Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Презентация по Алгебре и Началам Анализа
На тему: «Функция y=cos x»
»Просмотр«
2 слайд
Функция y=cos x, её свойства и график
График функции y=cos x
Свойства функции y=cos x
Периодичность функции y=cos x
Построение графика функции y=mf(x), где f=cos x
Построение графика функции y=f(kx), где f=cos x
3 слайд
y
x
0
П
-П
1
y=cos x
4 слайд
Свойства функции y=cos x
1. D (f)= (- ∞;+ ∞)
2. y=cos x – четная функция
3. Функция убывает на отрезке [0; П], возрастает на отрезке [П; 2П] и т. д.
4. Функция ограничена сверху и снизу
5. yнаим. = -1(этого значения функция достигает в любой точке вида x = П+2Пk); yнаиб. = 1 (этого значения функция достигает в любой точке вида x = 2Пk)
6. E (f)= [-1; 1]
7. Период функции y=cos x равен 2Пk
5 слайд
Периодичность функции y=cos x
Определение.
Функцию y=f(x), x є X, называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из множества X выполняется двойное равенство
f(x-T)=f(x)=f(x+T)
Число T, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y=f(x).
Отсюда следует, что, поскольку для любого x справедливo равенствo
cos(x-2П) = cos x = cos(x+2П),
функция y=cos x является периодической и число 2П служит периодом для этой функции.
Вывод:
Если функция y=f(x) имеет период T, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь(волну, часть) графика на любом промежутке длины T(чаще всего берут промежуток с концами в точках 0 иT или – T/2 и T/2), а затем сдвинуть эту ветвь по оси x вправо и влево на T, 2T, 3T и т.д.
6 слайд
Любое число вида 2Пk, где k=±1, ±2, ±3, … ,является периодом функции y = cos x ; 2П – основной период этой функции.
Пример
Основной период функции y=cos kx равен 2П/k
7 слайд
Найти основной период функции y=cos 0,5 x
Р е ш е н и е:
Пусть T – основной период функции y=cos 0,5x. Положим f(x)=cos 0,5x. Тогда
f(x+T)= cos 0,5(x+T)=cos (0,5x+0,5T)
Чтобы число T было периодом функции, должно выполняться тождество cos(0,5x+0,5T) = cos0,5x.
Значит, 0,5T = 2Пn. Но, поскольку речь идет об отыскании основного периода, получаем 0,5T = 2П, T = 4П
Ответ: T = 4П
8 слайд
Как построить график функции y=mf(x), если известен график функции y=f(x), где m≠0
Пример: Построить график функции y=-1,5cos x
Решение: 1) Построим график функции y=cos x, точнее, одну полуволну графика(пунктирная линия на рисунке 1).
2) Осуществим растяжение построенного графика от оси x с коофицентом 1,5; получим одну полуволну графика функции y=1,5cos x (тонкая линия на рис. 1)
3) Подвергнем построенную полуволну графика функции y=1,5cos x преобразованию симметрии относительно оси x; получим полуволну графика функции y=-1,5cos x (она выделена на рис. 1)
4) С помощью построенной полуволны получаем весь график функции y=-1,5cos x (рис. 2)
Рисунок 1
Рисунок 2
9 слайд
y
0
П
-П
1
1,5
X
П2
-1,5
10 слайд
П2
-2П
-3П
3П
2П
-П 2
y
0
П
-П
1
1,5
X
-1,5
11 слайд
Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x), где k≠0
Рассмотрим несколько случаев.
Задача №1
Задача №2
Задача №3
12 слайд
Зная график функции y=f(x), построить график функции y=f(kx), где k – положительное число, и k=2
Пусть на графике функции y=f(x) имеются точки (4; 7) и (-2; 3). Это значит, что f(4)=7 и f(-2)=3. Если x=2, то y = f(2x) = f(2*2) = f(4) = 7. Значит, на графике функции y= f(2x) есть точка (2; 7). Далее, если x= -1, то y = f(2x) = f(-1*2) = f(-2) = 3. Значит, на графике функции y=f(2x) есть точка (-1; 3). Итак, на графике y=f(x) есть точки (4; 7) а на графике y=f(2x) есть точки (2; 7) и (-1; 3), т. е. точки с той же ординатой, но с абсциссой в два раза меньшей (по модулю). Так же обстоит дело и с другими точками графика функции y-f(x), когда мы переходим к графику функции y-f(x) (рис. 1). Такое преобразование называют сжатием к оси ординат с коофицентом 2.
Рисунок 3
Пример
13 слайд
y
0
X
-1
4
2
-2
3
7
y=f(2x)
y=f(x)
14 слайд
Построить график функции y=cos 2x
Решение:
Построим полуволну графика функции y=cos x (пунктирная линия на рис. 4) и осуществим её сжатие к оси y с коофицентом 2; получим одну полуволну искомого графика функции y=cos 2x (рис.4). Затем построим весь график (рис. 5)
Рисунок 4
Рисунок 5
y=cos 2x
0
1
П4
П2
3П 4
-П 2
П4
П2
1
0
-3П 4
15 слайд
Зная график функции y=f(x) построить график функции y=f(kx), где k=-1.
Речь идет о построении графика функции y=f(-x). Предположим, что на графике функции y=f(x) есть точки (3; 5) и (-6; 1). Это значит, что f(3)=5, а f(-6)=1, Соответственно на графике функции y=f(-x) имеется точка (-3; 5), т. к. при подстановке в формулу y=f(-x) значения x=-3 получим y=f(3)=5. Аналогично убеждаемся, что графику функции y=f(-x) принадлежит точка (6; 1).
Итак, точке (3; 5), принадлежащей графику функции y=f(x), соответствует точка (-3; 5), принадлежащей графику функции y=f(-x); точке (-6; 1), принадлежащей графику функции y=f(x), соответствует точка (6; 1), принадлежащей графику функции y=f(-x). Указанные пары точек симметричны относительно оси y (рис. 6)
Обобщая эти рассуждения, приходим к следующему выводу: график функции y=f(-x) можно получить из графика функции y=f(x) с помощью преобразования симметрии относительно оси y.
З а м е ч а н и е. Если речь идет о построении графика функции y=f(-x), то обычно проверяют, является ли функция y=f(x) четной или нечетной. Если y=f(x) - четная функция, то график функции y=f(-x) совпадает с графиком функции y=f(x). Если y=f(x) – нечетная функция, то вместо графика функции y=f(-x) можно построить график функции y=-f(x) .
Рисунок 6
16 слайд
y
0
1
5
6
3
-3
-6
y=f(x)
y=f(-x)
17 слайд
Зная график функции y=f(x), построить график функции y=f(kx), где k – отрицательное число.
При k<0 справедливо равенство f(kx) = f(-|k|x). Значит, речь идет о построении графика функции y=f(-|k|x). Это можно сделать в три шага:
Построить график функции y=f(x);
Осуществить его сжатие (или растяжение) к оси y с коофицентом |k|;
Сжатый (или растянутый) график подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси y.
Пример
18 слайд
Построить график функции y=-3cos(-2x).
Р е ш е н и е:
Заметим прежде всего, что cos(-2x)= cos2x.
Построим график функции y=cos x, точнее, одну полуволну графика (рис. 7. Все предварительные построения обозначены пунктирными линиями)
Осуществим растяжение построенного графика от оси x с коофицентом 3; получим одну полуволну графика функции y=3cosx.
Подвергнем построенную полуволну графика функции y=3cosx преобразованию симметрии относительно оси x; получим полуволну графика функции y=-3cosx.
Осуществим для полуволны графика функции y=-3cosx сжатие к оси y с коофицентом 2; получим полуволну графика функции y=-3cos2x (рисю7, сплошная линия).
С помощью полученной полуволны построим весь график (рис. 8)
Рисунок 7
Рисунок 8
19 слайд
y
0
П
-П
1
X
П2
3
-1
-3
y=-3cos x
20 слайд
y
0
П
-П
1
X
П2
3
-1
-3
y=-3cos (-2x)
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Презентация на тему " Функция у = соs х" состоит из 20 слайдов.
Рассматриваются следующие вопросы тригонометрии:
- график функции у = соs х;
- свойства функции у = соs х;
- периодичность функции рассмотрена с отдельными примерами, дано определение периодической функции, выводы, приводится пример нахождения периода функции у = cos 0,5 x ;
- построение графика функции у = mf(x) гле f(x) = cos x ;
- построение графика функции у = f(kx) гле f(x) = cos x.
В данной презентации приводятся иллюстрации и примеры ко всем вышеперечисленным вопрсам.
Тема рассчитана на учащихся 10-11 классов.
6 664 254 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Юстус Татьяна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.