Занятие математического кружка 5 - 6 класс по теме "Разные задачи на проценты"

Занятие математического кружка

 «Разные задачи на проценты»

1.     Немного теории

Процентом числа называется его сотая часть, например, 1% - это одна сотая часть числа, 1% от числа 300 – это число 3, 7%  – это семь сотых числа, 7% числа 300 –  это число 21.

Полезно запомнить следующие соотношения:

ü 100% числа х – это само число х;

ü 50% числа х – это половина числа х, т.е. 0,5х;

ü 25% числа х – это четверть числа х, т.е. 0,25х;

ü 75% числа х – это три четверти числа х, т.е. 0,75х;

ü   20% числа х – это пятая часть числа х, т.е.   х  или  0,2х;

ü 10% числа х – это десятая часть числа х, т.е. 0,1х.

При решении задач на проценты могут встречаться три случая:

1)    Нахождение процентов от данного числа (или части от числа).

Пример 1. Найти 17% от числа 400.

Решение:

0,17 ∙ 400 = 68.

Ответ: 68.

Пример 2. В бригаде работают 60 человек, из них 15% женщины. Определите, сколько женщин в бригаде?

Решение:

Требуется найти 15% от числа 60, т.е. нужно найти   от 60. В этом случае задача сводится к нахождению части от числа, т.е.     ∙ 60 = 9 (женщин).

Ответ: 9 женщин.

2)    Нахождение числа по его процентам (или числа по его части).

Пример 1. Найти число, 12% которого равны 45.

Решение:

12% искомого числа нам известны – это 45. Примем неизвестное число за х. Составим пропорцию.

12%   –   45

100%  –  х

  =  ,  х =  = 375.

Ответ: 375.

Пример 2. Найдите размер вклада, 25% которого составляет 160 тыс. руб.

Решение:

1 способ:  1% вклада составляет    тыс. руб, тогда весь вклад, принятый за 100%, равен    ∙ 100 = 640 тыс. руб.

Ответ: 640 тыс. руб.

2 способ:  Т.к. 25% некоторого числа – это одна четвертая часть числа, т.е. задача сводится к нахождению целого по заданному  значению его части. Для этого 160 :    = 160 ∙ 4 = 640 тыс. руб.

Ответ: 640 тыс. руб.

3)    Нахождение процентного отношения двух чисел.

Пример 1. Каково процентное содержание  меди в руде, если на 225 кг руды приходится 34,2 кг меди?

Решение:

Содержание меди в руде составляет   частей, или    ∙ 100 = 15,2 %.

Ответ: 15,2%

Пример 2. Сколько процентов составляет 120 от 600?

Решение:

    ∙ 100% = 20 %.

Ответ: 20%

2.     Условия задач

1.     Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?

2.     Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?

3.     В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

4.     Квартплата составляла 2000 р. Какой стала квартплата после ее увеличения на 30%?

5.     Семья состоит из мужа, жены и их сына – студента. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия сына уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

6.     Четыре майки  дешевле пиджака на 8%. На сколько процентов пять маек дороже пиджака?

7.     Магазин в первый день продал 40% имеющихся фруктов. За второй день он продал 80% фруктов, проданных в первых день. В третий день – оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов фруктов было в магазине первоначально?

8.     Цена изделия составляла 1000 р. и была снижена сначала на10%, а затем еще на 20%. Найдите окончательную цену товара.

9.     Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

10. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?

11. Собрали 100 кг грибов. Их влажность составляла 99%. За день грибы немного подсохли, и их влажность составила 98%. Сколько стали весить грибы?

3.     Решение задач

1.     Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?

Решение:

Первоначальный спрос  на товар (Х)  составлял 100%. После увеличения спрос стал 5Х. Т.е. увеличение составило 4Х или 400%.

Ответ: на 400%.

2.     Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?

Решение:

Первоначальный объем товаров (Х)  составлял 100%. После увеличения он стал Х + 2Х = 3Х. Т.е. произошло увеличение в 3 раза, по сравнению с первоначальным объемом.

Ответ: в 3 раза.

3.     В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов  подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть х р. – стоили акции в понедельник до подорожания;

ɑ  –  количество процентов, на которое подорожали акции;

х + 0,01ɑх  р. – стоили акции в понедельник;

х + 0,01ɑх   – 0,01ɑ (х + 0,01ɑх) р. – стоили акции во вторник;

По условию задачи стоимость акций во вторник на  4% дешевле, чем до подорожания в понедельник, т.е. составляет 0,96 х р.

Получим уравнение:     х + 0,01ɑх   – 0,01ɑ (х + 0,01ɑх)  = 0,96х.

Решив уравнение, получим  ɑ = 20.

Ответ: на 20% подорожали акции компании в понедельник.

4.     Квартплата составляла 2000 р. Какой стала квартплата после ее увеличения на 30%?

Решение:

2000 р.  – составляют 100%,

х р. – составляет 130 %.

Отсюда, х = (2000 ∙ 130) : 100 = 2600.

Ответ: 2600 р.

5.     Семья состоит из мужа, жены и их сына – студента. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия сына уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Т.к. при увеличении зарплаты мужа вдвое общий доход  увеличивается на 67%, то 67% дохода составляет зарплата мужа.

Т.к. при уменьшении стипендии сына втрое общий доход сокращается на 4%, т.е.  стипендии сына составляет 4%, отсюда вся стипендия сына составляет 6%.

Значит, зарплата жены составляет 100 – (67 + 6) = 27% общего дохода семьи.

Ответ: 20%.

6.     Четыре майки  дешевле пиджака на 8%. На сколько процентов пять маек дороже пиджака?

Решение:

1 способ:

1)    100%  – составляет стоимость пиджака;

2)    100 – 8 = 92(%) – составляет стоимость четырех маек;

3)    92 : 4 = 23(%) – составляет стоимость одной майки;

4)    23 ∙ 5 = 115(%) – составляет стоимость пяти маек;

5)    115 – 100 = 15(%) – на столько процентов пять маек дороже пиджака.

Ответ: на 15%.

2 способ:

Пусть а руб. – стоимость одной майки, с руб. – стоимость  одного пиджака.

Т.к.    = , то  = , следовательно,   = , т.е. на 115 – 100 = 15% пять маек дороже пиджака.

Ответ: на 15%.

7.     Магазин в первый день продал 40% имеющихся фруктов. За второй день он продал 80% фруктов, проданных в первых день. В третий день – оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов фруктов было в магазине первоначально?

Решение:

Пусть х кг – вес имевшихся в магазине фруктов. Тогда в первый день было продано 0,4 ∙ х (кг), а во второй день – 0,8 ∙ (0,4 ∙ х) кг. Учитывая, что в третий день было продано 28 кг фруктов, составим и решим  уравнение:

0,4 ∙ х  + 0,8 ∙ (0,4 ∙ х) + 28 = х,

0,28 х = 28,

х = 100.

100 кг фруктов было в магазине первоначально.

Ответ: 100 кг.

8.     Цена изделия составляла 1000 р. и была снижена сначала на10%, а затем еще на 20%. Найдите окончательную цену товара.

Решение:

Подобные задачи удобно решать с помощью рассуждений:

0,1 ∙ 1000 = 100 р. – составляет 10 % от цены изделия,

1000 – 100 = 900 р. – цена после первого снижения,

0,2 ∙ 900 = 180 р. – составляет второе снижение цены товара,

900 – 180 = 720 р. – окончательная цена товара.

Ответ: 720 р.

9.     Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение:

Пусть  х р. – первоначальная цена товара,

1,25 х р. – цена товара после первого повышения,

0,1 ∙  1,25 х р. – второе  повышение цены,

1,25 х  + 0,1 ∙  1,25 х  = 1, 375 х р. – цена товара после второго повышения,

0,12  ∙  1,375 х  =  0,165 х р. – третье  повышение цены,

1,375 х  + 0,165 х  = 1,54 х р. – цена товара после третьего повышения,

Цена товара была повышена на 1,54 х   –  х  = 0,54 х  р. , что составляет 54% от первоначальной цены товара.

Ответ: 54%.

10. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где  М – масса всего винограда, или изюма;   m – масса сухого вещества в винограде, или изюме; ɑ  -  концентрация (процентное содержание сухого вещества в винограде, или изюме).

	m, кг	M, кг	ɑ
виноград	х ∙ 0,1	х	0,1
изюм	20 ∙ 0,95	20	0,95

Т.к. масса сухого вещества в винограде при сушке не изменяется, то получим уравнение:

х ∙ 0,1 = 20 ∙ 0,95,  отсюда х = 190.

190 кг – винограда потребуется.

Ответ: 190 кг.

11. Собрали 100 кг грибов. Их влажность составляла 99%. За день грибы немного подсохли, и их влажность составила 98%. Сколько стали весить грибы?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где  М – масса всех грибов;   m – масса сухого вещества в грибах; ɑ  -  концентрация (процентное содержание сухого вещества в грибах).

	m, кг	M, кг	ɑ
1 условие	100 ∙ 0,01	100	0,01
2 условие	х ∙ 0,02	х	0,02

Т.к. масса сухого вещества в грибах при сушке не изменяется, то получим уравнение:

х ∙ 0,02 = 100 ∙ 0,01,  отсюда х = 50.

50 кг – стали весить грибы.

Ответ: 50 кг.