Занятие в математической смене пришкольного лагеря № 4 "Признаки делимости".

Занятие 4.

Разминка. Эффект плюс – минус один.

№1 Петя говорит: «Позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполниться тринадцать». Могут ли его слова быть правдой?

№ 2. Одним уларом силач разобьёт любой кусок бетона на три части. За сколько ударов он разобьёт бетонную плиту на 27 частей?

№ 3. Расстояние между соседними станциями равно 7 км. Определите длину маршрута, на котором 23 станции.

№ 4. Лифт доходит на 5-ый этаж за 1 минуту. За какое время он дойдёт с 1-го этажа до 20-го?

Принцип Дирихле. Если в х клетках сидит х+1 кролик, то найдётся клетка, в которой сидит не менее двух кроликов.

Доказательство. Предположим противное, то есть в каждой клетке не более одного кролика. Так как клеток х, то и кроликов не более х, что противоречит условию задачи.

№ 5. Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

№ 6. В ящике лежат носки: 10 чёрных, 10 синих, 10 белых. Какое наименьшее количество носков надо вынуть, не глядя, чтобы среди вынутых носков оказалось два носка а) одного цвета, б) разных цветов, в) чёрного цвета.

Остатки и делимость (продолжение)

№ 7. Найдите все такие к, что числа к и 5к + 1 – простые.

№ 8. Найдите все такие а, что а и a² + 2 – простые.

№ 9. Известно, что 13х=41у, числа х и у не равные нулю. Всегда ли число х+у делится на 9?

№ 10. Докажите, что если а-3 делится на 7, и с +5 делится на 7, то а+2с делится на 7.

Признаки делимости.

abcd=1000a+100b+10c+d – разрядная запись числа.

Число делится на 2 (на 5), если его последняя цифра делится на 2 (на5).

Число делится на 3 (на9), если сумма цифр числа делится на 3 (на 9).

Число делится на 4 (на 25), если число, составленное из двух его последних цифр делится на 4 (на 25).

Число делится на 10 (на 100), если его последняя цифра 0 (две последние цифры равны 0).

№ 11. Как проверить делится ли число на а)6, б)12, в)15, г)18, д)30, е)45, ж)75, з)225?

№ 12.Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. Докажите, что полученное число делится на 9.

№ 13. Реваль перемножил все числа от 1 до 1999. У полученного числа он посчитал  сумму цифр, затем посчитал сумму цифр результата и так далее, пока не получил число, состоящее из одной цифры. Какое однозначное число он получил?

№ 14. Решите в целых числах уравнение a⁴ -   a³  + a  + 1= 7у.

Математическое ассорти.

№ 15. На каждой перемене Раильхан съедает по конфете. За неделю (с понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съел Раильхан?

№ 16. Александра написала на доске 2011 целых чисел. Докажите, что она сможет стереть одно из чисел так, чтобы сумма оставшихся была чётной.

№ 17. Разложение некоторого числа на простые множители имеет вид: 2¹³ 3¹⁰ 5¹⁰ 7¹³ на сколько нулей оканчивается это число?

№ 18. Диляра и её друзья встали по кругу. Выяснилось, что оба соседа каждого ребёнка одного пола. Среди Диляриных  друзей 5 мальчиков, а сколько девочек?

№ 19. На картине размером 20см х15см сидят 40 комаров. Докажите, что за один удар можно прихлопнуть не менее 4-х комаров круглой мухобойкой радиусом 5 см.

Домашнее задание.

№ 20. Одним ударом силач разбивает любой кусок бетона на 4 части. Сможет ли он за несколько ударов разбить бетонную плиту на 32 части?

№ 21. В банк можно положить за один раз 120 руб. или снять 300 руб. На счету есть 1000 руб, а других денег нет. Какую наибольшую сумму можно сныть за несколько раз?

№ 22. Сформулируйте признаки делимости на а) на 8, б)на 11, в) на 125

№ 23. Найдите все двузначные натуральные числа, у которых удвоенная сумма цифр делится на 3, а утроенная сумма цифр делится на 5.

№ 24. Из двузначного числа вычли число, получающееся из него же перестановкой цифр. Докажите, что полученное число делится на 9.

Решения и ответы к занятию 4.

№1. Например Петя родился 31 декабря, а говорит 1 января.

№ 2. за 13. После каждого удара количество кусков бетона увеличивается на 2.

№ 3. 7х22=154 км.

№ 4. 4 минуты 45 секунд. На один этаж лифт поднимается за 60:4=15 секунд, на 20-й этаж он поднимется за (20-1)х15=19х15=285 секунд=4 минуты 45 сек.

№ 5. Если бы все мальчики собрали разное количество грибов, то 0+1+2+3+4=10 грибов они собрали бы как минимум. По условию они собрали 9 грибов, значит, хотя бы двое нашли грибов поровну, например: 1+1+2+3+2=9

№ 6. а)4, б)11, в)22

№ 7. к и 5к+1 – это числа разной чётности, значит одно из них является чётным числом. Единственное простое чётное число 2, значит к=2 или 5к+1=2. Число 5к+1 не может быть равно 2 для натуральных значений к, значит к=2. Тогда 5к+1=5х2+1=11. Ответ: к=2.

№ 8. Проверим наименьшее простое число а=2, тогда a² + 2=6 –составное, что не удовлетворяет условию задачи. При делении на 3 a²    дает остатки 0; 1; 2, тогда числа а или a² + 2 делятся на 3. Но a² + 2 делится на 3 при а = 1- не является простым числом, значит а=3 и a² + 2 = 11. Ответ а=3.

№ 9. Так как 13х=41у, то х=41∙ у/13, значит число х делится на 41. Пусть х=41к, где к- натуральное число, подставим в уравнение 13∙ 41к=41у, тогда у=13к,  подставим в сумму х+у=41к+13к=54к, 54 делится на 9, значит сумма делится на 9 для любого натурального к.

№ 10. Так как а – 3 делится на 7, то а – 3 ≡ 0 (mod 7), тогда а ≡ 3 (mod 7). Так как с + 5 делится на 7, то

с+5≡0(mod 7), тогда с≡ - 5(mod 7), откуда с≡ 2(mod 7). Получаем а+2с≡ 3 +2∙ 2=7≡ 0 (mod 7).

№11. а) 6=2х3, нужно проверить делимость на 2 и 3, б) 12=4х3, проверить делимость на 4 из, в) 15=3х5, г)18=2х9, д)30=2х3х5, е)45=5х9, ж)75=3х25, з)225=9х25.

№12. 1000а +100в+10с –а- в- с=999а – 99в – 9 с = 9(111а- 11в – с), это произведение делится на 9, следовательно полученное число делится на 9. Способ 2: любое число при делении на 9 дает такой же остаток, что и сумма его цифр. Значит, если из числа вычесть сумму его цифр, остаток будет равен 0, что означает – полученное число делится на 9.

№ 13. 9. Произведение всех чисел от 1 до 1999 делится на 9, так как в этом произведении встречается число 9, следовательно сумма цифр полученного числа тоже делится на 9. Далее при замене числа на сумму его цифр, полученные числа так же будут делиться на9. Последнее число однозначное, из однозначных на 9 делятся 0 и 9. Но сумма цифр не может быть равна нулю, значит это число 9.

№ 14 Правая часть уравнения делится на 7, значит левая часть уравнения должна делится на 7. Найдем остатки от деления выражения a⁴ -   a³  + a  + 1 на 7.

а	0	1	2	3	4	5	6
a3	0	1	1	6	1	6	6
a4	0	1	2	4	4	2	1
a4 -   a3	0	0	1	5	3	3	2
a4 -   a3  + a  + 1	1	2	4	2	1	2	2

Из таблицы видно, что выражение не делится на 7 ни при каких целых значениях а, значит уравнение не имеет решения в целых числах.

№15. Перерывов между уроками было 30-1=29, из них 5 перерывов между днями недели, тогда перемен 29-5=24, следовательно 24 конфеты.

№ 16. Достаточно посмотреть на количество нечётных чисел. 1 случай – чётное количество нечётных чисел, тогда достаточно стереть чётное число и сумма будет чётной. 2 случай – нечётное количество нечётных чисел, тогда стираем одно нечётное и сумма становится чётной.

№ 17. ноль на конце числа получается в результате произведения 2х5=10, среди имеющихся множителей – 2 в 13-0й степени, а 5 в 10-ой, значит получиться десять нулей.

№ 18. Диляра – девочка, если бы её соседи были девочки, то соседи её соседей также были бы девочками, и так далее, то есть все друзья – девочки. Но по условию – 5 мальчиков. Тогда Дилярины соседи – мальчики, их соседи – девочки, и так далее, то есть мальчики и девочки чередуются. Значит, среди друзей – 4 девочки.

№ 19. Мухобойка может покрывать квадрат площадью 5х5 полностью. Картина 20х15=300 кв.см состоит из 12-ти квадратов 5х5. Если в каждый квадрат сядет меньше 4-х комаров, то комаров будет не более 3х12=36, а по условию их 40. Значит, найдётся квадрат, в котором хотя бы 4 комара, их можно прихлопнуть данной мухобойкой.