Презентация по математике по теме:"Подготовка 9-х классов к ОГЭ по математике по теме"Задания с параметром""

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Подготовка 9-х классов
  к ОГЭ по математике
  по теме:
  «Задания с параметрами»
  

• 

  2 слайд

  Что за прелесть эти задачи с параметрами! Каждая из них - поэма! -считает автор одной из первых книг про параметры С.А.Тынякин.
  
  
  

• 

  3 слайд

  
  Решить уравнение с параметром
  ƒ( x ; α) = 0 – это решить семейство
  уравнений, получающихся из
  уравнения ƒ( x; α) = 0 при любых
  действительных значениях
  параметра.
  

• 

  4 слайд

  Контрольные значения параметра-
  это те значения параметра, при
  которых или при переходе через
  которые происходит качественное
  изменения уравнения.
  

• 

  5 слайд

  Типы задач
  

• 

  6 слайд

  Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности,
  которые необходимо решить либо для любого значения
  параметра (параметров), либо для значения параметра,
  принадлежащих заранее оговоренному множеству.
  
  Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для
  которых требуется определить количество решений в зависимости
  от значения параметра (параметров).
  
  Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для
  которых требуется найти все те значения параметра, при которых
  указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности
  имеют заданное число решений ( в частности, не имеют или имеют
  бесконечное множества решений ).
  
  Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для
  которых при искомых значениях параметра множество решений
  удовлетворяет заданным условиям в области
  определения.
  

• 

  7 слайд

  Способы решения задач с параметром:
  
  Способ 1: аналитический.
  Способ 2: графический.
  Способ 3: решение
  относительно параметра.
  

• 

  8 слайд

  Пример 1. В уравнении (α – 1) x = α – 2
  определить α так, чтобы число 3
  было его корнем.
  Решение.
  Если число 3 является корнем уравнения,
  то оно обращает его в верное равенство.
  Подставим x = 3 в уравнение и решим его
  относительно α: (α – 1) · 3 = α – 2;
  3α – α = 3 – 2;
  α = 0,5.
  Итак, при α = 0,5 число 3 является корнем
  уравнения (α – 1)x = α – 2.
  Ответ: при α = 0,5.
  
  

• 

  9 слайд

  Пример 2. При каких значениях m
  ровно один из корней уравнения
  x² - 2x + 2m – 3 = 0 равен нулю.
  Решение. Если x = 0, то имеем:
  0² - 2·0 + 2m – 3 = 0;
  2m = 3;
  m = 1,5.
  Поверим, не равняется ли второй корень
  уравнения нулю x²- 2x = 0,
  х = 0 ν х = 2.
  Ответ: при m = 1,5.
  

• 

  10 слайд

  
  Пример 3.
  При каких значениях параметра α уравнения
  αx = 12 и 3x = α имеют общие корни?
  Решение.Решим каждое уравнение при α ≠ 0
  (если а =0, то первое уравнение не имеет
  решения, что противоречит условию).
  αx = 12, x = 12/а;
  3x = α, x = а/3. Приравниваем полученные
  корни 12/a = a/3, α² = 36, и получаем,
  что а = 6,а = - 6.
  Ответ: при a = 6, a = - 6.
  .
  

• 

  11 слайд

  
  Решение линейных уравнений
  
  
  

• 

  12 слайд

  При решении линейных уравнений с
  параметрами качественное изменение
  уравнения происходит при переходе
  коэффициента а через нуль. То есть
  контрольными значениями будут те значения
  коэффициента при переменной x, при
  которых он обращается в нуль, так как при
  таких значениях невозможно деление на
  коэффициент при x.
  

• 

  13 слайд

  Пример 1. Решить уравнение
  2α(α – 2) x = α – 2.
  Решение. Это уравнение является линейным
  относительно переменой x. Контрольными будут
  те значения параметра, при которых
  коэффициент при x обращается в 0.
  Рассмотрим случаи:
  α (α – 2) = 0 и α (α – 2) ≠ 0.
  

• 

  14 слайд

  
  ;
  1) При α = 0 уравнение 2а(а-2)х = а-2 принимает вид: 0·x =-2, это уравнение не имеет корней.
  2)При α = 2 уравнение принимает вид: 0·x = 0,
  этому уравнению удовлетворяют любые значения
  переменной x. Если же параметр выбирается
  не равным 0 и 2, то коэффициент при x отличен от
  нуля и, следовательно, на этот коэффициент можно
  разделить обе части уравнения.
  Получим: x = , x = .
  Ответ : при а = 0, нет корней;
  при a = 2, x – любое;
  при a ≠ 0, α ≠ 2, x = .
  

• 

  15 слайд

  Пример 2. Решить уравнение
  (α² - 1) x = α² - 3α +2.
  Решение. Это уравнение является линейным
  относительно переменной x. Контрольными
  будут те значения параметра, при которых
  коэффициент при x обращается в 0.
  Рассмотрим случаи α² - 1 = 0 и α²- 1 ≠ 0.
  Удобно разложить обе части уравнения на
  множители: (α – 1)(α + 1)x = (α – 1)(α – 2).
  

• 

  16 слайд

  При α = 1, заданное уравнение принимает
  вид: 0 · x =0 , значит x – любое число.
  При α = -1, заданное уравнение принимает вид:
  0 · x = 2, значит уравнение корней не имеет.
  При α ≠ ± 1, можно разделить обе части уравнения
  на α² - 1 ≠ 0: x = ; x = .
  
  Ответ: при α = 1, x – любое;
  при α = -1, нет корней;
  при α ≠ ±1, x = .
  .
  

• 

  17 слайд

  Задания для закрепление
  рассмотренного выше материала.
  Решить уравнения:
  1) αx = 7; 5) (α² - α)x = α;
  2) (α - 3) x = 6; 6) αx = α² - α;
  3) (α - 3) x = α - 6; 7) (α² - 5α) x = α²-25;
  4) αx = α; 8) αx - 4 = x;
  9) (α²- 25)x = α² - 7α + 10.
  

• 

  18 слайд

  
  Ответы:
  1) при α = 0, нет решения;
  при α ≠ 0, x = .
  2) при α = 3, нет решения;
  при α ≠ 3, x = .
  3) при α = 3, нет решения;
  при α ≠ 3, x = .
  4) при α = 0, х – любое;
  при α ≠ 0, x = 1.
  

• 

  19 слайд

  .
  5) при α = 0, х – любое; при α =1 нет решений;
  при.α ≠ 0 и α ≠ 1, x = .
  6) при α = 0, x - любое; при α ≠ 0, x = α -1 .
  7) при α = 0, нет решений;
  при α = 5, x – любое ,при .α ≠ 0 α ≠ 5, х=
  8) при α = 1, нет решений;
  при α ≠ 1, x = .
  9) при α = 5, х - любое;
  при α = -5, нет решений;
  при α ≠ ±5, х = .
  

• 

  20 слайд

  Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий (ограничений) к корням уравнений
  

• 

  21 слайд

  .
  Пример 1. Найти значение параметра α,
  при которых уравнение α(2α + 3)х + α² = α²x +3α
  имеет единственный отрицательный корень.
  Решение. Данное уравнение равносильно следующему:
  α(α + 3)х = (3 – α)α. Если α(α + 3) ≠ 0, то есть α ≠ 0, α ≠ -3,
  то уравнение имеет единственный корень х = ,
  х < 0, если < 0. Решив это неравенство методом
  интервалов, имеет: α < -3 или α > 3.
  Итак, данное уравнение имеет единственное
  отрицательное решение при α < -3 или α > 3.
  Ответ: при α < -3 или α > 3.
  

• 

  22 слайд

  
  Решение линейных неравенств
  с параметрами.
  
  

• 

  23 слайд

  Пример 1. Решить относительно x
  неравенство mx + 1 > 2(x – 1).
  Решение. Данное неравенство равносильно
  следующему: mx – 2х > -2 – 1 ;
  (m – 2)x > -3.
  Данное неравенство является линейным,
  поэтому контрольным значением для него
  будет m -2 = 0.
  
  

• 

  24 слайд

  
  Далее по схеме имеем:
  при m - 2 > 0, то есть m > 2, х > , x > ;
  при m – 2 < 0, то есть m < 2, х < ;
  при m = 2 неравенство принимает вид 0 · x > - 3,
  здесь x - любое действительное число.
  Ответ: при m > 2, х > ;
  при m < 2, x < ;
  при m = 2, х - любое действительное
  число.
  

• 

  25 слайд

  Пример 2.
  Решить неравенство 2α(α – 2)x > α – 2.
  Решение. Данное неравенства является линейным относительно переменной x.
  Контрольными будут те значения параметра,
  при которых коэффициент α(α – 2) при х обращается в 0. Нули коэффициента α = 0, α = 2 разбивают множества действительных чисел на
  три промежутка: (- ∞;0) U (0;2) U (2;+∞).
  
  

• 

  26 слайд

  .
  .
  Значит, надо рассмотреть пять случаев:
  1) а = 0; 2) а = 2; 3) а < 0; 4) 0 < а < 2; 5) а > 2.
  1) При α = 0, неравенство принимает вид
  0 · х > -2, т. е. х-любое действительное число.
  2) При α = 2, неравенство принимает вид
  0 · х > 0, т. е. не имеет решений.
  3) При α < 0, коэффициент α(α – 2) > 0
  (определим методом интервалов знаки
  многочлена p(α) = α (α - 2)),
  Поэтому x > , x > .
  

• 

  27 слайд

  4) При 0 < а < 2, коэффициент
  α (α – 2) < 0, поэтому x < .
  5) При α > 2, коэффициент α (α – 2 ) > 0,
  значит, x > .
  
  Ответ: при α = 0, x – любое;
  при α = 2, решение нет;
  при 0 < α < 2, х < ;
  при α < 0 или α > 2: х > .
  
  

• 

  28 слайд

  РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ
  КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
  В ЗАВИСИМОСТИ
  ОТ ПАРАМЕТРА.
  

• 

  29 слайд

  
  Расположение корней квадратного
  уравнения в зависимости от параметра.
  
  Теорема 1. Для того чтобы оба корня
  квадратного трёхчлена были меньше, чем
  число М, (то есть лежали на числовой оси
  левее, чем точка М), необходимо и достаточно
  выполнение следующих условий:
  
  или
  
  

• 

  30 слайд

  Теорема 2.
  Для того чтобы один из корней квадратного
  трёхчлена был меньше, чем число М,
  а другой больше, чем М (то есть точка М
  лежала бы между корнями), необходимо и
  достаточно выполнить следующих условий:
  
  или
  
  Эти две системы можно заменить формулой
  а ·ƒ(М) < 0.
  

• 

  31 слайд

  Теорема 3.
  Для того чтобы оба корня квадратного
  трёхчлена были больше, чем число М
  (т. е. лежали на числовой оси правее, чем
  точка М), необходимо и достаточно
  выполнить следующие условия:
  
  или
  
  

• 

  32 слайд

  Следствие 1.
  Для того чтобы оба корня квадратного
  трёхчлена были меньше, чем число М, но
  больше числа N, то есть лежали в
  интервале между М и N, необходимо и
  достаточно выполнить следующих
  условий:
  
  или
  

• 

  33 слайд

  Следствие 2.
  Для того чтобы больший корень
  квадратного трёхчлена лежал в интервале
  между М и N, необходимо и достаточно
  выполнение следующих условий:
  
  или
  
  
  При этом меньший корень лежит в отрезке MN.
  
  
  
  
  

• 

  34 слайд

  Следствие 3.
  Для того чтобы только меньший корень
  квадратного трёхчлена лежал в интервале
  между М и N, необходимо и достаточно
  выполнить следующих условий:
  
  или
  
  
  

• 

  35 слайд

  Следствие 4.
  Для того чтобы один из корней
  квадратного трёхчлена был меньше, чем
  число М, а другое больше, чем N, то есть
  отрезок MN лежал внутри интервала между
  корнями, необходимо и достаточно
  выполнение следующих условий:
  
  или
  

• 

  36 слайд

  
  Контрoльные значения параметра:
  направление ветвей параболы, знаки
  значений ƒ(М), ƒ(N), расположение
  вершины параболы (а все остальное
  записывается по графической
  иллюстрации).
  
  
  

• 

  37 слайд

  
  Пример 1. Найдите все значения
  параметра с, при которых оба корня
  квадратного уравнения
  x² + 4cx + (1 – 2с + 4с²) = 0 различны
  и меньше, чем -1.
  Решение.
  Нашему заданию соответствует следующая
  графическая иллюстрация.
  
  
  

• 

  38 слайд

  
  
  График функции ƒ(х) = х²+4сх + (1 – 2с + 4с²)
  представляет собой параболу, ветви которой
  направлены вверх.
  По условию эта парабола должна пересекать ось
  х, причём отрезок [ х1 ; х2] должен быть левее -1.
  Следовательно, значение функции при х = -1
  должно быть положительным, а вершина – быть
  расположена левее -1. Итак, получаем систему:
  

• 

  39 слайд

  
  Решим её:
  
  то есть c > 1.
  Ответ: c > 1.
  
  Пример 2. При каких действительных значениях k оба корня (в том числе и кратных) уравнения (1 + k)х² - 3kx + 4k =0 больше 1?
  Решение. Условию задачи соответствуют следующие графические иллюстрации:
  
  

• 

  40 слайд

  Пример 2.
  При каких действительных значениях k
  оба корня (в том числе и кратных) уравнения
  (1 + k)х² - 3kx + 4k =0 больше 1?
  Решение. Условию задачи соответствуют следующие графические иллюстрации:
  

• 

  41 слайд

  
  Первым двум им соответствует система:
  
  Двум другим:
  
  

• 

  42 слайд

  
  Получим совокупность следующих систему:
  
  
  Решением которых является
  
  k < -1.
  
  Ответ:
  
  k < - 1.
  

• 

  43 слайд

  
  Примечание.
  
  Полученная совокупность систем
  равносильна системе
  
  что облегчает решение задачи.
  В следующем примере воспользуемся этой системой.
  
  

• 

  44 слайд

  Пример 3. При каких α корни уравнения
  x²- (α + 1)x + 2 = 0 будут различны и
  оба по модулю меньше 1?
  Решение. Условия задачи соответствуют следующие графические иллюстрации:
  
  

• 

  45 слайд

  
  Заметим, что знак коэффициента α совпадает со знаком ƒ(1), ƒ(-1), а вершина находится между числами -1 и 1. Поэтому вместо двух систем запишем одну.
  
  Решим её:
  
  Отсюда, α > 3 + 2
  Ответ : α > 3 + 2
  

• 

  46 слайд

  Пример4.
  При каких значениях k один из корней
  уравнения (k² + k +1)x² + (2k - 3)x + k -5=0
  больше 1, а другой меньше 1?
  Решение.
  Так как k² + k + 1 > 0 при любых k, то по условию задачи предстает следующая
  графическая иллюстрация,
  которая соответствует
  неравенству ƒ(1) < 0:
  
  

• 

  47 слайд

  
  
  Решим её.
  (k²+ k + 1) + (2k – 3) + k – 5 < 0,
  k² + 4k - 7 < 0, .
  Ответ: при .
  
  

• 

  48 слайд

  
  Пример 5. Решить неравенство
  x² + αx + 1 > 0.
  Решение.
  Так как старший коэффициент перед x
  не равен нулю, то данное неравенство
  при любых значениях α является
  квадратным.
  Найдём корни трёхчлена ƒ(х) = х² +αх +1.
  D=α²-4. Если D ≥ 0, то α ≤ -2 и а ≥ 2, то
  решением неравенства будет:
  
  
  

• 

  49 слайд

  Если D < 0, то есть -2 < α < 2, то неравенство
  справедливо при любых действительных
  значениях х.
  Ответ: при α ≤ -2 и а ≥ 2
  
  
  
  х – любое число.
  

• 

  50 слайд

  
  
  Решение неравенств методом интервалов
  

• 

  51 слайд

• 

  52 слайд

• 

  53 слайд

• 

  54 слайд

• 

  55 слайд

• 

  56 слайд

• 

  57 слайд

• 

  58 слайд

• 

  59 слайд