Правильных многогранников вызывающе мало,

но этот весьма скромный по численности отряд

сумел пробраться в самые глубины различных наук.

(Л.Кэрролл)

В течение всей жизни человек тесно связан с многогранниками. Несмотря на отсутствие знания таких сложных терминов, как «тетраэдр», «октаэдр», «додекаэдр» и др., он уже с самого раннего детства испытывает интерес к этим уникальным фигурам. Ведь суть «кубиков» - одной из самых популярных детских игр - состоит в том, чтобы построить из многогранников объект.

На протяжении многих веков людей словно притягивают эти тела. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам (которых они считали полубогами) в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.

Но не только руками человека создаются эти загадочные тела. Одни из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (были обнаружены учеными с помощью электрического микроскопа). А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.

Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многогранник – это часть   пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединённых таким образом, что каждая сторона любого многогранника является стороной ровно одного многоугольника. Многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами.

1.  История изучения  многогранников.

   Названия многогранников пришли из Древней Греции,  в них  указывается число граней: «эдра»  - грань;  «тетра» - 4; «гекса»  - 6; «окта»  - 8;  «икоса»  - 20;  «додека» - 12. В дословном переводе с

греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр"

означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник".

"двенадцатигранник", "двадцатигранник".

2. Свойства многогранников

  Тетраэдр - составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников и в каждой вершине сходится по три ребра и по три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º. У тетраэдра: 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

   Октаэдр - составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников и в каждой вершине сходится  по четыре ребра и по четыре  грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

   Куб - составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

  Додекаэдр - составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.У додекаэдра:12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. ( Евклид (ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик).

      Основное сочинение Евклида называется «Начала».  «Начала» состоят из тринадцати книг.   XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским. В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две.   Некоторый «платонизм» Евклида связан  с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». «Начала» могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых «Платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

3. Многогранники выпуклые и невыпуклые

•         Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону каждого плоского многоугольника на его поверхности  (рис.б и рис. д)

4. Правильные многогранники                           

    Первое определение: Правильным   называется многогранник, у которого все грани это правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

     Второе определение: Правильный многогранник, грани которого являются правильными  многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Третье определение: Многогранник правильный если существует  три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины

   Всего существует пять многогранников - ни больше ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360о, иначе никакой многогранной поверхности не получится.

Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к – число  плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника),

   рис.1.

 

Платон и Платоновы тела

  Платон (Platon) (род. 427 - ум. 347 гг.до н.э.) - греческий философ. Родился в Афинах. Настоящее имя Платона было Аристокл.  

    Многогранники называют телами Платона, т.к. они занимали  важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

  Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь.

   Атомы "стихий" настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомню, что консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин платоновых тел, ни обьемы правильных многогранников, ни число ребер или граней.

    В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

 

Характеристики Платоновых тел

Многогранник	Число сторон грани	Число граней, сходящихся в каждой вершине	Число граней	Число рёбер	Число вершин
Тетраэдр	3	3	4	6	4
Куб	4	3	6	13	8
Октаэдр	3	4	8	12	6
Икосаэдр	3	5	20	30	12
Додекаэдр	5	3	12	30	20

 

5. Теорема Эйлера

Число вершин плюс число граней минус число рёбер равно двум.

Вершины + грани – ребра = 2

Призма

Евклид: Призма есть телесная фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же – параллелограммы.  

Тейлор: призма  -  это многогранник, у которого все грани кроме двух, параллельны одной прямой.

Призма - многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники Ф и Ф1, лежащие в параллельных плоскостях, называют основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями.

 

Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания.

Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой; если боковое ребро призмы  не перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники.

Свойства призмы :

·        Основания призмы равны.

·        У призмы основания лежат в параллельных плоскостях.

·        У призмы боковые ребра параллельны и равны.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Элементы призмы.

Основания (ABCDE, KLMNP) – 2 грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, которые лежат в плоскостях, параллельных друг другу. Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждая из граней, не считая оснований. Все боковые грани – это параллелограммы. Боковая поверхность – сумма боковых граней. Полная поверхность – сумма основания и боковой поверхности. Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороны боковых граней.

Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он  перпендикулярен этим плоскостям. Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной грани. Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также диагональ основания. Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получается параллелограмм, либо — ромб, прямоугольник, квадрат. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной площади основания.

Площадь боковой поверхности произвольной призмы:    S=P*l,

где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: S=P*h,

где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым рёбрам призмы.

Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

V = S_oh

 где V - объем призмы,

S_o - площадь основания призмы,

h - высота призмы.

Свойства правильной четырехугольной призмы. 

• Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата;

• Верхнее и нижнее основания параллельны;

• Боковые грани имеют вид прямоугольников;

• Все боковые грани равны между собой;

• Боковые грани перпендикулярны основаниям;

• Боковые ребра параллельны между собой и равны;

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям;

• Углы перпендикулярного сечения - прямые;

• Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником;

• Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям.

 Формулы для правильной четырехугольной призмы.

Параллелепипед.

Если основание призмы есть параллелограмм, то он называется параллелепипедом.

·        У параллелепипеда все грани  -   параллелограммы.

·        Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными (параллелепипед называется прямым, если его ребра перпендикулярны основаниям,  в противном случае параллелепипед называется наклонным).

·        Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

·        У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

·        Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

·        Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

У прямоугольного параллелепипеда все грани  -  прямоугольники.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений. d2=a2+b2+c2

 

.

 

 

                        

 

 

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Пирамида – многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

  Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Элементы пирамиды

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины; SF — апофема

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);  SO — высота

диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

OF — радиус вписанной в основание окружности

Свойства пирамиды

Если все боковые рёбра равны, то:

1.     вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

2.     боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;

3.     также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

1.     в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

2.     высоты боковых граней равны;

3.     площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:  V= 1/3Sh

Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания: S_p = S_b +S_o

Боковая поверхность пирамиды - это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Полная поверхность пирамиды - это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Sb =	1	ph
	2

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

·        боковые рёбра правильной пирамиды равны;

·        в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;

·        в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;

·        если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания;

·        площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Четырёхугольная: в основании – квадрат, вершина S S проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

 

Прямоугольная пирамида

         Прямоугольной называется пирамида, одно из боковых ребер которой перпендикулярно основанию.

        Понятно, что только одно из боковых ребер n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию, т.к. из одной точки можно провести один и только один перпендикуляр. Две смежные грани имеющие это ребро своей стороной перпендикулярны основанию по признаку перпендикулярности плоскостей. Также эти грани являются прямоугольными треугольниками, т.к. ребро-перпендикуляр по определению перпендикуляра к плоскости образует со сторонами основания прямой угол.

       Понятно, что это ребро (ребро, которое перпендикулярно основанию) является также и высотой этой пирамиды.

В прямоугольной n-угольной пирамиде сложно вывести какие-то закономерности, можно отметить лишь треугольную пирамиду. Часто в задачах на треугольную пирамиду фигурирует в качестве данного или неизвестного угол между третей боковой гранью (которая не перпендикулярна основанию) и основанием. Общая часть решения всех этих задач есть определение нахождения этого угла. Сделаем это! Для этого проведем высоту СН в треугольнике АВС. Теперь соединим точки К и Н. Прямая КН перпендикулярна АВ по теореме о трех перпендикулярах. Угол КНС является линейным углом двугранного угла между плоскостью основания АВС и гранью КАВ по определению.

Тетраэдр

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

Свойства правильного тетраэдра

·        Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна 180º.

·        В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.

·        Правильный тетраэдр с ребром х состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром х/2 и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром х/2.

·        Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани квадрата.

·        Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.