Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Журнал "Математический калейдоскоп" (совместный проект учащихся и учителя)

Журнал "Математический калейдоскоп" (совместный проект учащихся и учителя)

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

  • Математика

Название документа Математический журнал-титульный.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Математический журнал учащихся МОУ «Покровская СОШ»









hello_html_m4afd0e97.png

hello_html_7317f6c5.gif









hello_html_647619ba.jpghello_html_545dc646.gif

















hello_html_m5c5c3dab.png





























Название документа Математический журнал.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Журнал «Математический калейдоскоп»

создан группой учащихся 6 и 8 классов и предназначен для учащихся 5 – 9 классов.

Данный выпуск журнала посвящен числам и не только.

Здесь вы найдете сведения из истории математики, интересные факты из истории чисел, познакомитесь со свойствами некоторых чисел и со способами быстрого счета, окунетесь в удивительный мир геометрии.

Также вас ждут увлекательные математические задачи, ребусы и головоломки.

Другими словами, скучно вам точно не будет!








Индийская притча «Иди вперёд»

Жил однажды дровосек, пребывавший в очень бедственном положении. Он существовал на ничтожные денежные суммы, вырученные за дрова, которые он приносил в город на себе из ближайшего леса.

Однажды саньясин, проходивший по дороге, увидел его за работой и посоветовал ему идти дальше в лес, сказав:

- Иди вперёд, иди вперёд!

Дровосек послушался совета, отправился в лес и шёл вперёд, пока не дошёл до сандалового дерева. Он был очень обрадован этой находкой, срубил дерево и, захватив с собой столько кусков его, сколько мог унести, продал их на базаре за хорошую цену. Потом он начал удивляться, почему добрый саньясин не сказал ему о том, что в лесу есть сандаловое дерево, а просто посоветовал идти вперёд. На следующий день, дойдя до срубленного дерева, он пошёл дальше и нашёл медные залежи. Он взял с собой столько меди, сколько мог унести и, продав её на базаре, выручил ещё больше денег. На следующий день он пошёл ещё дальше и нашёл серебряные россыпи. На следующий день он нашёл золото, потом - алмазы и, наконец, приобрёл огромные богатства.

Именно таково положение человека, который стремится к истинному знанию: если он не остановится в своём движении после того, как достигнет некоторых сверхъестественных сил, то, в конце концов, найдёт богатство вечного Знания и Истины.














Сегодня в номере


3 Роль и место математики в

современном мире

Из глубины веков

4 Арифметика каменного века

5 Цифры и системы счисления

7 История создания головоломок

Игра «Танграм»

Удивительное рядом

9 Магия чисел

10 Интересные свойства числа 2011

11 Самое большое число?


По секрету всему свету

12 Способы быстрого сложения чисел

12 Способы быстрого вычитания чисел

13 Способы быстрого умножения чисел

Геометрические зарисовки

14 Геометрическая жизнь

Занимательная математика

15 Судоку: описание, задание

Математический юмор

16 Однажды на уроке

16 Математические стихи

6, 13, 15 А вы знаете, что…











hello_html_m4afd0e97.png

РОЛЬ И МЕСТО МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ



Математика (греч. maqhmatica – mathematike, от maqhma – mathema – знание, учение, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Математика – самая древняя наука, игравшая важнейшую роль в жизни и деятельности человека на всех исторических этапах, т.к. людям всегда нужно было что-либо считать и чертить, измерять и вычислять, прогнозировать и проектировать, создавать новое. Уже за несколько веков до новой эры на базе накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений (Древний Египет и Вавилон) математика определилась как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее  метода и необходимости развития ее основных понятий в достаточно общей форме.

Сhello_html_m2e893304.pngистематическое и логически последовательное построение основ математической науки было проведено в Древней Греции.  Значительных успехов добивались также китайские, индийские и арабские математики.

В эпоху Возрождения (XV–XVI вв.) еще больше возрастают запросы к математике со стороны механиков, инженеров, моряков, астрономов, географов, военных, купцов, чиновников и даже художников. Центром математических исследований становятся страны Европы. Благодаря свободной научной критике и конкуренции в университетах, общий характер европейской математической культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших в последующие века стремительное развитие математики.

С XVII в. начинается принципиально новый период развития математики – период математики переменных величин. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление.

Математика все больше объясняет течение отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. Математическими методами решаются проблемы практики: оптики, навигации, гидравлики, баллистики, точных механизмов (например, хронометров).

XIX–XX века меняют математику не только количественно, но и качественно. Появляется современная математика. Большие теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Чем больше человек познавал природу, создавал механизмы, развивал науку, производство и торговлю, тем весомее становился вклад математики. И это влияние было взаимным – математика стала сложной и разветвленной.

Сегодня можно говорить, что современная математика – это «метанаука», объединяющая комплекс дисциплин: арифметику – теорию чисел, алгебру, геометрию, математический анализ, теорию множеств, теорию вероятностей, математическую статистику, теорию игр и многие, многие другие (насчитывают несколько десятков крупных направлений). На стыках наук появляются разделы: математическая физика, математическая логика, математическая лингвистика, математическая экономика и др.

Математика – необходимый инструмент познания в любой отрасли человеческой деятельности – характеризуется высокой степенью абстрактности ее понятий и высокой степенью их обобщенности. Математика – это также и форма мышления. Математика – наука, которая скорее тождественна философии, чем остальным «содержательным наукам»; наука инструментальная; наука, которая вступает в глубокие органические связи с целым рядом других дисциплин.

hello_html_m4afd0e97.png

hello_html_m4afd0e97.pnghello_html_72907c6d.gifhello_html_259e7f3a.png

Каждый день на уроках математики вы узнаете о свойствах чисел и фигур, решаете задачи, уравнения. Большим помощником у вас является учебник. Но в учебнике не говорится про то, как и когда люди научились считать, кем и когда были придуманы дроби, когда возникли отрицательные числа и еще о многом другом.

В данной рубрике мы будем знакомить вас с интересными фактами из истории математики, раскроем вам удивительные свойства некоторых чисел, расскажем о том, как применяют математику в различных играх, то есть о том, что находится за страницами учебника математики.



Из глубины веков

hello_html_2b6351cc.gif


Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес пятьдесят пять зарубок. Видно было, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой.

Мhello_html_6680d363.pngного тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварню, отмечают число фляг такими же зарубками.

hello_html_m3b5b5e90.pngПервыми понятиями математики были "меньше", "больше" и "столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей.

Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.

И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пhello_html_m26b6aec3.jpgропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать.

Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

hello_html_4e5fc6d7.gifhello_html_m4afd0e97.pngИз глубины веков


hello_html_6f3a3d7d.gif



Иhello_html_6f806d08.jpghello_html_59f4c76d.jpghello_html_3e4f496d.jpgнтуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово «три» использовалось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», равно как «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета «один», «два», «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый» ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Вhello_html_8fd6bee.jpgажная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения или вычислений использовались основания 12 и 60.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

hello_html_27a7f2b.gifhello_html_m4afd0e97.png

А вы знаете, что …

Пифагор (ок. 585–500 до н.э.) - великий греческий ученый, с чьим именем связывают развитие математики, основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550–300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек».

Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д.

Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. Например, пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (в современных обозначениях) n2 – квадратное число, то n2 + 2n + 1 = (n + 1)2. Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным. Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496. Два числа пифагорейцы называли дружественными, если каждое из чисел равно сумме делителей другого; например, 220 и 284 – дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей).

Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.

Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Они имеют геометрическую интерпретацию, если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузы. Такая интерпретация, по-видимому, привела пифагорейцев к осознанию более общего факта, известного ныне под названием теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.



hello_html_14ed5a5c.png













hello_html_m4afd0e97.pngИз глубины веков

hello_html_m7c8aa6ed.gifhello_html_m42753d9e.gif


Безусловно, в начале начал была математика.

По сути, многие древние задачи представляли собой головоломки, которые использовались в обучении. Решение каких-то из них влекло за собой дальнейшие успехи математики, что, в свою очередь, способствовало разнообразию самих головоломок, так как расширяло их тематическую содержательность.

Уже в древней Месопотамии, почти пять тысяч лет назад, составляли и решали достаточно сложные алгебраические задачи на определение неизвестной величины. Позже в Древнем Египте появились первые задачники.

Задачи, помещенные в них, были просты с точки зрения сегодняшнего дня, но уже тогда многие из них имели житейскую наполненность, а это приближало бесстрастные вычисления к реальности. Их безошибочно можно отнести к головоломкам, так как относительная простота сочеталась с изрядной долей содержательности, превращая поиски решения в увлекательное занятие.



hello_html_6f6f2e.png













Игра «Танграм»


«hello_html_7c9f917.pngТанграм» часто называют «головоломкой из картона» или «геометрическим конструктором». Местом где была изобретена игра несомненно является Китай. Дата создания может быть определенна приблизительно 18 век. Первой известной древней книгой по Танграму является «Собрание фигур из семи частей» (Китай 1803 г.). Издана она была на рисовой бумаге. Книги, изданные в Европе были лишь отчасти оригинальны, а в своей основе имели китайские источники.

Существует целый ряд версий и гипотез возникновения игры Танграм. Наиболее распространенной и известной является та, что игра Танграм насчитывает около 4000 лет. Такую дату можно прочитать у Кордемского Б.А. или Котова А.Я., а так же у различных иностранных авторов. Мнение о Танграме, как о самой древней головоломке является весьма распространенным. Однако, это всеобщее заблуждение. Миф об этом создал С.Лойд. В 1903 году он выпустил книгу «Восьмая книга Тана», в которой впервые опубликовал свою красивую версию о древнем происхождение игры. Это и по настоящее время один из величайших розыгрышей в мире головоломок.

Вhello_html_m24ade74b.png Китае название Танграм неизвестно, а игра имеет название Ши-Чао-Тю (семь хитроумных фигур). Д.Мюррей обнаружил, что слово Танграм впервые встречается в словаре Вебстера издания 1864 г. По мнению Мюррея, само слово Танграм было придумано в середине прошлого столетия неким американцем, образовавшим неологизм из слова Тан, что означает на кантонском диалекте китайский, и распространенного суффикса - грам (как в словах анаграмма или криптограмма).

В книге «Китайский философский и математический Танграм» (1817 г.) слово Танграм - трактуется, как старинное английское слово - обозначающие игрушка, головоломка.

Игра очень проста в изготовлении. Квадрат 8 х 8 см из картона, пластика, одинаково раскрашенный с двух сторон разрезают на 7 частей. В результате получается 2 больших, 1 средний и 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. Используя все 7 частей, плотно присоединяя их друг к другу, можно составить очень много различных изображений по образцам и по собственному замыслу.

Бhello_html_m74062be0.pngолее сложной и интересной является воссоздание фигур по образцам-контурам. Воссоздание фигур по контурам требует зрительного членения формы на составные части, то есть на геометрические фигуры.


hello_html_23e501ce.jpg


Одно из первых заданий на этом этапе - бегущий гусь, начните лучше с него. Сначала, проанализируйте, из каких частей может состоять голова, шея, лапы гуся. Можно ли их сделать из других деталей… Дальше можно прикладывать различные элементы головоломки, ища правильный результат.

hello_html_5ce657f1.jpghello_html_6551bad1.jpg











Это уже посложнее - фигуры человека бегущего и сидящего.

Это самые трудные фигуры в этой головоломке, но мы уверены, потренировавшись, вы и с ними справитесь.


Пhello_html_m77a75d7b.pnghello_html_m47160f9d.png

А вот одна из разновидностей Танграма










Танграм Сердце

редлагаем вам поупражняться в составлении следующих фигур.






.hello_html_2244fd62.jpg








hello_html_m4afd0e97.pnghello_html_m42753d9e.gifhello_html_569bc011.gif Удивительное рядом

hello_html_206eafed.gif


hello_html_m383dc158.gif

«Каждое число имеет некую силу, которую цифра или символ для обозначения числа выражает не только количественно. Эти силы заключаются в оккультных связях между отношениями вещей и принципов в природе, выражениями которых они являются». К. Агриппа.







Знаете ли вы что-либо о магии чисел? Слышали когда-нибудь о загадочных числах, с которыми связано много историй? Давайте вместе знакомиться с магической арифметикой.


Сегодня мы представляем вам загадочное число 142857.


Начнем с умножения и посмотрим, что происходит:


142857 * 1 = 142857
142857 * 2 = 285714
142857 * 3 = 428571
142857 * 4 = 571428
142857 * 5 = 714285
142857 * 6 = 857142


Что мы видим? Постоянно появляются одни и те же цифры, меняя лишь свое положения и передвигаясь, как лента.


А если 142857 * 7 = 999999 !


Теперь сложим две части числа 142857:
142 + 857 получим: 999.

Продолжим:
14 + 28 + 57 = 99


А сейчас сложим все цифры числа, и полученные в результате цифры, опять сложим между собой:
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 => 2 + 7 = 9

Та-ак.. что же дальше?:

142857 в квадрате дает 20408122449
Это число образуется из 20408 и 122449

Если сложить их между собой:
20408 + 122449 получится... 142857 !!!

Полюбуйтесь результатами умножения чисел, состоящих из одной цифры - 1 (единицы). Удивительные результаты! И как тут не поверить в особые, сверхъестественные свойства чисел?


1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321


А теперь будем умножать и складывать. И делать это будем не с какими-либо числами, взятыми с потолка, а это будет определенный математический ряд, начиная с 9 (девятки). И далее: 98, 987... Будем все это умножать на 9 (девять) и прибавлять.. А, впрочем, смотрите все сами. И, после этого - верьте, или не верьте в магию чисел. Или в сверхъестесственные свойства чисел - кому как больше нравится...


9 * 9 + 7 = 88
98 * 9 + 6 = 888
987 * 9 + 5 = 8888
9876 * 9 + 4 = 88888
98765 * 9 + 3 = 888888
987654 * 9 + 2 + 8888888
9876543 * 9 + 1 = 88888888
98765432 * 9 + 0 = 888888888

hello_html_469f7a0e.png





hello_html_m4afd0e97.pnghello_html_m42753d9e.gifhello_html_569bc011.gif Удивительное рядом

hello_html_m3e2877b7.gif


  1. Число 2011 является простым, т.е. делится только на единицу и на само себя.

  2. Ни в виде суммы, ни в виде разности простых чисел оно не представляется.

  3. В виде разности квадратов число 2011 вследствие своей простоты представляется единственным способом: 20112=10062-10052.

  4. В виде суммы двух квадратов его не представить. А в виде суммы трёх квадратов оно представляется четырьмя способами:

2011 = 292+272+212 = 332+292+92 = 392+212+72 = 432+92+92.

  1. Нельзя число 2011 получить в виде суммы или разности двух кубов.

  2. Чтобы получить число 2011 в виде суммы кубов, необходимо целых 6 слагаемых. И сделать это можно шестью способами:

2011 = 93+83+83+53+53+23 = 103+93+63+43+13+13 = 103+103+23+13+13+13 = 113+83+53+33+23+23 = 123+43+43+43+43+33 = 123+63+43+13+13+13.

  1. Число 2011, кроме того, что само простое, является суммой одиннадцати последовательных простых чисел:

2011 = 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211.

  1. Квадрат палиндрома числа 2011 равен палиндрому его квадрата:

20112 = 4044121, записав наоборот, получаем 1214404.

Записав число 2011 наоборот, получим 1102, а 11022 = 1214404.

  1. Число 2011, умноженное на свой палиндром, 1102, даёт число 2216122, которое является палиндромом для самого себя, т.к. читается одинаково как слева направо, так и справа налево.

  2. Число 2011 можно представить в виде суммы двух треугольных чисел двумя способами: 2011 = T58 + T24 = 1711 + 300 и 2011 = T61 + T15 = 1891 + 120.

  3. И в виде разности треугольных чисел его можно представить всего двумя способами: 2011 = T1006 - T1004 = T2011 - T2010.

  4. В системах счисления от двоичной до девятеричной число 2011 выглядит так:

hello_html_f4462d2.png(2011)2 = 11111011011

(2011)3 = 2202111

(2011)4 = 133123

(2011)5 = 31021

(2011)6 = 13151

(2011)7 = 5602

(2011)8 = 3733

(2011)9 = 2674

13. Оказывается, что если записать все эти представления подряд (дописав и само число 2011) и рассматривать результат его как записанное в десятеричной системе, это число будет простым!

11111011011220211113312331021131515602373326742011 - простое.

hello_html_m4afd0e97.pnghello_html_6a627c6c.gifУдивительное рядом

hello_html_44c82a7e.gif


 hello_html_m5e36b064.png










В повседневной практике, даже при сложнейших вычислениях, редко используются  числа больше миллиарда.

 Миллиард - реже его называют биллионом - это единица с девятью нулями. Употребляется и триллион - единица с двенадцатью нулями. Наименования еще больших чисел - мало известны, да и ради экономии места они обозначаются и произносятся как степень числа 10. Например, десять в двадцать четвертой степени. Но у некоторых чисел-великанов названия есть:

105 - квадриллион,

1018 -квинтиллион,

1024 - секстиллион,

1027 - октиллион...

 Американский математик Кастнер изобрел «самое большое число» и назвал его «гугол». Это единица со ста нулями! То есть, 10100. Хотя естественный ряд чисел и бесконечен, все же в известной мере гугол - это граница исчисляемого мира.

 Дадим простор своему воображению и попытаемся проверить это утверждение. Вычислим площадь Земли в квадратных миллиметрах - можно надеяться, что получится головокружительная величина. Ничего подобного. Площадь земного шара равна 5 1020 квадратных миллиметров.

 Если же подсчитаем объем Земли в кубических миллиметрах, то получим чуть большее число - 1030. Но и это слишком мало по сравнению с гуголом. Если предположить, что в одном кубическом миллиметре вместится десять песчинок, и подсчитать их количество в объеме Земли, то получится всего 1031. Иными словами, Земля слишком мала для какого бы то ни было вычисления в масштабах гугола.

 Возьмем просторы космоса и попытаемся выразить расстояние между звездами в ангстремах - один ангстрем равен одной десятимиллионной части миллиметра. Обычно межзвездные расстояния измеряют в световых годах - это расстояние, которое солнечный луч проходит за год, - приблизительно 9,5 триллиона километров. И если выразить световой год в ангстремах, то получим 1026 ангстрема. И расстояние   до   самых   удаленных галактик не превышает 6 1027 ангстрем.

 Предположим, что Вселенная имеет ограниченные размеры (что не доказано) и сопоставим этот самый крупный физический объект, известный людям, с ядром атома - одним из самых малых объектов, изученных физиками. Соотношение между ними составит 1040. Это также не гугол.

 А теперь подсчитаем возраст Вселенной. Самое короткое время, которое мы используем в этом вычислении, составляет тот миг, который необходим световому лучу, чтобы пересечь диаметр атомного ядра. Получается, что возраст Вселенной в этих единицах составляет также 1040.

 Пересчитаем все атомные частицы, существующие в известной нам Вселенной: протоны, электроны, нейтроны, а также нейтрино и фотоны. Даже в одной пылинке содержится несколько миллиардов элементарных частиц. А во Вселенной их 1088 - то есть миллионная миллионной части гугола!

 До сих пор мы пользовались только статистическими величинами: длиной, объемом, количеством частиц. Интересно затронуть и динамические величины, например энергию. Энергия, излучаемая всеми звездами во Вселенной, должна быть исключительно велика. Но даже выраженная в микроваттах, она не достигает 1040.

 Гугол недостижим, даже если подсчитать, сколько энергии содержится во всем веществе Вселенной.

10googol

hello_html_m4afd0e97.pnghello_html_3493121f.gifhello_html_m42753d9e.gif По секрету всему свету

Сегодня в рубрике «По секрету всему свету» секретами быстрого счета поделится учитель математики и информатики МОУ «Покровская СОШ» Дюндикова Людмила Анатольевна, руководитель данного проекта и главный редактор нашего журнала.

hello_html_e17a887.png




Людмила Анатольевна:

«Дорогие ребята! Я надеюсь, что приемы быстрого счета, которыми я хочу поделиться, помогут вам сэкономить время при выполнении арифметических действий с числами».






Способы быстрого сложения чисел.

Поразрядное сложение:

85 + 49 + 54 + 32 = (80 + 40 + 50 + 30) + (5 + 9 + 4 + 2) = 200 + 20 = 220.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц:

364 + 592 = 364 + (592 + 8) – 8 = 364 + 600 – 8 = 956.

Этот способ удобен в случае, если одно из слагаемых близко к круглому числу.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится:

997 + 856 = (997 + 3) + (856 – 3) = 1000 + 853 = 1853.

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

298 + 397 = 300 – 2 + 400 – 3 = 700 – 5 = 695.





hello_html_m405ea02f.pnghello_html_m405ea02f.png


hello_html_208bba37.png





Способы быстрого вычитания чисел.

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов:

85 – 68 = = 85 – (65 + 3) = (85 – 65) – 3 = 20 – 3 = 17

426 – 387 = (427 – 1) – 387 = (427 – 387) – 1 = 40 – 1= 39

Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится:

1351 – 994 = (1351 + 6) – (994 + 6) = 1357 – 1000 = 357.

Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

643– 398 = 643 – (400 – 2) = (643 – 400) + 2 = 245;

395 – 97 = (400 – 5) – (100 – 3) = (400 – 100) – 5 + 3 = 298.












hello_html_m405ea02f.pnghello_html_m405ea02f.png



Людмила Анатольевна:

Используя данные приемы, попробуйте вычислить:

  1. 34 + 26 + 17 + 55 = ____________________________________________________

  2. 274 + 349 = ____________________________________________________________

  3. 498 + 293 = ____________________________________________________________

  4. 157 – 39 = ______________________________________________________________

  5. 573 – 298 = ____________________________________________________________

  6. 1478 – 993 = __________________________________________________________

hello_html_mec7a1ee.gif








Способы быстрого умножения чисел.

При умножении двузначных чисел удобен прием перекрестного умножения (его знали еще греки и индусы, в старину он назывался «способом молнии»), например: 24 32

а) умножаем единицы, это последняя цифра результата – 8;

б) умножаем цифры десятков на цифры единиц и складываем:

2 hello_html_2f76e9f6.gif 2 = 4, 4 3 = 12, 12 + 4 = 16,

6 – предпоследняя цифра результата,

1 запоминаем;

в) умножаем цифры десятков, прибавляем удержанную в уме 1, получаем первую цифру - 7. Результат 768.

После непродолжительного упражнения прием усваивается очень легко.


Способ «дополнений» используют в случаях:

а) когда перемножаемые двузначные числа близки к 50, например, 48 36, в этом случае «дополнения» этих чисел до 50 равны соответственно 2 и 14, причем разность первого числа и второго «дополнения» равна разности второго числа и первого «дополнения»: 34. Оказывается, в таком случае половина этой разности (17) представляет собою начало искомого результата, а произведение «дополнений» (28) – конец.

Итак, 48 36 = 1728.

б) когда перемножаемые двузначные числа близки к 100, например, 92 96 «дополнения»: 8 и 4. Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из одного множителя «дополнения» второго, т.е. 92 – 4= 88 или 96 – 8 = 88, к этому числу приписывают произведение «дополнений»: 8 hello_html_2f76e9f6.gif 4 = 32.

Получаем результат 92 96 = 8832.

в) при умножении двузначных чисел от 11 до 19, например, 14 12 = 168. Объяснение: 4 и 2 – «дополнения» - это разности данных чисел и числа 10, 14 + 2 = 16 или 12 + 4 = 16, это число десятков искомого произведения, к нему приписываем произведение «дополнений»: 8. Конечно, эти примеры удобнее решать, применяя распределительное свойство:

14 12 = 14 (10 + 2) = 140 + 28 = 168.































hello_html_m4afd0e97.png

hello_html_27a7f2b.gif

А вы знаете, что …

Отрицательные числа далеко не всегда считались чем-то естественным.
Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бессмысленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение

4x + 20 = 0 – абсурдно.

В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами – в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.

Тем не менее, до XVII века отрицательные числа были «в загоне» и даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 – 4 = 0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…










hello_html_m72015b56.png







Л.Фибоначчи


hello_html_m4afd0e97.pnghello_html_m42753d9e.gifГеометрические зарисовки

hello_html_m1e536518.gif

Когда-то я был точкой. Только этого я не помню, просто рассказывали, что я был точкой, а я верю. Может и не совсем верю, но доказать обратное не могу, поэтому соглашаюсь. Тем более, какая разница - был и был, наплевать.

Потом я превратился в линию. Появилось право и лево. Или верх и низ. Или чёрное и белое. Всё неумолимо делилось на две части - до меня и после меня, я же был почти бесконечен. Если хорошенько вспомнить, то действительно с одной стороны всё было чернильно-чёрным, а с другой - абсолютно белым, без единого пятнышка. Без полутонов, переходов, градиентов. Я-линия разделял мир на две половины: радикально и бескомпромиссно. Вот только сам постоянно метался - то ощущал себя на стороне белого, то на стороне чёрного, и всё не мог определиться, и всё думал, что это очень важно - понять, на какой ты стороне - на чёрной или на белой. И мучался и не мог перестать думать об этом и не мог решить.

Но это прошло, когда я стал плоскостью. Линия, разделяющая мир на две половины, стёрлась без следа, всё заполнилось градиентом: красным, зелёным, синим, фиолетовым. Фиолетовый тогда казался самым важным. И вообще цвета казались очень важными, и я придавал им огромное значение - менял, сочетал, примерял, какие лучше, а от каких стоит отказаться. Да, и страшно гордился, что осознал истинную бесконечность и разноцветность мира. По сравнению с линией я знал и понимал намного больше, мои решения были более обоснованными, суждения - более вескими, я мог размышлять и спорить о большом количестве вещей, потому что имел позицию относительно множества вопросов, важных и не очень, глобальных или же совсем мелких.

Когда я сумел приподняться над плоскостью и занять объём, я удивился, насколько был глуп и недальновиден. Увидел себя со стороны, посочувствовал, и начал строить новую картину мира. Как же всё оказалось иначе, нежели я представлял ранее! Всё, что я ценил, любил, изучал, чем гордился, к чему стремился - всё было в этой плоскости и никогда не выходило за её пределы! Это же так наивно, глупо, по детски - быть ограниченным одной плоскостью и размышлять в её пределах! Всё пошло иначе: объём - это масса направлений, возможностей, путей развития. Когда понимаешь, что мир на самом деле объёмен, становится ясно, сколько всего можно добиться, кем стать и как жить. Можно принять форму шара: доброжелательность, открытость, равнозначность отношения ко всем, спокойствие. Тетраэдр - целеустремлённость, сила, скорость. Есть ещё куча интересных форм, перепробовать которые хочется все...
Но тут я узнал про следующий уровень организации вселенной - про время. Что бы я не делал, какую бы сколь угодно сложную форму не принимал, всё это происходило во времени.

Формы строились и разрушались, покрывая свои грани разными цветами, я осознавал мир вокруг себя, а время текло и текло вперёд - медленно и равномерно, но неумолимо. Ощутить его сложно, потому как присутствует оно всегда и везде, но если прислушаться к себе, то можно услышать звук внутреннего хронометра - стук...стук...стук... Так идут вечные часы мироздания, пуская нас в трёхмерный мир глянуть одним глазком на его красоту и необъятность. А потом выгоняют из него, погружая обратно в несуществующее ноль-мерное пространство, где мы вроде и есть, но вроде нас и нет совсем. И пока я трёхмерный и занимаю какой-то объём, я стараюсь почерпнуть максимум в предоставленном мне времени. Может быть, даже я найду ещё одно измерение и перерасту в него, осмыслив новый вид бытия. Возможно даже, моё нынешнее положение покажется тогда ещё более смешным, чем плоское существование в сравнении с объёмом, но это пока сложно представить. Как сложно было представить существование второго измерения маленькой точке, существование плоскости - бесконечной линии и существование объёма - той самой разноцветной плоскости. Сейчас я хотя бы допускаю возможность существования следующего уровня, но уверен: если я когда-то до него доберусь, то это будет полнейшей неожиданностью! Мир так сложен, что никаких геометрических фигур не хватит, чтобы его описать!

hello_html_m4afd0e97.pnghello_html_117239c6.gifЗанимательная математика


hello_html_m7c3f92be.pngОписание игры

Судоку – числовой кроссворд, логическая головоломка.

Поле судоку представляет собой таблицу 9х9 клеток, который нужно заполнить цифрами по следующим правилам: в свободных клетках надо расставить цифры от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом малом квадрате 3x3 каждая цифра встречалась бы только один раз. В некоторых клетках уже в начале игры стоят числа (от 1 до 9). Чем больше цифр стоит изначально, тем проще решить головоломку.


Предлагаем вам Судоку трех уровней сложности:

ПРОСТОЙ СРЕДНИЙ СЛОЖНЫЙ

hello_html_m605a7e68.pnghello_html_m1f02c0c.pnghello_html_32d40380.png











hello_html_27a7f2b.gif

А вы знаете, что …

Судоку в переводе с японского языка (数独«su» – число, «doku» – стоящая отдельно) означает «единственное число». Идея названия появилась от заголовка «Число может использоваться только один раз», под каким газета Monthly Nicolist в апреле 1984 г. опубликовала статью об этой игре. Это название игре дал руководитель компании Nicoly Inc. (крупного издателя сборников головоломок) Каджи Мэки. С 1986 г. публикация судоку стала на его страницах регулярной.

Но судоку появилась не в Японии. Создателем игры был Гарвард Гарис в 1979 г., опубликовав ее в журнале Word Games Magazine. Он использовал принцип латинского или магического квадрата Эйлера, применив его в поле 9x9 и добавив условие – цифры не должны повторяться и во внутренних квадратах 3x3. Таким образом, судоку корнями восходит к швейцарскому математика Леонарду Эйлеру. В его архиве за 17 октября 1776 г. содержатся записи, как образовать магический квадрат с определенным числом ячеек. Исследуя его разные варианты, Эйлер обратил внимание, чтобы ни один из символов не повторялся ни в одной строке или столбце.

Во 2-й половине 1980-х гг. судоку быстро стала популярной в Японии. 12 ноября 2004 г. газета The Times опубликовала головоломку, после чего та быстро распространилась в Британии, Австралии, Новой Зеландии, в Европе и России. В 2005 г. эта головоломка триумфально вернулась в США, выйдя из нее в 1979 г.





hello_html_m386bdb7b.png




hello_html_285aac0b.png













hello_html_m4afd0e97.pnghello_html_117239c6.gifМатематический юмор

Однажды на уроке

В школе заболела преподавательница русского языка и поставили на замену математика (М), приходит он на урок к ученикам (У).
М: Какая тема последнего задания?
У: Падежи.
М: Повторяем падежи:

Именительный: кто, что.

Родительный: кого, чего.

Дательный: кому, ...?

(пишет на доске)

кто/что
кого/чего
кому/?

М: А дальше кто знает?
У: Не помним (прикалываются).
М: Тогда выведем.

Пусть неизвестное слово Х, тогда:

кто/что
кого/чего
кому/Х

составляем пропорцию:
кого/чего = кому/Х
(го) сокращается, получаем:
ко/че = кому/Х
аналогично сокращаем (ко), получаем:
1/че = му/Х
Перемножим по свойству пропорции:
1 * Х = че * му
Получаем:
Х = чему



hello_html_1c3914eb.png















Считалка:

2 12 46, 

48 3 06. 

33 1 102, 

8 30 32.


Маpш:

18 17! 18 16! 

115 13 3006! 

90 17! 90 16! 

240 110! 526!


Пушкин:

17 30 48

140 10 01

126 138

140 3 501


Маяковский:

2 46 38 1

116 14 20!

15 14 21

14 0 17


Есенин:

14 126 14

132 17 43...

16 42 511

704 83


170! 16 39

514 700 142

612 349

17 114 02



Веселые стихи:

2 15 42

42 15

37 08 5

20 20 20!


45 108 2 

47 16 

3 4 502 

20 20 20


7 14 100 0

0 0 0 13 

37 08 5 

20 20 20


Грустные стихи:

511 16

5 20 337

712 19

2000047


3 1512 

16025 

11 0 3 15 

100006 02 05


Импровизация

3 4 2 1

46 17

300 10 900

57 16






hello_html_m183ed82e.pnghello_html_m183ed82e.png






hello_html_m183ed82e.pnghello_html_66851946.jpg

Автофигура 13

Название документа Список литературы.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Список используемой литературы и ресурсов Интернета


  1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. Шк. – М.: Просвещение, 1989.

  2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения: 2-е изд., испр. и дополн./Пер. с англ. – М.: «Мир», 1999.

  3. www.alleng.ru/edu/math2.htm (Учебники и книги по математике)

  4. www.pravo.vuzlib.net/book_z2178_page_3.html (Современная математика)

  5. www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/MATEMATIKI_ISTORIYA.html (История математики)

  6. festival.1september.ru/articles/580648/pril1.docx (Способы быстрого счета)

  7. http://intelmath.narod.ru/2011.html (Занимательная математика)

  8. www.bibliotekar.ru/evrika/5-18.htm (Электронная библиотека)

  9. http://matematiku.ru (Математику.ру: занимательная математика)

  10. http://ipuzzles.ru/tangram/tangram-history/ (История Танграм)

  11. www.babylessons.ru/igra-golovolomka-tangram/ (Игра Танграм)

  12. www.fillosoff.ru (Магия чисел)

  13. http://stevsky.ru (Творчество-Фантастика)

  14. www.etudes.ru (Математические этюды)

  15. http://sudoku-club.ru (Судоку-клуб)

  16. http://ipuzzles.ru (Все о головоломках)

hello_html_m4d466bb7.png

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 14.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров181
Номер материала ДВ-063289
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх