Обобщающий урок алгебры в 9 классе
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Цели урока:
1) образовательные: обобщить и систематизировать теоретические знания
арифметической и геометрической прогрессий; совершенствовать навыки нахождения n-го члена
и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий
с помощью формул; отработать навыки построения графиков на компьютере;
2) развивающие: развивать память учащихся, их способность к
аналитико-синтетической и сравнительной деятельности, умение проводить
аналогии; развивать познавательный интерес учащихся путём самостоятельного
поиска информации в Интернете; учить их видеть связь математики с окружающей
жизнью;
3) коррекционные: формировать грамотную речь учащихся, совершенствовать
чёткое проговаривание всех терминов и понятий;
4) воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для достижения
конечных результатов, а также уважительное отношение к одноклассникам.
Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор, раздаточный
дидактический материал.
I .Организационный момент.
II. Эмоциональный настрой.
Учитель. Сегодня у
нас обобщающий урок по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Мы
- знаем: определения
и формулы арифметической и геометрической прогрессий;
- умеем: применять их
при нахождении членов и сумм прогрессий;
- хотим: узнать
больше про эти прогрессии и научиться применять свои знания при решении
практических задач.
Учитель. Давайте
вспомним определения прогрессий.
1 группа. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же
числом.
2 группа. Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число.
Учитель. Давайте сравним формулы n-ых членов прогрессий. Что мы замечаем?
an+1 = an + d bn+1
= bn *
q
Ученик. Прочитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессий,
можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение
умножением или наоборот. А зная формулу n-го члена арифметической прогрессии,
можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение
умножением и умножение - возведением в степень.
III. Мотивация.
Учитель. Сейчас класс разделится на две учебные группы, каждая из которых
работает с одним видом прогрессий. Во время работы вы должны внимательно
следить как за ответами членов своей группы, так и за ответами соперников, по
мере необходимости дополняя и исправляя их. Все ответы будут учтены и оценены в
конце урока.
ІV. Задания для групп.
1) «Найди и продолжи последовательности»:
• 3; 8; 13; …
• 2; 6; 18; …
• 1; 2; 3; 5; 8; …
• 3; 1; -1; …
• -1; 2; -4; 8; …
• 1,2; 1,3; 1,4; …
• 0,5; 0,05; 0,005; …
Каждой группе необходимо выбрать «свои» последовательности, а затем
продолжить их.
В процессе работы учащиеся следят за ответами товарищей, делают записи
в тетради. Проверка на доске и на слайде.
2) «Установи соответствия»:
На слайде установить соответствие между названием и формулой (ученики
работают на компьютере).
арифметическая прогрессия:
геометрическая прогрессия:
3) «Построй график прогрессии»:
Карточка №1. Вертикальные цирковые стержни имеют такую длину:
наименьший 1 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее.
Задания:
1.
Запишите
последовательность в соответствии с условием задачи.
2.
Постройте график заданной
прогрессии по данным задачи,
если 1 ≤ n ≤ 7.
3.
Сделайте вывод о графике.
Карточка №
2. В благоприятных
условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них
делится на две.
Задания:
1.
Запишите
последовательность в соответствии с условием задачи.
2.
Постройте график заданной
прогрессии по данным задачи,
если 1 ≤ n ≤ 7.
3.
Сделайте вывод о графике.
Графики ученики
строят на компьютере:
Учитель. Какой вывод о членах прогрессии мы можем сделать, исходя из графиков?
Ученик. При одинаковых исходных данных, значения членов геометрической
прогрессии возрастают быстрее, чем значения членов арифметической.
Учитель. Действительно, ребята. Даже в жизни мы часто применяем такое выражение:
«Расти в геометрической прогрессии», что означает «очень быстро».
V. Из истории
прогрессий.
Учитель: Ребята. С прогрессиями люди были знакомы уже
много лет назад и сейчас мы узнаем об истории прогрессий.
1сообщение: С формулой
a1 + an
Sn = * n
2
связан
один из эпизодов биографии К.Ф.Гаусса.
Однажды
на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками
третьего класса, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это
займет много времени, но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101,
2+99=101 и т.д.
И
таких чисел будет 50. Осталось умножить 101 • 50. Это маленький мальчик сделал
в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ, записанный на
грифельной доске, Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в
его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже
называли “царем математики”.
2
сообщение: С IX века известна
легенда об изобретении шахматной игры. В награду за свое изобретение
автор потребовал от индийского царя пшеницу. Ее должно быть столько,
чтобы на первую клетку доски можно положить одно зерно, на вторую – два, на
третью – четыре, т.е. чтобы число зерен все время удваивалось.
Сначала
индийский царь обрадовался, что дешево отделался, и лишь потом выяснил, что
такого количества пшеницы нельзя собрать со всех полей Земли в течение десятков
лет. Чтобы поместить это зерно в амбаре, то его размеры будут: высота 4
м, ширина 10 м, длина будет 30 000 000км – вдвое больше, чем расстояние от
Земли до Солнца. А чтобы его получить, то надо засеять пшеницей площадь всей
Земли, считая моря, океаны, горы, пустыни, Арктику с Антарктидой.
3 сообщение: О том,
как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы
Ахмеса.
Некоторые
задачи имеют отвлеченный характер. Например:
«В
доме было 7 кошек.
Каждая
кошка съедает 7 мышей.
Каждая
мышь съедает 7 колосьев.
Каждый
колос дает 7 растений.
На
каждом растении вырастает 7 мер зерна.
Сколько
всех вместе?»
Автора
задачи не интересует, о каких вещах идет речь, важно только их общее
количество.
И
на Руси решались похожие задачи. Еще в XIX веке в деревнях загадывали:
«Шли
7 старцев.
У
каждого старца по 7 костылей.
На
каждом костыле по 7 сучков.
На
каждом сучке по 7 кошелей.
В
каждом кошеле по 7 пирогов.
В
каждом кошеле по 7 воробьев.
Сколько
всего?»
А
ведь это та же задача Ахмеса. Прожившая тысячелетия, она сохранилась почти
неизменной.
VІ. Решение практических задач.
Учитель. Сейчас
знание формул арифметической и геометрической прогрессий помогает решать
множество практических задач.
Задача 1. Чтобы
определить глубину шахты, используют следующий приём: тело бросают вниз и
засекают время, за которое оно достигает дна шахты.
Определите
глубину шахты, если известно, что тело при свободном падении достигло дна за 7
секунд (начальная скорость равна 0, а за каждую следующую секунду тело
пролетает на 9,8м больше, чем за предыдущую).
Задача 2. Вкладчик
внёс в банк 50000 рублей. Определите величину вклада через два года, если
сбербанк начисляет ежегодно 10% годовых.
VІІ. Домашнее задание. Придумать
задачу на применение формул арифметической и геометрической прогрессий.
VІІІ. Завершение урока.
Учитель. Итак, сегодня
на уроке мы вспомнили определения и формулы арифметической и геометрической
прогрессий, узнали об истории этих прогрессий, научились строить графики
прогрессий и проводить их сравнительный анализ, применяли формулы прогрессий
для решения практических (жизненных) задач.
Я надеюсь, что наш сегодняшний урок не пройдёт для вас
даром и знания, полученные на нём, пригодятся вам в жизни.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.