Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическая работа по математике на тему: "Дифференциальные уравнения"

Практическая работа по математике на тему: "Дифференциальные уравнения"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическая работа № 5.

Тема: Решение дифференциальных уравнений I-го и II-го порядка.

Цель: Проверить на практике знание понятия дифференциального уравнения, виды дифференциальных уравнений, умение решать дифференциальные уравнения I и II –го порядков, находить общее и частное решение.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Практические задания по вариантам.

Ход работы:

Теоретический материал и примеры решения дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальное уравнение первого порядкасодержит
1) независимую переменную hello_html_m61f18daf.png;
2) зависимую переменную hello_html_m276a057e.png (функцию);
3) первую производную функции: hello_html_71e270ca.png.

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций hello_html_m639a59d0.png, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение hello_html_22e88b7e.png

 hello_html_m4a46a929.png.

hello_html_mbc0a423.png

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
hello_html_m23ced6c4.png

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Интегрируем обе части:
hello_html_3ca75c56.png


hello_html_513617b.png


Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, hello_html_513617b.png – это общий интеграл.

Вместо записи hello_html_513617b.png обычно пишут hello_html_39653ecf.png.

В данном случае:
hello_html_m24703e61.png

hello_html_1b152f46.png

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций hello_html_6b9a26dd.png является общим решением дифференциального уравнения hello_html_22e88b7e.png.

Придавая константе hello_html_40ce398e.png различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.



Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m751295db.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_2cce728e.png

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение.

hello_html_1d67bc3.png

hello_html_m4de7758a.png

Интегрируем уравнение:
hello_html_50a7932e.png
hello_html_27a7c625.png

hello_html_5c3964b3.png

hello_html_2a8314df.png

Итак, общее решение: hello_html_mbdb3237.png. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию hello_html_2cce728e.png.

Необходимо подобрать такое значение константы hello_html_40ce398e.png, чтобы выполнялось заданное начальное условие hello_html_2cce728e.png.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

hello_html_mb89e930.png

В общее решение hello_html_5b9744ef.png подставляем найденное значение константы hello_html_m3d717cac.png:
hello_html_f57a9cd.png – это и есть нужное нам частное решение.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение hello_html_50c14147.png

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:
hello_html_m383dca63.png

Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
hello_html_f5794af.png

hello_html_m76ba0d22.png

Переменные разделены, интегрируем обе части:
hello_html_m6823c957.png

hello_html_22e81db7.png
hello_html_397171e5.png
hello_html_m6cfbffda.png

Решение распишу очень подробно:
hello_html_m1d87c32d.png
hello_html_770c229.png
hello_html_7e61452c.png

hello_html_522bfbfc.png

Ответ: общий интеграл: hello_html_33478784.png

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m5008bfd4.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png. Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы hello_html_m698e9b6f.png и hello_html_m75812b69.png, а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
hello_html_644f45df.png

Интегрируем уравнение:
hello_html_m6ddc0329.png

hello_html_34e1c8ce.png
hello_html_m6b94ae56.png

hello_html_m7a065152.png

общее решение:
hello_html_m75c31c4.png

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png
hello_html_413a5c98.png

 hello_html_19d4a3af.png

Подставляем найденное значение константы hello_html_7451b0b2.png в общее решение.

Ответ: частное решение: hello_html_6b6d8830.png

2.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 
с постоянными коэффициентами

В теории  и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:


hello_html_6a0e9069.png, где hello_html_m17c478c4.png и hello_html_m269a91f8.png – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
hello_html_m61764795.png, где hello_html_m17c478c4.png и hello_html_m269a91f8.png – константы, а hello_html_m1f36a008.png – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция hello_html_m1f36a008.png может быть числом, отличным от нуля.

Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:
hello_html_188f2842.png

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:
hello_html_1a234e6a.png

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно: 
вместо второй производной записываем hello_html_321ed58c.png;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции hello_html_m276a057e.png ничего не записываем.

hello_html_1a234e6a.png – это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий. 
Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будет использовать готовые формулы.


Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение hello_html_1a234e6a.png имеет два различных действительных корня hello_html_7a3b8b2a.pnghello_html_m4f7ef281.png (т.е., если дискриминант hello_html_70018416.png), то общее решение однородного уравнения выглядит так: 
hello_html_m671c5ae9.png, где hello_html_1f7283ce.png – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, hello_html_2b580125.png, тогда общее решение: hello_html_m322fe0cf.png

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение hello_html_5ba1443e.png

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
hello_html_m55e672e1.png
hello_html_m30e516a6.png

hello_html_1cb3d09d.pnghello_html_m58b78fc6.png

 hello_html_m671c5ae9.png

Ответ: общее решение: hello_html_1b83ee32.png

Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

Если характеристическое уравнение hello_html_1a234e6a.png имеет два кратных (совпавших) действительных корня hello_html_mcfa977d.png (дискриминант hello_html_52938d4b.png), то общее решение однородного уравнения принимает вид: 
hello_html_m3818773d.png, где hello_html_1f7283ce.png – константы. 
Вместо hello_html_7a3b8b2a.png в формуле можно было нарисовать hello_html_m4f7ef281.png, корни всё равно одинаковы.

Если оба корня равны нулю hello_html_290bfe2d.png, то общее решение опять же упрощается: hello_html_mb7f0b54.png. Кстати, hello_html_18aa0288.png является общим решением того самого примитивного уравнения hello_html_58054f2d.png, о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение: hello_html_m4638c3f.png – действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни hello_html_290bfe2d.png.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение hello_html_m3e40b4ed.png

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
hello_html_m27d96565.png
Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:
hello_html_m353438f9.png
Получены два кратных действительных корня hello_html_m9431b72.png

Ответ: общее решение: hello_html_7897407c.png

Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни

Если характеристическое уравнение hello_html_1a234e6a.png имеет сопряженные комплексные корни hello_html_m42073f1c.pnghello_html_76abfc33.png (дискриминант hello_html_m309bf40f.png), то общее решение однородного уравнения принимает вид: 
hello_html_12ab4e27.png, где hello_html_1f7283ce.png – константы.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом: hello_html_m4f0e5f79.png

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: hello_html_m7ed2cc79.png, то общее решение упрощается:
hello_html_m3f31f59a.png

Пример 7

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
hello_html_m5b8eede.png

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
hello_html_34dd0343.png
hello_html_m367fe8c7.png
hello_html_791b86de.png – получены сопряженные комплексные корни

Ответ: общее решение: hello_html_5771540d.png

Пример 8

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям hello_html_m7bd91fc2.pnghello_html_m4bb8aca3.png
hello_html_m2d5efb92.png

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
hello_html_22bd1ecf.png
hello_html_m2b2e8e10.pnghello_html_m799a5762.png
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:
hello_html_m2d930e8a.png

Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие hello_html_m7bd91fc2.png:
hello_html_m72a2d7ad.png
Согласно начальному условию, получаем первое уравнениеhello_html_m2df4843d.png или просто hello_html_m6d464f80.png

Далее берём наше общее решение hello_html_6cef7086.png и находим производную:
hello_html_72af0f4b.png
Используем второе начальное условие hello_html_m4bb8aca3.png:
hello_html_m4d0b0d2d.png
Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнениеhello_html_m3cffdcff.png или просто hello_html_m1d0ed055.png

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
hello_html_m33782b20.png

hello_html_3337e364.png

Подставим найденные значения констант hello_html_m410e41fb.png в общее решение hello_html_6cef7086.png:
hello_html_m742ffd01.png

Ответ: частное решение: hello_html_4a1702e.png

Практическое задание:
Вариант 1

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

hello_html_m53748122.gif

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

hello_html_m2ff8b500.gif

hello_html_d647585.gif

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

hello_html_28e375bf.gif

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_m572a297a.gif

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_2913ad0a.gif

hello_html_6b4b9461.gif

Вариант 2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

hello_html_593d20fb.gif

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

hello_html_m40b02d45.gif

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

hello_html_m5e59a68b.gif

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_m1355c57a.gif

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_68ab6459.gif

hello_html_mc98f39e.gif

Вариант 3

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

hello_html_45cbe03f.gif

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

hello_html_3fe0209.gif

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

hello_html_33fa3e64.gif

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_m12446a71.gif

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_m5a22a41.gif

Вариант 4

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

hello_html_29a70909.gif

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

hello_html_m7c9b4692.gif

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

hello_html_3440a3ea.gif

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_m3d05f230.gif

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_19520f76.gif

Вариант 5

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

hello_html_67d5f1fd.gif

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

hello_html_m4f5d979c.gif

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

hello_html_m726da9c3.gif

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_m2bb9a4e3.gif

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_6f1afff4.gif

Вариант 6

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

hello_html_29a70909.gif

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

hello_html_m2f7742b7.gif

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

hello_html_2bc814ef.gif

4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_3532de86.gif

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

hello_html_1f3504d4.gif

Записать вывод.

Критерии оценки практической работы обучающихся

по математике

         Оценка «5» ставится, если:

  • работа выполнена полностью;

  • в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; 

  • в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Оценка «4» ставится, если:

  • работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

  • допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Оценка «3» ставится, если:

допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка «2» ставится, если:

      допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет

      обязательными умениями по данной теме в полной мере

Оценка «1» ставится, если:

работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.





Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Данная практическая работа подготовлена для студентов 2 курса  СПО по специальности "Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)"и входит в раздел рабочей программы Математика. 

В данной разработке приведены методические указания к решению дифференциальных уравнений первого и второго порядков для того, чтобы студенты плохо освоившие материал или обучающиеся у которых возникли затруднения на каком-либо из этапов решения,  могли на разобранных примерах, найти верное решение поставленной задачи.

Для проведения практической работы отводится 2 часа учебного времени, т.к. в нашем учебном заведении уроки спаренные.

Автор
Дата добавления 15.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2089
Номер материала 533467
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх