Алгебраические
уравнения высших степеней с параметрами
· Ермакова Татьяна Петровна, учитель
математики
Разделы: Преподавание
математики
1.1. Общая
методическая концепция решения уравнений с параметрами
Пусть дано уравнение F(x, a)
= 0, (1)
если ставится задача для
каждого значения а А решить уравнение (1) относительно х,
т.е. получить уравнение
х = f(a), (2)
то уравнение (1) называется
уравнением с неизвестным х и параметрома. А – область
изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел.
Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из
уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по
некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное
уравнение на каждом из них. Значенияа называются контрольными.
1.2. Использование
параметра как равноправной переменной
Некоторые уравнения бывает
целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно
параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной.
Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной
относительно высока, а степень параметра равна двум.
Пример 1. Решить уравнение с
параметром.
2x3 –
(а+2)х2 –
ах + а2 =
0 (1)
Решение: Данное уравнение
можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:
а2 –
х(х+1)а – 2х2 +
2х3 =
0 (2)
Найдем дискриминант D.
D = х2 (х+1)2 – 8(х3 – х2)
= х4 -
6х3 +
9х2 =
х2(х2 - 6х
+ 9) = х2(х - 3)2.
D = х2(х
- 3)2
Найдем корни уравнения (2).
; а2 = 2х.
Получим уравнение (а – х2 +
х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь
равносильно совокупности
Рассмотрим уравнение х2 – х –
а = 0, D = 1 – 4а.
D = 0 при а = -1/4 один
корень х = 1/2
D < 0 при а < - 1/4
корней нет
D > 0 при а > -1/4 два
корня
Рассмотрим уравнение х = а/2,
при а = -1/4, х = -1/8.
Выбираем ответ.
Ответ: при а >
-1/4 три корня: х1 = а/2,
при а = -1/4 два
корня: х1 = -1/8; х2 = ½
при а < - 1/4 один корень:
х = а/2.
Упражнения
Решить уравнения.
1.
2x4 –
(а+2)х3 –
(а – 1)х2 +
(а2 –
1) = 0;
2.
x4 + 6х3 + (4
– 2а)х2 –
(6а + 1)х + а2 + а =
0;
3.
х3 + (2а
– 3)х2 +
(а2 –
4а + 2)х – а2 +
2а = 0;
4.
х3 - (2а
+ 3)х2 +
(а2 +
4а + 2)х – а2 –
2а = 0.
1.3. Графический
способ решения уравнений с параметрами
Взгляд на параметр как на
равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом
деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно
можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная
плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.
Пример 1. В зависимости от
параметра а определить число корней
уравнения.
x4 – 10х3 – 2(а
- 11)х2 +
2(5а + 6)х + 2а + а2 =
0;
Решение. Рассмотрим это
уравнение как квадратное относительно а.
а2 +
2а(1 + 5х – х2) +
(х4 –
10х3 +
22х2 +
12х) = 0;
Найдем дискриминант
D/4 = 1 + 25х2 + х4 + 10х
– 10х3 –
2х2 –
х4 +
10х3 –
22х2 –
12х = х2 –
2х +1 = = (х – 1)2
Найдем а1 и а2 ; а1 = х2 -5х –
1 + х – 1 = х2 - 4х
– 2;
а2 = х2 -5х –
1 - х + 1 = = х2 – 6х.
Теперь обращаемся к
координатной плоскости (х; а).
х2 - 4х
– 2 = х2 –
6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.
Ответ: если а < -9, то нет
решений;
если а = -9, то одно решение;
если -9 < a < -6, то два решения;
если а = -6 или а = -5, то три решения;
если -6 < а < -5 или а > -5, то четыре решения.
Упражнения
Найти все значения параметра
а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.
1.
(х2 –
12а)2 –
24х2 +
32х + 96а = 0;
2.
(2х2 – а)2 – 24х2 + 16х
+ 4а = 0;
3.
(2х2 – а)2 = 13х2 + 6х
– 2а = 0.
1.4. Использование свойств
функций для решения алгебраических уравнений
На
выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром,
решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение
четности функции.
Определение. Функция
f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения
этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У
четной функции область определения симметрична относительно начала координат.
Пример 1. Может ли при
каком-нибудь значении а уравнение
2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2 = 5
иметь 5 корней?
Решение. Обозначим f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2.
f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 –
тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число
корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не
может.
Ответ: не может.
Пример 2. При каком
значении а уравнение х10 –
а|х| + a2 –
а = 0 имеет единственное решение?
Решение.
Обозначим f(x) = х10 –
а|х| + a2 –
а, f(x) – функция четная,
поэтому, если х0 – корень
данного уравнения, то – х0 –
тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х0 = 0.
В этом случае из уравнения получим: a2 – а =
0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,
при а = 0, х10 = 0,
т.е. х = 0 единственное решение.
при а = 1, х10 - |x|
= 0. Корнями являются числа ± 1, 0.
Ответ: при а = 0 уравнение
имеет единственное решение.
Упражнения
1.
Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х6 – х4 – ах2 = 1
иметь три корня?
2.
Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х6 – 2ах4 + 3х2 = 4
иметь пять корней?
3.
При каком значении а уравнение имеет единственное решение?
1.5. Метод замены
Как мы уже знаем, что
рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной.
Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые
приводят как раз к быстрому решению уравнений.
Пример 1. Решить уравнение (х
+ 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а2х2,
где а – параметр.
Решение. Данное уравнение
относится к уравнению вида
(х + а)(х +b)(х + c)(х + d) =
Eх2 (см.
п. 2.5 (3))
Используя специфику решения
такого уравнения, будем иметь:
(х2 +
14ах +24а2)( х2 +
11ах +24а2) = 4а2х2
Если а = 0, то х = 0.
Обратно, если а ≠ 0, то х ≠
0.
Разделим обе части этого уравнения на а2х2,
будем иметь
В полученном уравнении
сделаем подстановку и получим
уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у2 + 25у
+ 150 = 0, у1 =
- 15, у2 =
- 10.
Таким образом, получим два
уравнения
и
Решим второе уравнение х2 +
10ах + 24а2 =
0, D = 4a2
х3 = -6а,
х4 =
-4а
Ответ: если а = 0, то х = 0
если а ≠ 0, то х1,2, х3 =
-6а, х4 =
-4а
Упражнения
1.
Найдите все действительные значения величины а, при которых уравнение х(х +1)(х + а)(х + 1 + а) = а2 имеет
четыре действительных корня.
2.
Решить уравнение х4 + а4 – 3ах3 + 3а2х
= 0.
3.
При каких значениях а уравнение (х2 – 2х)2 - (а
+ 2)(х2 –
2х) + 3а – 3 = 0 имеет четыре корня?
4.
Решить уравнение (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) = 3а4
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.