Инфоурок Другое Другие методич. материалыЗолотое сечение вокруг нас

Золотое сечение вокруг нас

Скачать материал

V республиканский конкурс исследовательских работ

«Юный исследователь» - 2021

 

 

 

Город /район/Казань

Образовательная организация МБОУ «Средняя общеобразовательная татарско-русская школа №48 с углубленным изучением отдельных предметов»

Класс 6 «Б»

Секция Точные науки (математика, физика, химия, информатика, астрономия)

 

 

 

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: Золотое сечение вокруг нас

 

 

 

Учащийся: Халиуллин Назар Азатович

Руководитель: Мингалеева Гульназ Шакирзяновна,

учитель математики СЗД

 

 

 

 

Казань, 2021 г.

Содержание

 Введение

1.1.          Определение и построение «золотого сечения»

1.2.          Число φ и ряд Фибинчи

1.3. История «золотого сечения»

2. Экспериментальная часть                                                                       

2.1. Эксперимент применение человеком «золотого сечения» при изготовлении предметов

2.2.     Эксперимент «Золотое сечение в человеке»

2.3 . Эксперимент «Другие примеры золотой пропорции в природе»

2.4. Эксперимент с золотым прямоугольником

Заключение                                                                                                   

Список литературы                                                                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель исследования: поиск закономерности «золотого сечения» в окружающем нас мире

Объект исследования: «золотое сечение»

Предмет исследования: отображение «золотого сечения» в живой природе и пропорциях человеческого тела

Гипотеза: «золотое сечение» есть божественная мера красоты

Методы исследования: наблюдение, измерения

Задачи исследовательской работы

1. Исследовать абстрактные данные согласно проблеме «Золотое сечение - изящность также единство находящегося вокруг мира» (отыскать сведение согласно проблеме в литературе также Сети Интернет)»;

 2. Изучить масштабы домашних растений, находящихся вокруг объектов, масштабы туловища лица также установить соотношения «золотого сечения»;

3.Изучить приобретенные итоги, организовать информацию также презентацию согласно этой проблеме.

Актуальность проблемы:

    Правило «золотого сечения» было известно еще строителям египетских пирамид, но оно не потеряло своей актуальности и теперь. Как в древности, так и сейчас людей волнуют проблемы гармонии, поиск идеальных пропорций и форм.

    Число «золотого сечения», равное примерно 1,618, воспринимается нами как эталон привлекательности и гармонии, является основным природным механизмом, помогающим наиболее полно черпать информацию из окружающего мира.

                       

Введение

 Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли “проверить алгеброй гармонию?” – как сказал А.С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые «прекрасного».

 По своей природе термин «золотое сечение» в первую очередь относится к математическим понятиям, так как его сущность определяется неким соотношением. Так что же такое «золотое сечение»?

1.1. Определение и построение «золотого сечения».

Учение об отношениях и пропорциях успешно развивалось в IV в. до н.э. в Древней Греции. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a : b = b : c или с : b = b : а.

 Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

золотое сечение

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

    Итак, золотая пропорция = 1 :1,618. Это отношение приближенно равно 0,618 ≈ 5/8. Полученное число носит название числа φ (фи).

1.2. Число φ и ряд Фибинчи.

Это число названо в честь древнегреческого архитектора Фидия, создавшего храм Парфенон в Афинах (по первой букве имени). На самом деле в числе φ бесконечно много знаков после запятой – это бесконечная непериодическая дробь. Можно привести запись этого числа с большим количеством цифр: φ=1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544…

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи).

Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Месяцы

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

и т.д.

Пары кроликов

0

1

2

3

4

5

8

13

21

34

55

89

144

и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

                                    1.3. История «золотого сечения».

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.) .

 Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона, созданного знаменитым древнегреческим архитектором Фидием, присутствуют золотые пропорции.

При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Неаполе, в Национальном музее, хранится пропорциональный циркуль, найденный при раскопках в Помпеях. Пропорциональный циркуль является необходимым атрибутом архитектора. Он состоит из двух равных по длине ножек, скреплённых винтом наподобие ножниц, и позволяет (минуя вычисления!) для любого отрезка получить  отрезок, находящийся с ним в заданном отношении. Так вот, помпейский циркуль наглухо закреплен в отношении золотого сечения.

 В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи  и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Леонардо да Винчи

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В своих художественных произведениях Леонардо да Винчи конечно же использовал пропорции «золотого сечения». Так например, это соотношение между высотой и шириной лица Моны Лизы на картине «Джоконда».

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер.

Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

 Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

2.      Экспериментальная часть

    Изучив теорию вопроса, я решил провести исследование и найти пропорции золотого сечения в живой природе (на примере комнатных растений), в окружающих нас предметах  и в размерах человеческого тела.

2.1. Эксперимент применение человеком «золотого сечения» при изготовлении предметов

Цель: проверить применение человеком «золотого сечения» при изготовлении предметов обихода.

Я измерил размеры классной доски:

Длина – 142 см, ширина – 95 см.   Отношение ширины к длине равно 0,67 и оно не равно, но близко к «золотому сечению».

Мы измерили размеры парт в кабинете математики: длина – 118 см, ширина – 55 см.  Отношение ширины к длине равно 0,466. Сделала вывод: парты надо менять!

 2.  Я также измерил пластиковую карту сбербанка:

Длина- 85 мм, ширина- 53 мм. Отношение ширины к длине равно 0,623. Сделала вывод: размеры пластиковой карты близки к размерам «золотого прямоугольника»

3. Учебники, по которым  мы учимся

Для исследования я взял 3 учебника, измерил их размеры и нашел отношение размеров.

Название предметов

Длина

Ширина  

отношение

Классная доска

142см

95см

0,67

Школьная парта

118см

55см

0,466

Пластиковая карта

85см

53см

0,623

Учебник биологии

220мм

140мм

0,64

Учебник алгебры

215мм

160мм

0,74

Учебник русского языка

215мм

165мм

0,76

Вывод: пропорции «золотого сечения» ближе всего соблюдены в размерах пластиковой карты и учебнике биологии.  Школьные парты нужно менять.

2.2.              Эксперимент «Золотое сечение в человеке»

Цель: проверить, действительно ли в строении человека соблюдается

«золотое сечение»

Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе

M/m=1,618

    Первый пример «золотого сечения» в строении тела человека:

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных «золотых пропорции» нашего тела:

расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618

расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

«Золотое сечение» в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

    В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле «золотого сечения». Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой.  Точное наличие «золотой пропорции» в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число «золотого сечения», можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

 

Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе

  На человеческом лице существуют и иные воплощения правила «золотого сечения». Приведем несколько таких соотношений:

Высота лица / ширина лица,

Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

Ширина рта / ширина носа,

Ширина носа / расстояние между ноздрями,

Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу «золотого сечения». Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число «золотого сечения» (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения

В эксперименте приняли участие 4 человека, двое взрослых и двое детей. Измерили у всех рост(С), расстояние до талии(В) и от талии до макушки головы(а)

Нашли отношение В:А и С:В

Фамилия имя

А

В

С

А:В

В:С

Раиса

50

80

130

0,625

0,601

Назар

55,5

90

145,5

0,65

0,6

 «Золотое сечение» составляет 0,618

Результаты: самые пропорциональные телосложения оказались у X и Y.

Вывод: пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Но ближе всего к «золотому сечению» подходят пропорции взрослых мужчин.

2.3.              Эксперимент «Другие примеры золотой пропорции в природе»

Цель: проверить есть ли «золотое сечение» в растительном мире, у комнатных растений.

В первую очередь я заинтересовался, каким образом, проявляется принцип формообразования в живой природе. Выяснилось, что комнатные растения растут и занимают место в пространстве в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности, либо закручивание по спирали (вьющиеся растения). Меня заинтересовал первый вариант. Для этого было изучено Х комнатных растений (среди них Название 1, Название 2, Название 3,…)

 

Золотое сечение – одно из ярких проявлений гармоничности в природе

А                                                  С                              В                  

Приглядимся внимательно к схематично изображённому фрагменту комнатного растения. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

    Если измерить расстояние АС и расстояние ВС, и найти отношение

ВС.: АС, то оно приближённо равно 0,618, т.е. подчиняется золотой пропорции (см. таблицу1).

Таблица 1. Соотношение частей растений

Название комнатных растений

АС (см)

ВС (см)

ВС : АС (см)

Алоэ

2,5

1,5

0,6

Фикус

3,1

1,9

0,61

Вывод: результаты измерений показывают, что в росте, завоевании пространства, растение сохраняет определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшаются в пропорции «золотого сечения».

Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи.

Золотое сечение: Рис.14Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

Золотое сечение: Рис.22Золотое сечение: Рис.21В ящерице длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Также можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Название домашнего питомца

АС (см)

ВС (см)

ВС : АС (см)

Черепаха

2,5

1,5

0,6

 

2.4.              Эксперимент с золотым прямоугольником

Изучая понятие и примеры золотого сечения в природе и архитектуре, мы встретились с предположением, что объекты, в пропорциях которых встречается отношение, близкое к 1,618, воспринимаются человеком, как более красивые, приятные глазу, именно поэтому художники, скульпторы, архитекторы использовали это отношение в своих творениях. Чтобы проверить данную гипотезу, мы провели эксперимент, который показал, как золотое сечение влияет на выбор человека.

Для проведения эксперимента были подготовлены раздаточные материалы с изображением трех прямоугольников с разными пропорциями:

Прямоугольник №1 : длина - 8,5 см, ширина - 2,2 см

Прямоугольник №2 : длина - 6 см, ширина – 3,7 см

Прямоугольник №3 : длина – 3,6 см, ширина – 3,7 см

Параметры второго прямоугольника (6 : 3,7 = 1,649) близки к золотой пропорции.

В ходе опроса участникам предлагали (без объяснения теоретической части эксперимента) выбрать среди трех фигур ту, которая им больше нравиться.

  №1

 

  

 

 №2                                                                             №3

                                   

Результат:

В опросе приняли участие 35 человек разного возраста (школьники и их родители, учителя). Количество респондентов, выбравших каждую фигуру, распределилось так, как показано в таблице ниже.

Фигура

Выбрали фигуру, чел.

Прямоугольник №1

11

Прямоугольник №2 (Золотой прямоугольник)

19

Прямоугольник №3

5

    Вывод:

Так как прямоугольник №2 (пропорции которого соответствуют золотому сечению) выбрало наибольшее количество человек, среди опрошенных, наше предположение подтвердилось. Действительно, геометрические фигуры, в размерах которых присутствует отношение 1:1,618 наиболее приятны человеческому глазу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

   В ходе своего исследования, проводя эксперименты,  я выявил закономерности «золотого сечения» в  окружающих предметах, комнатных растениях, в частях тела человека, домашнего животного. В результате была подтверждена гипотеза, что «золотое сечение – это отображение окружающего нас мира»

   Изучив литературу и материалы интернет-сайтов, я пришёл к выводам:

1.«Золотое сечение» –  вовсе не математический вымысел,  на самом деле, это продукт закона природы, основанный на правилах пропорциональности. 2. Человек - венец природы, золотые пропорции можно найти в частях его тела. Человеческое представление о красивом сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

3. Применение знаний о «золотом сечении» в различных сферах деятельности людей прослеживается уже в течение нескольких столетий и в дальнейшем изучение и применение «золотого сечения» будет двигать развитие науки и всего человечества в целом.

 По моему мнению, изучение «золотого сечения» необходимо включить в школьную программу.

   Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта «божественная пропорция» мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение. «Золотое сечение» лежит в основе красоты и гармонии мироздания.

Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он — мистическая тайна или научный феномен?

Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

В ходе выполнения данной исследовательской работы мы убедились, что золотое сечение присутствует в пропорциях большинства объектов, окружающих человека, да и в самом человеке, что производит очевидный эстетический эффект. Человек, сам не осознавая этого, отдает предпочтение формам, в которых присутствует золотая пропорция. Именно этой идеей часто пользуются создатели разработчики предметов человеческого быта, например, создатели пластиковых скидочных и банковских карт.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1.      "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998

2.      Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

3.      «Наука и техника» - электронная библиотека URL: http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm (Дата обращения: 30.03.2018)

4. Волошинов А. В. «Математика и архитектура».- М.: «Просвещение». 2000

5. Виленкин Н. Я. и д.р. «Математика 6 класс».-М.: «Мнемозина». 2011

6. В. Лаврус «Золотое сечение».- электронная библиотека. «Наука и техника».

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 008 295 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 23.09.2022 335
    • DOCX 169 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Мингалеева Гульназ Шакирзяновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 5 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 964
    • Всего материалов: 8

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой