D=b2 – 4ac.

Утверждение 1. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:





hello_html_13eb5158.png или hello_html_43beef6.png

hello_html_m4dfa3648.png



Утверждение 2. Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

hello_html_f36e231.png или hello_html_m4b669721.png

hello_html_m34ffa4ab.png

Объединяем a f(M)<0


Утверждение 3. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:

hello_html_m2959043d.png или hello_html_3c3d31a3.png

hello_html_m7336013f.png







Утверждение 4. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M), т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:

hello_html_2ffcbf0a.png или hello_html_6b14b4e9.png

hello_html_184dc982.png



Утверждение 5. Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале [M,N] (M < N), необходимо и достаточно:

hello_html_m44140c6b.pngили hello_html_71f03825.png

(при этом меньший корень лежит вне отрезка [M, N]).

hello_html_m5ead61c6.png






Утверждение 6. Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале [M, N], необходимо и достаточно:

hello_html_7c717d6f.pngили hello_html_m4154c87d.png

(при этом больший корень лежит вне отрезка [M, N]).

hello_html_m28f251d5.png

Утверждение 7. Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M < N), т.е. отрезок [M, N] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

hello_html_m671ad0b7.pngили hello_html_me68b088.png

hello_html_bdc888d.png





Пример № 1.

При каких значениях параметра а множество решений системы неравенств

hello_html_2ac7fd01.gif

х2 +(а+4)х+4а≤ у

3х+у-(2а+4) ≤ 0 у ≤-3х+2а+4

Содержит отрезок [-2;-1] оси Ох.


Пhello_html_3eb15cf5.gifервое неравенство системы задачи множество точек, лежащих «внутри» параболы у=f(x), включая границу


a f(M)≤ 0

a f(N) ≤ 0 (правило 7)

hello_html_m15930862.png

f(-2)=4+(а+4)*(-2)+4а=4-2а-8+4а=2а-4≤0

f(-1)=1-(а+4)+4а=1-а-4+4а=3а-3=3а-3≤0


hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gif

2а-4≤0 а≤2

а-1≤0 а≤1


а≤1


Второе неравенство задаёт полуплоскость.

Если точки (-2;0) и (-1;0) принадлежат этой полуплоскости, то отрезок

[-2;-1] тоже ей принадлежит. . Подставим эти координаты во второе неравенство

hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gif

-6-(2а+4) ≤0 -6-2а-4≤0 -2а ≤ 10 а ≥ -5

-3-(2а+4) ≤0 -3-2а-4≤0 -2а≤ 7 а ≥ -3,5 а ≥ -3,5


Ответ: а є [-3,5;1]


Пример 2.

При каких значениях а уравнение

(1). Sin2x+(1-2a)sinx+a2-1=0 не имеет корней

t =sin x; |t| ≤ 1

(2). t2+(1-2a)t+a2-1=0


Уравнение (1) не имеет корней, если уравнение (2):

  1. не имеет корней, т.е. Д<0

  2. {x1 U x2} <-1

  3. {x1 U x2}> 1

  4. x1 < -1, x2>1


1) Д=(1-2а)2-4(а2-1)=1-4а+4а2-4а2+4=5-4а

5-4а < 0

а >5/4






2hello_html_b4bc2a.gif)

hello_html_m4678a082.gif Д≥0 а≤5/4

hello_html_m7c55c9de.gif -b/<-1 а<-1/2

f(-1)>0 а<-1-√2

а>-1+√2

hello_html_m777815b9.png



-b/2a=92a-1/2 f(-1)=1-(1-2а)+а2-1=1-1+2а+а2-1=а2+2а-1

2a-1/2<-1 а2+2а-1>0

2a-1<-2 Д1=1+1=2

2a<-1 а1=-1-√2

a<-1/2 а2=-1+√2

hello_html_51338080.png hello_html_48962382.png

а<-1-√2




3hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif) Д0 а≤5/4 _

-b/>1 а>1,5

F(1)>0

hello_html_5decd4f5.pngнет решений

hello_html_6f877226.png



2а-1/2>1 f(1)=1+(1-2а)+а2-1=а2-2а+1= (а-1)2

2а-1>2

2а>3

а>1,5



hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif

4) f(-1)<0 -1-√2<a<-1+√2

f(1)<0

hello_html_m40086327.png


(a-1)2<0

Нет решений



Ответ: (-;-1-√2) U (1,25;+)



Пример 3.

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x)=x2-2 |x-a2|-6x имеет хотя бы одну точку максимума.

1). х-а2≥0

х≥а2

f(x)= х2-2х+2а2-6х=х2-8х+2а2

х0=8/2=4 - ось симметрии первой параболы


2). х≤а2

f(x)= х2-2(а2-х)-6х=х2-2а2+2х-6х=х2-4х-2а2

х0=4/2=2 – ось симметрии второй параболы




а)


hello_html_4ae5c47e.png


2<а2<4


hello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gif

а2<4 а<2

а2>2 а>√2



hello_html_m2016ca3e.png


а є (-2;-√2) U (√2;2)


б)

hello_html_m3372c480.png

В точке (а2;f2)) максимума нет

(функция убывает или в точке х=а2 есть разрыв)


в)

hello_html_44d4a7d5.pngВ точке (а2;f2)) максимума нет

(функция возрастает или в точке х=а2 есть разрыв)


Нет максимума

Ответ: а є (-2;-√2) U (√2;2)








Итог занятия - приём «З-Х-У»:


знаю

Хочу узнать

узнал














Домашнее задание:


При каких значениях параметра р

оба корня квадратного уравнения

2+5х+р=0

Больше заданного числа М?

12>М)

оба корня квадратного уравнения

2-рх+3=0

Меньше

заданного числа М?

12<М)

Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения

Рх2+3х-2=0?

1 <М < х2)



Подсказка: - hello_html_7f67bb5e.gif

Автор урока

учитель высшей категории,

« Заслуженный учитель РФ» И.К. Воробьёва

Название документа корни кв. тр..ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Утверждения о корнях квадратного уравнения»
Цель: формирование умений формулировать и обосновывать утверждения о корнях к...
Учебная задача: Научить учащихся самостоятельно формулировать утверждения о к...
Развивающие задачи: Развивать творческую сторону мышления; Учить осуществлять...
Воспитательная задача Формировать навыки умственного труда -поиск рациональны...
При каких значениях параметра р оба корня квадратного уравнения 2х2+5х+р=0 Бо...
Кластер(что я знаю о квадратном уравнении) Парабола; Старший коэффициент; Вер...
Работа в группах; Презентация от каждой группы; Создание алгоритма.
Фишбоун Исследовать расположение корней квадратного уравнения в задачах с пар...
Алгоритм 1.Найти значение Аf(М). 2.Найти D. 3.Решить неравенство D>0. 4.Найти...
1 из 10

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Тема: «Утверждения о корнях квадратного уравнения»
Описание слайда:

Тема: «Утверждения о корнях квадратного уравнения»

№ слайда 2 Цель: формирование умений формулировать и обосновывать утверждения о корнях к
Описание слайда:

Цель: формирование умений формулировать и обосновывать утверждения о корнях квадратного уравнения

№ слайда 3 Учебная задача: Научить учащихся самостоятельно формулировать утверждения о к
Описание слайда:

Учебная задача: Научить учащихся самостоятельно формулировать утверждения о корнях квадратного уравнения; Применять полученные алгоритмы для решения задач с параметрами.

№ слайда 4 Развивающие задачи: Развивать творческую сторону мышления; Учить осуществлять
Описание слайда:

Развивающие задачи: Развивать творческую сторону мышления; Учить осуществлять исследовательскую деятельность.

№ слайда 5 Воспитательная задача Формировать навыки умственного труда -поиск рациональны
Описание слайда:

Воспитательная задача Формировать навыки умственного труда -поиск рациональных путей решения.

№ слайда 6 При каких значениях параметра р оба корня квадратного уравнения 2х2+5х+р=0 Бо
Описание слайда:

При каких значениях параметра р оба корня квадратного уравнения 2х2+5х+р=0 Больше заданного числа М? (х1,х2>М) оба корня квадратного уравнения 2х2-рх+3=0 Меньше заданного числа М? (х1,х2<М) Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения Рх2+3х-2=0? (х1 <М < х2)

№ слайда 7 Кластер(что я знаю о квадратном уравнении) Парабола; Старший коэффициент; Вер
Описание слайда:

Кластер(что я знаю о квадратном уравнении) Парабола; Старший коэффициент; Вершина параболы; Точки пересечения параболы с осью Ох; Дискриминант; Корни квадратного уравнения.

№ слайда 8 Работа в группах; Презентация от каждой группы; Создание алгоритма.
Описание слайда:

Работа в группах; Презентация от каждой группы; Создание алгоритма.

№ слайда 9 Фишбоун Исследовать расположение корней квадратного уравнения в задачах с пар
Описание слайда:

Фишбоун Исследовать расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами При каких значениях параметра р оба корня квадратного уравнения 2х2+5х+р=0 Больше заданного числа М? (х1,х2>М) оба корня квадратного уравнения 2х2-рх+3=0 Меньше заданного числа М? (х1,х2<М) Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения Рх2+3х-2=0? (х1 <М < х2) Оба корня квадратного уравнения больше числа М, если Аf(М)>0 D>0 -В/2А>М оба корня квадратного уравнения меньше числа а М, если Аf(М)>0 D>0 -В/2А<М Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения если Аf(М)<0 D>0 Корни квадратного уравнения зависят от параметров

№ слайда 10 Алгоритм 1.Найти значение Аf(М). 2.Найти D. 3.Решить неравенство D&gt;0. 4.Найти
Описание слайда:

Алгоритм 1.Найти значение Аf(М). 2.Найти D. 3.Решить неравенство D>0. 4.Найти х0=-В/2А. 5.Найти решение системы Аf(М)…0 D>0 -В/2А…М


Автор
Дата добавления 27.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров136
Номер материала ДВ-291064
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх