Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Занятие с одаренными детьми по математике на тему "Задачи на «смеси и сплавы», на «концентрацию»"

Занятие с одаренными детьми по математике на тему "Задачи на «смеси и сплавы», на «концентрацию»"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Задачи на «смеси и сплавы», на «концентрацию»

  1. Немного теории

В задачах на «концентрацию», на «смеси и сплавы» часто встречаются такие понятия, как «процентное содержание» или «концентрация».

Например, если в задаче говорится о двенадцатипроцентном растворе уксуса, то это означает, что в данном растворе 12% чистого уксуса, а остальные 88% приходятся на воду, с которой смешивался чистый уксус. Кроме этого, можно сказать, что 0,12 части в этом растворе составляет чистый уксус, а 0,88части приходится на воду. Стоит заметить, что объем всего раствора принимается за 100%, или за 1.

В задачах данного типа обычно рассматривают три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:

  • концентрация (доля чистого вещества в сплаве, или в смеси)

  • количество чистого вещества в смеси, или в сплаве

  • масса сплава или смеси.

Соотношения между этими величинами имеет вид:

количество чистого вещества (m) = масса смеси (М) ͯ концентрация (ɑ).

Пример 1: Сколько литров воды надо добавить к 20 л пятипроцентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцентный раствор?

Важно: Соль содержится в каждом из растворов и ее количество не меняется.

Решение:

Можно схематически изобразить условие задачи.

20 л

5% р-ра соли

+

х л воды

(0% р-ра соли)

=

(20 + х) л

4% р-ра соли

Составим и решим уравнение:

0,05 ∙ 20 + 0 ∙ х = 0,04∙(20 + х)

1= 0,8 +0,04 х

х = 5

5 л воды надо добавить к 20 л 5% раствора соли, чтобы получить 4% раствор.

Ответ: 5л.

Пример 2: Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди?

Решение:

Можно схематически изобразить условие задачи.

масса сплава х

концентрация меди 42%

+

масса сплава у

концентрация меди 65%

=

масса сплава ( х +у)

концентрация меди 50%

Составим и. решая уравнение с двумя переменными, найдем отношение .

0,42 ∙ х + 0,65 ∙ у = 0,5∙(х + у)

42х +65у = 50х +50у

15у =8 х

=

Ответ: первый и второй сплавы нужно взять в отношении 15 к 8.

Пример 3: Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение:

Можно схематически изобразить условие задачи.

масса раствора х г

концентрация р-ра 30%

+

масса раствора у г концентрация р-ра 10%

=

масса раствора 600 г

концентрация р-ра 15%

Составим и решим систему уравнений:

х + у = 600,

0,3 ∙ х + 0,1 ∙ у = 0,15 ∙ 600;


х + у = 600,

3 х + у = 900;

Решив систему, получим х = 150, у = 450.

Т.е. 150г – 30%-ного раствора, 450г – 10%-ного раствора.

Ответ: 150 г, 450 г.

Пример 4: Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где М – масса всего винограда, или изюма; m – масса сухого вещества в винограде, или изюме; ɑ - концентрация (процентное содержание сухого вещества в винограде, или изюме).



Т.к. масса сухого вещества в винограде при сушке не изменяется, то получим уравнение:

х ∙ 0,1 = 20 ∙ 0,95, отсюда х = 190.

190 кг – винограда потребуется.

Ответ: 190 кг.



Пример 5: Собрали 100 кг грибов. Их влажность составляла 99%. За день грибы немного подсохли, и их влажность составила 98%. Сколько стали весить грибы?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где М – масса всех грибов; m – масса сухого вещества в грибах; ɑ - концентрация (процентное содержание сухого вещества в грибах).



Т.к. масса сухого вещества в грибах при сушке не изменяется, то получим уравнение:

х ∙ 0,02 = 100 ∙ 0,01, отсюда х = 50.

50 кг – стали весить грибы.

Ответ: 50 кг.

  1. Условия задач

  1. Имеется два сплава. В первом сплаве содержится 10% меди, а во втором сплаве содержится 30% меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% меди. На сколько килограммов масса второго сплава больше массы первого?

  2. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 40% никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% никеля. Найдите массу третьего сплава.

  3. Смешав 30-процентный раствор кислоты с 60-процентным раствором кислоты и, добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для смеси?

  4. Смешав 70-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 2 кг чистой воды, получили 50-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 70-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 70-процентного раствора использовали для получения смеси?

  5. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  6. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  7. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

  8. Сколько килограммов 20% и 50% сплавов никеля нужно сплавить, чтобы получить 30 кг 30% сплава?





  1. Решение задач

  1. Имеется два сплава. В первом сплаве содержится 10% меди, а во втором сплаве содержится 30% меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% меди. На сколько килограммов масса второго сплава больше массы первого?

Решение:

Можно схематически изобразить условие задачи.

масса сплава х кг

концентрация меди 10%

+

масса сплава у кг концентрация меди 30%

=

масса сплава 200 кг

концентрация меди 25%



Составим и решим систему уравнений:

х + у = 200,

0,1 ∙ х + 0,3 ∙ у = 0,25 ∙200;


х + у = 200,

х + 3у = 500;

Решив систему, получим х = 50, у = 150.

50 кг – масса первого сплава, 150 кг – масса второго сплава;

150 – 50 = 100 (кг) – масса второго сплава больше первого.

Ответ: на 100 кг.



  1. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 40% никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% никеля. Найдите массу третьего сплава.

Решение:

Можно схематически изобразить условие задачи.

масса сплава х кг

концентрация никеля 10%

+

масса сплава (х + 3) кг концентрация никеля 40%

=

масса сплава (х + х + 3) к г

концентрация никеля 30%

Составим и решим уравнение:

0,1 х + 0,4( х + 3)= 0,3(х + х + 3),

х + 4( х + 3) = 3(2 х + 3),

+ 12 =+ 9,

х = 3.

3 кг – масса первого сплава,

6 кг – масса второго сплава,

9 кг – масса третьего сплава.

Ответ: 9 кг.

  1. Смешав 30-процентный раствор кислоты с 60-процентным раствором кислоты и, добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для смеси?

Решение:

Можно схематически изобразить условие задачи.

масса раствора х кг

концентрация кислоты 30%


+

масса раствора у кг

концентрация кислоты 60%


+

масса воды 10 кг

концентрация кислоты 0%


=

масса раствора (х + у + 10) кг

концентрация кислоты 36%



масса раствора х кг

концентрация кислоты 30%


+

масса раствора у кг

концентрация кислоты 60%


+

масса раствора 10 кг

концентрация кислоты 50%


=

масса раствора (х + у + 10) кг

концентрация кислоты 41%

Требуется найти массу 30%-ного раствора.

Составим и решим систему уравнений:

0,3 х + 0,6у + 0 ∙ 10 =0,36 ∙ (х + у + 10),

0,3 х + 0,6у + 0,5 ∙ 10 =0,41 ∙ (х + у + 10),


30 х + 60у =36 ∙ (х + у + 10),

30 х + 60у + 500 =41 ∙ (х + у + 10),


Решив систему, получим х = 30, у = 60.

30 кг – масса 30%-ного раствора, 60 кг – масса 60%-ного раствора.

Ответ: 30 кг.



  1. Смешав 70-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 2 кг чистой воды, получили 50-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 70-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 70-процентного раствора использовали для получения смеси?



Решение:

Можно схематически изобразить условие задачи.

масса раствора х кг

концентрация кислоты 70%


+

масса раствора у кг

концентрация кислоты 60%


+

масса воды 2 кг

концентрация кислоты 0%


=

масса раствора (х + у + 2) кг

концентрация кислоты 50%



масса раствора х кг

концентрация кислоты 70%


+

масса раствора у кг

концентрация кислоты 60%


+

масса раствора 2 кг

концентрация кислоты 90%


=

масса раствора (х + у + 2) кг

концентрация кислоты 70%

Требуется найти массу 70%-ного раствора.

Составим и решим систему уравнений:

0,7 х + 0,6у + 0 ∙ 2 =0,5 ∙ (х + у + 2),

0,7х + 0,6у + 0,9 ∙ 2 =0,7 ∙ (х + у + 2),


7 х + 6у =5 ∙ (х + у + 2),

7 х + 6у + 18 =7 ∙ (х + у + 2),


Решив систему, получим х = 3, у = 4.

3 кг – масса 70%-ного раствора, 4 кг – масса 60%-ного раствора.

Ответ: 3 кг.



  1. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где М – объем всего раствора; m – объем некоторого вещества в растворе; ɑ - концентрация (процентное содержание некоторого вещества в растворе).





Т.к. ɑ = m : M, то 2,1 : 10 = 0,21 – т.е. 21 % составляет концентрация получившегося раствора.

Ответ: 21%.



  1. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где М – объем всего раствора; m – объем некоторого вещества в растворе; ɑ - концентрация (процентное содержание некоторого вещества в растворе).



Т.к. ɑ = m : M, то 0,34х : 2х = 0,17 – т.е. 17 % составляет концентрация получившегося раствора.

Ответ: 17%.



  1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где М – объем всего раствора; m – объем некоторого вещества в растворе; ɑ - концентрация (процентное содержание некоторого вещества в растворе).



Т.к. ɑ = m : M, то 0,6 : 12 = 0,05 – т.е. 5 % составляет концентрация получившегося раствора.

Ответ: 5%.



  1. Сколько килограммов 20% и 50% сплавов никеля нужно сплавить, чтобы получить 30 кг 30% сплава?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где М –масса всего сплава; m – масса никеля в сплаве; ɑ - концентрация (процентное содержание никеля в сплаве).



Составим и решим уравнение:

0,2 ∙ х + 0,5 ∙(30 – х) = 9,

0,2 х +15 – 0,5 х = 9,

0,3х = 6,

х = 20.

Т.е. 20 кг – масса 20%- ного сплава никеля,

30 – 20 = 10 кг – масса 50%- ного сплава никеля,

Ответ: 20 кг, 10 кг.



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 17.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров29
Номер материала ДБ-158457
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх