- 14.05.2015
- 2264
- 32
V Международная научно-практическая конференция учащихся и студентов «Первые шаги в науку - 2015»
Направление: математика
Название работы:
Оптимальное обтекание прямоугольника
Автор работы
Евдокимов Илья Васильевич, 9 класс
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №18»
Место выполнения работы г.Бийск
Педагог-руководитель
Волчёк Наталия Львовна
учитель математики МБОУ «СОШ № 18»
1. Поиск оптимальной вписанной в прямоугольник фигуры 3
2. Поиск оптимальной описанной около прямоугольника фигуры 5
3. Результаты вычислительного эксперимента на основе построенных моделей 7
Содержание:
Приложения 10
Введение
В настоящее время в нашей стране большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности и качества во всех сферах производства. В этой связи особую значимость приобретает умение решать так называемые задачи на оптимизацию, которые возникают там, где необходимо выяснить как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и
т.п. Однако, известные в математике дифференциальные приемы для решения подобного рода задач не всегда применимы для исследования геометрических соотношений между фигурами. Так как задачи на оптимизацию имеют важное значение в нашей жизни, мы решили найти наиболее оптимально обтекаемую прямоугольник фигуру. Таким образом, выявилось противоречие между необходимостью найти фигуру, имеющую площадь максимально близкую к площади прямоугольника и отсутствием учебных исследований в данной области.
Преодоление противоречия определяет проблему исследования, которая заключается в отыскании новых вписанных в прямоугольник и описанных около прямоугольника фигур имеющих площадь максимально близкую к площади прямоугольника. Решение выдвинутой проблемы составляет цель работы.
Объект исследования – геометрические фигуры, вписанные в прямоугольник и описанные около прямоугольника.
Предмет исследования – площадь вписанных в прямоугольник и описанных около прямоугольника фигур.
Гипотеза исследования: существуют фигуры, площадь которых будет максимально близка к площади прямоугольника Задачи исследования:
- изучить признаки и свойства прямоугольника в различных пособиях и на сайтах;
- построить свои, неизвестные ранее фигуры, вписанные в прямоугольник и описанные около прямоугольника, площадь которых будет максимально близка к площади прямоугольника.
Методы исследования: теоретический анализ специальной литературы по изучаемой теме, анализ, синтез и обобщение.
Исследование проводилось на протяжении нескольких этапов:
Ø предварительный этап: изучение и анализ литературы по теме исследования, определение объекта и предмета исследования; формулирование гипотезы и задач, отбор методов исследования.
Ø теоретико-экспериментальный этап: отыскание новых вписанных в прямоугольник и описанных около прямоугольника фигур имеющих оптимальную площадь и анализ их оптимальности во время математического эксперимента.
Ø описательно-итоговый этап: анализ работы, обобщение и систематизация полученных результатов, оформление проведенного исследования.
Новизна исследования заключается в предмете исследования, которым выступают новые вписанные в прямоугольник и описанные около прямоугольника фигуры, имеющие оптимальную площадь.
Практическое значение состоит в систематизации теоретических положений о прямоугольнике.
Полученные нами выводы могут быть использованы учениками средних и старших классов для расширения списка способов решения задач; учителями математики школ Алтайского края при совершенствовании навыка решения геометрических задач и осуществлении внеклассной работы по предмету.
Поставим перед собой
задачу: найти вписанную в зафиксированный прямоугольник фигуру наибольшей
площади. Рассмотрим несколько претендентов. Зафиксируем параметры
прямоугольника. Пусть прямоугольник имеет стороны длиной а и b, причем 
.
Впишем треугольник внутри прямоугольника так, чтобы одна
сторона треугольника совпадала со стороной прямоугольника (см. рис 1). Рис
1 Тогда для расположения третьей вершины Е треугольника возможны следующие
случаи.
1) Е
АВ, 2) ЕСD (то есть вершина Е лежит на соседней с
основанием стороной), 3) ЕСВ. Ясно, что первые два случая не удовлетворяют
нашей задаче т. к. высота треугольника будет меньше соответствующей высоты
прямоугольника. В третьем случае высота прямоугольника
совпадает с высотой треугольника и площадь 
из этого следует,
что 
. Получается, что 
.
Узнаем сколько процентов площади прямоугольника, занимает
вписанный эллипс (см рис 2). Рис 2
Наибольшую площадь
эллипс будет иметь тогда, когда он касается сторон прямоугольника в их
серединах и оси эллипса параллельны сторонам прямоугольника. Этот факт мы
планируем доказать в дальнейшей работе. Полуоси эллипса 
, тогда
Получается,
что 
Впишем в
прямоугольник ромб так, чтобы его вершины были серединами сторон прямоугольника
и сравним их площади (см рис
3). 
,
. Рис
3
Так как в
произвольный прямоугольник нельзя вписать окружность, то впишем “каплю”.
Рассмотрим для простоты сначала частный случай расположения. Пусть b=1,5a и
вершина “капли” - точка К является серединой стороны прямоугольника (см рис 4)
Такое соотношение между сторонами прямоугольника нужно для того, чтобы угол
между отрезками касательных, проведенных из точки К был равен 600.
. Рис
4
По свойству касательной
треугольник ОКF прямоугольный с углом в 300. Тогда по теореме
Пифагора 
Так как 
, то 
. Следовательно, 
Изменим положение вершины “капли”, переместив её в одну из вершин прямоугольника
(см рис 5). При таком расположении “капли” в прямоугольнике её площадь, возможно, будет больше. Проведем вычисления для произвольного прямоугольника, где
b
1,5а. OK
Обозначим 
DOK=
из прямоугольного ∆ODK (
K=90o по свойству
касательной) 
S
Sкапли=2S∆ODK+Sкруга-Sсектора
Sсектора=2Sсектора1
Sкапли=
Рис
5
Анализ оптимальности описывания около этой фигуры прямоугольника будет проходить в главе 3 во время компьютерного эксперимента.
Поставим перед собой задачу: найти описанную около зафиксированного прямоугольника фигуру наименьшей площади. Рассмотрим несколько претендентов. В поисках оптимального обтекания прямоугольника со сторонами a и b, опишем около него окружность и сравним площадь прямоугольника и описанного круга (см рис 6). Тогда
Sпрямоуг=ab, по теореме Пифагора 
Анализ оптимальности описывания этой фигуры около прямоугольника будет проходить в главе 3 во время проведения
компьютерного эксперимента. Рис 6
Зафиксируем параметры прямоугольника. Пусть AB=2a, BC=2b.
Опишем около прямоугольника 4 окружности так, что прямые, содержащие диагонали AC и BD являются их общими касательными. Получим фигуру, пригодную для геометрического анализа на оптимальность обтекания. На рисунке она выделена жирной линией.
(см рис 7) Рис 7
В главе 3 эта фигура для простоты названа фигурой А или
криволинейным четырёхугольником.
По свойству касательной, радиусы, проведенные в точку
касания, XK и KY будут перпендикулярны к общей касательной BD. Получим, что
точки X, K и Y лежат на одной прямой. Так как получившаяся фигура обладает
центральной и осевой симметрией, то XYZT является ромбом. Найдём
радиусы окружностей, которые являются попарно равными.
Обозначим KY=NY=R1 , XM=XK=R2, тогда по теореме Пифагора OX2+OY2=XY2, (b+R2)2+(a+R1)2=(R1+R2)2 b2+2bR2+R22+a2+2aR+R12=R12+2R1R2+R22, следовательно, b2+2bR2+a2+2aR= 2R1R2
2)KOY=X=
=>∆ONB подобен ∆XOY=>
. Получим b2+bR2=a2+aR1
(см рис 8) Рис 8
Из выведенных выше равенств составим систему уравнений
и решим её.
b
3a2b-b3+4abR1=2a2R1+2aR12-2b2R1
2aR12-2b2R1+2a2R1-4abR1-3a2b+b3=0 2aR12+(2a2-2b2-4ab)R1-3a2b+b3=0
D1=k2-ac=(a2-b2-4ab)2-2a(b3-3a2b)=a4+b4+4a2b2-4a3b-2a2b2+4ab3-2ab3+6a3b=
=a4+b4+2a2b2+4ab3-2ab3+6a3b=a4+b4+2a2b2+2a3b+2ab3=(a2+b2)2+2ab(a2+b2)=
=(a2+b2)(a2+b2+2ab)=(a2+b2)(a+b)2
0 Возьмем
для определённости R1<R2
R
,
R
.
Найдём площади фигур Sпрямоуг=2a
2b=4ab
Sромба
Sсектора
Так как из ∆OBN 
, аналогично, 
Sсектора2
, Sсектора1
Sфигуры=Sромба-4Sсектора1-4Sсектора2
Анализ оптимальности описывания этой фигуры около прямоугольника будет проходить в главе 3 во время проведения компьютерного эксперимента.
Рассмотрим площадь другого претендента на оптимальное описание около прямоугольника. Обозначим середины сторон прямоугольника ABCD точками X,Y,Z и T
соответственно. Проведём
дуги:
1) AD с центром в точке Y;
2)AB с центром в точке Z;
3)BC с центром в точке T; 4)CD с центром в точке X.
Полученная фигура является замкнутой (см рис 9). Рис 9
В главе 3 эта фигура для простоты названа фигурой Б.
Оценим её на оптимальность описания. Пусть AB=2a; BC=2b, тогда радиусы дуг AD и
BC равны AY
. Из теоремы косинусов 
, Sсектора
, Sсектора
Радиусы дуг AB и CD равны AZ
Из теоремы косинусов 
, Sсектора2
Sфигуры= 2Sсектора1+2Sсектора2 -Sпрям
Анализ полученной формулы проведём используя MSExel в 3 главе.
Для того чтобы оценить
соотношение площади прямоугольника и площадей полученных фигур, составим в
MSExel программу для их сравнения (см файл Соотношение площадей прямоугольника
и разных фигур.xlsx). Так как значения a и b не зависят друг от друга, то чтобы
оценить отношение площадей фигур описанных нами в предыдущих главах зафиксируем
b=1 
и
будем менять значения a
[1;5] с шагом 0,1. При таких условиях напишем
программу вычисления площадей фигур и их соотношений в MSExel.
Таблица 1 (см. приложение 1) иллюстрирует соотношение площади прямоугольника и вписанной капли. Из таблицы 1 следует, что отношение площади капли к площади прямоугольника принадлежит промежутку [15%;78,54%], причем наибольшее значения этого отношения достигается при в=а, т.е. если капля вписана в квадрат.
Итак, проанализировав полученные нами результаты, выраженные в процентном соотношении к площади зафиксированного прямоугольника, можем сделать предварительный вывод. Фигура с наибольшей площадью, которую нам удалось вписать в прямоугольник, является эллипс. Его площадь составляет примерно 78.5% от площади прямоугольника. Такие же результаты мы получили при вписании капли в частный вид прямоугольника – квадрат.
Таблица 2 (см. приложение 2) иллюстрирует соотношение площади прямоугольника и описанного около него круга. Из таблицы 2 следует, что отношение площади прямоугольника к площади круга принадлежит промежутку [24,5%; 63,66%], причем наибольшее значения
этого отношения достигается при в=а, т.е. если круг описан около квадрата.
Таблица 3 иллюстрирует соотношение площади прямоугольника и фигуры А или криволинейного четырёхугольника (см рис 7), описанного около прямоугольника. Из таблицы 3 (см. приложение 3) следует, что отношение площади прямоугольника к площади криволинейного четырёхугольника принадлежит промежутку [80%; 85,7%], причем наибольшее значения этого отношения достигается при достаточно большой разнице между измерениями прямоугольника.
Таблица 4 (см. приложение 4) иллюстрирует соотношение площади прямоугольника и фигуры Б (см рис 9), описанной около прямоугольника. Из таблицы 4 следует, что отношение площади прямоугольника к площади Фигуры Б принадлежит промежутку [29%; 76%], причем наибольшее значения этого отношения достигается при в=а, т.е. если фигура описана около квадрата.
При проведении исследования нами были сформулированы следующие задачи:
- изучить признаки и свойства прямоугольника в различных пособиях и на сайтах;
- построить свои, неизвестные ранее фигуры, вписанные в прямоугольник и описанные около прямоугольника, площадь которых будет максимально близка к площади прямоугольника.
Для решения первой задачи нами были проанализированы различные учебные пособия, в том числе и для углубленного изучения геометрии в школе, интернет ресурсы по проблеме поиска фигур вписанных в прямоугольник и описанных около прямоугольника и были выявлены приемы их генерации. После теоретической подготовки мы придумали свои фигуры удовлетворяющие нескольким условиям. Эти фигуры должны быть пригодные для геометрического анализа, т.е. площади этих фигур можно вычислить. Площади этих фигур должны максимально приближаться к площади прямоугольника. Таким образом, мы искали оптимально обтекаемую прямоугольник фигуру.
После проведения математического эксперимента можем сделать вывод:
1. фигура с наибольшей площадью, которую нам удалось вписать в прямоугольник, является эллипс. Его площадь составляет примерно 78.5% от площади прямоугольника. Такие же результаты мы получили при вписании капли в частный вид прямоугольника – квадрат.
2. фигура с наименьшей площадью, которую нам удалось описать около прямоугольника, является криволинейный четырёхугольник. Отношение площади прямоугольника к площади криволинейного четырёхугольника принадлежит промежутку [80%; 85,7%], причем наибольшее значения этого отношения достигается при достаточно большой разнице между измерениями прямоугольника.
3.
Фигурой имеющей наиболее оптимальное обтекание
прямоугольника является криволинейный четырёхугольник (фигура А).
Наметим перспективы дальнейшей исследовательской работы по поиску оптимального обтекания. Возможно мы не нашли фигуру площадь которой будет максимально близка к площади прямоугольника, поэтому поиски этой фигуры мы продолжим далее. Можно, например, рассмотреть фигуру, изображенную на рисунке 10.
Рис 10.
1. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, и др.-М.:
Просвещение, 2012. – 384 с.
2. Киселёв А. П. Геометрия / Под ред. Н. А. Глаголева. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 328 с.
3. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В. Ф. Бутузов и др –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 488 с.
4. Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений/
А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2009. – 224 с.
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Это учебное исследование моего ученика Евдокимова Ильи 9 класс.
В настоящее время в нашей стране большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности и качества во всех сферах производства. В этой связи особую значимость приобретает умение решать так называемые задачи на оптимизацию, которые возникают там, где необходимо выяснить как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т.п. Однако, известные в математике дифференциальные приемы для решения подобного рода задач не всегда применимы для исследования геометрических соотношений между фигурами. Так как задачи на оптимизацию имеют важное значение в нашей жизни, мы решили найти наиболее оптимально обтекаемую прямоугольник фигуру. Таким образом, выявилось противоречие между необходимостью найти фигуру, имеющую площадь максимально близкую к площади прямоугольника и отсутствием учебных исследований в данной области.
Преодоление противоречия определяет проблему исследования, которая заключается в отыскании новых вписанных в прямоугольник и описанных около прямоугольника фигур имеющих площадь максимально близкую к площади прямоугольника. Решение выдвинутой проблемы составляет цель работы
6 671 873 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Волчёк Наталия Львовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.