Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.

Преподаватель математики Елена Геннадьевна Шерстнева



ЗАНЯТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ (2 КУРС)


Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.


Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков полученных при изучении дифференциальных уравнений.


Цели занятия:

Учебные: показать алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений, познакомить с математическими моделями в физике, биологии, экономике. Учащиеся должны понимать сущность приложения математики к решению технических задач, которая заключается в том, что задачу переводят на язык математики, решают ее, как принято в математике, и интерпретируют на языке исходных данных.

Воспитательные. Формировать научное мировоззрение. Продолжить знакомить учащихся с понятием математического моделирования, рассказать о том, что одними и теми же дифференциальными уравнениями можно описывать совершенно разные реальные процессы, например электротехнические, механические и другие, т.е. дифференциальные уравнения как математические модели обладают большой общностью и в этом их важное философское и познавательное значение.

Межпредметные связи. Рассматриваемые на занятии математические модели в физике, биологии, экономике помогут увидеть силу межпредметных связей, важную роль математики, дающей мощный аппарат для решения многих задач, которые выдвигаются и успешно решаются в различных областях науки и практики.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Показать практическую значимость изучаемого материала, его широкое применение в общетехнических и специальных дисциплинах. Многие производственные процессы описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь составлять эти уравнения исходя из практической потребности.

Основные знания и умения: иметь понятие о решении несложных задач на составление дифференциальных уравнений по физике, электротехнике, экономике.

Обеспечение занятия:

Раздаточный материал: Опорный конспект с планом занятия и набором задач для решения.


Технические средства обучения: использование фрагментов из компьютерной программы обучения «Функции и графики», компьютерная презентация конструкторской задачи.


Литература: 1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов

2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов

3. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и

экономике.

4. Филимонова Е.В. Математика (среднее профессиональное образование).






Вопросы и упражнения для выполнения на занятии


  1. Какое уравнение называется дифференциальным?

  2. Назовите виды дифференциальных уравнений.

  3. Решите уравнение: dx = (1+x)dy. Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.

  4. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t. Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия Мhello_html_m221db12.gif при t =0

  5. Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t. Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R0 при t =0.

  6. Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А при t =0.

  7. Решить уравнение: ху'+ у = хhello_html_m3172e248.gif (х ≠ 0).

  8. Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.

  9. Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а также не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

  10. Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c

  11. Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у'' = - k2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.

  12. Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351

«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»

  1. Подведение итогов урока


Информация.


Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако, благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.


В 1917 году Эйнштейн сделал первую попытку применить общую теорию относительности для описания пространственно временной структуры Вселенной. А основные уравнения теории относительности – это дифференциальные уравнения, имеющие множество решений. Отсюда множество моделей Вселенной.

Дифференциальные уравнения показательного роста (убывания).

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.

Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:

f’(x) = k f(x)

где kconst , причем k может быть: k > 0 или k < 0.

Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением этого уравнения, является любая функция вида:

f(x) = C e kx,

где Cconst.

т.к. Cпроизвольная постоянная, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Смысл дифференциального уравнения заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке.

Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону.

Если r' (t) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.

r'(t) = – k x(t)

Значит, решением уравнения, является функция r'(t) = С e-kt. Найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:

r(0) = rо ,

r(0) = С*e-k*0 ,

где r (0) = С. Отсюда r(t) = ro · e-kt

Промежуток времени T, через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют “периодом полураспада”, зная Т, можно найти k:

hello_html_m7aef1152.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_3a045eaa.gif

hello_html_33b94839.gif

Логарифмируя по основанию е, получаем -k T = – ln 2 ,

hello_html_m467e28b9.gif

Например, для радия период полураспада hello_html_6b0e77b5.gif. Поэтому, hello_html_m95c1fa4.gif, следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы ro останется.

hello_html_23dae6eb.gif

Задача: Скорость размножения бактерий m'(t) связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением:

m' (t) = km(t),

где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий.

Решениями этого уравнения являются функции m(t) = C · e kt.

Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса mo бактерий известна, тогда

m(t) = mo · e kt.

Задача. Два тела имеют одинаковую температуру – 1000. Они вынесены на воздух, его температура 00. Через 10 мин. температура одного тела стала 800, а второго – 640. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 250.

Дано:

To = 1000

T1 = 00

t = 10 мин.

T1 = 800

T2 =640

T1(t2) – T2(t2) = 250

Найти: t2

Решение:

Имеем уравнение: T’(t) = -k (ToT1) … (1)

T1 – температура окружающей среды ToT1 = C · e-kt

Рассмотрим функцию: f(t) = To(t) – T1.

Из уравнения … (1) имеем f’(t) = -k*f(t),

f(t) = C · e-kt, при t = 0 f(0) = C · e-kt = C

1000 = C

Значит, 800= 1000 · e-10k, e-10k = 0,8

-10k = ln 0,8, hello_html_6ef6ab7b.gif

k = 0,022

2) 640 = 1000 · 1000 · e-10k, тогда e-10k = 0,64, следовательно -10 k = ln 0,64, hello_html_m1c70f6a6.gif

Следовательно hello_html_m2f6c89f0.gif

T2(t) = 100 e-0,045,

T1(t) – T2(t) = 25

Ответ: t = 31,06 мин.

Задача. Задача о гармонических колебаниях.

В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются например, колебательные движения маятника, струны, пружины, процессы связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциальных уравнений

y '' = – k 2y

где kзаданное положительное число

Решением является функция вида y= c1 sin kx + c2 cos kx

Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком. (Демонстрация презентации).

1. hello_html_m45c6b740.gif

2. hello_html_m3350f72d.gif

3. hello_html_m4e480eb2.gif

4. hello_html_m35053e7d.gif

5. hello_html_mc2ba99d.gif


Решаем квадратное уравнение относительно y':

hello_html_m2810c09c.gif

hello_html_5bf95605.gif следовательно hello_html_621c9a3a.gifhello_html_581c7d70.gif

Решим это уравнение, взяв +hello_html_m3b4cd8d8.gif hello_html_621c9a3a.gifhello_html_m67421b10.gif, заменяем hello_html_3da1e087.gif на hello_html_m10582764.gif получаем

hello_html_5ee5d579.gifhello_html_m67421b10.gif ,умножаем обе части на dx, отсюда hello_html_4f3d0efa.gifhello_html_m258f66e8.gif это однородное уравнение.

Сделаем замену y= z x и продифференцируем ее по x, получим dy=x dz + z dx, подставляем hello_html_m5296e487.gif

Обе части делим на x получаем hello_html_m68ae1c2b.gif, раскрываем скобки и приводим подобные hello_html_m7de63e5d.gif , разделяем переменные hello_html_m35ebdb25.gif, интегрируем hello_html_m63dd1a65.gif, решением будет функция hello_html_m13a63566.gif далее hello_html_28d6dc80.gif, т.к hello_html_m12332b00.gif , то hello_html_m66ee7e58.gif раскрываем скобки hello_html_md886362.gif в итоге получаем hello_html_m19aeaed9.gif - это каноническое уравнение параболы с вершиной (hello_html_m7f95abdf.gif; 0) и фокусом в точке (0;0).





Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

Решение. А = А0 e кt


А0 = 3,6 · 109, А = 40 · 109, k = 0,017

40 · 109 = 3,6 · 109 · e 0,017t , t = (2 ln 10/3) /0,017 ≈ 142 г.


Ответ: В 2122 году наступит предел насыщения

Беседа о бережном отношении к природе и ее богатствам.
























ХРОНОМЕТРАЖ ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ


Вопросы и упражнения для выполнения на занятии


  1. Какое уравнение называется дифференциальным?

  2. Назовите виды дифференциальных уравнений.

3 мин

  1. Решите уравнение: dx = (1+x) dy. Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.

7 мин

  1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t. Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =Мhello_html_m221db12.gif при t =0

  2. Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t. Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R0 при t =0.

  3. Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = Аhello_html_m221db12.gif при t =0.

15 мин

  1. Решить уравнение: ху'+ у = хhello_html_m3172e248.gif (х ≠ 0 ).

10 мин

  1. Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.

25 мин

  1. Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

15 мин

  1. Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c

  2. Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у'' = - k2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.

Резервное время 10 мин

  1. Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351

«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»

  1. Подведение итогов урока 5 мин




7


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 27.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров466
Номер материала ДВ-292205
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

2 месяца назад
Спасибо за предоставленную возможность воспользоваться конспектом урока. Материал изложен интересно. Практически все использовала на своем уроке.
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх