Инфоурок / Математика / Конспекты / Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

библиотека
материалов
hello_html_m2815fd84.gif
  1. Занятие кружка в 11 «А» классе.

Тема: «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью

способами на примере решения одной задачи».

Цель: 1) Рассмотреть 5 способов решения классической задачи на нахождение расстояния между диагоналями соседних граней единичного куба.

2) Развитие навыка у учащихся подходить к решению задач с разных точек зрения.

3) Снять неуверенность учащихся при решении стереометрических задач.

4) прививать интерес к математике.

5) Готовить учащихся к ЕГЭ по математике.

Ход занятия.

Задача. Найти расстояние между диагоналями А1С1 и АD1 в единичном кубе.


hello_html_ee19bcf.png

1-й способ: Метод нахождения длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

hello_html_61d73657.pnghello_html_m6ef4407e.png

Пусть РЕ – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых А1С1 и АD1. Проведем

ЕN hello_html_7ab5af4d.gif А1D1, РК hello_html_7ab5af4d.gif А1D1. Тогда РN – проекция наклонной РЕ на пл. А1В1С1, по теореме о трех перпендикулярах РN hello_html_7ab5af4d.gif А1С1. КЕ – проекция наклонной РЕ на пл. А1D1D, аналогично

КЕ hello_html_7ab5af4d.gif АD1.

Рассмотрим отдельно развертку граней. hello_html_m6f0d1cd8.gifА1КР равнобедренный, hello_html_m3b8c471b.gifА1РК = hello_html_m3b8c471b.gif КРN =

= hello_html_m3b8c471b.gifРNК = 45hello_html_m228c0d80.gif. Тогда hello_html_m6f0d1cd8.gif РКN – равнобедренный, А1К = КN. Аналогично из нижнего рисунка ND1 = KN, отсюда следует, что А1К = КN = ND1= hello_html_m3ffc1b83.gif

Найдем РN из треугольника КРN: РN = hello_html_677af8c4.gif

Из треугольника РNЕ РЕ = hello_html_4f70a94e.gif Ответ: hello_html_1ea5e5cd.gif

2-й способ: Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

hello_html_m19ed1b4f.png

Проведем ВС1 hello_html_m3bd0edd4.gif АD1, АD1 hello_html_m3bd0edd4.gif ВС1, ВС1hello_html_2561db53.gifпл.А1ВС1 hello_html_2a1d7697.gif АD1 hello_html_m3bd0edd4.gifпл.А1ВС1. Найдем расстояние от прямой АD1 до этой плоскости, например, от точки D1 до этой плоскости. У нас получилась пирамида D1А1ВС1. Ее объем можно найти двумя способами.

V = hello_html_7b62231e.gif, если за основание принять hello_html_m77b62e59.gif1С1В, h – искомое расстояние.

V = hello_html_100d8ab5.gifВВ1, где ВВ1 – высота, проведенная к основанию А1ВС1.

hello_html_3b6a88ae.gifhello_html_100d8ab5.gifВВ1, откуда h = hello_html_1ea5e5cd.gif Ответ: hello_html_7ab21a0a.gif


3-й способ: Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через данные скрещивающиеся прямые.

hello_html_2ebaf269.pnghello_html_63f469c5.png

Проведем С1В hello_html_m3bd0edd4.gifD1А и АС hello_html_m3bd0edd4.gifА1С1, тогда пл. А1С1В hello_html_m3bd0edd4.gifпл. АD1С, т. к. две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум пересекающимся прямым другой плоскости. Найдем расстояние между этими параллельными плоскостями, оно и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Проведем диагональ В1D, она перпендикулярна нашим плоскостям и пересекает их в точках М и К. Эти точки делят диагональ В1D на 3 равные части. Это видно на отдельном рисунке (теорема Фалеса).

Расстояние между плоскостями – длина отрезка МК. МК = hello_html_7f8f9891.gif В1D = hello_html_1ea5e5cd.gif

Ответ: hello_html_7ab21a0a.gif.


4-й способ: Метод «экрана». Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость (так называемый «экран») до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.

hello_html_m6fd133c5.pnghello_html_m13f201af.png

В качестве «экрана» возьмем плоскость В1D1D (на рисунке – синяя).

Проекцией прямой А1О1 на эту плоскость будет точка О1, проекцией прямой АD1 будет прямая ОD1. Найдем расстояние от точки О1 в плоскости DВВ1 до прямой ОD1, т. е. отрезок О1Н.

ОD1 = hello_html_7434cb44.gif По свойсвам пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике hello_html_31b6d5c2.gif hello_html_m6de237eb.gif hello_html_m350080f1.gif; hello_html_m53596a5c.gif;

Из треугольника О1НD1 по теореме Пифагора находим О1Н = hello_html_74db86de.gif hello_html_1ea5e5cd.gif

Ответ: hello_html_7ab21a0a.gif.


5-й способ: Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью координат.

hello_html_m51483ed2.png

Введем систему координат, выбрав за начало координат точку В, ось абсцисс направим по лучу ВА, ось ординат – по лучу ВС, ось аппликат – по лучу ВВ1. За единичный отрезок выберем длину стороны куба.

Проведем ВС1 hello_html_m3bd0edd4.gif АD1, ВС1hello_html_2561db53.gifпл.А1ВС1 hello_html_2a1d7697.gif АD1 hello_html_m3bd0edd4.gifпл. А1ВС1. Найдем расстояние от прямой АD1 до этой плоскости, например, от точки А до этой плоскости.

А(1; 0; 0).

Запишем уравнение плоскости А1ВС1 (назовем ее hello_html_5a8f8c8c.gif в общем виде: hello_html_m1fede0e5.gif

А1(1; 0; 1); С1(0; 1; 1); В(0; 0; 0). Все точки принадлежат искомой плоскости, значит, их координаты удовлетворяют уравнению плоскости, подставим их, при этом d = 0, т. к. плоскость проходит через начало координат.

hello_html_m6552a1f6.gifhello_html_m7c2bb5c3.gifПодставляем эти коэффициенты в уравнение.

hello_html_m6219be0e.gif, разделим обе части на сhello_html_16fdee67.gif.

hello_html_3d7b4134.gif, т. е. hello_html_m59760942.gif

hello_html_m571a6ce2.gif= hello_html_57acab31.gif, где А(х0; y0; z0).


hello_html_m571a6ce2.gif= hello_html_694429d5.gif = hello_html_a05806a.gif Ответ: hello_html_7ab21a0a.gif.



Подведение итогов.

Краткое описание документа:

 

Занятие кружка проводилось в 10 классе. Использовались каркасные модели куба, с помощью ниток, проволоки и пластелина моделировались задачи. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми - это не самая легкая тема, поэтому решение задачи различными способами способствовало лучшему усвоению темы. Способы решения: 

1) Метод нахождения длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

2) Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

3) Нахождение расстояния между  двумя параллельными плоскостями, проходящими через данные скрещивающиеся прямые.

4) Метод «экрана».

 

5) Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью координат.

 

Общая информация

Номер материала: 152510

Похожие материалы