Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Обобщение по теме"Иррациональные уравнения, методы решения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Обобщение по теме"Иррациональные уравнения, методы решения"

библиотека
материалов

Иррациональные уравнения, методы решения.

Определение: Иррациональное уравнение – уравнение, в котором под знаком радикала содержится переменная.

I. Способы, используемые непосредственно при решении иррациональных уравнений.

1. При решений иррациональных уравнений часто возможен переход к равносильному уравнению, системе или совокупности. Если все сделанные преобразования равносильны, то последующая проверка корней не обязательна и может быть проведена только с целью контроля безошибочности решения.

Решить уравнениеhello_html_m6cf79f9.gif

Перейдём к равносильной системе:hello_html_m1c0718ec.gif

Все сделанные преобразования равносильны.

Ответ:1.

К основным равносильным переходам относится: возведение в квадрат, если правая часть – число или уравнение содержит один радикал.

hello_html_m4dd119be.gif

Если b<0, то это уравнение не имеет решений.

Уравнение hello_html_2151fc57.gif



2.Уединение радикала и возведение в степень.

hello_html_m53d4ecad.gif hello_html_m1b16d90.gif

hello_html_m53d4ecad.gif hello_html_29bd47fe.gif

hello_html_m53d4ecad.gif-1 удовлетворяет ОДЗ.

hello_html_m53d4ecad.gifОтвет: -1.



3.Переход к системе уравнений.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4b11f8c.gif

hello_html_m53d4ecad.gifСумма двух неотрицательных выражений равна нулю, в том и только том случае, если каждое слагаемое равно нулю.

hello_html_7fe1d359.gif

Ответ: нет корней.



4. Выделение квадрата двучлена.

hello_html_m4f1d0d91.gif

Верно для любого х из ОДЗ.

hello_html_342274a1.gif

Ответ: [1;+∞).



5.Уравнения, содержащие кубические радикалы.

hello_html_60b9fef1.gif

hello_html_5e91e012.gif

hello_html_4a05683a.gif

hello_html_m7af27c9e.gif

hello_html_693ee15e.gif

hello_html_461fb687.gif

Ответ:4;-5.



6. Умножение на сопряженное.

Определение: Сопряженным множителем для выражения, содержащего радикалы, считается такое, отличное от нуля выражение, при умножении на которое первого получается выражение, не содержащее корни.

hello_html_4a46e5f7.gif

Решить уравнение:

hello_html_m12428a9f.gif

hello_html_4b8a2b52.gif

hello_html_m8df6a4c.gif

hello_html_307b924a.gif

hello_html_m3f4e0fa7.gif

hello_html_a7c6949.gif

hello_html_2e3a3be0.gif



Ответ:hello_html_37a7dd04.gif

7. Уравнения вида hello_html_7f88898c.gif

hello_html_m537e4554.gif

Решить уравнение:hello_html_4e45173e.gif

Заметим, что сумма выражений, стоящих под радикалами в левой части, равна выражению, стоящему под радикалом в правой части. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности систем:

hello_html_m6eb3a1a0.gif

Первая система не имеет решений, решив вторую, найдём: х=1.

Ответ: 1.

II. Использование общих способов решения уравнений при решении иррациональных уравнений.

1.Способ замены.

hello_html_3b2e426b.gif

х=76.

Ответ: х=76.



2. Тригонометрическая замена переменной.

Решить уравнение hello_html_m7caae623.gif

Левая часть имеет смысл при |x|≤1. Сделаем замену переменной. Пусть x=sin y. Уравнение примет вид hello_html_282a3494.gif

Полученное равенство возможно лишь при hello_html_m7795a122.gif

Ответ: hello_html_m77ad6f2.gif



3. Разложение на множители.

hello_html_m39354e76.gif

hello_html_m3af4e0cd.gif

Ответ: 0;5



III. Использование свойств функций.

1. Использование ОДЗ.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений или найти решения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

hello_html_me19bd86.gif

Система не имеет решений. Ни одно число не является решением уравнения.

Ответ: нет решений.


2. Использование ограниченности функции.

Определение: Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке J,который принадлежит области определения функции, если существует такое число М, что f(x) М, (f(x)М) для любого x, принадлежащего промежутку J.

hello_html_m7c33f46.gif

Рассмотрим функцию hello_html_m69ae1b41.gif. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, наибольшее значение принимает в вершине.

hello_html_m36a0f157.gif

Наибольшее значение левая часть уравнения (2) достигает в х=-1, оно равно 4.

Наименьшее значение правой части уравнение (2) достигает при х= -1.

Рассмотрим функцию hello_html_5d9d80cf.gif

hello_html_72a358a6.gif

При х-1 левая часть на своей области допустимых значений меньше правой, значит, х=-1.

Ответ:-1.


3. Монотонность функции.

Если f(x) и g(x)непрерывные на J и f(x) возрастает, а g(x) убывает на J, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.

Если f(x) непрерывная монотонная функция на промежутке J, то уравнение f(x) =С , где С – константа, имеет не более одного решения.

Решить уравнение

hello_html_2dc6670c.gif

Функции hello_html_392ba7a0.gif непрерывны и убывают, следовательно,

hello_html_7adcd7c2.gifнепрерывна и убывает. Каждое своё значение принимает только в одной точке. Легко заметить, что h(2)=2, значит, х=2 – единственный корень.

Ответ:2.

Теорема о монотонных функциях.

Если y=f(x) монотонно возрастает, то уравнение f(f(x))=x равносильно уравнению f(x)=x.

Решите уравнение hello_html_m58dba6ff.gif

Рассмотрим функцию hello_html_m27cfa2ef.gif

Функция монотонно возрастает на D(f)=[0;+∞). Исходное уравнение имеет вид hello_html_29cd1a9a.gif. В силу возрастания функции оно равносильно уравнению f(x)=x, то есть hello_html_m4a0c8074.gif

hello_html_6577a36b.gif

Ответ:4

4. Использование графиков функций.

Строятся эскизы графиков, что помогает выяснить, на какие промежутки надо разбить ось Х, чтобы на каждом из них решение уравнения было очевидным. График помогает найти решения, но ответ надо обосновать.

Решите уравнение hello_html_5609e8a0.gif

ОДЗ:=-2 х 2.

Сhello_html_7e9b3592.gifhello_html_m1efacbb4.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m311f0002.gifhello_html_m311f0002.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_m34a5e3da.gifhello_html_210b1f55.gif

hello_html_m17ad9e3f.gif

hello_html_3852332e.gif

Х

У

0 1

делаем эскизы графиков функцийhello_html_74c838f2.gif.



















Проведём прямую у=2. График f(x) лежит выше прямой у=2. График g(x) лежит ниже прямой у=2. Эти графики касаются прямой у=2 в различных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это.

Для х[-2;2] hello_html_m4f464e96.gif.

f(x)=2 при x=-1, g(x)=2 при x=1.

Значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.



Комплексные уравнения.

Решите уравнения.



hello_html_7006e157.gif

hello_html_m61934153.gif

hello_html_5753ba01.gif

Проверка:

hello_html_c1a445f.gif- посторонние корни, так как правая часть меньше 0.

hello_html_28370e65.gifобращает в отрицательное значение hello_html_4b131a33.gif.

x=3 обращает уравнение в верное равенство.

Ответ:3

hello_html_m34954eb2.gif

hello_html_m1518b53d.gif

hello_html_m3f80f770.gif

hello_html_m2bee5060.gif

Ответ:hello_html_1294f5ce.gif.

hello_html_m74bebf31.gif

hello_html_39fe29e1.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_32b6bf32.gif

hello_html_463c8e5a.gif

Ответ: hello_html_m460d27c0.gif.

Задание для самоподготовки

I.Решите уравнения:



hello_html_m2624363f.gif

II.Решите системы уравнений:



1).hello_html_769b54d2.gif 2).hello_html_5b48305b.gif 3).hello_html_m359cfd10.gif

4).hello_html_m79b083c9.gif 5).hello_html_m44ea824e.gif 6).hello_html_8447109.gif

7).hello_html_m4e2711bf.gif 8).hello_html_37c38f7d.gif

Ответы:

I. 1)2; 2)-1; 1; 3)нет корней; 4)2; 5)-2; 6)4; 7)нет корней;8)1; 9) нет корней; 10)[3; +∞); 11)5; 12)нет корней; 13)hello_html_m3d4efe4.gif; 14)1; 15)76; 16)3; 17)7; 18)hello_html_74ac4ca9.gif; 19)hello_html_m2f1c9ee9.gif;20)-5;2; 21)нет корней; 22)hello_html_m473f5ae7.gif (умножение на сопряженное);23)1 (графический); 24)0;3 (графический);25)2 (ограниченность функции);26)1 (монотонность функции); 27)hello_html_m4958a91f.gif; 28)2(выделение квадрата двучлена); 29) –1;5(разложение на множители); 30)-1; 31)3; 32)hello_html_5b4802c.gif33)-3;5; 34)-4;2; 35)hello_html_ff0799b.gif.

II. 1)hello_html_7b76f3ac.gif3)(1;1); 4)(81;1),(1;81); 5)(0;0),(-3;1), (6;1), (3;2); 6)hello_html_6c5121f1.gif;7)(-4;-0,6); 8)(2;-1).



Краткое описание документа:

Показаны возможные методы решения иррациональных уравнений:

Способы, используемые непосредственно при решении иррациональных уравнений.

Использование общих способов решения уравнений при решении иррациональных уравнений.

Использование свойств функций.

Данная разработка может помочь ученику при подготовке к итоговой аттестации в 11 классе, так же учителю при изучении данной темы и при организации повторения.Разработка содержит теоретический материал и примеры на использование каждого метода решения иррационального уравнения. Содержится подборка иррациональных уравнений и систем иррациональных уравнений с ответами.

Автор
Дата добавления 01.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров331
Номер материала 165412
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх