"Золотое сечение" - божественная мера красоты

                                                                      Выполнили: Миляева Елена, Серова Марина,

                                                            учащиеся 10 класса.

                                                            Руководитель: Хромина Ольга Петровна,

                                                            учитель математики.

г. Узловая

СОДЕРЖАНИЕ

1.          Введение                                                                      3

2.          Золотое сечение – гармоническая пропорция.         4

3.          Второе золотое сечение.                                            5

4.          Золотой треугольник.                                                  6

5.           Ряд Фибоначчи.                                                          8

6.          Золотое сечение в скульптуре.                                  8

7.          Золотое сечение в архитектуре.                                9

8.          Золотое сечение в живописи.                                    12

9.          Тело человека и золотое сечение.                            13

10.               Золотая пропорция в строении легких человека.    15

11.              Принципы формообразования в природе.                15

12.              Золотые пропорции в строении молекулы ДНК.       18

13.              Золотое сечение в строении снежинок.                     18

14.              Золотые пропорции в космическом пространстве.   19

15.              Золотое сечение, головной мозг, дыхание.

            Правила повседневного поведения для

            гармонизации ума, души и тела

            по законам «Золотого сечения».

            Сергей Вербин, психолог.                                           19

16.       Литература                                                                   22

 «Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем».

                                                                                                      И. Кеплер

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:

 a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему    a : b = b : c или с : b = b : а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

        Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ.

Полученная точка С соединяется линией с точкой А.

 На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ.

Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x² – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Второе золотое сечение

        Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

        Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется следующим образом.

Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения.

Из точки С восставляется перпендикуляр СD.

Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А.

Прямой угол АСD делится пополам.

 Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD.

                                                        Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

Рис. 3. Построение второго золотого сечения

Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

        На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

        Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528).   

Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА.

Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D.

Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED.

Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC.

Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника.

Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму.

Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

 Рис. 6. Построение золотого
      треугольника                                         

Проводим прямую АВ.

От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ,

на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d₁ соединяем прямыми с точкой А.

Отрезок dd₁ откладываем на линию Ad₁, получая точку С. Она разделила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения. Линиями Ad₁ и dd₁ пользуются для построения «золотого» прямоугольника

Ряд Фибоначчи

      С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34= 0,617, а 34 : 55= 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Золотое сечение в скульптуре

      Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”.

Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

 

Аполлон  Бельведерский

Золотое сечение в архитектуре

         В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

  Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

         Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

     Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.

 

         Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”.

         Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, “золотое сечение” можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5).

        Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

        Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г.

        При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.

        Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: “Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок”.

	Дом Пашкова

 

                                                                                                Здание сената в Кремле

Золотое сечение в живописи.       

         Переходя к примерам  « золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

          Он снискал славу непревзойдённого художника, великого учёного, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были  осуществлены вплоть до ХХв. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был  великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность  останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное  изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, в которых говорится «обо всем на свете».

          Он написал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец  зеркального письма.

          Портрет Монны  Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, что композиция рисунка  основана на золотых треугольниках , являющихся частями правильного звёздчатого пятиугольника.

Тело человека и золотое сечение

        Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. 

         Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

         Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

         Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

• расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618
• расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618
• расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618
• расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618
• расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618
• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618
• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

          Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

          В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения.     Приведем несколько таких соотношений:

• Высота лица / ширина лица,
• Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.
• Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ
• Ширина рта / ширина носа,
• Ширина носа / расстояние между ноздрями,
• Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Золотая пропорция в строении легких человека

        Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

         Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

         Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях.  Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Принципы формообразования в природе

         Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

         Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

         Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Рис.  Спираль Архимеда

         Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

         Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

 Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Рис.  Цикорий

         Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Рис. Ящерица живородящая

          В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Золотые пропорции в строении молекулы ДНК

         Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

      

  Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

 Золотое сечение в строении снежинок

          Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

 

 

 

 

Золотые пропорции в космическом пространстве.

         Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.

Золотое сечение, головной мозг, дыхание.
Правила повседневного поведения для гармонизации ума, души и тела по законам "Золотого сечения"
Сергей Вербин, психолог

         Законам «Золотого сечения», то есть абсолютной гармонии, подчиняются не только плоды человеческой деятельности, но и сам человек — его внутренние органы и системы, его душа, его мысли. С рождения человеку предписано находиться в гармонии с собой и с внешним миром. Как только эта гармония нарушается, человек «выпадает» из универсальных структур мироздания, сотворенных неведомым и загадочным Вселенским Разумом. У человека начинаются всевозможные проблемы. И прежде всего — проблемы со здоровьем, поскольку болезнь есть не что иное, как отклонение от классических пропорций, дарованных природой. Известный психолог Сергей ВЕРБИН предлагает восстановить нарушенные пропорции, а значит, и вернуть утраченное здоровье с помощью одной из своих авторских разработок — метода «Золотого сечения», в основе которого лежит активизация резервных возможностей головного мозга.
        МЕТОДИКА активизации деятельности головного мозга состоит из нескольких этапов.

           Первый и главный — это очищение капилляров и сосудов мозга, а также циркулирующей по ним крови.

ВТОРОЙ, не менее важный компонент методики — насыщение крови и клеток мозга чистым воздухом и, главное, выведение из организма так называемого застойного воздуха.

          ЧЕЛОВЕК создан для движения, как птица для полета. Наша задача состоит в том, чтобы найти свободное время, побороть лень и развить силу воли, чтобы заставить себя как можно больше двигаться.

             ВЫСОКИЙ темп современной жизни, неумение управлять собой приводят к тому, что человек постоянно находится в напряжении. Перенапряжение — причина многих болезней и ошибочных решений. Каждому из нас просто необходимо научиться расслабляться. Это нужно в первую очередь для поддержания своего здоровья.

          КОНЦЕНТРАЦИЯ УМА — это сосредоточение мысли на одной точке, предмете или идее. Благодаря высокой концентрации человек улучшает состояние здоровья, увеличивает КПД работы мозга, берет под контроль все свои чувства и эмоции.

         В ЖИЗНИ каждого человека бывают мгновения, когда удача его покидает. Такие моменты быстро проходят, не оставляя следа, если человек умеет справляться с возникшей ситуацией. Что же помогает переносить неудачи легко, играючи, без сильных потрясений и душевных травм? Безусловно, юмор и оптимизм.
Подмечено, что люди, относящиеся к происходящему с оптимизмом, а к себе — с юмором, гораздо меньше болеют, а если и болеют, то легко переносят болезни и быстро выздоравливают.

Правила повседневного поведения  «Золотого сечения»:

- как можно чаще улыбайтесь и размышляйте только о хорошем;

- в свободное время вспоминайте о людях, с которыми вам было особенно легко и приятно;

- наблюдайте за красивым пейзажем, наслаждайтесь картиной заходящего, а еще лучше восходящего солнца;

- старайтесь так спланировать свой день, чтобы осталось время для увлечений и удовольствий;

-  отведите на сон не менее 7–8 часов; один день в неделю сделайте выходным от забот и трудов;

- больше бывайте на природе и слушайте не плеер или магнитофон, а журчание ручейков, плеск набежавшей волны, шелест листьев, стрекотание кузнечиков, пение птиц;

- оптимизм и вера в успех — вот что должно стать вашей путеводной звездой.

«Математикой нужно заниматься не ради её приложений, а во имя той духовной прибыли, которая связана с ней».                                

                                                                          Платон.

       «Нет идеальной красоты без некоторой странности пропорций».

       «В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышлением».

                                                                                   Аристотель.

Литература

1.  Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.

2.  Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М., 1994.

3.  Мурадова Р. Обобщающий урок по теме «Золотое сечение». // Математи-

ка (Приложение к газете «Первое сентября»).- 1999. № 1.

4.Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

5. Интернет