Инфоурок / Математика / Конспекты / Проект по теме Квадратные уравнения
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Проект по теме Квадратные уравнения

библиотека
материалов

Урок по теме «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь.

Её нельзя не любить - её можно только не знать.

(Cлайд )

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

Образовательная: обобщение и систематизация знаний учащихся, закрепление и совершенствование навыков решения квадратных уравнений.

Развивающая: развитие навыков самоконтроля и самооценки достигнутых знаний и умений, интереса к математике.

Воспитательная: воспитание внимательности, активности, самостоятельности и ответственности.

Задачи урока:

  • обобщить изученный по теме материал;

  • формировать умения применять полученные математические знания на практике;

  • развивать познавательную активность, творческие способности;

  • формировать учебно-познавательную мотивацию школьников на уроке с помощью компьютерных технологий;

  • воспитывать интерес к предмету;

  • воспитывать чувства дисциплинированности и аккуратности.

Оборудование и материалы:

  1. Медиапроектор.

  2. Презентация по теме «Квадратные уравнения».

  3. Карточки-задания, тесты для самостоятельной работы.

План урока (этапы урока):

  1. Организационный момент.

  2. Теоретическая разминка, работа у доски по карточкам.

  3. Историческая справка.

  4. Обобщение и систематизация знаний учащихся.

  5. Постановка домашнего задания.

  6. Рефлексия.

  7. Итог урока.



Ход урока:

I. Организационный момент.

Цель: формирование мотива, желания работать на уроке.

Приветствую учащихся, проверяю их готовность к уроку. «Настроимся на урок!»

Ученикам сообщается тема, задачи и план урока.

-Математику не зря называют «царицей наук». Ей больше, чем какой–нибудь другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики – любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Вы уже умеете решать квадратные уравнения, задачи на составление квадратных уравнений. Но знания нужно не только иметь, но и уметь их показывать, что вы, надеюсь и сделаете на сегодняшнем уроке. А я вам в этом помогу.

-Открываем тетради, записываем число и тему нашего урока: «Решение квадратных уравнений».

-Начнём наш урок с разминки. А пока мы с вами будем работать устно, я приглашаю 3 учащихся поработать у доски по карточкам (раздаю карточки). Пожалуйста, смотрим на экран, желающие ответить поднимают руки.

II. Теоретическая разминка +работа у доски по карточкам (одновременно).

Цель: повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать.

Разминка

1.Заполнение кроссворда по теме «Квадратные уравнения» (повторение теории)

Вопросы (ответы):

1. Вид математического выражения, записанного условными математическими символами (формула).

2. Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен 1 (приведённые).

3. Выражение в2-4ас (дискриминант).

4. Уравнение вида ах²+вх+с=о, где х - переменная, а,в,с - некоторые числа, причём а≠0 (квадратное).

5. Коэффициент с квадратного уравнения (свободный).

6. Числа а, в и с в квадратном уравнении (коэффициенты).

7. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство (корень).

8. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов (Виет).

9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0(неполное).

Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме (уравнение).













2. Определите вид квадратного уравнения и укажите его коэффициенты:

а) 1,3х2=4 (неполное)

б) 6х+х2-3=0 (полно, приведённое)

в) 49х2-81=0 (неполное)

г) 25-10х+х2=0 (полное, приведённое)

д) х2-8х-7=0 (полное, приведённое)

е) 3х2-2х=0 (неполное)





Работа у доски по карточкам

Карточка №1.

Решите уравнение: 5х2-8х+3=0

Карточка №2.

Решите уравнение: 4х+х2=0

Карточка №3.

Решите уравнение: х2+6х-7=0



Проверка работы у доски:

Карточка №1.

D=4, х1=1, х2=hello_html_m7a45a728.gif

-Дискриминант по-латыни? Почему?

-Сколько корней имеет квадратное уравнение, если для него значение D:

а) равно нулю;

б) отрицательно.

Карточка №2.

Х1=0, х2= -4

-Как решить неполное квадратное уравнение если в=0; в=0 и с=0?

Карточка №3.

D=64, х1=1, х2= -7

-Какое это уравнение? (приведённое)

-По какой ещё формуле можно решить приведённое квадратное уравнение? (по теореме Виета)

-Сформулируй теорему Виета (Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену)

-Проверим: х12=-6 х1х2=-7 ?

Франсуа Виет - этот человек сделал так много для развития математики, что не вспомнить сегодня о нем просто нельзя.

III. Историческая справка.

Цель: способствовать формированию учебно-познавательной мотивации школьников на уроке, воспитывать интерес к предмету.

(Слайд ) Франсуа Виет (1540 – 1603)

В 1591 г доказал знаменитую теорему о корнях квадратного уравнения



Франсуа Виет (сообщение уч-ся)



Жизнь Виета представляет для нас интерес во многих отношениях.

XV век в Западной Европе был веком ожесточенных религиозных волнений, и к началу XVI целый ряд стран отпал от католической церкви.

Всесильная католическая церковь преследовала и убивала всякую мысль, в которой усматривала отклонение от своих учений. Церковный суд – инквизиция – всех попавшихся под подозрение карал вплоть до сожжения на костре, а имущество казненных отбирал в пользу церкви. Не один ученый погиб в руках инквизиции. В их числе были и математики.

Испанский математик Вальмес в 1486 году как-то в семейном кругу обмолвился о том, что нашел формулу для решения уравнения четвертой степени. В числе гостей оказался влиятельный инквизитор. Услышав слова Вальмеса, он заявил, что волей Божьей решать эти уравнения человеку не дано, а найти формулу можно было только с помощью дьявола.

В ту же ночь Вальмес был брошен в тюрьму, а через три недели сожжен на костре за связь с дьяволом. Лишь через 100 лет решение этих уравнений было найдено вторично.

Мэтр Виет также был на волосок от костра. В ту пору наиболее могущественное государство в Европе, Испания вела победоносную войну с Францией.

Однажды французам удалось перехватить приказы испанского правительства командованию своих войск, написанные очень сложным шифром (тайнописью). Виет с помощью математики сумел найти ключ к этому шифру. С этих пор французы, зная планы испанцев, с успехом предупреждали их наступления.

Инквизиция обвинила Виета в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре. Но так как французы благодаря Виету в дальнейшем побеждали, он не был выдан инквизиции.

В родном городке Виет был лучшим адвокатом, а позднее стал королевским советником. Но главным делом его жизни была математика. Биографы Виета пишут, что он мог несколько ночей подряд не спать, решая очередную математическую задачу. Свою знаменитую теорему Франсуа Виет доказал в 1591 году.



IV. Обобщение и систематизация знаний учащихся.



Цель: закрепить и совершенствовать навыки решения квадратных уравнений.

1.Решение задач:

-А сейчас ребята, вам нужно решить задания, которые вы видите на экране на доске и у себя в тетрадях и разгадать кодовое слово, используя ключ.



Решение уравнений:

а) у2-у-30=0 (D=121, х1=6, х2= -5)

б) 6х2+7х+1=0 (D=25, х1= -1, х2= -hello_html_m60e7dd29.gif)

в) hello_html_47a8a9f5.gifх2-х+2=0 (D= -3hello_html_m58fdfdee.gif, корней нет)

г) 7х2-5х=0 (х=0, х=hello_html_m2e566588.gif)

д) 5-4х2-х=0 (D=81, х1= -hello_html_2716f7cd.gif, х2=1)

е) 3х2-27=0 (х=3, х= -3)

ж) №560 учебника (с.125)

решение:

Пусть х(м)-ширина прямоугольника, тогда (х+4)(м)-его длина. Так как S=60 см2, можем составить уравнение:

х(х+4)=60, х2+4х-60=0, D=256, х1=6, х2= -10.

По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только первый корень, т.е. х=6. Т.к. ширина прямоугольника равна 6(м), тогда его длина будет равна 10(м). Значит, Р прямоугольника равен 2(6+10)=32(м)

Ответ:32 метра.

К

М

О

Р

А

Е

Л

И

Н

Ь

6; -5

-6; -5

-1; hello_html_m60e7dd29.gif

0; hello_html_m2e566588.gif

hello_html_m3b8ebf32.gif; -1

hello_html_1bd11b4d.gif; 1

0;hello_html_42adc34d.gifhello_html_11e5a006.gif

-3;3

3; -3

32

-Получили слово «корень». Ребята, обратите внимание, сколько значений имеет это слово. Мы часто встречаемся с ними и в жизни, и на уроках биологии, русского языка, математики.



2. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (тест с последующей взаимопроверкой)

Цель: Проверить знания учащихся по теме «Квадратные уравнения»

-Хорошо, с этим заданием вы справились. Сейчас ваша следующая задача – собраться с мыслями и выполнить задание в виде теста самостоятельно.

Тест "Квадратные уравнения".



I ВАРИАНТ

1. Какие из чисел являются корнями уравнения х2+5х+6=0?

а) 2; 3; б) -3; -2; в) - 2; 3.

2. Не решая квадратное уравнение 3x2 - 7x + 4 = 0, определить, сколько корней оно имеет.

а) 2; б) ни одного; в) 1.

3. Найдите все значения х, при которых выражение -5x2 + 26x - 5 равно 0.

а) hello_html_m7d60704.gif; 5; б) -5; hello_html_m7d60704.gif; в) - 5; -hello_html_m7d60704.gif.

4. Какое из выражений является квадратным уравнением:

а) 5х=1-6х2; б) х(х-1)=72; в) 5х+7=0, г) 1-х-7х=0.

5. Сколько корней имеет уравнение ах2+вх+с=0 при Д=0.

а) два; б) один; в) ни одного.



II ВАРИАНТ

1. Какие из чисел являются корнями уравнения х2 - 7х + 6=0?

а) -1; 6; б) -6; -1; в) 1; 6.

2. Не решая квадратное уравнение 2x2 - 4x + 5 = 0 , определить, сколько корней оно имеет.

а) 2; б) ни одного; в) 1.

3. Найдите все значения х, при которых выражение 7x2 - x -8 равно 0.

а) -1; hello_html_4d06a816.gif; б) 1; hello_html_4d06a816.gif; в) -hello_html_4d06a816.gif, 1.

4. Какое из выражений является квадратным уравнением:

а) -2х-1=6х2; б) hello_html_m7d60704.gifх(х-1)=7; в) х-7х=0, г) hello_html_42adc34d.gif18х+х=5.

5. Сколько корней имеет уравнение ах2+вх+с=0 при Д>0.

а) два; б) один; в) ни одного.





Учащиеся самостоятельно выполняют тесты, затем меняются листами и осуществляют проверку на экране (Слайд )

Пока учащиеся выполняют работу на доске записать домашнее задание

V. Домашнее задание: №650(а), 656(а,б,в).



ТАБЛИЦА ВЕРНЫХ ОТВЕТОВ (Слайд )



Вариант 1

1

2

3

4

5

б

а

а

а,б

б



Вариант2

1

2

3

4

5

в

б

а

а,б

а





Подсчитайте общее кол-во баллов, добавьте 2 балла за активную работу тем, кто это заслужил, и поставьте отметки за урок. Я, надеюсь, что вы отнесетесь к этому со всей ответственностью, и наши с вами отметки совпадут.

(Слайд )

Критерии оценки

13 – 15 баллов «5»

11 – 12 баллов «4»

9– 10 баллов «3»

Менее 9 баллов «2»

VI. РЕФЛЕКСИЯ (написание синквейна).

СИНКВЕЙН – это инструмент для синтеза и обобщения сложной информации.

СИНКВЕЙН – это средство творческого самовыражения.

СИНКВЕЙН: обогащает словарный запас;

подготавливает к краткому пересказу учит формулировать идею (ключевую фразу);

позволяет почувствовать себя хоть на мгновение творцом;

получается у всех.

ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА

1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.

2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, слова можно соединять союзами и предлогами.

3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме.

4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает отношение автора к теме в 1-ой строчке.

5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы в 1-ой строчке, обычно существительное.



VII.ИТОГ УРОКА

-Благодарю за хорошую работу. Оценки за урок следующие….

Урок сегодня завершён.

Дружней вас не сыскать.

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу приведут!

Всем спасибо. До свидания.


Занимательная страница (если останется время)

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В те времена в Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Предлагаю вам одну из таких задач

Задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?



Решение задачи Бхаскары. (Слайд 24)

Пусть было х обезьянок, тогда на поляне забавлялось ( hello_html_6e9c2389.gif )2 обезьянок,

а 12 – прыгали по лианам.

Получим уравнение ( hello_html_6e9c2389.gif )2 + 12 = х,

х2 – 64х + 12∙64 = 0, х1 = 16 или х2 = 48.





Краткое описание документа:

 

«Решение квадратных уравнений»

Тип урока: урок обобщающего повторения и систематизации знаний.

ЦЕЛИ

Образовательная: обобщение и систематизация знаний учащихся, закрепление и совершенствование навыков решения квадратных уравнений.

Развивающая: развитие навыков самоконтроля и самооценки  достигнутых знаний и умений, интереса к математике.

Воспитательная: воспитание внимательности, активности,  самостоятельности и ответственности.     

 

 

Ход урока:

 

I .Организационный момент.

СЛАЙД1

Тема нашего урока «Решение квадратных уравнений». На данном уроке мы будем заниматься повторением некоторых способов решения квадратных уравнений.

 Сегодня на уроке мы с вами повторим и закрепим знания и умения решения квадратных уравнений. Каждый из вас должен уметь правильно, быстро и рационально решать квадратные уравнения.  Сегодня мы посмотрим, как вы научились решать квадратные уравнения. Эта тема очень важная в курсе математики, она является первой ступенькой в изучении сложного материала.

2. Актуализация знаний.

1. Работа с формулами.

СЛАЙД 2

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “

 Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь.

     Её нельзя не любить - её можно только не знать.

 

Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.

Проговариваю название формулы один раз, а учащиеся пишут номер формулы

СЛАЙД 3

Вопросы к формулам

1.Формула полного квадратного уравнения.

2.Формула для вычисления дискриминанта.

3. Формула приведенного квадратного уравнения.

4. Формула нахождения корней квадратного уравнения.

5. Формула неполного квадратного уравнения (с=0).

6. Формула неполного квадратного уравнения (с=0, в=0).

7. Формула неполного квадратного уравнения (в=0).

 

Формулы.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

 

СЛАЙД 4

 

Листочки с каждого ряда собирает дежурный помощник. Выполняем проверку по коду.

Получили 7-значное число 1576243. Это КОД ОТВЕТА.

 

3. Из истории квадратных уравнений.

Историческая справка с презентацией, подготовленная учащимися (одним учащимся или группой учащихся).

 

Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.

 СЛАЙД 5

 Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:

 «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе.

 

Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!».

СЛАЙД 6

Наиболее древние из дошедших до нас китайских математических текстов относятся к концу I в. до н. э. Во II в. до н. э. была написана «Математика в девяти книгах». Позднее, в VII в., она вошла в сборник «Десять классических трактатов», который изучали в течение многих столетий. В трактате «Математика в девяти книгах» объясняется, как извлечь квадратный корень с помощью формулы квадрата суммы двух чисел.

 Метод получил название «тянь-юань» (буквально – «небесный элемент») – так китайцы обозначали неизвестную величину. Впоследствии метод «тянь-юань» развили и разработали китайские алгебраисты XIII-XIV в. (в Европе в XIX в. он стал известен как метод Руффини-Горнера).

СЛАЙД 7

Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

 В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их следующим образом:

 квадраты равны корням, то есть ах2 = bх;

 квадраты равны числу, то есть ах2 = с;

 корни равны числу, то есть ах = с;

 квадраты и числа равны корням, то есть ах2 + с = bх;

 квадраты и корни равны числу, то есть ах2 + bх = с;

 корни и числа равны квадратам, то есть bх + с = ах2.

 Трактат Аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактаты Аль-Хорезми были в числе первых сочинений по математике переведены в Европе с арабского на латынь. До XVI в. алгебру в Европе называли искусством алгебры и макабалы.

 

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

 СЛАЙД 8

 Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

СЛАЙД 9

 Обезьянок резвых стая

 Всласть поевши, развлекалась.

 Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

 А двенадцать по лианам... стали прыгать, повисая... Сколько ж было обезьянок,

 Ты скажи мне, в этой стае?

 

 Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Решение задачи Бхаскары:

(Решается учащимися в классе с помощью формул корней квадратного уравнения)

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось –  .

 Составим уравнение: + 12 = х

Х1=48;       Х2=16

Затем учащимся предлагается решить самостоятельно еще одну задачу Бхаскары. Решают квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.

СЛАЙД 10

Решение задачи Бхаскары:

Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?

СЛАЙД 11

Решение: задача сводиться к решению квадратного уравнения

                                     

 и

В заключении Бхаскара делает такое замечание: «Так как    есть число отрицательное, то годится только первое решение».

 

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

 

  1. Практическая часть урока.

 

В школьном курсе математики подробно изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения, способ выделения квадрата двучлена, способ использования теоремы, обратной теореме Виета, графический способ.

 Имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Рассмотрим их:

 СЛАЙД 12

Тайны корней квадратных уравнений. (свойства коэффициентов квадратных уравнений)

1).   Если   а + в +с = 0 , то х1 = 1; х2 = с/а

2).  Если   а + с = в , то х1 = -1; х2 = - с/а

Решение задач.

СЛАЙД 13

1. Найдите корни уравнения:

а)     (1;

б)     (1; 0,4)

в)              (1; -5)

г)         (-1; )

д)         (-1;

СЛАЙД 14

2. Составьте три квадратных уравнения, используя свойства коэффициентов.

 

  1. Индивидуальная работа.

Учащимся предлагается самостоятельная работа на 4 варианта

 

1. найти количество корней  уравненя 15 слайд

 2 решить уравнений 16 слай

3 найти больший корень уравнения 17 слайд

 4 Решите иррациональное  уравнение: 18 слайд запись накарточках

 

Вариант 1

 

1) -11 2) 11 3) 3 4) 3; 11

Вариант 2

 

 

1)-11 2)11 3)-20 4)-11;-20

Вариант 3

 

1) -3;-14 2) -14 3) -3 4) 3

Вариант 4

 

1) 7   2) 2   3) 7;-2   4) -2

  5  Решить биквадратное уравнение 19 слайд

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ СИЛЬНЫХ УЧАЩИХСЯ

 При каком значении а уравнение  имеет один корень?

6. Домашнее задание:

В качестве домашнего задания предлагается дорешать оставшиеся задачи (если таковые остались). Можно предложить домашнюю контрольную работу с включением подобных заданий проблемного творческого характера.

7. Подведение итогов.

Итак, сегодня мы в нестандартных заданиях обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении квадратных уравнений, поработали с формулами, встретились с занимательной математикой, услышали исторические факты.

8. Выставление оценок.

За работу с формулами и решение самостоятельной работы каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают те, кто был активен на уроке.

 

 

 

 

 

Общая информация

Номер материала: 399387

Похожие материалы