Тема занятия: «Расположение корней квадратного трёхчлена при решении задач с параметрами»

Цель:

формировать умение формулировать и обосновывать утверждения о корнях квадратного уравнения.

Учебная задача:

·        научить обучающихся самостоятельно формулировать утверждения о корнях квадратного уравнения.

·        применять полученные утверждения для решения задач с параметром

Развивающие задачи:

·        развивать творческую сторону мышления;

·        учить осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательная задача:

формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.

Оборудование:

·        плакат с правилами (или слайд презентации)

·        проекционное оборудование.

Форма проведения занятия –лекция с применением технологии РКМЧП.

Ход занятия.

1.     На предыдущих  занятиях мы решали уравнения , сводимые к квадратным. Сегодня мы посвятим наше занятие исследованию расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

2.     Проблема           

Можно ли, не находя корней квадратного уравнения, определить их положение относительно некоторого числа М ?

3.     Актуализация ЗУН               

Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратных уравнениях.

Кластер (что я знаю о квадратном уравнении)

·        Парабола

·        Старший коэффициент

·        Вершина параболы

·        Точки пересечения параболы с осью О_х

·        Дискриминант

·        Теорема Виета

·        Свойства коэффициентов

4.     Применение знаний о квадратном трёхчлене к решению задач с параметром.

( В виде кластера оформляем каждое правило, совместно с учащимися разбираем вопрос о расположении параболы,  её точек пересечения с осью Ох, вершине параболы, направлении её ветвей, делаем вывод, что графическое представление информации очень компактно и удобно).

 В целях экономии времени каждому учащемуся выдаётся опорный конспект со всеми правилами, в дальнейшем при решении задач с параметрами они пользуются этими конспектами, убеждаются, что они в теории параметров играют такую же важную роль, как таблица умножения в математике в целом.

Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена.

Пусть f(x)=ax²+bx+c имеет действительные корни x₁ и x₂, а M – какое-нибудь действительное число, D=b² – 4ac.

Утверждение 1. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

               или                                

Утверждение 2. Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

                или                                

Объединяем a f(M)<0

Утверждение 3. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:

                            или                             

Утверждение 4. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M<N), т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:

                или                      

Утверждение 5. Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале [M,N] (M < N), необходимо и достаточно:

                     или                                 

(при этом меньший корень лежит вне отрезка [M, N]).

Утверждение 6. Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале [M, N], необходимо и достаточно:

               или                                    

(при этом больший корень лежит вне отрезка [M, N]).

Утверждение 7. Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M < N), т.е. отрезок [M, N] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

              или                       

Пример № 1.

При каких значениях параметра а множество решений системы неравенств

      х² +(а+4)х+4а≤  у

      3х+у-(2а+4) ≤ 0                      у  ≤-3х+2а+4

Содержит отрезок [-2;-1] оси Ох.

Первое неравенство системы задачи множество точек, лежащих «внутри» параболы у=f(x), включая границу

                                                         a f(M)≤ 0     

                                                        a f(N) ≤ 0                        (правило 7)

                                                        f(-2)=4+(а+4)*(-2)+4а=4-2а-8+4а=2а-4≤0

                                                        f(-1)=1-(а+4)+4а=1-а-4+4а=3а-3=3а-3≤0

2а-4≤0     а≤2        

а-1≤0       а≤1         

а≤1

Второе неравенство задаёт  полуплоскость.

Если точки (-2;0) и (-1;0) принадлежат этой полуплоскости, то отрезок

 [-2;-1] тоже ей принадлежит. . Подставим эти координаты во второе неравенство

    -6-(2а+4) ≤0      -6-2а-4≤0   -2а ≤ 10      а ≥ -5

    -3-(2а+4) ≤0      -3-2а-4≤0   -2а≤  7        а ≥ -3,5                 а  ≥ -3,5

Ответ: а є [-3,5;1]

Пример 2.

При каких значениях а уравнение

(1).    Sin²x+(1-2a)sinx+a²-1=0 не имеет корней

         t =sin x; |t| ≤ 1

(2).     t²+(1-2a)t+a²-1=0

Уравнение (1) не имеет корней, если уравнение (2):

1)    не имеет корней, т.е. Д<0

2)    {x₁ U x₂} <-1

3)    {x₁ U x₂}> 1

4)    x₁ < -1, x₂ > 1

1) Д=(1-2а)²-4(а²-1)=1-4а+4а²-4а²+4=5-4а

    5-4а < 0

    а >⁵/₄

2)                         

                                                    Д≥0                    а≤⁵/₄

                                                   -^b/_2а<-1                а<-¹/₂

                                                      f(-1)>0                а<-1-√2

                                                                                   а>-1+√2     

-^b/_2a=9^2a-1/₂                          f(-1)=1-(1-2а)+а²-1=1-1+2а+а²-1=а²+2а-1

^2a-1/₂<-1                    а²+2а-1>0

2a-1<-2                   Д₁=1+1=2

2a<-1                      а₁=-1-√2

a<-¹/₂                                      а₂=-1+√2

                                                                                        а<-1-√2

3)                                                        Д≥0               а≤⁵/_{4                  _}

                                                           -^b/_2а>1             а>1,5                  

                                                               F(1)>0

                      нет решений

^2а-1/₂>1                  f(1)=1+(1-2а)+а²-1=а²-2а+1= (а-1)²

2а-1>2

2а>3

а>1,5

4)                                                      f(-1)<0                  -1-√2<a<-1+√2

                                                         f(1)<0                          Æ

                                                       (a-1)²<0

                                                       Нет решений

Ответ: (-¥;-1-√2) U (1,25;+¥)       

Пример 3.

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x)=x²-2 |x-a²|-6x имеет хотя бы одну точку максимума.

1).  х-а²≥0

      х≥а²

       f(x)= х²-2х+2а²-6х=х²-8х+2а²

                                      х₀=⁸/₂=4  - ось симметрии первой параболы

2).  х≤а²

       f(x)= х²-2(а²-х)-6х=х²-2а²+2х-6х=х²-4х-2а²

                                       х₀=⁴/₂=2 – ось симметрии второй параболы

а)                                                           

2<а²<4

а²<4           ½а½<2

а²>2           ½а½>√2

а є (-2;-√2) U (√2;2)

б)

В точке (а²;f(а²)) максимума нет

                                    (функция убывает или в точке х=а² есть разрыв)

в)

                В точке (а²;f(а²)) максимума нет

                                      (функция возрастает или в точке                х=а² есть разрыв)

Нет максимума

Ответ: а є (-2;-√2) U (√2;2)

Итог занятия -  приём «З-Х-У»:

Домашнее задание:

При каких значениях параметра р

Подсказка: -

                             Автор урока

                             учитель высшей категории,

                                     « Заслуженный учитель РФ»  И.К. Воробьёва