Министерство образования и науки  Ульяновской области

областное государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Димитровградский технический колледж»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

методические указания 

по выполнению практических занятий

по учебной дисциплине общеобразовательного цикла

ОДп. 10 математика

 по профессиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Димитровград

2014 г.

Методические указания по выполнению лабораторных работ и практических занятий  разработаны в соответствии с рабочей программой дисциплины Математика.

 

 

Организация-разработчик: областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования  «Димитровградский технический колледж»

РЕКОМЕНДОВАНА	УТВЕРЖДАЮ
на заседании цикловой комиссии Математические и общие естественнонаучные дисциплины Председатель комиссии ____________ А.Ю.Шуюкова Протокол  заседания ЦК  №_______ от «__»________20___г.	Первый зам.  директора _________ Р.Н.Байгуллов «___» _________ 2014 г.   Регистрационный № _____________________________

 

 

 

Разработчик:  

Сагирова Ф.В.  -  преподаватель математики высшей категории ОГБОУ СПО «ДТК»        

Ф.И.О., ученая степень, звание, должность,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление …………………………………………………………………………………….  3

 

Пояснительная записка ……….…………………………………………………...……….... 4

 

Перечень практических занятий ………………….......………………………………. 5 --87

 

Тема 1. Обобщение изученного материала за курс основной школы…………….. 5 - 16

Практическое занятие № 1 ...………………………………………………………………..…. 5                                                                                                                       Практическое занятие № 2 ...……………………………………………………………….….. 7                                                                                                                         Практическое занятие № 3 …………………………………………………………………… 10                                                                                           Практическое занятие № 4 …………………………………………………………………… 14

Тема 2. Аксиомы стереометрии и следствия из них ……………………………………. 17                                                                                         Практическое занятие № 5 …………………………………………………………………….17

Тема 3. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве …………………. 21 - 27                                                                                                                                                                                                                                                Практическое занятие № 6 ……………………………………………………………….........21    

Практическое занятие №7 ……………………………………………………………………..24                                                                                                                       

Тема 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве …………… 28 - 36                                                                                                                 Практическое занятие № 8 …………………………………………………………….……... 28                                                                                                                                                                                                                   Практическое занятие № 9 …………………………………………………………….……... 31                                                                                            Практическое занятие № 10 ………………………………………………………………….. 34                                                                                          

Тема 5. Многогранники ……………………………………………………………….. 37 - 50                                                                                                                       Практическое занятие № 11 ………………………………………………………………….. 37                                                                                                                        Практическое занятие № 12 ………………………………………………………………….. 40                                                                                            Практическое занятие № 13 ………………………………………………………………….. 42                                                                                                                                                          Практическое занятие № 14 ………………………………………………………………….. 45                                                                                                                        Практическое занятие № 15…………………………………………………………………... 47                                                                                                                        

Тема 6.  Объёмы и площади поверхностей многогранников …………………….. 51 - 55                                                                                              Практическое занятие № 16 ………………………………………………………………….. 51                                                                                                                                                                                                        Практическое занятие № 17 ………………………………………………………………….. 53

 Тема 6. Тела вращения ………………………………………………………………... 56 - 63                                                                                            Практическое занятие № 18 ………………………………………………………………….. 56                                                                                          Практическое занятие № 19 ………………………………………………………………….. 59                                                                                                                         Практическое занятие № 20 ………………………………………………………………….. 62                                                                                                                    

Тема 8.  Объёмы и площади поверхностей тел вращений ………………………... 64 - 40                                                                                                                         Практическое занятие № 21 ………………………………………………………………….. 64                                                                                                                                                                                                                               Практическое занятие № 22 ………………………………………………………………….. 66

Практическое занятие  № 23………………………………………………………………….. 71                                                                                                                                       

Тема 9.  Декартовы координаты и векторы в пространстве …………………..…. 72 - 80                                                                                           Практическое занятие  № 24 …………………………………………………………….….... 72

Практическое занятие  № 25 …………………………………………………………….….... 74

Практическое занятие  № 26 …………………………………………………………….….... 79

Тема 10.  Основные формулы тригонометрии .…………………………………….. 79 - 83                                                                                         Практическое занятие  № 27 …………………………………………………………………. 79                                                                                                                        Практическое занятие  № 28 …………………………………………………………………. 81                                                                                                              

Тема 11.  Тригонометрические функции ……………………………………….....… 84 - 87                                                                                                       Практическое занятие  № 29 …………………………………………………………………. 84                                                                                              Практическое занятие  № 30 …………………………………………………………………. 86 

 

 

 

 

 

Пояснительная записка

 

Для успешного усвоения знаний, освоения обучающимися умений, приобретения опыта самостоятельной  деятельности  в содержание обучения  включены практические занятия.

Целями  проведения практических занятий являются:

-               обобщение, систематизация, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам дисциплины;

-               формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

-               развитие интеллектуальных умений у будущих специалистов: аналитических, проектировочных, конструктивных и др.;

Ценность практической работы состоит в том, что она вооружает обучающихся не только необходимыми в жизни математическими знаниями, но и полезными умениями самостоятельной постановки задачи, анализу и получение результата (ответа).  Практические занятия способствуют развитию интереса к математическим  исследованиям, заставляет логически мыслить, сопоставлять, делать выводы, позволяет развивать наблюдательность обучающихся в непосредственной и тесной связи с процессом мышления (работа по намеченному плану, анализ и интерпретация результатов).

 Оформление результатов работы дисциплинирует мысль обучающегося, приучает его к точности выполнения исследовательской работы, к выбору рационального решения, к закреплению умений, полученных в учебной деятельности.

 

Ведущей дидактической целью практических занятий является формирование практических (профессиональных) умений – выполнение определённых действий, операций, необходимых в последующей профессиональной или учебной деятельности. В связи с этим содержанием практических занятий является решение разного рода задач,  выполнение вычислений, расчётов, работа с литературой, работа с лекциями,  справочниками, инструкциями.

 Поэтому в процессе изучения математики практические занятия встречаются часто.

Практическое занятие проводится в учебных кабинетах. Продолжительность занятия — не менее двух академических часов.

Выполнению практических занятий предшествует проверка знаний обучающихся, их теоретической готовности к выполнению заданий.

Формы организации деятельности обучающихся на практических занятиях могут быть: фронтальная, групповая  и  индивидуальная.

При фронтальной форме все обучающиеся выполняют одновременно одно и то же задание.

При групповой форме организации деятельности  одно и то же задание выполняется группами  от двух до пяти человек.

При индивидуальной форме каждый обучающийся выполняет индивидуальное задание.

Структура и содержание практических занятий  включает в себя следующие элементы:

-         тема занятия;

-               цель работы;

-               задания для решения;

–        используемая и рекомендуемая  литература.

Оценки за выполнение заданий  на практических  занятиях  могут выставляться по пятибалльной системе или в форме зачёта и учитываться как показатели текущей успеваемости обучающихся и  студентов.

I семестр

 

Тема 1. Обобщение изученного материала по алгебре и геометрии за курс основной школы.

 

Практическое занятие №1

Тема: «Тождественные преобразования».

 

 Цель работы: формирование базовых умений  и навыков;  повторить формулы сокращенного умножения; вспомнить преобразование  выражения; научиться последовательно  и рационально мыслить, самостоятельно принимать решение для достижения результата

 

Оборудование: формулы сокращенного умножения.

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

 

Основные тождественные преобразования:

а) вынесение общего множителя за скобку:

28х³-35х⁴=  7х³*4-7х³*5х=7х³(4-5х)

(Вынесение за скобку общего множителя предполагает выполнение действия деления: )

б) способ группировки:

х³-3х²+5х-15=(х³-3х²)+( 5х-15)=х²(х-3)+5(х-3)=(х-3)(х²+5)

в) использование формул сокращенного умножения:

 

г) разложение на множители квадратного трехчлена:

4х²-5х+1=х²-5х+1=0,D=25-16=9>0,  x_1,2=

=4(x-1)(x-0,25)

 

Ход работы: I. Выполните действия:

II. Самостоятельная работа:

Вариант  I  (средний уровень)	Вариант  II   (высокий уровень)
№ 1. Представьте в виде многочлена:
a)        b)      .	a)      b)      .
№ 2. Разложите на множители:
a)      ; b)      .	а)  b) .
№ 3. Упростите выражение:
a)      ;       b)	а)       b)

 

 

Практическое занятие №2

Тема: «Решение уравнений».

 

Цель работы: формирование базовых умений  и навыков;  повторить знания способов решения линейных и квадратных уравнений, вспомнить основные приемы решения квадратных уравнений,  уравнений приводимых к ним.

 

Оборудование: линейки, карандаши

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

 

Уравнения – это равенства, содержащие неизвестные величины.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Корнем уравнения называется такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Уравнения бывают линейные, квадратные, кубические и т.д., т.е. классификация идет по показателю степени неизвестной величины.

 

Линейное уравнение – это уравнение 1 степени, т.е. уравнение, в котором неизвестное в 1 степени, оно имеет вид:  

ах+в=0–линейное уравнение с одной переменной,                  (1)  а, в – любые действительные числа.

Чтобы решить линейное уравнение, как правило, его надо преобразовать, привести к виду(1):

Действия, приводящие к виду (1):

·         Раскрытие скобок

·         Приведение подобных слагаемых

·         Перенос слагаемых из одной части в другую (НЕ ЗАБЫВАЯ МЕНЯТЬ ЗНАК СЛАГАЕМЫХ!!!).

Самое «трудное» уравнение для студентов 

☺*x=☼,   x=

Примеры:

1.     простейшие

б)47-(3х-9)=110.

3х-9=47-110=-63, 3х=-63+9=-54, х= = - 18.

2.     со скобками

 

 0,6х-2,5(1+2х)=-0,4х+8,06.

0,6х-2,5-5х=-0,4х+8,06, 0,6х+0,4х-5х=8,06+2,5, -4х = 10,56,

х= -

 

3.      дробные

 

 

ах2+bx+c=0, а≠0

4.  квадратным называется уравнение, имеющее вид:   

    где х - неизвестная величина, а, b, с – любые действительные числа; a,b,c – коэффициенты.

           Виды квадратных уравнений:

     - полное :  ах²+bx+c=0, а ≠ 0

           Дискриминант:          D = b² – 4ac  

 

                         

 

 

              D>0                              имеет 2 различных корня

           Формула корней: 

 

     - неполные:

а) если с=0, b≠0:    ах²+bx=0, х(ах+b)=0, x=0 или ах+b =0, х=-

б) если b=0, с≠0: ах²+с=0, х²=-

в) если b=0, с=0: ах²=0, х=0

     - приведенное – квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1:      

       x²+px+q=0

Теорема Виета:

Любое квадратное уравнение при необходимости можно привести к приведенному, поделив уравнение на а≠0.

            Разложение квадратного трехчлена на линейные множители:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),

где х₁ и х₂ – корни уравнения

Примеры:

.

Ход работы:

 

I. Решите уравнения:

 

II. Самостоятельная работа:

 

Вариант I	Вариант II
1. Контрольные вопросы:
а) вспомнить формулы вычисления корней квадратного уравнения;                                                                                                                   б) как решаются неполные квадратные уравнения , ?
2. Решить уравнение:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)	1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5);

 

 

Контрольные вопросы:

1. Что такое уравнение? Корень уравнения?

2. Назовите виды уравнений.

3. Что общего вы видите в уравнениях?                                                                                                                   4. Какое уравнение называется квадратным?

5. Что называют дискриминантом квадратного уравнения?

Практическое занятие №3

Тема: «Функции. Графики функций».

 

Цель работы: научиться исследовать свойства функции, заданной графиком или аналитически; научиться строить графики функций.

 

Оборудование: линейки, карандаши

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

 

  Элементарные функции и их графики: 

Прямая пропорциональность. Линейная функция.

Обратная пропорциональность. Гипербола.

Квадратичная функция. Квадратная парабола.

 

1.	Пропорциональные величины. Если переменные  y  и  x  прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:              y  = k x ,                                                   где  k  - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X  угол , тангенс которого равен  k : tan = k  ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = -3 .
2.	Линейная функция. Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени:   A x + B y = C ,                            где по крайней мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C .
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   y = k / x ,     где  k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола. У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью . Как показано на рис., произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна  k, что следует из уравнения гиперболы:  xy = k.   Основные характеристики и свойства гиперболы:         - область определения функции:  x 0,  область значений:  y 0 ;   - функция монотонная ( убывающая ) при  x < 0 и при  x > 0, но не   монотонная в целом из-за точки разрыва  x = 0 ( подумайте, почему ? );   - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;   - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где  a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае: b = c = 0 и  y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат . Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.   График функции  y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами: Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента  a  при  x2 и дискриминанта D = b2 – 4ac.  Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

 Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

  - область определения функции: - < x < +  ( т.e.  x R ), а область

     значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами !);

  - функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

     ведёт себя, как монотонная;

  - функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при  b = c = 0,

   и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при  D 0 ? ) .

Алгоритм построения параболы:

1.      Определить направление ветвей параболы

Если а  > 0, то «ветви» параболы направлены вверх

Если а < 0, то «ветви» параболы направлены вниз

2.      Найти нули функции (точки пересечения параболы с осями координат):

у=0,  ах²+bx+с=0, х_1,2=…

х=0, у(0) = с.

3.      Найти координаты вершины параболы:

Пример: Построить график функции у=2х²+5х-3.

Решение

1.      а=2˃0, следовательно, ветви направлены вверх.

2.      Нули или точки пересечения с осями:

                         а) у=0,  2х²+5х-3=0, 

б) х=0,   у(0)=-3.

 

 3. Координаты вершины:

х₀=- 1,

у₀=2()²+5()-3=2.

4.      График:

Ход работы:

 

I. Групповая работа:

 

1.  Построить графики функций:

а) у = -2х+3;                                 б) у = 3х;                    в) у = х² + 1;                                                                    г) у = (х+2)² – 1;                          в) у =  ;                        г) у = 2х³ .

 

 2.  Вычислите значение функции  f(x) = 3х²  + 4х - 3   при х = -1.

             Найдите область определения функции:

 

        3.  Определите  чётность или нечётность функции     f(x) = х³ +2х² - 3х + 5.                                  

 

II. Проверочная работа (шаблон):

 

1. Вычислите значение функции  f(x) = …..   при х = ……

           Найдите область определения функции.

 

       2. Определите  чётность или нечётность функции     f(x) = …..

                                     

       3. Постройте график функции  f(x) = ….   

           По графику определите значение  у, если х = …..

 

       4. Постройте график функции  f(x) = ….                                    

           По графику определите значение  х, если значение у = …

 

III. Домашнее задание: постройте графики функций: а)  у = - 2х-3; б) у = х² +1

 

 

Контрольные вопросы:

1. Назовите виды функций.

2. Графиком какой функции является гипербола?

3. Перечислите свойства квадратичной функции?

4. Что является графиком функции прямой пропорциональности?

5. Чем отличаются графики линейной функции и функции прямой пропорциональности?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие №4

Тема: «Вводное повторение школьного курса геометрии»

 

Цель работы: повторить основные понятия планиметрии; обобщить знания; вспомнить площади многоугольников.

 

Оборудование: чертежи

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения (повторение в форме беседы):

 

 1. По рисунку обучающиеся вспоминают определения и свойства вертикальных и смежных углов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  По рисунку учащиеся формулируют признаки параллельных прямых и свойства параллельных прямых

3. Назовите виды многоугольников. Периметр и площадь многоугольников.

 

 4. Объясните, какая фигура называется треугольником.

  - назовите основные элементы треугольника;

  - основные виды треугольников;

  - определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника;

 - сформулируйте свойство медианы (биссектрисы, высоты) равнобедренного                                   треугольника;                                                                                                                                                                                                                        - чему равна сумма углов треугольника?                                                                                                      -  сформулируйте теорему синусов;                                                                                                                                                    - сформулируйте теорему косинусов.

 

5. Сформулируйте теоретические положения, которые соответствуют следующим рисункам. Запишите в тетрадь план ответов по каждому рисунку, можете обсудить рисунки в парах (5 мин.).

1.По рисунку учащиеся дают определения медианы, биссектрисы, высоты треугольника.

 

 

 

 

 

 

 

2. По рисунку учащиеся формулируют признаки равенства треугольников

 

 

 

 

 

 

(.)

 

6.  Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: 

Для прямоугольного треугольника РЕК напишите все его свойства.

1)  Если угол Р равен 90^° , то сумма углов Е и К равна 90^°.

2) Если угол Е равен 30^° , то РК равно половине КЕ.

3) Если PD – медиана, то PD=КD=DЕ.

 

Ход работы:

I. 1. В каком случае прямые a и b параллельны:

Ответ:  прямые а и в параллельны в случаях: в), г), е).

2.  Задачи для решения:

1. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60⁰, если гипотенуза равна 18.
2. В прямоугольнике АВСД найдите АД, если АВ=5, АС=13.
3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17см, а основание равно 16см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
4. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами : 6; 8; 10.
5. Найдите высоты треугольника со сторонами 10см, 10см и 12см.                                                      
6. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона которого равна 9 см, а диагональ – 15 см.                                                                                                                                              
7. Высота равнобедренного треугольника равна 20 см, а его основание – 30 см. Найдите боковую сторону данного треугольника.

II. Проверочная работа:

1. Какие из утверждений верны:

а) В треугольнике АВС угол С – прямой, угол А =110°.

б) Сумма двух углов треугольника равна 69°.

в) В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 95°.

г) В треугольнике АВС угол A=60°, угол В =45°, а внешний угол при вершине С равен 105°.

д) Стороны треугольника равны 5 см, 8 см, 15 см.

е) Медиана треугольника равна его высоте.

ж) В прямоугольном треугольнике MNK (угол K=90°) угол M =30°, NK=5 см, MN=9 см.

з) В треугольнике PES высоты EE1и SS1 пересекаются в точке H1, а высоты EE1 и PP1 – в точке H3.

2. Дано: m||n, l – секущая, угол равен 130^°.

Найти:

1	2
Б), Г)	углы 2; 4; 6 и 8 равны 50° , углы 3; 5; 7 – 130°.

 

Контрольные вопросы:

1. Перечислите виды многоугольников?

2. Сформулируйте теорему Пифагора?

3. Назовите раздел геометрии, который изучали в школе?

4. Перечислите основные элементы на плоскости?

5. какие прямые на плоскости параллельны?

Тема 2. Аксиомы стереометрии.

 

Практическое занятие №5

Тема: «Применение аксиом стереометрии».

 

 Цель работы: проверить усвоение учащимися аксиом стереометрии и некоторых следствий из них; сформировать навык решения задач по данной теме.

 

Оборудование: таблицы, схемы, доска, линейка.

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

 

А1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

А2. Если  две  различные  плоскости  имеют  общую точку, то они пересекаются  по прямой,  проходящей через эту точку.

А3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.

 

Ход работы:

I. Устный опрос

1. Что изучает стереометрия?                                                                                                                                          2. Назовите основные фигуры в пространстве.                                                                                                                  3. Изобразите точку М, принадлежащую прямой b, и точки К, L, не принадлежащие прямой b. Сделайте соответствующие записи.                                                                                                                                        4. Изобразите точку С, принадлежащую плоскости , и точку D, ей не принадлежащую. Сделайте соответствующие записи.                                                                                                                 5. Изобразите прямую k, лежащую в плоскости . Сделайте соответствующую запись.                  6. Изобразите прямую а, пересекающую плоскость . Сделайте соответствующую запись.  7. Что называется аксиомой?                                                                                                                           8. Сколько аксиом мы изучили на прошлом уроке.

II. Решение задач:

III. Самостоятельная работа (тест):

Вариант I

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

а) как бы ни было, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей;

б) какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей;

в) какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости;

г) какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, не принадлежащие ей.

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) если  плоскости  имеют  общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку;

б) если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой;

в) если  две различные  плоскости  имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

 

3)

 

 

 

 

 

а) через две прямые можно провести плоскость и притом только одну.

б) если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.

в) если прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость.

Вариант II

 

1) Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV. Домашнее задание: заполните таблицу.

 

	Аксиома 1	Аксиома 2	Аксиома 3
рисунок
формулировка
краткая запись

 

 

 

 

 

 

 

Задачи (дополнительно)

 

1. Определите по рисунку:

а) Какие две прямые не лежат на одной плоскости?

1)     

2)      AB и BC

3)     

4)     

б) Какие три прямые вместе с прямой  лежат на

одной плоскости?

1)     

2)     

3)     

4)      Ни один из этих ответов не верен

в) Какие утверждения относительно прямой АВ являются ложными?          

1)      Лежит на плоскости

2)      Лежит на плоскости

3)      Не лежит на плоскости

г) Определите четыре точки, не лежащие на одной плоскости.

1)     

2)     

3)     

4)     

 

Задание 2

По рисунку назовите:

а) плоскости, в которых лежат прямые КE, MN, DB.

б) точки пересечения прямой DM с плоскостью ABC,

    прямой АE с плоскостью DBC.

 

 

Контрольные вопросы:

 

1. Что изучает стереометрия?
2. Основные фигуры в пространстве? (точка, прямая, плоскость)
3. Плоскость на рисунке изображается в виде? (параллелограмма)
4.  Приведите примеры моделей плоскостей, окружающие вас.
5.  Какими буквами принято обозначать плоскости на чертежах?

 

Тема 3. Параллельность прямой и плоскости в пространстве.

 

Практическое занятие №6

Тема «Решение задач на параллельность прямых в пространстве».

 

Цель работы:  рассмотреть взаимное расположение двух прямых в пространстве; запомнить формулировки теорем; научиться применять теоремы в задачах на доказательство; развивать пространственное и рациональное  мышление; научиться делать чертеж к задаче.

 

Оборудование: модели, чертежи

Продолжительность работы: 2 академических часа

Теоретические сведения:

 

 

1. Решение задач:

1. АВСDА₁В₁С₁D₁ – куб. Все грани – квадраты. Установите взаимное расположение прямых.

	AD… А1D1 AD…B1C1 AB1…B1C1 AB1…DC1 B1C1…DC1 BB1…DC
2.		Дано: DM = MB, DN = NC, AQ = QC, AP = PB, AD = 12, BC = 14. Найдите PMNQP.

Решение

.

.

По определению MNQP – параллелограмм.

PQ = 7, PM = 6  P_MNQP = 2 (7 + 6) = 26.

3.

Дано: А α, СС1 || ВВ1,                      АС = СВ, ВВ1 = 7. Найдите СС1.

Решение

I. Необходимо доказать, что точки А, С₁ и В₁ лежат на одной прямой.

1. (А, ВВ₁) ≡ β.

2. β α = АВ₁. Докажем, что С₁  АВ₁.

3. Пусть С₁  АВ₁, тогда СС₁ β = С.

 Противоречие условию, ВВ₁ β.

Следовательно, С₁  АВ_1. (Проведите различные доказательства, проводя плоскость β через А и СС₁, через СС₁ и ВВ₁).

II. СС₁ – средняя линия  треугольника АВВ₁ , тогда СС₁ = 3,5.

4. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если:

а) СС₁ = 8,1, АВ : АС = 11 : 9;

б) АВ = 6, АС : СС₁ = 2 : 5;

в) АС = а, ВС = b, СС₁ = с.

 

2. Проверочная работа:

1.      Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве? Сделать рисунок для каждого возможного случая.  

                   

2.      На чертеже обозначить вершины  куба. Найти примеры взаимного расположения прямых в пространстве (для всех случаев из пункта 2).

3.      На модели куба ABCDA₁B₁C₁D₁ определить взаимное расположение прямых АА₁ и ВС. Сформулировать определение   для этого случая …………………………...

4.      ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб.                                                                                                                                     а) Определить взаимное расположение рёбер АА₁ и DC…………………………..    б) В каких плоскостях лежит прямая  DC?..................................................................  в) Как располагается прямая АА₁ по отношению к этим плоскостям и прямой DC? ……………………………………………………………………………………..

  

5.      ABCA₁B₁C₁ – призма.

    а) Определить взаимное расположение рёбер ВВ₁ и АC ……………………………….

    б) В каких плоскостях лежит прямая ВВ₁? ....................................................................

    в) Как располагается прямая АС по отношению к этим плоскостям и прямой ВВ₁?                                                                              

                                                                             

4. Домашнее задание: теория, решить задачу

Дано: АА1 || СС1, АА1 || ВВ1, ВВ1 = СС1. Доказать, что В1С1 = ВС.

Контрольные вопросы:

1. Каково взаимное расположение прямых в пространстве?                                                                                2. Какие прямые в пространстве называются параллельными?                                                                                            3. Дайте определение пересекающихся прямых.                                                                                  4. Приведите примеры параллельных и пересекающихся прямых.

 

Практическое занятие №7

Тема: «Решение задач на параллельность прямой и плоскости».

 

Цель работы:  рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве; ввести понятие параллельности прямой и плоскости; доказать признак параллельности прямой и плоскости; научиться применять теоремы в задачах на доказательство; развивать пространственное и рациональное  мышление; научиться делать чертеж к задаче.

 

Оборудование: модели, чертежи

Продолжительность работы: 2 академических часа

Теоретические сведения:

 

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

 

 

 

 

 

 

Ход работы:

I.  Решение задач.

    1.  Покажите на предметах обстановки классной комнаты прямые, параллельные

        плоскости пола, плоскости стены.

    2.

Доказательство

	4. Дано:  AC || α, AB α = M,                   CB α = N. Доказать, что Δ ABC Δ MBN. Доказательство Докажем, что АС || MN.

2.  по определению.

3. Δ АВС Δ MBN по двум углам.

5. Дано: D AB, E AC, DE = 5,                   , BC α, DE || α. Найдите ВС.

Решение

2.  по определению.

3. Δ АВС Δ ADE по двум углам, тогда   ;     ;  BC =.

 

II. Проверочная работа (выполнить тест).

 

III. Домашнее задание: теория, задача.

 

Дано:  ABCD – трапеция,                   М (АВС)     Доказать, что AD || (ВМС).

 

Доказательство

 по признаку.

 

Контрольные вопросы:

 

1. Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?                                    2. В каком случае прямая и плоскость называются параллельными?                                                        3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.                                                               4. Верно  ли  утверждение,  что  если  прямая,  не  лежащая  в  плоскости, параллельна ей, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости?                                                              5. Верно ли утверждение, что если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой?                                                                                                       6. Можно ли построить плоскость, проходящую через данную прямую и параллельную другой данной прямой?                                                                                                                                    7. Сколько можно провести через данную точку:                                                                                         а) прямых, параллельных данной плоскости;                                                                                                        б) плоскостей, параллельных данной прямой?                                                                                                                               8. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ п/п	Вопросы	Ответы
1	Через сколько точек можно провести прямую?	через 2 через 3 через 1
	Как пересекаются плоскости?	в точке по прямой в трёх точках
3	Если две прямые имеют общую точку, то через них можно провести только …	одну прямую одно пространство одну плоскость
4	Что такое аксиома?	Утверждение, которое доказывается с помощью теорем Утверждение, не требующее доказательств Утверждение, которое доказывается с помощью определений
5	Сколько прямых можно провести через две точки?	4 3 1
6	Что может принадлежать плоскости?	прямая плоскость прямая и точка
7	Что может принадлежать прямой?	точка прямая плоскость
8	Теорема – это утверждение…	не требующее доказательств доказывается с помощью аксиом доказывается с помощью аксиом, определений и других теорем
9	Прямые называются параллельными, если они…	не пересекаются пересекаются под прямым углом лежат в одной плоскости и не пересекаются
10	Примеры параллельных прямых.	шпалы провода швабра

вопросы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ответы	1	2	3	2	3	3	1	3	3	1

Эталоны ответов:

 

Тема 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

 

Практическое занятие №8

Тема: « Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве».

 

 Цель работы: сформулировать и доказать признак перпендикулярности двух плоскостей; практическим путём определить основные понятия, признаки, доказать теоремы.

   

 Оборудование: модели, чертежи.

 

Продолжительность работы: 2 академических часа.

 

  Теоретические сведения:

     Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. 

     Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:                                                                            - через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой;                                                                                                                                          - если две плоскости и перпендикулярны к прямой а ,то они параллельны;                                             - если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Определение: Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Ход работы:

 

I. Устная работа:

1. Смоделировать случай, когда плоскость проходит через прямую АВ, перпендикулярную плоскости . (Сделать чертёж. ). Записать

      Дано: …………..

      2.   Каково взаимное расположение плоскостей и ?

      3.   Обозначьте линию пересечения плоскостей АС.

4.   Каково взаимное расположение прямых АВ и АС? Ответ обоснуйте.

 5.   Проведите .

6.   Запишите двугранный угол, образованный при пересечении плоскостей  и 

      Чему равна его градусная мера? Ответ обоснуйте.

7. Сделайте вывод о взаимном расположении  и.

 

Вывод:   Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, ………………

к другой ……………………, то такие плоскости ……………………………….

 

II.  Решение задач:

1.

 

 

2.

2.  AK =.

 

3.

 

III. Диктант.

Закончите предложения. Сделайте рисунок.

1. Две прямые называются перпендикулярными, если…

2. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…

3. Прямая перпендикулярна плоскости, если она…

4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то…

5. Через данную точку пространства можно провести прямую, ей перпендикулярную, и

     притом…

6. Все прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные к этой

     прямой, лежат в…

7. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то…

8. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,…

9. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то…

10. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они…

 

 

IV. Домашнее задание: теория, задача

 

2. Дано: ABCD – тетраэдр, Δ АВС – правильный, DO (АВС). Доказать, что АВ DC. Доказательство 1. АВ ^ (DMC), так как АВ  MD, АВ  МС.

2.

 

 

Контрольные вопросы:

 

1. Когда прямая и плоскость перпендикулярны?

2. Приведите примеры перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Практическая работа №9

Тема «Решение задач на перпендикуляр, наклонная, проекция».

 

Цель работы: запомнить формулировки определений и теорем; научиться применять в задачах; развивать пространственное и рациональное  мышление; научиться делать чертеж к задаче

 

Оборудование: чертежи

 

Время проведения: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция наклонной АС на плоскость α.
С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Углом между прямой и плоскостью принимают угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость является наименьшим из углов, которые образует наклонная с любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.

Ход работы:

 

I. Выполнить тест:

 

1. Контрольные вопросы

а) перпендикуляр, наклонная, проекция;                                                                       б) теорема о трех перпендикулярах.

2. Выполнить тест:

1.  Сколько существует плоскостей, проходящих через данную прямую и точку  в пространстве?              А: 0;     В: только 1;      С: бесконечно много;      D: 1 или бесконечно много. 2. Каково взаимное расположение прямых АВ1 и ВD1 в прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1?             А: скрещиваются;        В: пересекаются;          С: параллельны 3. Каково взаимное расположение прямой В1С1 и плоскости ВDA1 в прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1?            А: параллельны;                                            В: пересекаются;                 С: пересекаются или параллельны;            D: другой вариант ответа. 4. Каково взаимное расположение плоскостей BDA1 и В1D1C в прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1?            А: параллельны;                                           В: пересекаются;                  С: пересекаются или параллельны;             D: другой вариант ответа. 5. Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Сколько существует пар параллельных плоскостей, одна из которых проходит через а, а другая – через b?            А: 0;                         В: только 1;                     С: бесконечно много;               D: 0 или 1;                     Е: 0 или бесконечно много 6. Даны три параллельные плоскости. Расстояние между  и  равно 3,  а между  и  равно 5. Чему равно расстояние между  и ?              А: 2;               В: 4;                С: 8;                D: 2 или 8.

 

II. Решение задач:

№1. Опустим перпендикуляр. Можете ли Вы опустить из данной точки A вне прямой l опустить перпендикуляр на эту прямую, проводя не более трех линий? (Третьей прямой должен быть перпендикуляр).

Решение:

Выбираем любую точку на заданной прямой l, задаемся радиусом к точке А и проводим окружность. Повторяем те же действия для второй окружности, пересечение окружностей друг с другом дает нам перпендикуляр к заданной прямой. Действительно проведено три линии: две окружности и вертикальная прямая AA₁.

 №2. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12.

Подсказка: Теорема Пифагора

Ответ: 13.

 

№ 3.  Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 45⁰?

 

Решение:

 

 

 

№ 4. Из точки А, удаленной от плоскости g на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30⁰ к плоскости. Их проекции на плоскость g    образуют угол в 120⁰. Найдите ВС.

Решение:

Так как АО^a, то DАВО и DАОС – прямоугольные треугольники.

 

 

 

1По теореме косинусов для DВОС:

ВС²=ВО² + ОС² - 2·ВО·ОС·COS 120⁰

COS 120⁰= - 0,5

ВС²=3d² + 3d² - 2·3d·d·(-0,5)

ВС²=6d² + 3d²

ВС²=9d²

BC=3d

Ответ: BC=3d.

 

III. Самостоятельная работа (по вариантам).

 

IV. Домашнее задание: теория, №23 (учебник).

 

Контрольные вопросы:

 

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?                                         2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

5. Дайте определение проекции наклонной.

 

Самостоятельная работа

 

Вариант I   1.  Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной. 2.  Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6Ö6см. Найти длину этой наклонной.

Вариант II   1.  Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной. 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6Ö6см. Найти длину этой наклонной.

Вариант I   1.  Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной. 2.  Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6Ö6см. Найти длину этой наклонной.

Вариант II   1.  Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной. 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6Ö6см. Найти длину этой наклонной.

Вариант I   1.  Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной. 2.  Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6Ö6см. Найти длину этой наклонной.

Вариант II   1.  Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной. 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6Ö6см. Найти длину этой наклонной.

Практическое занятие №10

Тема: «Решение задач на признак скрещивающихся прямых».

 

 Цель работы: сформировать конструктивный навык определения и нахождения скрещивающихся прямых; практическим путём определить основные понятия, признаки, доказать теоремы.

   

 Оборудование: модели, чертежи.

 

Время проведения: 2 академических часа.

 

  Теоретические сведения:

      Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:                                            – прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;                                                                                – прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;                                                    – прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;                                                    – прямые совпадают.

     Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.

 

  Ход работы:

 

1. Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости? Сделать рисунок для каждого возможного случая.

 

2. Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве? Сделать  рисунок для каждого возможного случая.

 

       3. На чертеже обозначить вершины  куба точками А, В, С, D, А ₁ , В ₁ , С ₁ , D ₁ . Найти    

        примеры взаимного расположения  прямых в пространстве.

 

 

4. На модели куба ABCDA₁B₁C₁D₁ определить взаимное расположение прямых АА₁ и ВС. Сформулировать определение   для этого случая.

 

5. ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб.

      а) Определить взаимное расположение рёбер АА₁ и DC .

      б) В каких плоскостях лежит прямая  DC?

      в) Как располагается прямая АА₁ по отношению к этим плоскостям и прямой DC?

 6.   ABCA₁B₁C₁ – призма.

       а) Определить взаимное расположение рёбер ВВ₁ и АC

        б) В каких плоскостях лежит прямая ВВ₁?

       в) Как располагается прямая АС по отношению к этим плоскостям и прямой ВВ₁?

 

  

      

7.   ABCР – пирамида.

     а) найти пары скрещивающихся прямых;

     б) установить признак скрещивающихся прямых.

 

  Вывод:                                                                                                                                      Признак скрещивающихся прямых.  Если одна из скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.  

 

Домашнее задание: теория

 

Контрольные вопросы:

1.      Какие прямые называются скрещивающимися?

2.      Приведите примеры скрещивающихся прямых.

3.      Если две прямые не скрещивающиеся, то какими они могут быть?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 5. Многогранники.

 

Практическое занятие №11

Тема «Нахождение элементов призмы».

 

Цель работы: систематизировать знания учащихся по теме «Призма»; закрепить умения правильно формулировать свойства и определения фигур; расширить знания учащихся по теме; формировать дружеские, товарищеские отношения умения работать в группах

 

Оборудование: модели, чертежи

 

Время проведения: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Гранью называется плоский многоугольник, стороны граней называются ребрами, а его вершины –  вершинами многогранника.  Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник – это многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости каждой грани.

Призма – это многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки соединяющие соответствующие вершины называются боковыми ребрами призмы.                                                                               Свойства призм:                                                                                                                                основания призмы равны;                                                                                                                               у призмы основания лежат в параллельных плоскостях;                                                                                 у призмы боковые ребра параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. Высота – расстояние между плоскостями оснований. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Ход работы:

I. Выполните задание:

 

 1. Скопируйте многогранник. Обозначьте вершины многогранника.  Назовите  основные элементы данного многогранника и дайте название самому многограннику.

Боковые ребра: _____________________

Основания: ________________________

Боковые грани: _____________________

Постройте сечение, параллельное основанию.

 

 

 

II. Устная работа:

 

Вопросы	Ответы
Треугольная ПРИЗМА
Что такое  треугольная призма?	Многогранник составленный из двух равных треугольников , которые расположены в двух параллельных плоскостях и трех параллелограммов называется ….
Как взаимно расположены боковые ребра призмы?	Боковые ребра  призмы равны и параллельны
Что можно сказать об основаниях призмы, боковых гранях?	Основания призмы есть равные треугольники, боковые грани – это параллелограммы, если призма прямая то грани – прямоугольники
Определить  элементы треугольной призмы.	Ребер – 9, вершин – 6, граней – 5
Сколько диагоналей у треугольной призмы?	Призма не имеет диагоналей
Четырехугольная  ПРИЗМА
Что такое четырехугольная призма?	Многогранник составленный из двух равных четырехугольников , которые расположены в двух параллельных плоскостях и четырех параллелограммов называется ….
Определить элементы четырехугольной призмы.	Ребер – 12, вершин – 8, граней – 6
Чем являются боковые грани призмы, основания четырехугольной призмы?	Основания призмы есть равные четырехугольники, боковые грани – это параллелограммы, если призма прямая то грани – прямоугольники
Является ли параллелепипед призмой?	Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит  параллелограмм.
Сколько диагоналей у четырехугольной  призмы?	В  ….  призме можно провести  четыре диагонали.
Шестиугольная ПРИЗМА
Что  такое шестиугольная призма?	Многогранник составленный из двух равных шестиугольников , которые расположены в двух параллельных плоскостях и шести параллелограммов называется ….
Определить элементы шестиугольной призмы.	Ребер – 18, вершин – 12, граней – 8.
Чем являются основания  и боковые грани шестиугольной призмы ?	Основания призмы есть равные шестиугольники, боковые грани – это параллелограммы, если призма прямая то грани – прямоугольники
Сколько диагоналей у шестиугольной призмы?	В ….. призме можно провести   12  диагоналей.
Когда призма называется прямой?	Если боковые ребра призмы перпендикулярны  к основаниям  то призма называется….

 

 

III. Найдите ошибки:

 

Еще ученый Эйлер – гений 18 века вывел зависимость между гранями, вершинами, ребрами для призм. Эта  зависимость вошла в историю математики как ТЕОРЕМА Эйлера. Понятно, что в зависимости от того какое основание будет  иметь призма, будет изменяться количество  ее граней, ребер.  В таблице допущены  ошибки. НАЙДИТЕ ИХ,

Теорема Эйлера

     Г + В = Р + 2

	Г(грани)	В(вершины)	Р(ребра)
	3	6	9
	6	4	12
	8	12	6

 

V. Домашнее задание: теория, задача

 

Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30⁰. Найдите высоту призмы.

 

 

 

 

Контрольные вопросы:

 

1. Что такое многогранник?

2. Какой многогранник называется выпуклым?

3. Что такое призма (основания призмы, боковые грани, ребра)?

4. Что такое высота призмы?

5. Какая призма называется прямой (наклонной, правильной)?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие №12

Тема: «Прямоугольный параллелепипед».

 

 Цель работы: ввести понятие прямоугольного параллелепипеда; сформулировать и доказать (выборочно) свойства прямоугольного параллелепипеда

   

 Оборудование: модели, чертежи.

 

 Продолжительность работы: 2 астрономических часа.

 

  Теоретические сведения:

Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником.                                                                                   Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.                                                                                                             Примерами прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечный коробок или системный блок компьютера.                                                    Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями. Например, имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм. Формула нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда: V=abc.                                 Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все шесть граней куба — равные квадраты.                                                                                            Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

 

Ход работы:

 

1. Разбить параллелепипеды на группы.

 

 

название группы
номера параллелепипедов

 

2. Группу, состоящую из прямых параллелепипедов разбить на группы.

 

группа	№1 (в основании прямоугольник)	№2 (в основании не прямоугольник)
номера параллелепипедов

 

 

3. Дать определение прямоугольного параллелепипеда (группа №1).

 

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра ……………………….. к  основанию, а основания представляют собой.

 

4. Построить прямоугольный параллелепипед . Перечислить элементы параллелепипеда:

основания: ……………………………………………………………………………………….

боковые грани: …………………………………………………………………………………..

боковые ребра: …………………………………………………………………………………..

диагонали: ………………………….……………………………………………………………

 

5. Определить взаимное расположение боковых рёбер и оснований прямоугольного параллелепипеда. ………………………………………………………………………………..

Следовательно, боковые грани являются ……………………………………………………..

 

6. Сформулировать и доказать (по выбору) свойство прямоугольного параллелепипеда, используя для их открытия аналогию с прямоугольником.

 

прямоугольник	прямоугольный параллелепипед
В прямоугольнике все углы прямые.	………………………………………... …………………………………………
В прямоугольнике диагонали равны.	………………………………………… …………………………………………
В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон ()	………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

 

 

 

Контрольные вопросы:

 

1. Что такое параллелепипед?

2. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

3.  Что можно сказать про диагонали параллелепипеда?

4. Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда?

 

 

Практическое занятие №13

Тема: «Сечение многогранников».

 

Цель работы: вести понятие сечения многогранников; научиться строить сечения.

 

 Оборудование: модели, чертежи.

 

Продолжительность работы: 2  академических часа

 

 Теоретические сведения:

Правила построения сечений многогранников:                                                                             1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;                                                               2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:                                                    а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);                                                                                             б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃;

Точки X₂ и X₃ лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃ , которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

 

 

MKNTPL - искомое сечение.

 

 

 

Ход работы:

 

I.  Построить сечения, которое проходит через данные точки и определить какой многоугольник получился при построении.

 

	«3»	«4»	«5»
Треугольная   призма
Четырехугольная   призма
Шестиугольная призма

 

III. Домашнее задание: теория, задача

         Основание прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120⁰. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.                                          

Подсказка: построить сечение, доказать, что многоугольник в сечении  - прямоугольник, найти его площадь: S=ав.

Контрольные вопросы:

 

1. Что представляет собой сечение призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, в частности диагональное сечение?

Практическое занятие №14

Тема: «Нахождение элементов пирамиды»

 

 Цель работы: научиться изображать призму и находить длину основных элементов, используя определение и свойства призм

 

Оборудование: модели, чертежи.

 

Продолжительность работы: 2 академических  часа

 

 Теоретические сведения:

 

Пирами́да— многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Элементы пирамиды

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);
• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
• боковые ребра — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

 

 

 

 

Ход работы:

I. Тест – задание на внимательность (устно):

1.Сколько граней, боковых ребер у n-угольной пирамиды?                                                                                  2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида?                                                                                        3. Высота пирамиды равна 3см. Чему равно расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания?                                                                                                                                         4. Боковые ребра треугольной пирамиды равны 7см, 12см, 5см. Одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?

II. Решение задач:

№1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6см и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды. 

№2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60?. Найдите боковое ребро пирамиды.

№3. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 10см и 18 см. Высота пирамиды равна проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см.  Найдите боковое ребро пирамиды.

 

III. Самостоятельная работа:

 

1.  SABC  - правильная треугольная пирамида, SO  - высота пирамиды. Запишите теорему Пифагора для треугольника SAO.

 

 

                                                                                                                                                                               __________________________________

                                                                              

 

                                                                 

                                                             

                                                                   

2. Найдите неизвестный член пропорции     

3. Дан прямоугольный треугольник АВС. Найдите синус угла САВ:

 

 

4. Продолжите утверждение:

    а) Если боковые рёбра пирамиды равны, то основание высоты, проведённой из

         вершины на основание совпадает____________________________________________

 

б) Если все боковые грани пирамиды образую с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты, проведённой из вершины на основание совпадает __________________________________________________________________

 

в) Апофемой правильной пирамиды называется _________________________________

 

 

IV. Домашнее задание: теория, сделать модели пирамиды и их развертки, в основании которой лежит:

         Варианты:

1. Прямоугольный треугольник.
2. Равнобедренный треугольник.
3. Равносторонний треугольник.
4. Квадрат.
5. Прямоугольник.
6. Ромб.

 

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы:

 

1. Какая фигура называется пирамидой?

2. Что является основанием пирамиды?

3. Что называется высотой пирамиды?

4. Что представляют грани пирамиды?

5. Какая пирамида называется правильной?

6. Как найти центр правильного многоугольника? С чем он совпадает?

7. По аналогии с правильными фигурами, например,   правильной призмой, скажите,  пожалуйста, что присуще правильной пирамиде?  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие №15

Тема: «Правильные многогранники».

 

 Цель работы: доказать существование конечного количества правильных многогранников; выделить элементы правильных многогранников; формировать понятие о правильных многогранниках и умения видеть их в окружающем мире.

 

 Оборудование: модели, чертежи.

 

Продолжительность работы: 2 академических часа.

 

 Теоретические сведения:

 

Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

 

Многогранник	Изображения	Вершины	Рёбра	Грани
тетраэдр		4	6	4
куб		8	12	6
октаэдр		6	12	8
икосаэдр		12	30	20
додекаэдр		20	30	12

 

 

Форма проведения работы:  I этап – совместная работа, II этап – работа в группах, III этап – защита выполненного задания.

 

Ход работы:

 

1. Записать определение правильного многогранника.

Многогранник называется  правильным, если его грани - …………………………… многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ………………….

 

2. Перечислить свойства правильного многогранника:

а) все ребра правильного многогранника …………………………..…………………...

б) все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром - …………………

 

 

 

 

 

3. Заполните таблицу

а)                   б)                  

 

в)          г)            д)

 

		а	б	в	г	д
вид многогранника
число	граней вершин ребер
сумма плоских углов при вершине

       

Угол правильного  n-угольника равен     

 

Задание (дополнительное): Доказать, что существует  всего 5 правильных многогранников

Доказательство:

Форма граней	Градусная мера плоского угла	Число ребер при одной вершине	Сумма плоских углов при одной вершине	Противоречит ли теореме о сумме плоских углов многогранного угла	Число граней такого многогранника	Название правильного многогранника
Правильный треугольник		3
		4
		5
		6
Правильный четырехугольник (………….)		3
		4
Правильный пятиугольник		3
		4

 

Кроссворд «Многогранники»
															1
														2							3
													4
					5					6
								7
									8
		9				10
					11
12

 

 

По горизонтали:

 2. Правильный шестигранник. 4. Плоские многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника. 5. Высота боковой грани правильной пирамиды. 7. Правильный двадцатигранник. 8. Правильный двенадцатигранник. 10. Основание правильной четырёхугольной пирамиды. 11. Древнегреческий философ,  подробно описавший правильные многогранники. 12. Призма, основанием которой служит параллелограмм.

 

По вертикали:

1. Треугольная пирамида. 3. Сторона грани многогранника. 6. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 9. Автор теоремы (формулы) В+Г=Р+2, показывающей зависимость между вершинами, гранями и рёбрами выпуклого многогранника.

 

II семестр

 

Тема 6. Площадь поверхности и объем многогранников.

 

Практическое занятие №16

Тема: «Вычисление объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда».

 

Цель работы: научиться применять на практике формулы для вычисления различных объемов и поверхностей.

      Творческая работа:

Задача 1.Сколько пакетов с соком войдет в коробку?

Задача 2. Найдите объем тела:

Задача 3.  Сколько литров воды вмещает бак, имеющий форму куба с ребром 6 дм?

      Задача 4.   За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в легкие поступает 500 см³  воздуха. Какой объем воздуха ( в литрах) проходит через легкие человека за сутки?

Задача 5. Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 раза в день в оба глаза. Во флаконе 10 мл лекарства. Объем капли 1/9 мл. Хватит ли одного флакона на неделю?

 

 

 

 

 

Формулы площадей поверхности и объемов многогранников

 

 

призма	Параллеле-пипед	Прямо-угольный параллелепипед	Куб	пирамида	Усеченная пирамида	Правиль-ная пирамида	Тетраэдр
S=Sбок + 2Sосн	S=Sбок + 2Sосн	S=Sбок + 2Sосн  =2H(a+b) + 2ab	S=Sбок + 2Sосн  = 6a2	S=Sбок + Sосн	S=Sбок + Sосн1 +Sосн2	S=Sбок + Sосн    = anl/2 + Sосн	S=Sбок + 2Sосн =
V= Sосн H	V= Sосн H	V= Sосн H = a b H	V= Sосн H = a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие №17

Тема: «Вычисление объема и площади поверхности пирамиды».

Цель работы: научиться применять на практике формулы для вычисления различных объемов и поверхностей.

Оборудование: модели, чертежи

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (основания пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины пирамиды) и всех отрезков (ребер), соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем вершины оснований.

Боковые грани – треугольники. Общие стороны боковых граней – ребра. Высотой пирамиды -H (SO) – называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т.д. (показ).Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. Высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины пирамиды, называется апофемой (SК - l).

Основные свойства правильной пирамиды:

I. Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.
II. Двугранные углы при основании равны.
III. Двугранные углы при боковых ребрах равны.
IV. Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.
V. Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

 

Формулы площади полной и боковой поверхности
произвольной пирамиды, правильной пирамиды и ее объем:

I. Sполн. = Sосн .+ Sбок
II. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
Sбок. = S1 + S2 + ... + Sn , где S1, S2,..., Sn – площади боковых граней.
III. Sбок. = ½ ∙ Pосн ∙ l. - площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему - l).
IV. V== Sосн ∙H , где Н- высота пирамиды/

Ход работы:

I. Решение задач по теме:

1. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2782.... Найдите высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата.
Решение: Рассмотрим пирамиду SABCD, SH- высота, т.к. основание – квадрат, то АМ=МН=230/2=115,
Чему равен тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике?
tg B=SН:НМ, то SH=1,2782*MH = 1,2782*115= 146,993=147м.
ОТВЕТ: 147м.

2. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 9м и 12м, все боковые ребра равны 12,5м. Высота проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Найдите объем пирамиды.
Решение:
Т.к. все боковые ребра равны и высота SO пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей. АО=1/2 АС, ΔАСD – прямоугольный, по т. Пифагора: (м), АО=АС/2=7,5(м)
Рассмотрим ΔАOS- прямоугольный, SO-высота, по т. Пифагора: (м) – высота – H, Sосн=AD*DC=9*12=108(^м2), тогда
=1/3*108*10=360(^м3). ОТВЕТ: 360м³.

3. Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна 10см, а боковое ребро – 12см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Решение: Sполн. = Sосн .+ Sбок
Т.к. пирамида правильная, то основание – квадрат, значит Sосн=а²=100см²,
Sбок=4SΔ, а=в=10см, с=12см, то по формуле Герона (см2).
Sполн. = Sосн .+ Sбок=100+48=148(см2). Ответ: 148см2.

4.  Высота правильной четырехугольной пирамиды = 5см, а сторона основания – 6см. Найдите боковое ребро. ( см)

5.  Нужно изготовить каркасную модель треугольной пирамиды, все ребра которой равны 7 см. Сколько потребуется проволоки? Ответ:(6•7=42)

Тест – задание на внимательность (резерв)
1.Сколько граней, боковых ребер у n-угольной пирамиды?
2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида?
3. Высота пирамиды равна 3см. Чему равно расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания?
Выставление оценок

II. Проверочная работа (10-15 минут).

III. Домашнее задание: конспект лекции и задача на листах раздаточного материала
        Задача:  Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 8см. Каждое                    боковое ребро – 13см. Вычислите высоту пирамиды и найдите объем (отв.12см, 576см3)).

 

Контрольные вопросы:

1. Что такое пирамида?                                                                                                                                 2. Перечислите виды пирамид.                                                                                                            3. Высота правильной пирамиды - это..
4.   Боковая поверхность пирамиды - это... Формулы.
5. Куда проецируется высота правильной пирамиды?

Решите задачу и выберите правильный ответ

Задача 1.

Чему равна площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды со стороной в основании 4,5см и апофемой 5см?        А. 90см² ;              Б. 45см²;                 В. 101,25см².

 

Задача 2.

Вычислите объём правильной треугольной пирамиды со стороной в основании 6 дм и высотой пирамиды 8 дм.

  А. дм³;     Б. дм³ ;        В. дм³.

 

 

Задача 3.

Какой объём имеет деревянная шпала длиной 2,7 м, толщиной 0,18 м и шириной 0,25 м.

      А. 3,13м³;                 Б. 0,1215м³;              В. 0,531м³.

 

Эталоны ответов:

Задача 1	Задача 2:	Задача 3
Б. 45см2;	А. дм3	Б. 0,1215м3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 7. Тела вращения.

 

Практическое занятие №18

Тема: «Решение задач по теме цилиндр».

Цель работы: закрепить у учащихся знания о теле вращения – цилиндре (определение, элементы цилиндра, сечение цилиндра);  сформировать навыки решения типовых задач;. продолжить формирование логических и графических умений; научить учащихся строить сечение цилиндра плоскостью параллельной оси цилиндра и перпендикулярной оси цилиндра.

Оборудование: модели, чертежи

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

 

Цилиндр – это геометрическое тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных плоскостях и множества отрезков, соединяющих соответственные точки этих кругов. Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Виды цилиндров: наклонные цилиндры, прямые цилиндры.
Элементы цилиндра: основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях; высота цилиндра - это расстояние между плоскостями его оснований; радиус цилиндра – это радиус его основания; ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является осью вращения цилиндра).
Образующая цилиндра - это отрезок соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, квадрат;

    

 

 

б) сечения цилиндра плоскостью, параллельной основаниям.

 

 

Ход работы:

 

 №1.  Нанесите на рисунок основные элементы цилиндра.

 

 

№2.  Изобразите а) осевое сечение цилиндра; б) сечение цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра; в) сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра. Какая фигура получается в каждом случае?

 

 

 

 

 

 

 

№3. Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.

 

 

Дополнительно:

№5. Высота цилиндра равна 16 см, радиус 10 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, которая отдалена от нее на 6 см.

№ 6. Сколько квадратных метров жести пойдет на изготовление водосточной трубы длиной 5м и диаметром 20 см, если на швы добавляют 10% площади поверхности трубы?

№ 7.  Высота консервной банки цилиндрической формы равна 4 см,а радиус основания- 6см. Сколько таких банок можно изготовить из 15000 м² жести,если10 % материала идет на отходы и швы.

 

№8. Практическое задание:

На столах модели цилиндров. Каждый производит измерения линейкой радиус, высоту, диаметр, образующую цилиндра, определяет площадь основания и площадь осевого сечения своей модели. Все параметры записывают в тетрадь. Преподаватель оказывает помощь всем, кому сложно справиться с этим заданием.

 

 

    Вариант I

 

1. Высота цилиндра равна 6 см, а угол между диагональю осевого сечения и образующей равен 60◦. Найдите радиус основания.
        1.  3 см;                                 2. 2 см;                              3. 3 см.

 

2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей угол 30°. Найдите площадь диагонального сечения  цилиндра.

1.   30 дм² ;                             2.  20 дм² ;                        3. 25 дм²

 

3. Радиус цилиндра равен 10 см. Сечение параллельное оси цилиндра и удалённое от неё на 8 см, имеет форму квадрата. Найдите площадь сечения.

1. 136 см²  ;                                2.  225 см² ;                             3. 144 см²

 

Вариант II.

 

1. Высота цилиндра равна 10 см, а угол между диагональю осевого сечения и образующей равен 60◦. Найдите радиус основания.

1. 12 см;                             2.  10 см ;                                3. 10 см.

 

2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6 дм и составляет с образующей угол 30°. Найдите площадь диагонального сечения  цилиндра.

1.  12 дм² ;                        2.  9 дм² ;                                 3. 6 дм²

 

3. Радиус  цилиндра равен 10 см. На расстоянии  6 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите площадь сечения.

      1. 256  см²                             2.  144  см²           3. 216  см²

 

 

Эталоны ответов:

 

Вариант I			Вариант II
1	2	3	1	2	3
1	3	3	2	2	1

 

 

Контрольные вопросы:

 

1. Укажите в природе, технике, архитектуре, среди окружающих вас предметов объекты, имеющие цилиндрическую форму.                                                     

2. Объясните, что называют цилиндром, круговым цилиндром. Назовите основные элементы цилиндра и дайте им определение.                                                                                                            3. Дайте определение прямого цилиндра.                                                                                                    4. Что такое осевое сечение цилиндра?                                                                                                           5. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра?

 

 

 

Практическое занятие №19

Тема: «Решение задач по теме конус».

Цель работы: отрабатывать знания основных понятий, определений, теорем и умения применять эти знания при решении задач различных по содержанию и уровню сложности; развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать; развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения; воспитывать ответственность за результат своего труда.

Оборудование: модели, чертежи

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

 

Конусом называется тело, которое состоит из круга - основание конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точкой основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с  точками окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, - высотой конуса. Все образующие конуса равны друг другу.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

 

 

 

Ход работы:

 

I. Решение задач (по чертежам):

1.

 

 

 

 

2. Образующая конуса равна 10 см, высота конуса 6 см.  Найдите радиус конуса.

3. "Молниеотвод". Вычислите высоту молниеотвода, если радиус "защищенного" круга 50 м, а угол между молниеотводом и образующей конуса безопасности 60⁰. .

Решение:  h= 50м : tg 60°29,4м

II. Проверочная работа.

III. Домашнее задание: конспект, задача

 

Задача: Высота конуса 4 см, радиус основания – 3 см. Найти образующую конуса.

 

Контрольные вопросы:

1. Дать определение конуса. Назовите элементы конуса и покажите их на чертеже.
2. Как можно получить эту фигуру?
3. Что лежит в основании конуса и по какой формуле находится площадь круга?
4. Что получится при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы?

 

 

 

 

 

 

 

 

…………………………………………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие №20

Тема: «Решение задач по теме шар, сфера».

Цель работы: отрабатывать знания основных понятий, определений, теорем и умения применять эти знания при решении задач различных по содержанию и уровню сложности; развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать; развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения; воспитывать ответственность за результат своего труда.

Оборудование: модели, чертежи

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

Шар – это пространственная фигура. Поверхность шара называют сферой.

Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится на русский язык как «мяч». Не нужно путать понятия «шар» и «сфера». Сфера – это, можно сказать, оболочка или граница шара. Мяч, глобус – это сферы, а вот арбуз, апельсин, Солнце, Луна, Земля и остальные планеты имеют форму немного сплющенного шара

1. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

2.   Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

3.  Точки сферы – это точки шара, удалённые от центра на расстояние равное радиусу.

4. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом.

5. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара – диаметр.

6.  Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

7.  Шар, получается, от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.

8. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

9.   Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

10.  Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом. Сечение сферы – большой окружностью.

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени.

1.	x2+y2+z2=R2
2.	(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2

 

Ход работы:

I. Решение задач:

 1. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра.     Найдите площадь сечения.

2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

 

3. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А (2;-4;7), R=3

4. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А (-3;5;0), R=2

II.  Проверочная работа.

III. Домашнее задание: конспект, задача

Контрольные вопросы:                                                                                                                              

1. Вращая какую фигуру можно получить шар?                                                                                         2. Что такое шаровая поверхность?                                                                                                              3. Чем является сечение шара?

 

 

Вариант I	Вариант II
1. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А (-2;3;4), R=5.	1. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А (1;0;7), R=4.
2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением	2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 8. Объемы и площади поверхностей тел вращения.

 

Практическое занятие №21

Тема: «Вычисление площади поверхности и объема цилиндра».

 

 Цель работы: научиться применять на практике формулы для вычисления различных объемов и поверхностей.

 Оборудование: модели, чертежи.

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

Площадь поверхности и объём цилиндра

Если разрезать боковую поверхность цилиндра (слайд №9) по образующей, получим прямоугольник, одной из сторон которого является длина окружности основания,а другая - высота цилиндра. Применив формулу для нахождения площади прямоугольника, получим: =.

площадьполной поверхности цилиндра:

= или =

Объём цилиндра:

Ход работы:

 

I. Решение задач:

    1. Найти площадь полной поверхности цилиндра

 

 

                                        Ð ВАС = 45^о

 

                                          CВ = 5

 

 

В

А

                                                               

 

   2.  Площадь осевого сечения цилиндра-10 м², площадь основания -5м²                

                                                Найти высоту цилиндра.

 

 

 

 

 

 3.  Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг его оси симметрии, параллельной большей стороне.                                                                                                                                      4.  Радиус основания цилиндра равен 6 см ,высота в два раза меньше длины окружности основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.                                                                             5.  Найдите объём тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.                                                              6.  Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.                                                                                 7. Высота цилиндра равна 6 см, а площадь его боковой поверхности вдвое меньше площади его полной поверхности. Найдите объём цилиндра.                                                                                 8.  Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота в 2 раза больше длины окружности основания. Найдите объём цилиндра.                                                                                        9. Площадь осевого сечения цилиндра равна 64 см ², а его образующая равна диаметру основания.

II.   Проверочная работа.

III.  Домашнее задание: конспект, задача:

.Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг большей стороны.

 Контрольные вопросы:                                                                   

         1. Как вы думаете, сколько разных цилиндров можно получить, вращая один и тот же   прямоугольник?                                                                                                                                                                             - вокруг большей стороны;                                                                                                               - вокруг меньшей стороны;                                                                                                                              - вокруг оси симметрии, параллельной большей стороне;                                                       - вокруг оси симметрии, параллельной меньшей стороне.

 

 

Вариант I	Вариант II
1. Контрольные вопросы
а) какие тела вращения вы знаете?                                                                                                       б) почему тела вращения так называются?
2. Решить задачу:
Радиус цилиндра равен а см, высота h см. Найти площадь основания, боковую поверхность, полную поверхность и объем, если:
а = 5, h =3	а = 5, h =4

 

 

 

 

Практическое занятие №22

Тема: «Вычисление площади поверхности и объема конуса».

 

 Цель работы: научиться применять на практике формулы для вычисления различных объемов и поверхностей.

Оборудование: модели, чертежи.

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

     Площадь боковой поверхности конуса:

     Площадь полной поверхности конуса:

     Объем конуса:

Ход работы:

 

I. Решение задач:

1. иАвиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м³ земли имеет массу 1650 кг?

Решение

 2. Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?

Дано:коническая воронка
D = 10 см, L = 13 см
V – ?

                       Решение

 

Задача 3	Задача 4	Задача 5	Задача 6
AO – высота, OB – радиус, AB – образующая АВ = 13 см, ОВ = 5 см. Найдите: 1) высоту конуса; 2) площадь его основания; 3) объём конуса; 4) площадь боковой поверхности конуса; 5) площадь полной поверхности конуса.	AO – высота, OB – радиус, AB – образующая АВ = 29 см, АО = 21 см. Найдите: 1) радиус основания конуса; 2) площадь его основания; 3) объём конуса; 4) площадь боковой поверхности конуса; 5) площадь полной поверхности конуса.	AO – высота, OB – радиус, AB – образующая АВ = 12 см, АВО = 60° Найдите: 1) высоту и радиус основания конуса; 2) площадь его основания; 3) объём конуса; 4) площадь боковой поверхности конуса; 5) площадь полной поверхности конуса.	AO – высота, OB – радиус, AB – образующая АО = 18 см, АВО = 45? Найдите: 1) образующую и радиус основания конуса; 2) площадь его основания; 3) объём конуса; 4) площадь боковой поверхности конуса; 5) площадь полной поверхности конуса.

Ответы

 

Вариант   №	№ п/п Задача	1	2	3	4	5
1	1	12 см	25 см²	100 см³	65 см²	90см²
	2	20 см	400 см²	2800 см³	580 см²	980 см²
	3	6см,6см	36 см²	72см³	72 см²	108 см²
	4	18см, 18см	324 см²	1944 см³	324см²	324(1+) см²

II. Дополнительная информация о конусе.

1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности (рис. 6). Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает (рис. 7). Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

 

III.  Проверочная работа.

IV. Домашнее задание: конспект, задача

Контрольные вопросы:

 

1. Как найти площадь боковой поверхности конуса?

2. Что такое высота конуса?

3. Как найти объем конуса?

 

 

Вариант I	Вариант II
1. Контрольные вопросы
а) при вращении какого многоугольника можно получить конус?                                                                                                       б) что является осевым сечением конуса?
2. Решить задачу:
Радиус конуса равен r см, высота h см, образующая l  см. Найти площадь основания, боковую поверхность, полную поверхность и объем, если:
r = 4, h =3	l = 10, h =8

 

 

 

Практическое занятие №23

Тема: «Вычисление площади поверхности и объема шара».

 

 Цель работы: научиться применять на практике формулы для вычисления различных объемов и поверхностей.

Оборудование: модели, чертежи.

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

Теоретические сведения:

    Площадь поверхности шара:

     Объем шара:

     Площадь сферического сегмента: (H - высота сегмента).

     Объем шарового сегмента:

     Объем шарового сектора:

Ход работы:

I. Решение задач:

    1. Объем шара равен 36π. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар.

    2. Диаметр шара равен 24см. .Найдите площадь полной поверхности и объём шара.

    3. Площадь поверхности шара равна 144π. Найдите объем данного шара.

          4. В шаре радиуса 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81π см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

          3. На расстоянии 9 м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24π. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

          

 

 

Проблемная задача. При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.  Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Решение:

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара S₁ = 4пR², стала S₂ = 4пR²/9 = 4п (R/3)² = 4пr²

Видим, что r =R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V₁= 4/3 ПR³, а объем V₂= 4/3 пr³ = 4/3 п(R/3)³ =4/3 пR³ /27 = V₁ / 27.

Ответ: 27 .

 

II. Проверочная работа (заполнить таблицу).

III. Домашнее задание: формулы

 

Тема 9.  Декартовы координаты и векторы в пространстве.  

 

Практическое занятие № 24

Тема: «Действия над векторами».

 

Цели работы:  знать правила действия над векторами и уметь их применять при вычислениях.

 

Оборудование: чертежи

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим     векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.

 

Теорема. Вектор    имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда,  когда он представим в виде .

 

 

Ход работы:

 

I. Фронтальный опрос:

Вопросы	Ответы
Числа, которые определяют положение точки, называются …?	Координатами
Величина, которая задается своей длиной и направлением, называется …?	Вектором
Вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых, называются …?	Коллинеарными
Разностью векторов  и  называется …?	такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор
Чтобы найти координаты вектора нужно …?	из координат конца вектора вычесть координаты начала
При умножении векторов на число …?	все координаты вектора умножаются на это число
При сложении векторов …?	их соответствующие координаты складываются
Формула нахождения длины вектора ?
Формула нахождения координат вектора ?
Формула нахождения координаты середины вектора ?	).

II. Решение задач:

1. Легенда

У древних греков существовала легенда о созвездиях Большой и Малой Медведицы.

Всемогущий бог Зевс решил взять себе в жёны прекрасную нимфу Калисто, одну из служанок богини Афродиты, вопреки желанию последней. Чтобы избавить Калисто от преследований богини, Зевс обратил Калисто в Большую Медведицу, её любимую собаку – в Малую Медведицу и взял их на небо.

Таким образом, появились на небе созвездия «Большой и Малой Медведицы».

 

 

Задание

 

Постройте по координатам созвездие «Большой  Медведицы»:

(-7,5;0,5), (-5;1,5), (-1,5;1), (3:1), (2,5;-1), (-0,5;-1), (-1,5;1).

 

 2. Найдите расстояние между точками:

    а) А₁ (7; 4),  А₂ (3; 1).

    б) А₁ (3; 5),  А₂ (1; 1).

    в) А₁ (4; – 3),  А₂ (– 2; 5).

 

 3. Докажите, что D CDE, где  С (3; 4), В (6; 8), Е (10; 5) является равнобедренным.

 

III. Домашнее задание: конспект, задача

 

IV. Контроль знаний.

 

    

Вариант I	Вариант II
Постройте на координатной плоскости данные точки и последовательно соедините их отрезками:
1.      (4;-4). 2.      x=4, y= -1. 3.      y= -1, х= -5. 4.      абсцисса –5, ордината - 4. 5.      ордината – 1, абсциссой 2. 6.      (2;5). 7.      х=1, у=6. 8.      у=6, х= -2. 9.      (-3;5) 10. абсцисса -3, ордината -1.	(3; –3). х=2, у= –4. у= – 4, х= -2. абсцисса и ордината равны -3. y=5, x= -3. (-2;6). x=2, y=6   8.  (3;5).  абсцисса –3, ордината 1. ордината 1, абсцисса –1.

 

 

Практическое занятие №  25                                                                                                                      Тема: «Применение  векторов для решения задач».

 

Цели работы:  знать правила действия над векторами и уметь их применять при вычислениях.

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

 

Формула для нахождения координат середины отрезка:

 

                                                  В  

                                   С

                        А

 

 

 

                      А₁      С₁                   В₁        

                           х₁         х         х₂

 

   Координаты середины отрезка равны полусумме  координат его концов: если концы отрезка – A(x1; y1) и B(x2; y2), то координаты его середины –

.

Формирование новых знаний.

              у

                         А₁ (х₁;у₁)                                 1) Какие координаты у т. А, если Ð А₁АА₂ = 90°.

                                                                         2) АА₁ = |у₂ – у₁|

                                                                             АА₂ = |у₂ – у₁|

                                                                         3) По т. Пифагора

                                            А₂ (х₂;у₂)

                    А (х1;у2)                       

                                                            х

 

Составим уравнение окружности.

 

                                                                                   АО² = (х – а)² + (у – b)² = R²             

                                                         А(х; у)               О(а; b) – центр  

                                                                                   А(х; у) – точка окружности.

                                                                                   О(0; 0): х² + у² = R²

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Решение задач:

 

1.  Дано:

         

                                    Решение

1)   Находим координаты вектора

;        

2)   Затем находим координаты вектора 

3)   Теперь находим аналогично координаты вектора

4)   Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:

 

2.   Дано:

         

;   2).

                                    Решение

Первый случай

1)   Находим координаты вектора

;

2)   Затем находим разность векторов 

;

3)   Теперь находим  длину вектора :  

 

 

Второй случай

1)    Находим координаты вектора

;

2)   Находим координаты вектора

;

3)   Затем находим сумму векторов 

;

4)   Теперь находим  длину вектора :

 

 

 

Ответ:

 

. 3. Найдите расстояние между точками:

    а) А₁ (7; 4),  А₂ (3; 1).

    б) А₁ (3; 5),  А₂ (1; 1).

    в) А₁ (4; – 3),  А₂ (– 2; 5).

4.  Докажите, что D CDE, где  С (3; 4), В (6; 8), Е (10; 5) является равнобедренным.

5. а) Составить уравнение окружности с центром О (7; 11),  R = 5.

       (х – 7)² + (у – 11)² = 25

       О (– 3; – 4), R = 2

       (х + 3)² + (у + 4)² = 4 

    б) Составить уравнение окружности с центром в начале координат и R = 8.

     в) Определите координаты центра и R.

       (х – 2)² + (у – 5)² = 7²

       (х – 7)² + (у + 2)² = 25

 

III.  Проверочная работа:

 

 

Вариант I (уровень А)	Вариант II (уровень В)	Вариант III (уровень С)
1.      Найдите координаты вектора , если	1.      Даны векторы  и  Найдите координаты и длину вектора  .	1.      Даны векторы Найдите координаты вектора
2.      Даны векторы  и  Найдите координаты и длину вектора  .	2.      Даны векторы Найдите координаты вектора	2.      Найдите длину вектора , если
3.	3.      Найдите длину вектора  , если	3.   Из точки  построен вектор . Найдите координаты точки , если:

 

 

    

 

 

 

 

 

Практическое занятие № 26                                                                                                                 Тема: «Объёмы многогранников и тел вращения. Решение задач».

 

Цели работы:  развивать умение вычислять объёмы тел вращения, применяя изученные свойства и формулы; совершенствовать практические навыки вычисления объёмов многогранников и тел вращения в ходе решения задач.

 

Оборудование: модели, чертежи.

 

Ход работы:

1. Записать формулы для вычисления объёмов тел:

____________         ____________        _____________        ______________

  

________________     __________________            ___________________

2. Используя записанные формулы, вычислить объёмы многогранников и тел вращения:

 

Дано: цилиндр,                            Решение: r = 5см, h = 12.5 cм Найти: V                        Ответ  …………………….

а)

 

Дано:  конус              Решение: r = 3м, h = 7 м Найти: V                                          Ответ: ……………

б)

Дано:  шар                Решение: R = 2 см Найти:V                                   Ответ: ………………

в)

 

 

3.

 

Решение:

Ответ: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 10.  Основные формулы тригонометрии.

 

Практическое занятие №27

Тема «Основные формулы тригонометрии».

 

Цель работы: систематизировать знания, умения и навыки по теме; формировать навыки грамотно применять формулы при упрощении выражений, доказательстве тождеств, нахождении значения выражений; воспитывать чувство ответственности, трудолюбие.

 

Оборудование: справочники с формулами; карточки – задания

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

 

	0				1				0	-	-	-	-1	-	-	-	0
	1				0	-	-	-	-1	-	-	-	0				1
	0		1		не сущ	-	-1	-	0		1		не сущ	-	-1	-	0
	не сущ		1		0	-	-1	-	не сущ		1		0	-	-1	-	не сущ

 

 

 

-

-

-

-

tg

+

+

+

+

sin

+

+

-

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ход работы:

I. Решите примеры:

1.  Какому выражению  соответствует значение   ?

                  а)sin30; б) cos;    в) tg

2.  Выбрать возможный вариант.

                 а) sina  =;    б) cos a  = -2;   в) sin a   = -3,7.

3.  Какой из углов является углом II четверти?

                 а) ;    б) –145^° ;    в)

4. В каких четвертях sina    и   имеют разные знаки?

                   а) II и IV;   б) I и  III;   в) I и IV.

 

5.  Каким выражением можно заменить ?

         а) cos a ;     б) sina ;    в) - sina.

 6. Перевести из градусов в радианы и наоборот:   а)135^о;       б) ;      в) 225⁰;       г)

7.  Найдите значение выражения:

     а)2Sin + tg;                                             б) 2Sin – 2Cos;

    в) 5Sin – 4 Cos – tg45^о;                        г) 2 Sin – 2 Cos + tg – сtg.

 

II.   Проверочная работа

Вариант I	Вариант II
Вычислить с помощью формул приведения: ;              г)	Вычислить с помощью формул приведения ; ;

Практическое занятие №28

Тема «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»

 

Цель работы: систематизировать знания, умения и навыки по теме; формировать навыки грамотно применять формулы при упрощении выражений, доказательстве тождеств, нахождении значения выражений; воспитывать чувство ответственности, трудолюбие.

 

Оборудование: справочники с формулами; карточки – задания

 

Продолжительность работы: 2 академических часа

 

Теоретические сведения:

Основное тригонометрическое тождество:   

 Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции одного аргумента одну через другую.

 ;  ;  ; 

Тригонометрические формулы суммы  и разности аргументов.

;                     ;

;                      ;

;                                         

 Тригонометрические функции двойного аргумента:

;    ; 

Формулы понижения степени:

;                            

Тригонометрические функции половинного аргумента:

;                       

 

 

 Формулы универсальной подстановки:

;                          ;                   

 Преобразование суммы или разности тригонометрических функций в произведение

;                             

;                           

 Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму или разность.

;       

.

Ход работы:

 

I.   Работа устно:

 

      Найти значение выражения:

а), б), в)  (сделать вывод).

г) , д) , е)  (сделать вывод).

 

II.  Формирование умений и навыков.

 

      1.  Упростить выражение:      а) 5sin²x  - 5 + 5cos² + 2;     + cos; ;         (1-cos) (1+tg);          ;           

   ;        + tg ∙сtg . 

 

2. Дано:  cos x =   и    Найти остальные функции данного угла.

       3 . Найдите значение выражения: (tg  + сtg )– 2, при = –.

 4. Упростить выражение:   ;    

       5. Вычислить:   а)  sin80 + cos80;         б)  2sin 30 - sin 60сtg 45tg 30;

 

           в) ;   sin 45cos15  -  cos 45 sin 15 

 

III. Проверочная работа.

 

IV. Домашнее задание: конспект, формулы

 

Контрольные вопросы:

 

1.        Какие тригонометрические формулы вы знаете?

2.        Где они применяются?

    3.    Выберите формулу с ошибкой:

sin²x+cos²x=1

tg x=sin x /cos x

ctg x=cos x /sin x

tg x×ctg x=1

tg²x+1=1/sin²x

ctg²x+1=1/sin²x

     4.    В каких четвертях sina и  cosa  имеют разные знаки?

 

 

 

 

Вариант I	Вариант II
1.  Найти значение tg α, если sin α=0,6 и cos α=0,2. Ответ: tg α =3.	1. Найти значение tg α, если sin α=0,6 и cos α=0,2.
2.  Упростите выражение	2. Упростите выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 11.  Тригонометрические функции.

 

Практическое занятие № 29                                                                                                                        Тема: «Построение графиков тригонометрических функций».

Цель работы: закрепить знания о тригонометрических функциях; проверить знания свойств тригонометрических функций и умения построить график тригонометрических функций.

 

Оборудование: бумага (мм), карандаши разноцветные, линейка.

 

Теоретические сведения:

 

Свойства функции:

Во всех следующих свойствах считаем, что

-- возрастает на

-- убывает на

,

,

 

Вариант I     Построить графики тригонометрических функций в одной системе координат: у = sin x у = sin x + 2

Вариант II    Построить графики тригонометрических функций в одной системе координат: у = sin x у = sin x - 2

Вариант III Построить графики тригонометрических функций в одной системе координат: у = sin x у = sin x +1

Вариант IV    Построить графики тригонометрических функций в одной системе координат: у = sin x у = sin x - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие № 30                                                                                                                  Тема: «Построение графиков тригонометрических функций».

 

Цель работы: закрепить знания о тригонометрических функциях; проверить знания свойств тригонометрических функций и умения строить график тригонометрических функций.

 

Оборудование: бумага (мм), карандаши разноцветные, линейка.

 

Теоретические сведения:

 

	Свойства функции:
	Во всех следующих свойствах считаем, что
	-- возрастает на
	-- убывает на
	,
	,
Вариант №1     Построить графики тригонометрических функций в одной системе координат: у = соs x у = соs x - 1		Вариант №2    Построить графики тригонометрических функций в одной системе координат: у = соs x у = соs x + 1	Вариант №3 Построить графики тригонометрических функций в одной системе координат: у = соs x у = соs x -3		Вариант №4    Построить рафики тригонометрических функций в одной системе координат: у = соs x у = соs x - 2