Инфоурок / Математика / Конспекты / Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Занятие

Тема: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Количество часов: 2 часа

Цель: рассмотреть разложение вектора по трем векторам в пространстве и обозначение координат вектора, ввести новые понятия: координатный вектор (базис) и радиус-вектор, рассмотреть три свойства векторов по координатам, разобрать две задачи на свойства векторов.

План:

1. Разложение вектора по трем векторам в пространстве.

2. Координаты вектора в пространстве.

3. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.

4. Решение задач на свойства векторов.


Вопрос 1. Разложение вектора по трем векторам в пространстве.


Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсциссhttp://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29436/abdcb78291ea538cdb8cda6bd0903122.png, единичный вектор оси ординат http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29437/10feaf61f5b8930ec8ea614e93636ba4.png, и единичный вектор оси аппликат http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29438/55256879627b202c3d67ca4ccf79b276.png (см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.

Разложение вектора по трем координатным векторам

Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам

Вопрос 2. Координаты вектора в пространстве.

Возьмем вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29440/b0a7075b1fd924262503cef1950a4b07.png, поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях -  векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29441/bf80d71aa546eaca959890f3f940bd65.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29442/4c58ee9a4c87a4ead755a9b0e7b3c551.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29443/42c43e10b03ee087850475e7da964d63.png. Получаем: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29444/33aa691c8211787af6104546884ef552.png. Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29441/bf80d71aa546eaca959890f3f940bd65.png лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29436/abdcb78291ea538cdb8cda6bd0903122.png. http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29445/af163177fc1a6a618894097cf5d18418.png, а длина вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29441/bf80d71aa546eaca959890f3f940bd65.pngровно в x раз больше длины http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29436/abdcb78291ea538cdb8cda6bd0903122.png. Так же поступим и с векторами http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29442/4c58ee9a4c87a4ead755a9b0e7b3c551.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29443/42c43e10b03ee087850475e7da964d63.png, и получаем разложение вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29440/b0a7075b1fd924262503cef1950a4b07.pngпо трем координатным векторам:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29446/184be7084a0ac29a9af2a85bd9edfb6a.png

Коэффициенты этого разложения x, y и z называются координатами вектора в пространстве.

Вопрос 3. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29447/e3b7f70a9c303b1cdf73bb3bf22f879b.png; http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29448/e36ebfef3549ddd8a6448ec7cf5c843e.png 

1) Сложение: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29449/a48ac68c183790f86a1d94f52121d921.png

2) Вычитание: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29450/dfd393af0653e79796046a5f0b7814b7.png 

3) Умножение на число: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29451/e1d6c1ae51b81dd6cded4736618b682d.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29452/30589fa070db4800bbcd4baa5db4e3a4.png

Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус-вектором. (Рис. 2). Вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29453/bfe643cfa33ef9db7b75ce17512b565d.png- радиус-вектор, где x, y и z – это коэффициенты разложения этого вектора  по координатным векторам http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29436/abdcb78291ea538cdb8cda6bd0903122.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29437/10feaf61f5b8930ec8ea614e93636ba4.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29438/55256879627b202c3d67ca4ccf79b276.png. В данном случае x – это первая координата точки A на оси Ox, y – координата точки B на оси Oy, z – координата точки C на оси Oz. По рисунку видно, что координаты радиус-вектора одновременно являются координатами точки М.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29454/27afa0b527d6367835a494cbf65bd2c5.jpg

Рис. 2.

Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29455/1cac1e2923ce3a9e7ef939acf8191311.pngкак разность векторов http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29442/4c58ee9a4c87a4ead755a9b0e7b3c551.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29441/bf80d71aa546eaca959890f3f940bd65.pngпо свойству векторов. Причем, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29441/bf80d71aa546eaca959890f3f940bd65.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29442/4c58ee9a4c87a4ead755a9b0e7b3c551.png- радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29455/1cac1e2923ce3a9e7ef939acf8191311.png как разность соответствующих координат векторов http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29442/4c58ee9a4c87a4ead755a9b0e7b3c551.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29441/bf80d71aa546eaca959890f3f940bd65.png: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29456/eb89327272c97f7fabf26629cadf6e8c.png. Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29457/38031f85c83973189f899bdd9ab8217a.jpg

Рис. 3.

Вопрос 4. Решение задач на свойства векторов.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29458/a799b38f811a0c0dbe96400897841283.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29459/7aac75cdc9feb2661a5710941ac03fa1.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29460/4483a7052a7d63aaee704ba705914ad3.png. Нас спрашивают вектор http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29461/858ce25a48a119c1120875d503948023.png. В данном случае найти http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29462/7b96224715c165b62c34073af09e8f07.png это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29463/d0573b8508ca0e25ee4d5681ccbcd1dd.png

Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29464/f641426f519ff105f8b309aec81ac50a.png

У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29465/071a39458ca41df6c2419ad6e7eba301.png

Ответ: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29466/564a19456d4a63c308cf2d059487edb1.png

Пример №2.

Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.

Найти: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29467/461bf86ce6b938f37c00e2a0f688543e.png,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29468/dbd365b08014d202591d0c9b3206f9de.png,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29455/1cac1e2923ce3a9e7ef939acf8191311.png,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29469/c0907c40155e90231b46680ecbaad72a.png,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29470/8fe1fc3ed81341d933e6cd710c2623ca.png,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29471/495470b4d03710b91f4c4b8998f9be19.png,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29472/15f913507eec02ae5009da469f3b9734.png,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29473/7d5e28f6efb1a5951dcfc8b7196bf977.png.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29474/e2b228e07712b14e84f5dfec5052001c.jpg

Рис. 4.

Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Так как координаты вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29467/461bf86ce6b938f37c00e2a0f688543e.png -  это разность координат его конца и начала, получаем:http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29475/bf65cc9a86a4e37ccb7655336592d822.png. Таким же образом находим координаты векторовhttp://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29468/dbd365b08014d202591d0c9b3206f9de.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29455/1cac1e2923ce3a9e7ef939acf8191311.png. http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29476/0e18d3e1a8c539273ab01d79145c3fbc.png; http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29477/1f7449b89637c08863ecc7ed3da9ee18.png.

Чтобы найти координаты вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29469/c0907c40155e90231b46680ecbaad72a.png, нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координатыhttp://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29478/25c8816f33873d4f7a6bf0bf8e1e095c.png, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29479/becd6e65dbd35e01ff2faa8d22a2d4a0.png. MN – средняя линия, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29480/82cceb394b631446965f6bb2f945d97d.png. Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29481/55f708dc2153d1badb5a474209e981dc.png.

Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29482/646efc281f1a540264fc38f40cd14067.png;

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29483/37d79577857fee64c066034cab76a3f1.png.

Вектора http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29472/15f913507eec02ae5009da469f3b9734.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29473/7d5e28f6efb1a5951dcfc8b7196bf977.png - радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29484/3e39abedac97e08a74e90ac2e3272768.png, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/29485/c481e671a9247354ecfa079b3142017a.png

 

Вопросы для самопроверки:

1. Что называют базисом?

2. Что называют координатами вектора в пространстве?

3. Что такое радиус – вектор?


Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 455 с.: ил.

2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.: ил.

3. Yaklass.ru (Источник).

4. Mathematics.ru (Источник).






6


Общая информация

Номер материала: ДВ-268960

Похожие материалы