Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Збірник дидактичних матеріалів "У світі логарифмів" .Алгебра 11 клас
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Збірник дидактичних матеріалів "У світі логарифмів" .Алгебра 11 клас

библиотека
материалов

hello_html_5c1d6861.gifhello_html_5c1d6861.gif

Міністерство освіти і науки України

Відділ освіти Юр’ївської районної

державної адміністрації

Чаплинська середня загальноосвітня

школа I-III ступенів







У світі логарифмів










Балясна Антоніна Олексіївна

вчитель математики




2015 рік













































ЗМІСТ

Передмова………………………………………………...............................4

Розділ1. Логарифм числа

1. Теоретичні відомості , приклади…………………..............................5

2. Тренувальні вправи…………………….………………......................7

3. Самостійні роботи………………………….……………....................8

Розділ2. Логарифмічна функція

1. Теоретичні відомості, приклади……………………..........................13

2. Тренувальні вправи……………………….………………..................14

3. Самостійні роботи………………………………………….................15


Розділ3. Логарифмічні рівняння

1. Теоретичні відомості,приклади……………………............................18

2. Тренувальні вправи………………………………………....................20

3. Самостійні роботи……………………………..…………....................21


Розділ4. Логарифмічні нерівності числа

1. Теоретичні відомості, приклади…………………………...................23

2. Тренувальні вправи………………………………………....................25

3. Самостійні роботи…………………………….………….....................26

Тематичне оцінювання з теми .Контрольна робота …………………..28

Література …………………………………………………………………. 32









Передмова

У збірнику міститься короткі теоретичні відомості про логарифмічну функцію ,властивості логарифмів,логарифмічні рівняння і нерівності та приклади їх розв’язування. А також різнорівневі завдання для самостійних і контрольних робіт та тренувальні вправи з теми. Самостійні роботи дані з кожної теми, а контрольні роботи з 2-3 тем у відповідності з рекомендаціями Міністерства освіти України.

Виконання самостійних робіт передбачено у три етапи на 3 уроках (по 15-25 хв). Спочатку на першому із цих уроків учні виконують завдання середнього рівня. На другому етапі учні, які досягли середнього рівня (поточних балів 5 або 6), виконують системи завдань достатнього рівня, а інші — повторно виконують завдання середнього рівня іншого варіанту. На третьому етапі системи завдань високого рівня пропонуються учням, що досягли достатнього рівня. Учням, що не досягли середнього чи достатнього рівнів, рекомендуються для виконання системи завдань відповідного рівня.

Інший спосіб використання самостійних робіт – виконання учнями завдань доступного рівня на завершальному етапі вивчення теми.

Рекомендовано для вчителів математики 11 класу.












РОЗДІЛ1. ЛОГАРИФМ ЧИСЛА

Теоретична частина

Означення: Логарифмом додатного числа b з основою а , де а>0 і а1, називають показник степеня, до якого потрібно піднести число а, щоб отримати число b.(loga b читається: логарифм числа b за основою a.)

Властивості логарифмів

Основна логарифмічна тотожність : hello_html_m4c19a1e4.gif =b ;

Також з означення логарифма випливає , що при а>0 і а1

  • loga1=0; logaa =1

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів :

  • loga xy= loga x + loga y

Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів:

  • loga hello_html_m8115502.gif = loga x - loga y.

  • loga xb = b loga x

  • logak bk = loga b

  • loga b =hello_html_566dafbd.gif ;

  • logab =hello_html_1fa30c9a.gif ;

  • {\log_{a^q}{b}}^p = \frac{p}{q}\log_a{b}.

  • \log_{a^k} b = \frac {1} {k} \log_a b; \quad \log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b; \quad \log_{a^k} b^k = \log_a b


  • c^{\log_a b}=b^{\log_a c}

Важливі випадки логарифмів

Десятковий логарифм - це логарифм за основою 10. Позначається lg x.

За визначенням log10 x = lg x. lg 10 = 1, lg 10000 = 4, lg 0.001 = -3

Натуральний логарифм - це логарифм за основою e (де Неперове число e = 2,71828...). Позначається ln x. За визначенням loge x = ln x.

Приклад1.. Розв’яжіть рівняння: 1) 3х=7 ; 2) 0,42х-5=9.

Розв’язання:1) За означенням логарифма випливає , що х= log37.

2) Маємо : 2х – 5= log0,49 ; 2х= log0,49 +5 ; х =hello_html_5da67880.gif.

Відповідь: 1) log37; 2) hello_html_5da67880.gif .

Приклад 2. Обчисліть значення виразу : 1) 102+2 lg 7; 2)9log3 4 – 0,5

Розв’язання:1) Застосовуючи властивості степенів і основну логарифмічну тотожність, отримуємо:

102 + 2 lg 7 = 102 hello_html_79c0f69b.gif 102 lg 7 = 100hello_html_79c0f69b.gif (10lg 7)2 = 100 hello_html_79c0f69b.gif 72 = 4900

2) Маємо :

9log3 4 – 0,5 = (32) log3 4 – 0,5 = (32) log3 4 : (32)0,5 = (3 log3 4)2 : 3 = 42 : 3 = hello_html_6d922c3b.gif

Приклад 3.. При якому значенні х виконується рівність: 1) hello_html_46fab938.gifx =-5 ; 2) logx16 =4 ?

Розв’язання:1) Вираз hello_html_46fab938.gifх визначено при х>0. З означення логарифма випливає , що (hello_html_6eec8aff.gif)-5 =х , тобто х= 32. 2) Вираз logx16 визначено при х>0 і хhello_html_m2bc03806.gif1. Згідно з означенням логарифма маємо : х4 = 16 .Звідси х=2.

Приклад 4. Обчисліть значення виразу:

  1. log220 + log212 – log215 ; 2) hello_html_6eec8aff.giflog369 + hello_html_7f8f9891.giflog368.

Розв’язання:1) Використовуючи теореми про логарифм добутку і логарифм частки , отримуємо:

log220+ log212 – log215= log2 (20hello_html_79c0f69b.gif12) - log215= log2hello_html_m7865b015.gif =log16=4.

2)Маємо:

hello_html_6eec8aff.giflog369 + hello_html_7f8f9891.giflog368= hello_html_6eec8aff.giflog3632 + hello_html_7f8f9891.giflog3623 =log363 + log362 =log366= hello_html_6eec8aff.gif.

Приклад 5. Відомо , що lg2=a , log27=b .Знайдіть lg56.

Розв’язання: Маємо:

lg56 = lg(8hello_html_m70e9f0e0.gif) = lg8 + lg7 =lg23 + hello_html_m43a33387.gif = 3lg2 + log27hello_html_79c0f69b.giflg2= 3a +ba.


Тренувальні вправи

  1. Обчислити:

І. 1) hello_html_63caa560.gif ; 2) hello_html_70ae6c3b.gif ; 3) hello_html_m5357d5d0.gif ; 4)hello_html_m7e7b4863.gif.

II. 1) log4 log9 81; 2) log9 log4 64; 3)4log2 5 + 2 log0,253; 4)3log916 – log278.

III. 1) log4 log11 121 + log16 hello_html_39f1b7ec.gif ; 2) log8 log14 196 – log7 hello_html_6f5e8cf4.gif ; 3) hello_html_42f53e2.gif;

4)hello_html_m1e55cf77.gif;


  1. Розв’язати рівняння:

I. 1) log4 x = - hello_html_6eec8aff.gif ; 2) hello_html_m5fcc1693.gif x = - hello_html_7f8f9891.gif ; 3) logx 4 = hello_html_7f8f9891.gif ;

4) logx 9 = hello_html_6a1c94eb.gif ; 5) x2 + 2log2x = 12; 6) x2 + 3log3x = 20.

II. 1)log4sinx =-hello_html_6eec8aff.gif ; 2)log8cosx = -hello_html_7f8f9891.gif ; 3)log2x-1(4,5x) =2;

4)log3x-1(3x+1) =2; 5)2x2 + hello_html_3c57ab32.gif =hello_html_m1de008fb.gif ;6) 3x2 + hello_html_m171e5cb6.gif =hello_html_m23972c9e.gif.

III. 1) hello_html_m4759aa47.gif(tgx +4) = 2 ; 2)hello_html_m4f8befca.gif(tgx +1) = 2; 3)hello_html_m6fa52708.gifsinx = 1;

4)hello_html_6b0b31f4.gif(hello_html_m2334159.gifx) = 1; 5)cos2x – 0,25hello_html_m2f8ee074.gif =0,125.

Диктант

  1. Логарифмом числа b за основою а називається…

  2. Вказати неправильну рівність:

а). log 2 16 = 4; а). log 3 27 = 3

б). log 3 hello_html_m18433973.gif = 4; б). log 0,5 0,5 = 1;

в). log 0.1 = 0; в). log 2 0.125 = – 3;

г). lg 1000 = 3; г). lg 1000 = 5;


  1. Подати в показниковій формі:

log 2 64 = 6; log5 25 = 2;


  1. Знайти х:

а). log 5 х = 2; а). log 3 х = 2;

б). log 3 27 = х; б). log 3 81 = х.


  1. Обчислити: 81 log 9 8 36 log 6 7


  1. Чи має зміст вираз:

а). log 4 (– 64); a). log 2 (– 4);

б). log 6 (– 6)2; б). log 8 (– 16)2.


Самостійні роботи

Варіант 1.

Середній рівень

1. Обчислити:

1) log2 64; hello_html_13cefbaf.gif; hello_html_m9e07a01.gif;

2) log6 2 + log6 3; hello_html_md0d4c0b.gif; hello_html_m6b6c178c.gif; 3) hello_html_m39ec0e66.gif.

2. Прологарифмувати за основою 5 вираз hello_html_3e189fb6.gif.

3. Знайти lg x = lg 12 + 5lg a + hello_html_m558905e8.giflg b – 4lg c.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити: hello_html_m7ae1add1.gif; hello_html_m3ed1153b.gif; hello_html_m352e3c53.gif.

2) Прологарифмувати за основою 3 вираз hello_html_m73b04393.gif.

3) Знайти x, якщо hello_html_509b0e7c.gif.

2. log2 3 = a; log2 5 = b. Знайти: log2 15; log2 6; log2 75; log3 5.

3. Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що hello_html_7a85ddc2.gif.

Високий рівень

1. 1) Обчислити: hello_html_m1ad19883.gif; hello_html_3249174a.gif.

2) Прологарифмувати за основою 10 вираз hello_html_m2da4c7ad.gif.

3) Знайти x, якщо hello_html_5fbfd652.gif.

2. Обчислити log4 5  log5 6  log6 7  log7 8.

3. Довести тотожність hello_html_m2e13ebc1.gif.


Варіант 2.

Середній рівень

1. Обчислити:

1) log3 81; hello_html_7b2b579d.gif; hello_html_10e5d1e8.gif;

2) log21 3 + log21 7; hello_html_m52229fcf.gif; hello_html_58f279bd.gif;

3) hello_html_m517c7df4.gif.

2. Прологарифмувати за основою 7 вираз hello_html_6a49dcd1.gif.

3. Знайти lg x = lg 2 + 3lg a + 2lg b – hello_html_m49a31d80.giflg c.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити: hello_html_37c74ece.gif; hello_html_5406ad43.gif; hello_html_5f4d99fd.gif.

2) Прологарифмувати за основою 5 вираз hello_html_74a711cb.gif.

3) Знайти x, якщо hello_html_m2e71b4d7.gif.

2. log7 2 = a; log7 3 = b. Знайти: log7 6; log7 hello_html_34704db6.gif; log7 18; log3 2.

3. Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що hello_html_m617af2e2.gif.

Високий рівень

1. 1) Обчислити: hello_html_7f550aad.gif; hello_html_m451bec5d.gif.

2) Прологарифмувати за основою вираз hello_html_m150f78b2.gif.

3) Знайти x, якщо hello_html_ce48fcb.gif.

2. Обчислити log3 49  hello_html_m1cf05e57.gif  log25 27.

3. Довести тотожність hello_html_m1894520e.gif.


Варіант 3.

Середній рівень

1. Обчислити:

1) log5 125; hello_html_36baeeec.gif; hello_html_m58cb5fb7.gif;

2) log12 2 + log12 72; hello_html_m6d60f525.gif; hello_html_460601dd.gif; 3) hello_html_m7d6d56a3.gif.

2. Прологарифмувати за основою 3 вираз hello_html_m1cd17b02.gif.

3. Знайти lg x = lg 2 + 3lg a + hello_html_m33155c00.giflg с – lg b.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити: hello_html_m56fd653c.gif; hello_html_5b77ba05.gif; hello_html_m154c1b96.gif.

2) Прологарифмувати за основою 2 вираз hello_html_57984b6e.gif.

3) Знайти x, якщо hello_html_1ac31fcb.gif.

2. log3 2 = a; log3 7 = b. Знайти: log3 14; log3 6; log3 28; log2 7.

3. Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що hello_html_me9efb43.gif.

Високий рівень

1. 1) Обчислити: hello_html_48fff538.gif; hello_html_53506cb5.gif.

2) Прологарифмувати за основою 3 вираз hello_html_2fdf0653.gif.

3) Знайти x, якщо hello_html_m6c6246e.gif.

2. Обчислити log8 9, якщо log12 18 = a.

3. Довести тотожність hello_html_m1f175547.gif.

Варіант 4.

Середній рівень

1. Обчислити:

1) hello_html_m2c8303d7.gif; hello_html_m6fa3a2af.gif; hello_html_m1cac7db2.gif;

2) log3 6 + log3 hello_html_m5169bed0.gif; hello_html_3d9578c8.gif; hello_html_32d4b8d1.gif; 3) hello_html_mab525fb.gif.

2. Прологарифмувати за основою 2 вираз hello_html_m7e397e7e.gif.

3. Знайти lg x = lg 5 + 2lg a  hello_html_7928a00e.giflg b + lg c.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити: hello_html_m7ad63bee.gif; hello_html_4cefbb9c.gif; hello_html_42e4fcf1.gif.

2) Прологарифмувати за основою 10 вираз hello_html_2298063.gif.

3) Знайти x, якщо hello_html_me5f92b6.gif.

2. log5 2 = a; log5 3 = b. Знайти: log5 6; log5 hello_html_6180d5a0.gif; log5 12; log2 3.

3. Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що hello_html_2b8536ca.gif.

Високий рівень

1. 1) Обчислити: hello_html_1a14375b.gif; hello_html_48210470.gif.

2) Прологарифмувати за основою 2 вираз hello_html_m2e53988a.gif.

3) Знайти x, якщо hello_html_m1c970262.gif.

2. Обчислити log6 16, якщо log12 2 = a.

3. Довести тотожність hello_html_m928f6ab.gif.















РОЗДІЛ2. ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЯ

Теоретичні відомості

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Logarithm_inversefunctiontoexp.svg/250px-Logarithm_inversefunctiontoexp.svg.png

Означення. Логарифмічною називається функція у = loga x, де а>0, аhello_html_7eeb9f88.gif1,

обернена до показникової у = ах

Властивості:

1). Д (log) = (0; + hello_html_m1fbc7767.gif);

2). Е (log)= (– hello_html_m1fbc7767.gif; + hello_html_m1fbc7767.gif);

3). Якщо а >1, то функція у = log aхзростає, а якщо 0 < а < 1 – спадає;

4). Графік проходить через точку (1;0);https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Log.png/250px-Log.png

5).Неперервна.

6).Функція диферинційовна.

7).Пряма х=0 – вертикальна асимптота, коли х прямує до нуля справа.

Приклад 1. Порівняйте з одиницею основу а логарифма , коли відомо , що loga5< loga4.

Розв’язання : Оскільки 5hello_html_m7c48e444.gif4 , а loga5< loga4, то доходимо висновку , що аhello_html_m7c48e444.gif1.

Приклад 2 .Знайдіть область визначення функції : 1)f(x) = log0,3(x2 + 3x) ; 2) f(x) = logх-4(16-x).

Розв’язання :1)Оскільки областю визначення логарифмічної функції є множина додатних чисел , то областю визначення даної функції є множина розв’язків нерівності x2 + 3xhello_html_m7c48e444.gif0. Маємо: х(х+3)hello_html_m7c48e444.gif0 ; x<-3 або x> 0.

Отже ,D(f)= (-hello_html_m190a6000.gif ; -3)hello_html_48d46fa3.gif(0; +hello_html_m190a6000.gif ).

2)Область визначення даної функції знайдемо , розв’язавши систему нерівностей

hello_html_m7a31217a.gif

Тоді hello_html_1b1db753.gif hello_html_5612d305.gif Звідси D(f)= (4 ; 5)hello_html_48d46fa3.gif(5; 16 ).

Приклад 3.Порівняйте :

1)hello_html_m5c838bde.gif і hello_html_14b91235.gif ; 2) hello_html_694de0d1.gif і hello_html_m1a796814.gif ; 3) hello_html_690c6ae4.gif і hello_html_32229534.gif ; 4) hello_html_36c204bc.gif4 і0 ; 5) hello_html_59ab8f66.gif і -2.

Розв’язання: 1) Оскільки логарифмічна функція у=hello_html_6f037f7.gif є зростаючою , то

hello_html_m5c838bde.gifhello_html_m7c48e444.gifhello_html_14b91235.gif.

2)Оскільки логарифмічна функція у=hello_html_5676dd3a.gif є спадною,то hello_html_m66bc7004.gif hello_html_m1a796814.gif

3) Маємо: hello_html_690c6ae4.gif hello_html_30c42a67.gif, тобто hello_html_m1ff46b21.gif1. Разом з тим hello_html_m7a180cdd.gif hello_html_m1b319b9c.gif,тобто 1hello_html_m1b319b9c.gif .Отже , hello_html_m249b1f69.gif.

4) Ураховуючи , що 0hello_html_m3dfb9169.gif hello_html_m547fa93c.gif, маємо : hello_html_36c204bc.gif4 hello_html_m7c48e444.gif hello_html_36c204bc.gif1. Отже , hello_html_36c204bc.gif4 hello_html_m63c33baf.gif

5) Маємо : -2 =hello_html_4209b30c.gif(hello_html_m11f0fb5b.gif)-2 = hello_html_4209b30c.gif36. Оскільки hello_html_4209b30c.gif38 hello_html_m53f2cf0f.gif36 , то hello_html_4209b30c.gif38hello_html_m5786a59d.gif.

Тренувальні вправи

1.Знайти область визначення функції:

І. 1) у= hello_html_635e8829.gif +log3(3-x); 2) y=hello_html_2c9de93e.gif +log2(1-x); 3) y= log4hello_html_m7504ab76.gif ;

4) y= log2hello_html_m75fff4eb.gif ; 5)y=log3sinx ; 6) y=log2cosx ; 7) y=lg (tgx-1) ; 8) y=lg (-tgx+1).

II.1) y= hello_html_4f262a0a.giflgx2 ; 2) y= hello_html_m75d5f2c9.gif log2(x2 -5x +6) ; 3) y=hello_html_3a24f32c.gif) ;

4) y= log0,5(x2-2x) + hello_html_26727e22.gif ; 5) y= log0,3(2sinx-1).

III. 1) y=hello_html_m676b5d45.gif log3(x-2) ; 2) y= log0,5(lg2x-lgx) ; 3)y=lgsinx +hello_html_3b99fedb.gif.

2.Побудуйте графік функції :

І. 1) у= hello_html_m50cf28a.gif +1 ; 2) y=hello_html_4feccde3.gif ; 3) y= log3x -1 .

II. 1) y= log0,5(x+1) ; 2)y=hello_html_m57229278.gif ; 3) y= log2|x| ; 4)y = |log2x|.

III. 1) y= |log2x-1| ; 2) y= log 0,5|x-1| ; 3) y= lgsinx ; 4) y= log2log2x.

Самостійні роботи

Варіант 1.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції y = log3 x і записати її властивості.

2. Порівняти числа: а) log3 5,4 і log3 6,2; б) hello_html_6521a90a.gif і hello_html_6019776.gif.

3. Знайти область визначення функції y = log0,4 (3x  1).

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log2 (x + 1) і записати її властивості.

2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:

а) loga 7 < loga 5; б) loga 7,1 > loga 5,9.

2. Знайти область визначення функції y = log2 sin x.

3. Розв’язати графічно рівняння log0,5 x = 2x  5.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції hello_html_4168064d.gif.

2) Порівняти числа: а) log0,4 7 і 0; б) log9 1,3 і 0.

2. Знайти область визначення функції hello_html_58d2356b.gif.

3. Побудувати графік функції hello_html_m72b3d276.gif і записати її властивості.


Варіант 2.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції hello_html_6259259a.gif і записати її властивості.

2. Порівняти числа: а) log11 0,7 і log11 0,6; б) hello_html_m37ab7394.gif і hello_html_m49a83808.gif.

3. Знайти область визначення функції y = log7 (5x + 3).

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log0,5 (x + 1) і записати її властивості.

2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:

а) loga 1,2 < loga 2,2; б) loga 0,3 > loga 0,5.

2. Знайти область визначення функції y = log0,4 cos x.

3. Розв’язати графічно рівняння log2 x = x + 1.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції hello_html_m41c1f7ec.gif.

2) Порівняти числа: а) 0 і log0,4 0,5; б) 0 і log7 1,2.

2. Знайти область визначення функції hello_html_22a48384.gif.

3. Побудувати графік функції hello_html_71915481.gif і записати її властивості.

Варіант 3.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції hello_html_m5d3ce921.gif і записати її властивості.

2. Порівняти числа: а) log7,1 3,7 і log7,1 3,9; б) hello_html_m6c7b3301.gif і hello_html_5e6b31f2.gif.

3. Знайти область визначення функції hello_html_47f881d9.gif.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log2 (x  2) і записати її властивості.

2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:

а) loga  < loga 4; б) loga  > loga 3.

2. Знайти область визначення функції hello_html_m201ccb28.gif.

3. Розв’язати графічно рівняння log2 x = x  4.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції hello_html_46b032a1.gif.

2) Порівняти числа: а) log 0,8 і 0; б) hello_html_63c1ddb7.gif і 0.

2. Знайти область визначення функції hello_html_m5a38a6bb.gif.

3. Побудувати графік функції hello_html_2afc499a.gif і записати її властивості.




Варіант 4.

Середній рівень

1. Побудувати графік функції hello_html_465e7cec.gif і записати її властивості.

2. Порівняти числа: а) log1,1 0,3 і log1,1 0,5; б) hello_html_m54f35a9f.gif і hello_html_66e3586c.gif.

3. Знайти область визначення функції hello_html_m26610df7.gif.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log3 (x + 1) і записати її властивості.

2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:

а) loga 0,6 < loga 0,5; б) loga 5,9 > loga 5,7.

2. Знайти область визначення функції hello_html_m124ab901.gif.

3. Розв’язати графічно рівняння hello_html_5ffa5176.gif.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції hello_html_m38fe4eee.gif.

2) Порівняти числа: а) log0,7 5 і 0; б) hello_html_5dece50f.gif і 0.

2. Знайти область визначення функції hello_html_7334a0e.gif.

3. Побудувати графік функції hello_html_2d174e39.gif і записати її властивості.












РОЗДІЛ 3.ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ

Теоретичні відомості

Означення :Рівняння виду logax=b , де a>0 , a hello_html_m2bc03806.gif1 , називають найпростішим логарифмічним рівнянням.

При розв’язанні багатьох логарифмічних рівнянь застосовують таку теорему:

Теорема. Нехай a>0 , a hello_html_m2bc03806.gif1.Якщо logax1 = logax2 , то x1 = x2 , і навпаки , якщо x1>0 , x2>0 і x1 = x2 , то logax1 = logax2.

Наслідок. Нехай a>0 , a hello_html_m2bc03806.gif1. Рівняння виду logaf(x) = logag(x) рівносильне будь-якій із систем hello_html_6a23a149.gif або hello_html_m7535f00f.gif.

Вибір відповідної системи , як правило, пов'язаний з тим , яку з нерівностей, hello_html_57ee814d.gif чи hello_html_464a8fec.gif , розв’язати легше .

Приклад1. Розв'яжіть рівняння log22 х – 3log2 x = 4.

Розв'язання: Позначимо log2  через у. Дане рівняння набере вигляду:

У2 – 3y = 4; у2 – 3у – 4 = 0; у1 = 4; у2 = -1.

Звідси log2 x = 4 або log2 x =-1;

x = 24;  x = 2-1; 

x = 16, x = hello_html_6eec8aff.gif.

Відповідь:16 hello_html_6e549a4d.gif .

Приклад2. Розв’яжіть рівняння lg(x2 -4x+2) =lg(2x-3)

Розв'язання:Дане рівняння рівносильне системі hello_html_7d3a5545.gif . Маємо: hello_html_28b98ce7.gif; х=1 ,х=5. Оскільки hello_html_m4409e39d.gif , то коренем рівняння буде х=5.

Відповідь: 5.

Приклад3. Розв’яжіть рівняння log3(2x-1) +log3(x-2) =3.

Розв'язання: Дане рівняння рівносильне системіhello_html_m2e57fae3.gif Звідси hello_html_m28e26b.gif hello_html_7fb687ab.gif hello_html_2edd6d9d.gif Отримуємо х=5.

Відповідь: 5.

Приклад4. Розв'яжіть рівняння lg x = 1 – х графічно.

Розв'язання:В одній і тій самій системі координат будуємо графіки функції у = lg x і у = 1 – х (рис. 165). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

http://subject.com.ua/lesson/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1606.jpg

Тренувальні вправи

Розвяжіть рівняння :

  1. 1)log3(x2-1)=1 ; 2) log2(hello_html_m5a39810d.gif-2) =1 ; 3) lg(3x-17) –lg(x+1)=0 ; 4)lg(x2-2x)=lg(2x+12); 5) log4(x-1-2)=1 ; 6) log0,5(x2-x)= -1 ;

7) log2(x+1)-log2(x-1)=1 ; 8)2lg(x-1) = lg(1,5x+1) ; 9)log22x+ log2x2=-1;

10)xlgx=10 ; 11)hello_html_7dd76527.giflog3x =0 ; 12)lg(10x2)hello_html_79c0f69b.giflgx=1.


II. 1)log243x-1=hello_html_m5d6fd9b9.gif ; 2)log0,52(1-x2)=4 ; 3)log4(sin2x+1,5)=0,5 ;

4)log2(x2+4x+1)+1 =log2(6x+2) ; 5)log3(3-x)+log3(4-x) = 1 +2log32.


III. 1)log5(6-5x) = 1-x ; 2) |x-3|hello_html_79c0f69b.giflgx = 2(x-3) ; 3) hello_html_12c2adfa.gif= 4 ;

4)log0,5(log22x-3log2x+4) =-1;5)3log3xx=2log9xx2;6)x2hello_html_79c0f69b.giflogx27hello_html_79c0f69b.giflog9x=x+4

Самостійні роботи

Варіант 1.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) 2x = 3; 2) log4 (5x + 1) = 2; 3) log2 (2x + 1) = log2 ( 2).

2. log2 x + log2 (x + 6) = 4.

3. hello_html_31d19757.gif.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) lg (3x  1)  lg (x + 5) = lg 5; 2) 3lg2 (x  1)  10lg (x  1) + 3 = 0.

2. log7 log3 log2 x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_8d61e4d.gif

Високий рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) log2 x + logx 2 = hello_html_10b0a646.gif; 2) hello_html_m5a908a30.gif. 2. hello_html_146b3684.gif.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_8f7e89a.gif

№ 94. Варіант 2.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) 7x = 2; 2) log3 (5x  1) = 2; 3) log2 (x  7) = log2 (11  x).

2. log3 (x + 1) + log3 (x + 3) = 1.

3. hello_html_7c707e15.gif.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) lg (x  1)  lg (2x  11) = lg 2; 2) hello_html_35003390.gif.

2. log2 log3 log4 x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_m57dd58a8.gif

Високий рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) 2logx 27  3log27 x = 1; 2) hello_html_1fe56425.gif.

2. 0,1xlg x  2 = 100.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_6037eea6.gif

Варіант 3.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) 5x = 4; 2) log2 (3x  1) = 3; 3) log5 (x + 1) = log5 (7  x).

2. log5 (x + 1) + log5 (2x + 3) = 0. 3. hello_html_m5321a07c.gif.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) lg (x + 6)  hello_html_aadac76.giflg (2x  3) = 2  lg 25; 2) hello_html_7a72cf07.gif.

2. log5 log3 log2 log2 x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_m31860f5.gif

Високий рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) log3 x  hello_html_m4a301f32.gif; 2) log2 x + log4 x + log16 x = 7.

2. hello_html_26c47955.gif.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_m69c131ab.gif

Варіант 4.

Середній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) 9x = 5; 2) log4 (5x + 1) = 2; 3) log0,3 (13  x) = log0,3 (x + 3).

2. lg (x  3) + lg (x + 6) = lg 2 + lg 5. 3. hello_html_6d43bf3c.gif.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) log2 (3x  1) + log2 (x  1) = 1 + log2 (x + 5); 2) hello_html_7282d6d9.gif.

2. lg lg lg x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_4ae8dfec.gif

Високий рівень

Розв’язати рівняння:

1. 1) logx 10 +lg x = 2; 2) log3 x log9 x log27 x  log81 x = hello_html_m12b8317c.gif.

2. hello_html_m63700f4e.gif.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_m7f34c832.gif




РОЗДІЛ4.ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ

Теоретичні відомості

Логарифмічними нерівностями називаються нерівності, в яких змінна знаходиться під знаком логарифма.

Основний метод розвязування логарифмічних нерівностей  зведення їх до найпростіших нерівностей, обидві частини яких – логарифми з однаковою основою

При розвязуванні логарифмічних нерівностей використовують такі властивості монотонності логарифмічної функції:

  • З двох логарифмів деяких чисел з однаковими основами, більшими від одиниці, більший той, число якого більше.

  • З двох логарифмів деяких чисел з однаковими основами, більшими від 0, але меншими від 1, більший той, число якого менше.

  • Якщо ліва частина нерівності є лінійною відносно деякого логарифм, а в правій є число, то обидві частини нерівності зводяться до логарифмів з однією основою.

Нелінійні нерівності відносно логарифму розв’язують введенням нової змінної.

 Основні методи розв’язання логарифмічних нерівностей:

1) перетворення із застосуванням логарифмічних тотожностей з урахуванням ОДЗ;

2) Заміна нерівності рівносильною системою;

3) заміна змінної.

Обов’язковим є знаходження області допустимих значень.

Системи, що містять логарифмічні рівняння, називаються системами логарифмічних рівнянь. При їх розв’язанні застосовують ті ж методи, що й при розв’язанні алгебраїчних рівнянь:

Метод підстановки;

Метод додавання;

Метод множення тощо. При цьому враховуються особливості розв’язання логарифмічних рівнянь.

При розв’язуванні багатьох логарифмічних нерівностей застосовують таку теорему.

Теорема. При аhello_html_m547fa93c.gif нерівність logax1 hello_html_m7c48e444.gif logax2 виконується тоді і тільки тоді , коли x1hello_html_m7c48e444.gif x2 hello_html_m7c48e444.gif 0 ; при 0hello_html_m7c48e444.gifаhello_html_m7c48e444.gif1 нерівність logax1 hello_html_m7c48e444.gif logax2 виконується тоді ітьльки тоді , коли 0hello_html_m28562d1c.gif x2.

Наслідок. Якщо аhello_html_m547fa93c.gif , то нерівність logahello_html_m7eced531.gif hello_html_m7c48e444.gif logahello_html_m4a248562.gif рівносильна системі hello_html_243dc852.gif Якщо 0hello_html_1aeddbe1.gif , то неірвність logahello_html_m7eced531.gif hello_html_m7c48e444.gif logahello_html_m4a248562.gif рівносильна системі hello_html_69f6d702.gif

Приклад1. Розв’яжіть нерівність log2x>3.

Розв'язання: Оскільки 3= log223то можна записати: log2x hello_html_m7c48e444.gif log223. Ця нерівність рівносильна такій : хhello_html_m7c48e444.gif23 .Звідси хhello_html_54c39cf5.gif.

Відповідь: (8; +hello_html_m190a6000.gif).

Приклад2. Розв’яжіть нерівність log0,3xhello_html_m6d1256d7.gif1.

Розв'язання:Маємо: log0,3x hello_html_m6d1256d7.gif log0,30,3. Ця нерівність рівносильна системі hello_html_6d7b01d9.gif

Відповідь: (0; 0,3].

Приклад3. Розв’яжіть нерівність hello_html_46fab938.gif(3x-4) < hello_html_d124306.gif

Розв'язання: Дана нерівність рівносильна системі hello_html_144c3b7f.gif Звідси hello_html_4adcb984.gif x>2.

Відповідь: (2; +hello_html_m190a6000.gif).

Тренувальні вправи

  1. Розв’яжіть нерівність :

І. 1)log2(2-5x) >1 ; 2) log0,2 (4-2x)> -1 ; 3) hello_html_2daf418d.gif <0 ;

4) log0,4 (2x-5) > log0,4(x+1); 5)log2(x-1) + log2x hello_html_m54ea4251.gif 1 ; 6) hello_html_67f411df.gif >0 ;

7)hello_html_328b1cb6.gif >0 .

II. 1)hello_html_1fa4d549.gif<16 ; 2) lg2+6 < 5lgx ; 3)hello_html_m6cc142be.gif >1 ;4) log2x- 2logx2+1 hello_html_m6d1256d7.gif0;

5)log3x +log3(x-1)-1 hello_html_m54ea4251.gif log32 ; 6) hello_html_m455d3b66.gif >0 ; 7) 4-x < log2 (6+ 2x) .

III. 1)lg2(-x)+lgx2 -3 <0; 2) log2x + |log2x| -4 >0;3)log0,5(x2-x-20)-log0,5(x+4)>0

4)hello_html_m18217539.gif hello_html_m6d1256d7.gif 0 ; 5) log2|1+ hello_html_m329f5a7d.gif| >1 ; 6) log0,5 log4hello_html_306d0356.gif <1 ;7) hello_html_660cb791.gif hello_html_m6d1256d7.gif 2.

Самостійні роботи

Варіант 1.

Середній рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) log5 x > 2; 2) hello_html_m486c71b.gif.

2. hello_html_m10303f7.gif. 3. hello_html_63f09ceb.gif.

Достатній рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) log2 (x2 – 13x + 30) > 3; 2) hello_html_m3af6a13c.gif.

2. hello_html_m361af0f0.gif. 3. logx (x + 2) > 0.

Високий рівень

Розвязати нерівність:

1. 1) log0,4 (x2 + 2x  3) > log0,4 (x  1); 2) log3  x (x  2,5) > 0.

2. xlg x < 100x. 3. hello_html_m6a617f52.gif.

Варіант 2.

Середній рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) log6 x > 2; 2) hello_html_m1b9f5efd.gif.

2. hello_html_m49a8558e.gif. 3. hello_html_m22d4820.gif.

Достатній рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) hello_html_m3cac2711.gif; 2) hello_html_4f9f9b09.gif.

2. hello_html_b3b3840.gif.

3. logx (x + 3) > 0.

Високий рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) log0,7 (x2  2x  3)  log0,8 (9  x); 2) log2x + 3 x2 < 1.

2. xlg x < 1000x2.

3. hello_html_1575682f.gif.

Варіант 3.

Середній рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) log5 x > 2; 2) hello_html_7aebee0b.gif.

2. hello_html_m516ed723.gif. 3. hello_html_m1351e607.gif.

Достатній рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) hello_html_m477939ff.gif; 2) hello_html_m87dc293.gif.

2. hello_html_m5f68d606.gif. 3. logx (3x  1) > 1.

Високий рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) log0,2 (x + 1) + log0,3 (5  x)  log0,2 (x + 7); 2) log0,5 log8 hello_html_224b1c53.gif < 0.

2. hello_html_m5dcdf1f0.gif.

3. hello_html_m3412ab0d.gif.

Варіант 4.

Середній рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) log2 x > 3; 2) hello_html_6357da4b.gif.

2. hello_html_m458bf1a1.gif. 3. hello_html_m20c0a35a.gif.

Достатній рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) hello_html_m576e5061.gif; 2) hello_html_m38217a49.gif.

2. hello_html_m3d5748d3.gif. 3. log4 (5x  1) > 1.

Високий рівень

Розв’язати нерівність:

1. 1) log0,8 (x + 2) + log0,8 (6  x)  log0,8 (x + 8); 2) hello_html_4e08425a.gif.

2. hello_html_m13715aea.gif. 3. hello_html_1e72b4f4.gif.

Тематичне оцінювання: Контрольна робота

Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = log2 x і записати її властивості.

2) Розв’язати рівняння log2 (3x + 1) = 4.

2. Розв’язати рівняння log2 x + log2 (x + 2) = 3.

3. Розв’язати нерівність hello_html_38d6b947.gif.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = hello_html_6aff2614.gif і записати її властивості.

2) Прологарифмувати за основою 4 вираз hello_html_4c2ff543.gif.

3) Розв’язати нерівність lg (3x + 4) < lg 2x.

2. Розв’язати рівняння log5 log3 log2 x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_33b30fe6.gif

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 1 + log3 (x  1).

2) Розв’язати рівняння log2 x  2logx 2 = 1.

3) Розв’язати нерівність hello_html_m341c7241.gif.

2. Розв’язати рівняння xlg x = 1000x2.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_m30e4416f.gif.

Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції hello_html_m17dbad40.gif і записати її властивості.

2) Розв’язати рівняння log5 (2x  1) = 3.

2. Розв’язати рівняння hello_html_4880a336.gif.

3. Розв’язати нерівність hello_html_m67aeb2bc.gif.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = hello_html_m3c4c86b2.gif і записати її властивості.

2) Прологарифмувати за основою hello_html_m558905e8.gif вираз hello_html_m32fdbf61.gif.

3) Розв’язати нерівність hello_html_m55ec86bb.gif.

2. Розв’язати рівняння lg log3 log4 x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_m281d2a55.gif

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 1 + hello_html_15c858a0.gif.

2) Розв’язати рівняння log2 x + logx 2 = 2,5.

3) Розв’язати нерівність hello_html_7733781b.gif.

2. Розв’язати рівняння hello_html_m48d28624.gif.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_70426274.gif.

Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції hello_html_10a767e4.gif і записати її властивості.

2) Розв’язати рівняння lg (3x + 1) = 2.

2. Розв’язати рівняння hello_html_m2436baea.gif.

3. Розв’язати нерівність hello_html_m3d3f12d8.gif.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = hello_html_ffcab1b.gif і записати її властивості.

2) Прологарифмувати за основою 2 вираз hello_html_7594254a.gif.

3) Розв’язати нерівність hello_html_6d5bc62f.gif.

2. Розв’язати рівняння log2 log3 lg x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_m176b628d.gif

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2 + hello_html_69e40ebb.gif.

2) Розв’язати рівняння log3 x = 1 + logx 9.

3) Розв’язати нерівність hello_html_28f132f3.gif.

2. Розв’язати рівняння hello_html_m22f0f362.gif.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_13de5d33.gif.

Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Побудувати графік функції hello_html_m11739713.gif і записати її властивості.

2) Розв’язати рівняння log3 (4x + 1) = 2.

2. Розв’язати рівняння hello_html_31bfd768.gif.

3. Розв’язати нерівність hello_html_m7a6470e5.gif.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = hello_html_m1735bd5a.gif і записати її властивості.

2) Прологарифмувати за основою 2 вираз hello_html_57984b6e.gif.

3) Розв’язати нерівність hello_html_309b166d.gif.

2. Розв’язати рівняння log8 log9 lg x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_m39db6c3f.gif

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = hello_html_2e68bc46.gif.

2) Розв’язати рівняння log3 x + 2logx 3 = 3.

3) Розв’язати нерівність hello_html_m31afd4b1.gif.

2. Розв’язати рівняння hello_html_62a195b7.gif.

3. Розв’язати систему рівнянь hello_html_13de5d33.gif
























Література

1.Мерзляк А.Г., Полонський В.Б. Збірник задач і контрольних робіт з алгебри для 11класу. - Харків «Гімназія», 2009р.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б, Якир М.С. Алгебраїчний тренажер. – Київ: «А.С.К», 1997р.

3. Кушнір І.А. Рівняння і нерівності. – К.: Астра, 1996р.

4. Сканаві М.І. Збірник задач з математики. – К.: «Онікс», 2005р.

5. Ясінський В.В., Мазур К.І., Мазур О.К. Вибрані конкурсні задачі з математики. – К.: «Фенікс», 2002 р.

6. Кушнір І. У світі логарифмів. – К.: «Факт», 2004р.

7. Нелін Є.П., Долгова О.Є. Алгебра і початки аналізу 10 клас. – Х.: «Світ дитинства», 2008р.

8.Саакян С.М..Задачи по алгебре и начала анализа для 10-11 классов.- М.:Просвящение,1990р.


32


Автор
Дата добавления 17.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров502
Номер материала ДВ-533671
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх