Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Занятие "Окружность тринадцати точек"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Занятие "Окружность тринадцати точек"

библиотека
материалов

hello_html_m6dc1af45.gifhello_html_m6dc1af45.gifhello_html_m6dc1af45.gifhello_html_m6dc1af45.gifПлан занятия группы углубленного изучения математики

ТО «Пифагор» МКОУ ДОД ДДТ Дигорского района

Педагог: Диамбекова Алла Лазаровна

2014г.

Тема занятия: «Окружность тринадцати точек»



Цели: 

Образовательные: познакомить учащихся с теоремами Эйлера и Фейербаха, рассмотреть нестандартные задачи, при решении которых применяются новые понятия.

Развивающие:  развивать логическое мышление, наблюдательность, внимание, математическую речь обучающихся.

Воспитывающие:  воспитывать самостоятельность, умение анализировать и применять имеющиеся знания в нестандартных ситуациях.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация по теме.



Ход занятия.

Организационный момент.

Подготовка к восприятию новых понятий:

- замечательные точки треугольника;

- признаки параллельности и перпендикулярности прямых.

Изучение новых теорем проходит в лекционной форме.

Первая теорема, связанная с окружностью тринадцати точек, была получена Эйлером в 1765 году. Он установил, что основания высот и середины сторон разностороннего треугольника лежат на одной окружности. Отсюда и название «окружность шести точек».

Впоследствии он обнаружил, что на этой же окружности лежат точки, принадлежащие высотам и расположенные от вершин на расстоянии одной треть длин самих высот. Так окружность стала «окружностью девяти точек».

Сформулируем её.

Теорема. Пусть в треугольнике ABC (рис. 1), H – точка пересечения высот треугольника; точки A1, B1, C1 - основания высот; A2, B2, C2 – середины соответствующих сторон; A3, B3, C3 – середины отрезков AH, BH и CH. Тогда точки A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3  лежат на одной окружности. [1]

Действительно, A3B2 –средняя линия треугольника AHC и, следовательно, A3B2 || CC1. B2A2 – средняя линия треугольника ABC и, следовательно, B2A2 || AB. Так как CC1  AB, то 

hello_html_2e99dde8.pngA3B2A2 =90. Аналогично, hello_html_2e99dde8.pngA3C2A2 = 90. Поэтому точки A2, B2, C2, A3  лежат на одной окружности с диаметром A2A3. Так как AA1 перпендикулярна BC, то точка A1 также принадлежит этой окружности. Аналогичным образом показывается, что точки B1 и B3, C1 и C3 лежат на этой окружности. Значит, все девять точек лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать. [3]


Рис. 1.

hello_html_m2abbbb49.jpg


Прямая, проходящая через центр  описанной окружности О и ортоцентр Н данного треугольника называется прямой Эйлера.

Окружность девяти точек обладает рядом свойств.

1. Прямая Эйлера проходит через:

а) ортоцентр треугольника;

б) точку пересечения серединных перпендикуляров;

в) центроид М, который делит отрезок ОН в отношении ОМ:МН = 1:2;

г) центр N окружности Эйлера. [3]

2. Радиус hello_html_m180ff8a1.gif описанной около треугольника окружности в два раз больше радиуса hello_html_m7b15835.gif окружности девяти точек. [1]

3. Описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром Н и коэффициентом 2. [1]

Докажем справедливость приведённых утверждений.

1. а) и б) верны по определению прямой Эйлера;

в). Требуется доказать, что точки O, M, H лежат на одной прямой.


hello_html_3b57c9e9.jpg


Рассмотрим гомотетию с центром в точке M  и коэффициентом -0,5 (рис.2). Вершины A, B, C треугольника ABC  перейдут соответственно в точки A2, B2, C2. Высоты треугольника ABC перейдут в высоты треугольника A2B2C2 и, следовательно, точка H перейдет в точку O. Поэтому точки O, M, H будут лежать на одной прямой. При этом ОМ в два раза меньше МН. Что и требовалось доказать. [3]

   г). Покажем, что середина N отрезка OH является центром окружности девяти точек. Действительно, C1C2 – хорда окружности девяти точек. Поэтому серединный перпендикуляр к этой хорде является диаметром и пересекает OH в середине N. Аналогично, серединный перпендикуляр к хорде B1B2 является диаметром и пересекает OH в той же точке N. Значит N – центр окружности девяти точек. Что и требовалось доказать. [3]


2. Так как ОМ:МН=1:2 и N –середина ОН, то ОМ:МN = 2:1. При гомотетии относительно М с коэффициентом -2 Nhello_html_7730323f.gif то есть радиус окружности Эйлера перейдёт в радиус описанной окружности и hello_html_m180ff8a1.gif=2hello_html_m7b15835.gif. Что и требовалось доказать.

3. Так как A3, B3, C3 – середины отрезков AH, BH и CH, то они при гомотетии относительно Н с k=2 переходят соответственно в точки A,  B,  C, то есть окружность девяти точек отображается в окружность, описанную около треугольника (рис.1).

Что и требовалось доказать.





В 1821 году окружность Эйлера, выкладки о которой так и не были опубликованы учёным, была заново открыта учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха).

Дополнительно Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это - точки ее касания с четырьмя окружностями специального вид (рис 3). Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек  и  называются точками Фейербаха.

Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек. [2]

Но отдавая дань гению первооткрывателя, Карл указывает на первенство Эйлера в этом открытии и называет окружность его именем. Так в мире математиков она и называется «окружность Эйлера».





http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Circ9pnt3.svg/250px-Circ9pnt3.svg.png

Рис. 3.



Приведём доказательство о десятой точке Фейербаха. Для этого решим следующую задачу.




ЗАДАЧА.

Проведём через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC от- личную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку её касания с окружностью обозначим черезhello_html_542f6003.gif. Аналогично построим точки hello_html_m45e3d81.gifиhello_html_m7745ac47.gif. Докажите, что три прямые, соединяющие точкиhello_html_542f6003.gif , hello_html_m45e3d81.gifи hello_html_m7745ac47.gif с серединами сторон BC,CA и AB соответственно, имеют общую точку, причём эта точка лежит на вписанной окружности (рис.4).

FullSizeRender.jpg

Рис.4

Решение в первоисточнике приводится к чертежу 4 и занимает полстранички. (см ниже)

Сначала докажем, что стороны треугольника hello_html_m37ed094c.gif параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC. Пусть AC>AB. Имеем равенства POL=hello_html_542f6003.gifOL и POB=ROB, поэтому hello_html_542f6003.gifOR=2LOB. Угол LOB внешний в треугольнике AOB, значит hello_html_542f6003.gifOR=α+β. Подобными же рассуждениями получаем, что hello_html_m45e3d81.gifOR= α+β. Следовательно, точки hello_html_542f6003.gif иhello_html_m45e3d81.gif симметричны относительно прямой OR, поэтому hello_html_m89e59d4.gifAB. Итак, соответствующие стороны треугольников hello_html_m4dd74457.gif и hello_html_m37ed094c.gif параллельны(hello_html_60a0fed9.gif, hello_html_m30d1a35b.gif,hello_html_8fea615.gif – середины сторон треугольника), поэтому эти треугольники гомотетичны. Центр этой гомотетии является общей точкой прямых hello_html_m6281df25.gif, hello_html_m6710e222.gif и hello_html_m7301bbe9.gif .

Пусть прямая hello_html_m6281df25.gif вторично пересекает вписанную в треугольник ABC окружность в точке А. Докажем, что описанная вокруг треугольника Fhello_html_542f6003.gifL окружность проходит через основание высоты H треугольника ABC. Для этого достаточно проверить выполнение равенства hello_html_60a0fed9.gifL·hello_html_60a0fed9.gifH = hello_html_60a0fed9.gifP2, так как hello_html_60a0fed9.gifP2 = hello_html_m6281df25.gif·hello_html_60a0fed9.gifF.

Пользуясь параллельностью прямых AH и OP, MaPʹ=MaP1(рис.7) и теоремой Фалеса, получаем: hello_html_3d4abc04.gif= hello_html_m510afb81.gif = hello_html_m4893b41f.gif = hello_html_5286d27d.gif = hello_html_633a7692.gif = hello_html_6abc12de.gif. Так как четырехугольник Fhello_html_542f6003.gifLH вписанный, углы hello_html_60a0fed9.gifFH и hello_html_60a0fed9.gifLhello_html_542f6003.gif равны. Угол hello_html_60a0fed9.gifLhello_html_542f6003.gif легко выражается через углы треугольника ABC:hello_html_60a0fed9.gifLhello_html_542f6003.gif= hello_html_m5a4179e4.gif. Рассмотрим теперь четыругольник hello_html_m30d1a35b.gifFHhello_html_60a0fed9.gif.

Заметим, что hello_html_2e99dde8.pngHCA = hello_html_2e99dde8.pngCHhello_html_m30d1a35b.gif=hello_html_m9d4131d.gif, hello_html_2e99dde8.pngChello_html_m2eeece49.gif= hello_html_7233e67b.gif. Поэтому hello_html_2e99dde8.png hello_html_m2eeece49.gifH = = hello_html_m5a4179e4.gif, значит hello_html_60a0fed9.gifFHhello_html_m30d1a35b.gif – вписанный и, следовательно, hello_html_2e99dde8.pnghello_html_60a0fed9.gifFhello_html_m30d1a35b.gif= hello_html_2e99dde8.pnghello_html_60a0fed9.gifHhello_html_m30d1a35b.gif=hello_html_m9d4131d.gif. Обозначим через K точку пересечения отрезка Fhello_html_m30d1a35b.gif со вписанной окружностью(рис.8). Так как вписанный в окружность угол hello_html_542f6003.gifFK равен hello_html_m9d4131d.gif, а дуга Rhello_html_542f6003.gifвписанной окружности равна hello_html_m3d885e1.gif, точки hello_html_542f6003.gif и K симметричны относительно этой прямой. Значит, точки K и hello_html_m45e3d81.gif совпадают, что означает, что прямые hello_html_m6281df25.gif и hello_html_m6710e222.gif пересекаются в точке F вписанной окружности. ЧТД

Таким образом, треугольник обладает неожиданными для нас свойствами, которые характеризуют глубину познаний в математике и бесконечность новых открытий. Дерзайте, молодые!!!

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!



Автор
Дата добавления 06.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров265
Номер материала ДВ-232548
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх