Исследовательская работа на тему Признаки и свойства ромба ученицы 8 класса Рзаевой Тамары

VI окружная (III межрегиональная) конференция-конкурс

достижений талантливой молодежи

«БУДУЩЕЕ НАУКОГРАДА»

Направление:

математика, физика, ВТ, технические науки

Название работы:

Признаки и свойства ромба

Автор работы

РзаеваТамара, 8 класс

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №18»

Место выполнения работы

г.Бийск

Педагог-руководитель

Волчёк Наталия Львовна

 учитель математики МБОУ «СОШ № 18»

2014

Содержание:

Введение                                                                                                                             2

1. Признаки и свойства ромба                                                                                           3

2. Примеры решения задач с помощью новых теоретических положений                  9

Выводы исследования                                                                                                       10

Список литературы:                                                                                                            11

Введение

В школьном курсе математики мы изучаем множество понятий, рассматриваем их признаки и свойства. В этом году мы начали изучать четырёхугольники, и я заинтересовался их особенностями. Оказалось, что в школьных учебных пособиях приведены далеко не все интересные факты. Например, для ромба приведено его определение и свойство. Однако для быстрого и лаконичного решения задач хотелось бы иметь не такое ограниченный набор исходных фактов. Таким образом, выявилось противоречие между необходимостью иметь больший набор признаков и свойств ромба для решения задач и отсутствием их в школьных учебных пособиях.

Преодоление противоречия определяет проблему исследования, которая заключается в отыскании новых свойств и признаков ромба и их доказательстве. Решение выдвинутой проблемы составляет цель работы.

Объект  исследования–ромб.

Предмет исследования – признаки и свойства ромба.

Задачи исследования:

- изучить признаки и свойства ромба в различных пособиях и на сайтах;

- сформулировать и доказать новые, не доказанные признаки и свойства  ромба;

- апробировать их для лаконичного решения геометрических задач.

Методы исследования: теоретический анализ специальной литературы по изучаемой теме, анализ, синтез и обобщение.

Исследование проводилось на протяжении нескольких этапов:

Ø предварительный этап: изучение и анализ литературы по теме исследования, определение объекта и предмета исследования; формулирование гипотезы и задач, отбор методов исследования.

Ø теоретико-экспериментальный этап: отыскание и доказательство новых признаков и свойств ромба, применение их для решения геометрических задач.

Ø описательно-итоговый этап: анализ работы, обобщение и систематизация полученных результатов, оформление проведенного исследования.

Новизна исследования заключается в предмете исследования, которым выступают новые, не доказанные ранее признаки и свойства ромба.

Практическое значение состоит в систематизации теоретических положений о ромбе.

Полученные нами выводы могут быть использованы:

·         учениками средних и старших классов для расширения списка способов решения задач;

·         учителями математики школ Алтайского края при совершенствовании навыка решения геометрических задач и осуществлении внеклассной работы по предмету.

1. Признаки и свойства ромба

Определение (дефиниция) в большом энциклопедическом словаре рассматривается в разных смыслах: 1)установление смысла незнакомого термина (слова) с помощью терминов (слов) знакомых и уже осмысленных. 2)Уточнение предмета рассмотрения, однозначнаяегохарактеристика3)Введение в рассмотрение нового предмета (понятия)посредством указания на то, как этот предмет построить(получить) из предметов данных и уже известных[1].

Значение слова «определение» по логическому словарю сводится к логической операции, 0раскрывающей содержание понятия.[2].

Автор учебника по геометрии для 7-9 классов Атанасян Л. С. понимает под определением – [3]предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия.

Понятие признака (Merkmal) философский словарь определяет как условие, по которому познают или узнают предмет; определения, которые отличают одно понятие от другого[4].

Значение слова признак по Ожегову С. И. подразумевает показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить чего-нибудь.[5]

Смысл понятия «Свойство» Ожегов С. И. определяет как качество, составляющее отличительную особенность кого–нибудь или чего-нибудь[6].

Определение: Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.[7]

В учебных пособиях под редакцией Атанасяна Л. С.,[8]Бутузова В. Ф.[9], Погорелова А. В.[10], Киселева А. П[11].  приведено и доказано следующее свойство ромба, которое мы приведем без доказательства:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Так как ромб является частным видом параллелограмма, то все его свойства так же являются свойствами ромба.

Свойство 1: В ромбе противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство 2: Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Простейшими рассуждениями можно вывести еще несколько свойств.

Свойство 3: Сумма внутренних углов ромба, прилежащих к любой стороне, равна 180˚(следует из свойств параллельности прямых).

Свойство 4: Сумма внутренних углов ромба равна 360⁰(так как ромб является четырехугольником).

Свойство 5: Диагональромба делит его на два равных равнобедренных треугольника (следует из признаков равенства треугольника).

Однако, применяя более сложные рассуждения, можно доказать и другие свойства выше указанного четырехугольника.

Свойство 6: В ромбе, отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Дано:ABCD-ромб, BD∩AC=O,KЄBC, FЄAD, OЄKF.

Доказать: KO = FO 

Доказательство                                                         Рис 1

Рассмотрим ∆КОС и ∆FOA (см рис 1). У них ОС и ОА равны (по свойству диагоналей ромба). 1=2(так как они вертикальные) 3=4(по свойству диагоналей и углов ромба) значит ∆КОС=∆FOA(по стороне и двум прилежащим к ней углам), значит,KO = FO.

Свойство 7: Треугольник, состоящий из диагонали ромба и отрезка параллельного другой диагонали, проходящего через вершину ромба и продолжения его другой стороны равновелик ромбу.

Дано: АВСD–ромб, ВМ||АС, BМ∩DC=M

Доказать: S_∆DBM=S_ABCD                                                                                                                  Рис 2

Доказательство.

Проведём высоту ВН к стороне DC (см рис 2). S_ABCD=BH*DC. S_∆DBM= DM*BH. Так как в ромбе все стороны равны, то АВ=DC. ABMC- параллелограмм, в параллелограмме противоположные стороны равны, значит, AB=CM следовательно DC=MC, поэтому DM=DC, значит, S_∆DBM=S_ABCD   Рис 2_.

Свойство 8: Треугольник, состоящий из диагонали ромба и отрезка параллельного другой диагонали, проходящего через вершину ромба и продолжения основания является прямоугольным

Дано: ABCD-ромб, ВМ||АС, BМ∩DC=M.

Доказать: DBM=90˚

Доказательство.

На рис 2 AOB=OBM (как соответственные при BM║AC и секущей BD) AOB=90˚(так как диагонали ромба перпендикулярные), значит,  DBM =90˚.

Заметим, что свойство 7 можно доказать более лаконично, опираясь на результаты свойства 8. Действительно,S_∆DBM= BD*BM. Диагональ BD разбила ABCD на два равнобедренных треугольника. S_ABCD=S_∆ABD+S_∆DBC= DB*AO+ DB*OC= DB(AO+OC)=DB*AC= DB*BM(по свойству сторон параллелограмма), значит, S_∆DBM=S_ABCD

Свойство 9:Равносторонние треугольники, построенные, на противолежащих сторонах ромба, отсекают от него параллелограмм.

Дано: ABCD –ромб, ∆AFD – равносторонний, ∆BCE – равносторонний.

Доказать:EOFN – параллелограмм.                                                                       Рис 3

Доказательство.

∠FDA = ∠EBC = 60˚ (по свойству равностороннего треугольника) (см рис 3).FD//EB так как наклонены под одним и тем же углом к прямым AD//BC. Аналогично, AF//EC. Следовательно, EOFN – параллелограмм.

Если правильные треугольники не имеют общей части, (см рис 4) то свойство можно переформулировать следующим образом: если на противолежащих сторонах ромба построить 2 равносторонних треугольника, то продолжение их сторон отсекает от ромба параллелограмм.                                                                                                               Рис 4

Заметим что, это свойство верно для равносторонних треугольников построенных внутрь ромба так и для треугольников расположенных снаружи (см рис 5 и 6).

Рис 5                            Рис 6

Свойство 10:Ромб обладает центральной симметрией.

Докажем, что ромб при центральной симметрии относительно точки пересечения диагоналей переходит сам в себя.

Дано:ABCD – ромб, AC∩BD = O,

Доказать: ABCD симметричен CDAB, относительно точки О

Доказательство

По определению центральной симметрии вершина A симметрична С (по свойству диагоналей). Аналогично B симметрична D. Следовательно, ABCD –ромб симметричный ромбу CDAB.

Кроме доказанного свойства о центральной симметрии заметим, что ромб обладает осевой и поворотной симметрией.

В учебных пособиях под редакцией Атанасяна Л. С.,[12]Бутузова В. Ф.[13], Погорелова А. В.[14], Киселева А. П[15]. не приведены признаки ромба, но можно доказать следующее.

Признак 1: Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.

Дано:ABCD–параллелограмм,AC┴BD

Доказать:ABCD-ромб.                                                                   Рис 7

Доказательство.

Рассмотрим на рис 7 ∆АВО и ∆СВО они прямоугольные по условию. ∆АВО=∆СВО(по двум катетам). В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны значит AB=BC.Аналогично доказывается, что CD=AD, значит, ABCD - ромб.

Признак 2:Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его внутренних углов, то это ромб.

Дано: ABCD - параллелограмм, AC - биссектриса BAD, BD – биссектриса ABC

Доказать: ABCD - ромб.

Доказательство.

Рассмотрим на рис 7 ∆АОВ и ∆СОВ. У них ВО - общая, АО=ОС (по свойству параллелограмма), АВО=СВО (по условию), значит ∆АОВ=∆СОВ (по двум сторонам и углу между ними). Получим, что АВ=ВС. Используя свойство равенства противолежащих сторон параллелограмма, делаем вывод, что ABCD- ромб.

Определение: Вписанным в окружность называется многоугольник, вершины, которого расположены на окружности[16]. Описанным около окружности называется многоугольник, стороны которого являются касательными окружности. Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника, называется описанной около многоугольника; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными, называется вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Однако существуют утверждения помогающие определить связь окружности и четырехугольника[17].

Лемма 1:В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Лемма 2:Около четырехугольника можно описать окружность только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°

Из выше перечисленных лемм следуют следующие признаки ромба:

Признак 3: Если около окружности можно описать четырёхугольник так, что его диагонали пересекаются в центре этой окружности, то этот четырёхугольник ромб.

Дано: ABCD-четырёхугольник,AC∩BD=O, вписанная окружность с центром О

Доказать: ABCD- ромб.                                                                                        Рис 8

Доказательство.

Пусть четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром O (см рис 8). Так как диагональ AС проходит через точку O, то прямая AC является осью симметрии четырёхугольника, поэтому AB = AD и CB=CD. А если диагональ ВD проходит через точку O, то BA = BC и DA=DC следовательно ABCD- ромб.

Признак 4: Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм ромб.

Дано:ABCD – параллелограмм, описан около окружности.

Доказать: ABCD-ромб.                                                                               Рис 9

Доказательство.

Противоположные стороны параллелограмма ABCD попарно равны (см рис 9). Если в него можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон также равны. Поэтому все стороны равны между собой, значит ABCD -ромб.

Признак 5:Если точка внутри выпуклого четырёхугольника соединённая с вершинами образует четыре равных треугольника, то этот четырёхугольник – ромб.

Дано:ABCD- четырёхугольник,

Точка О внутри АВСD, ∆АВО=∆СВО=∆АСО=∆СDО

Доказать: ABCD-ромб.                                                                                          Рис 10

Доказательство.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Так как треугольники ABO и CBO равны (см рис 10), то углы BAO и BCO равны, как лежащие против BO. Аналогично ∠DAO = ∠DCO, откуда ∠BAD = ∠BCD. Точно так же равны и два других противоположных угла четырёхугольника, поэтому сумма любых двух соседних углов равна π, то есть ABCD – параллелограмм. При точке O найдутся два соседних угла, сумма которых не меньше 180⁰. Второй из них равен одному из углов треугольника AOB. Это может быть только угол AOB, так как его сумма с любым другим углом треугольника AOB меньше 180⁰. В равных треугольниках AOB и COB против равных углов лежат равные стороны, поэтому  AB = BC и, значит, ABCD – ромб.

Признак 6: Если диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника и радиусы окружностей, описанных около этих четырёх треугольников равны между собой, то этот четырёхугольник ромб

Дано:ABCD - четырёхугольник,

AC∩BD=M, Х, У, Z, T - центры описанных окружностей

Доказать: ABCD - ромб.                                                                             Рис 11

Доказательство.

Поскольку углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну хорду, либо равны, либо в сумме дают 180^o, то углы, вписанные в равные окружности и опирающиеся на равные хорды, также либо равны, либо в сумме дают 180^o. Окружности, описанные около треугольников ABM и ADM, равны (см рис 11), но сумма углов ABM и ADM не может равняться 180^o. Следовательно, ABM = ADM, AB = AD. Аналогично доказывается, что АВ = ВС, ВС = СD. Следовательно, ABCD - ромб.

Признак 7: Если при пересечении диагоналей выпуклого четырёхугольника периметры треугольников, образованных при пересечении диагоналей равны, то этот четырёхугольник ромб.

Дано: ABCD –четырёхугольник,

АС∩ВD=O, Р_АВО= Р_ВСО =Р_CDO=P_DAO.

Доказать:ABCD-ромб.                                                                                Рис 12

Доказательство.

Выберем на каждой диагонали AC, BD больший из отрезков, на которые она делится точкой O. Пусть AO>OC, BO>OD (см рис 12). Тогда периметр треугольника AOB не меньше периметра треугольника COD, причем равенство возможно только если AO=OC и BO=OD (действительно, построим треугольник A'OB', симметричный треугольнику AOB относительно точки O, его периметр не меньше периметра треугольника COD, поскольку CA'+A'B'+B'D>CD). Но если AO=OC и BO=OD, то из равенства периметров сразу следует, что AB=BC=CD=DA, то есть ABCD - ромб

2. Примеры решения задач с помощью новых теоретических положений.

Рассмотрим применение доказанных нами свойств, для решения задач олимпиадного характера.

Задача 1: ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD, пересекающие прямые BD и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что AKLB — ромб. 

Дано: ABCD- четырёхугольник,

ВР┴DC, AT┴DC, BP∩AC=L, AT∩BD=K.

Доказать: AKLB – ромб.

Доказательство.                  Рис 13

Острые углы BLP и BDC имеют соответственно перпендикулярные стороны, поэтому они равны. Следовательно,BLP = BDC = BAP. Кроме того, AK || BL и AL  BK. (по первому признаку ромба) Поэтому AKLB — ромб.

Задача 2: Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точки пересечения биссектрис каждого из треугольников ABO, BCO, CDO и DAO являются вершинами квадрата

Дано: ABCD-ромб, AC∩BD=O, М, N, L, K – точки пересечения биссектрис ∆ABO, ∆BCO, ∆CDO и ∆DAO

Доказать: MNKL- квадрат.                                                                       Рис 14

                                          Доказательство.

На рис 14 прямые MK и NL проходят через точку O и MK  NL(по свойству ромба). Треугольники BOM и DOK равны по стороне (OB = OD) и двум прилежащим к ней углам, поэтому MO = OK. Аналогично NO = OL. Значит, MNKL — параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, т.е. ромб по 1 признаку ромба. Пусть BP и BQ — биссектрисы равных треугольников ABO и CBO. Тогда по свойству биссектрисы треугольника  =  = = поэтому MN || AC. Аналогично ML || BD. Поскольку AC  BD, то LMN = 90^o. Следовательно, MNKL — квадрат.

Выводы исследования

При проведении исследования нами были сформулированы следующие задачи:

- изучить признаки и свойства ромба в различных пособиях и на сайтах;

- сформулировать и доказать новые, не доказанные признаки и свойства ромба;

- апробировать их для лаконичного решения геометрических задач.

Для решения первой задачи мы, используя электронные ресурсы интернета и школьные учебные пособия, исследовали ромб, его свойства и признаки. Выявили, что у ромба в школьных пособиях сформулировано и доказано только 1 свойство и по этому попробовали доказать новые, связанные с биссектрисами внутренних углов, с равновеликостью, со средними линиями, вписанной и описанной окружностью. В результате нами систематизировано 10 свойств и 7 признаков ромба. Наше исследование не претендует на полноту и оригинальность собрания признаков и свойств ромба, так как некоторые утверждения были упомянуты либо на научных сайтах, либо в школьных учебных пособиях (некоторые без обоснования). Однако, все приведенные факты нами доказаны, сформулированы оригинальные свойства. Поиск новых свойств и признаков ромба станет задачей нашего дальнейшего исследования.

Список литературы

1.      http://geometry2006.narod.ru/Art/Lecture2.htm

2.      http://tolkslovar.ru/o5071.html

3.      http://tolkslovar.ru/p18939.html

4.      http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo11.htm

5.      http://www.harc.ru/slovar/1726.html

6.      http://www.ozhegov.org/words/31855.shtml

7.      http://www.vedu.ru/bigencdic/44581/

8.      Геометрия, 7-9: Учеб.для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, и др.-М.: Просвещение, 2012. – 384 с.,

9.      Киселёв А. П. Геометрия / Под ред. Н. А. Глаголева. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 328 с.

10.  Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений/ А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2009. – 224 с.

---

[1]http://www.vedu.ru/bigencdic/44581/

[2]http://tolkslovar.ru/o5071.html

[3]Геометрия, 7-9: Учеб.для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, и др.-М.: Просвещение, 2012. – 384 с., С- 43.

[4]http://www.harc.ru/slovar/1726.html

[5]http://tolkslovar.ru/p18939.html

[6]http://www.ozhegov.org/words/31855.shtml

[7]Геометрия, 7-9: Учеб.для общеобразовательных учреждений / Л. С.-384 с., С-109.

[8]Геометрия, 7-9: Учеб.для общеобразовательных учреждений / Л. С.-384 с.

9Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В. Ф. Бутузов и др – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 488 с.

10Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений/ А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2009. – 224 с.

11Киселёв А. П. Геометрия / Под ред. Н. А. Глаголева. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 328 с.

12Геометрия, 7-9: Учеб.для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, и др.-М.: Просвещение, 2012. – 384 с.,

13Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В. Ф. Бутузов и др – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 488 с.

[14]Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений/ А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2009. – 224 с.

[15]Киселёв А. П. Геометрия / Под ред. Н. А. Глаголева. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 328 с.

[16]http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo11.htm

[17]http://geometry2006.narod.ru/Art/Lecture2.htm