Занятие на тему "Формулы повинного аргумента"

План занятия № 60

Дисциплина: Математика.

Специальности: 150415 Сварочное производство.

Группы: Э-12

Занятие по теме "Формулы половинного аргумента"

Цель:

1. Вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить sin, cos, tg через sinx, cosx, tgx, показать многообразие их применения.
2. Выработать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях.
3. Развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применять изученные тождества.
4. Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Ход урока

I. Организационно – мотивационный этап.

Прошу всех настроиться на работу. Будьте внимательными, активными, проявляйте сообразительность, покажите свои знания и умения.

На уроке можно консультироваться со мной и товарищами.

Дайте самому себе установку: “Понять и быть тем первым, кто увидит ход решения”

II. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся.

А) Проверим, как вы знаете изученные формулы суммы и разности аргументов для синуса, косинуса, тангенса, тригонометрические тождества, значения тригонометрических функций некоторых углов.

Проведем игру “Лото”.

Задание: Продолжите равенство (учащиеся на карте закрывают фишкой правильный ответ)(см. Приложение №1):

1. cos²x + sin²x =
2. sinx / cosx =
3. sin(x + y) =
4. sinxcosy – cosxsiny =
5. cosxcosy – sinxsiny =
6. tg(x + y) =
7. cosπ/4 =
8. sinπ/6 =

Проверка:

• карта №1 не закрыты tg(x – y), ;
• карта №2 --------------- cos(x – y), -1.

Оценка:

• “5” выполнено без ошибок;
• “4” -------------- с 1 ошибкой;
• “3” -------------- 2-3 ошибки.

III. Изучение нового материала.

Сообщение темы, цели урока.

Сегодня на уроке выведем тригонометрические формулы половинного аргумента, рассмотрим многообразие их применения для упрощения выражений, нахождения значений. Постарайтесь запомнить данные формулы, научиться их применять.

Попробуйте самостоятельно, используя тригонометрические формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, вывести формулы половинного аргумента.

Учащимся раздаются карточки – опоры (см. Приложение №2), с помощью которых они доказывают тождества:

Вывод затем показывают на доске, остальные записывают в тетрадь.

Учитель: Всегда ли справедливы данные формулы?

Вывод: Формулы “синус половинного аргумента”, “косинус половинного аргумента” справедливы для любых значений аргумента.

Формулы половинного аргумента можно применять и в тех случаях, когда место аргумента  занимает более сложное выражение.

IV. Закрепление изученного материала:

На слайде высвечиваются: Найти значение:

 Вычислить:

1) sin α/2, cos α/2 , tg α/2, если cos α = 161/289   и   0° < α < 90°;

 2) sin α, cos α и tg α, если sin 2α = 120/169    и  180° < α < 225°;

V. Проверка усвоения тождеств.

Контрольный срез. Учащиеся выбирают карточки с тестовыми заданиями в зависимости от уровня усвоения тождеств. (см. Приложение №3)

• №1 – работают по алгоритму;
• №2 - самостоятельно.

Самопроверка (на доске записаны ответы, учащиеся сверяют):

К №1А (а) -1, (б) - 3;		К №1Б (а) - 2, (б) - 2;
К №2А (а) - 2, (б) - 1;		К №2Б (а) - 3, (б) – 1.

VI. Рефлексия.

Поставьте в оценочных листах:

“ + ”, если “могу сам применить тождества”;

“ + – “, если “нуждаюсь в помощи”.

“ – “, если “затрудняюсь”.

VII. Домашнее задание:

Учебник  М.И. Башмакова Математика

Занятие 4 стр. 103 - 104 Задание 2 (4)

VIII. Итог урока.

1. Что нового узнали на уроке?
2. Чему научился?
3. Зачем нужен был этот урок?
4. Доволен ли работой на уроке?
5. Что осталось непонятным?

Оценки.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

Математическое лото

cos(x-y)	tgx	sinxcosy + cosxsiny	1
tgx+tgy 1-tgxtgy			cos(x+y)
1 2	√2 2	sin(x-y)	-1

1	tgx+tgy 1-tgxtgy	tg(x-y)	sin(x-y)
	tgx	√2 2
сos(x+y)	1 2	sinxcosy + cosxsiny	√3 2

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

Карточки – опоры

№1

Выразите   через  cos 2α.

Для этого: 1) в формуле в качестве 2α пусть выступит , получим

формулу 1;

                 2) запишите основное тригонометрическое тождество для угла   , получим

формулу 2;

                 3) вычтите из второй формулы первую;

                 4) выразите

 

ПРИЛОЖЕНИЕ №3

Карточки с дифференцированными заданиями для контрольного среза

1А

а) Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ

 8sinxcosx = 4*2sinxcosx =

    3sin2x         3sin2x            

Ответ:

1)4/3;   2)4/3cosx;   3)2/3;   4)4/3ctgx;

б) Решите

 

 Ответ:

1) ;    2) ;      3) ;    4) другой ответ.

______________________________________________________________________________

2A

а) Упростите и выберите правильный ответ

  3sin2x

  2cosx

Ответ:

1)3tgx;   2)3sinx;   3)1,5sinx;    4)3tg2x;

б) Решите

 Ответ:

1)1;     2)2;     3)3;   4) другой ответ.

________________________________________________________________________________

ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА

 

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

Математическое лото

cos(x-y)	tgx	sinxcosy + cosxsiny	1
tgx+tgy 1-tgxtgy			cos(x+y)
1 2	√2 2	sin(x-y)	-1

1	tgx+tgy 1-tgxtgy	tg(x-y)	sin(x-y)
	tgx	√2 2
сos(x+y)	1 2	sinxcosy + cosxsiny	√3 2

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

Карточки – опоры

№2

Выразите   через  cos 2α.

Для этого: 1) в формуле в качестве 2α пусть выступит ,

получим формулу 1;

                 2) запишите основное тригонометрическое тождество для угла   ,

получим формулу 2;

                 3) сложите первую формулу со второй;

                 4) выразите

 

ПРИЛОЖЕНИЕ №3

 

Карточки с дифференцированными заданиями для контрольного среза

1Б

а) Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ

 6sinxcosx    . =  3*2sinxcosx =

 cos²x – sin²x        cos2x

Ответ:

1)-3tg2x;    2) 3sin2x;   3)6tgx;    4)3tg2x;

б) Решите

 

 Ответ:

1) ;    2) 3) ;     4) другой ответ.

_____________________________________________________________________________

2Б

а) Упростите и выберите правильный ответ

  sin2x

 4cosx

Ответ:

1)tg2x;  2)2sinx;  3)1/2sinx;   4) ½ + tgx;

б) Решите

Ответ:   1)1;   2)2;    3)3;    4) другой ответ.

_____________________________________________________________________________

ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА

 

Методические  разработки

 плана учебного занятия

Учебная

дисциплина: Математика              Специальность: 150415 Сварочное производство

Курс:  1

Группа Э-12

Тема занятия: Формулы половинного угла

Вид занятия: Учебное занятие по изучению и первичному закреплению нового материала и способов действий (знаний, умений).

Форма проведения занятия:  Комбинированное занятие

Продолжительность занятия: 60 мин

Место проведения занятия: кабинет № 9

Цель занятия:

Задачи: Дидактическая( обучающая):

Вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить sin, cos, tg, показать многообразие их применения.

Выработать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях.

Воспитательная:

 Воспитывать адекватную самооценку.

Развивающая:

Развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применять изученные тождества.

 Развивать навыки самостоятельного применения знаний.

Междисциплинарные СВЯЗИ: (указать дисциплины, разделы, темы, понятия, ЗУН)

физика

Внутридисциплинарные СВЯЗИ: (указать разделы, темы, понятия, ЗУН)

Соотношение сторон в прямоугольном треугольнике

Учебное оборудование (оснащение) занятия: (указать особенности использования на различных этапах занятия) компьютер, проектор, интерактивная доска.

Методическое обеспечение занятия:

Карточки для студентов( 3 приложения), оценочные листы

(перечислить представленные в приложении тесты, ситуационные задачи, сценарии деловых игр, алгоритмы деятельности, схемы, таблицы и т.д.)

Технологическая карта занятия

Этап занятия	Деятельность преподавателя	Методические приемы	Деятельность студента
1.              Организационно – мотивационный этап	Настраивает на работу. Проверяет присутствующих, готовность студентов к занятию. Сообщаю тему , цели занятия и порядок действия.	Техническая пятиминутка	Настраиваются на работу.
2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта студентов.	Проверяю знание изученных формул суммы и разности аргументов для синуса, косинуса, тригонометрические тождества, значения тригонометрических функций некоторых углов.	Провожу игру “Лото” Проверка: карта №1 не закрыты tg(x – y), v3/2; карта №2 --------------- cos(x – y), -1. Оценка: “5” выполнено без ошибок; “4” -------------- с 1 ошибкой; “3” -------------- 2-3 ошибки.	Студенты на карте зачеркивают карандашом правильный ответ (Приложение №1)
3.  Изучение нового материала	Прошу открыть тетради и записать  тему занятия. Предлагаю самостоятельно, используя формулы двойного аргумента, вывести формулы половинного аргумента. Предлагаю тем студентам, у кого получилось вывести, воспроизвести формулы на доске. Всегда ли справедливы данные формулы?	Иллюстрация слайдов презентации.   Студентов произвольно делю на две группы, раздавая карточки-опоры.	Воспринимают информацию на слух. Записывают в тетрадь тему занятия. Студенты, используя карточки – опоры, выводят тождества. (Приложение №2) Вывод: 2 студента из  каждой группы показывают на доске, остальные записывают. Студенты делают вывод: Формулы “синус половинного  аргумента”, “косинус половинного аргумента” справедливы для любых значений аргумента
4.  Закрепление изученного материала		На слайде высвечиваются: Найти значение:  Вычислить: 1) sin α/2, cos α/2 , tg α/2, если cos α = 161/289   и   0° < α < 90°;  2) sin α, cos α и tg α, если sin 2α = 120/169    и  180° < α < 225°;  3) если известно, что	Студенты решают в тетрадях и по одному у доски
5.  Проверка усвоения тождеств.	Раздаю студентам карточки с тестовыми заданиями	(Приложение №3) №1 – работают по алгоритму; №2 - самостоятельно	Студенты выбирают карточки с тестовыми заданиями в зависимости от уровня усвоения тождеств. Самопроверка (на слайде записаны ответы, учащиеся сверяют и ставят себе оценку): К №1А (а) -1, (б) - 3; К №1Б (а) - 2, (б) - 2; К №2А (а) - 2, (б) - 1; К №2Б (а) - 3, (б) – 1.
6.      Рефлексия.	Поставьте в листах оценок: “ + ”, если “могу сам применить тождества”; “ + – “, если “нуждаюсь в помощи”. “ – “, если “затрудняюсь”.	Иллюстрация слайдов.	Сами оценивают уровень своего усвоения нового материала.
7.                  Домашнее задание	Учебник  М.И. Башмакова Математика Занятие 4 стр. 103 - 104 Задание 2 (4)		Студенты записывают задание в тетрадь.
8.               Подведение итогов занятия	1)               Что нового вы узнали на занятии? 2)               Что было трудным? 3)      Что осталось непонятным? 4)      Довольны ли вы работой на уроке? Благодарю за урок.		Отвечают на вопросы.

 Используемая литература:

1. Башмаков М.И. Математика: Учебник для учреждений НПО и СПО. – М.: Академия, 2011.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: - М.: Мнемозина, 2006.
3. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений/А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, 2006.

• 1 слайд

  Преподаватель ГБОУ СПО «РМК» Л.Л.Гапонова
  Формулы половинного аргумента
  

• 2 слайд

  2.Математическое лото
  Задание: Продолжите равенство ( на карте зачеркнуть правильный ответ)
  1. cos2x + sin2x =
  2. sinx / cosx =
  3. sin(x + y) =
  4. sinxcosy – cosxsiny =
  5. cosxcosy – sinxsiny =
  6. tg(x + y) =
  7. cosπ/4 =
  8. sinπ/6 =
  

• 3 слайд

  2.Математическое лото
  ПРОВЕРКА:
  Карта № 1 не закрыты tg(x – y), ;
  
  Карта № 2 не закрыты cos(x – y), -1.
  Оценка:
  “5” выполнено без ошибок;
  “4” -------------- с 1 ошибкой;
  “3” -------------- 2-3 ошибки.
  
  

• 4 слайд

  3. Изучение нового материала
  1. Формула косинуса половинного угла выглядит следующим образом:
  

• 5 слайд

  3. Изучение нового материала
  Давайте выведем эту формулу :
  

• 6 слайд

  3. Изучение нового материала
  1. Формула синуса половинного угла выглядит следующим образом:
  

• 7 слайд

  3. Изучение нового материала
  Давайте выведем эту формулу :
  

• 8 слайд

  3. Изучение нового материала
  

• 9 слайд

  Формула тангенса половинного аргумента
  3. Изучение нового материала
  

• 10 слайд

  Формула тангенса половинного аргумента
  3. Изучение нового материала
  

• 11 слайд

  4. Закрепление изученного материала
  Решить на доске и в тетрадях
  Пример 1.
  Найти значения функций без помощи таблиц
  
  

• 12 слайд

  Вычислить:
  1) sin α/2, cos α/2 , tg α/2, если cos α = 161/289
  и 0° < α < 90°;
  2) sin α, cos α и tg α, если sin 2α = 120/169 и 180° < α < 225°;
  3) если известно, что
  
  4. Закрепление изученного материала
  Решить на доске и в тетрадях
  

• 13 слайд

  5. Проверка усвоения тождеств
  Контрольный срез.
  Выберите карточки с тестовыми заданиями в зависимости от уровня усвоения тождеств.
  
  №1 – работаем по алгоритму;
  №2 - самостоятельно.
  
  Самопроверка
  

• 14 слайд

  6. Итог занятия
  Поставьте в оценочных листах:
  “ + ”, если “могу сам применить тождества”;
  “ + – “, если “нуждаюсь в помощи”.
  “ – “, если “затрудняюсь”.
  

• 15 слайд

  Занятие 4 стр. 103-104 Задание 2 (4)
  Домашнее задание
  Используемая литература:
  
  Башмаков М.И. Математика: Учебник для учреждений НПО и СПО. – М.: Академия, 2011.
  Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: - М.: Мнемозина, 2006.
  Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений/А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, 2006.