тема «Решение уравнений»

тип урока: урок комплексного применения знаний, совершенствования   знаний  и  умений

методы: методы  стимулирования  и  мотивации, методы  организации  и осуществления      учебно-познавательной деятельности учащихся, методы контроля и самоконтроля.

цели и задачи урока: в процессе   повторения   ученики  должны  последовательно  перейти  от одного уровня математической   деятельности  к  следующему  более  высокому, сделав   для себя открытия   в  этой  теме;   умения   самостоятельно   решать     проблемы,       преодолевать   трудности  в    учении;   реализовать   развитие    интеллекта,    внимания,    речи,   памяти,      воли, самостоятельности, познавательных интересов учащихся.

формы: индивидуальная, групповая, коллективная

основные этапы деятельности: мотивационный, операционно-познавательный и рефлексивно-оценочный

конспект занятия

Основной этап: мотивационный

1.     Организационный момент: обсуждение

С    учащимися   обсуждаем,   почему и   для   чего  необходимо  повторить данную тему.      Даем оценку  своих  возможностей и составляем  план  предстоящей  работы.

Мотивация учащихся: готовимся к выпускному экзамену, расширяем и углубляем знания по теме.

План:

- повторить тему за шесть уроков

- повторить тему «Общие сведения об уравнениях»

- обратить внимание на виды уравнений

- повторить теоремы о равносильности уравнений

- повторить способы решения уравнений (способы решения уравнений, которые   предлагаются учащимся в школьных учебниках усваиваются достаточно хорошо, поэтому при повторении мы решили пользоваться различными пособиями по математике).

     2.  Творческая работа: первая стадия математической деятельности - накопление фактов с помощью наблюдения, опыта, обобщения

Учащимся предлагается задание:

подобрать уравнения, которые выходят за рамки традиционных уравнений, предлагаемых в школьном учебнике.

Организация:

 индивидуальная работа (каждый работает с различными источниками, записывает в тетрадь уравнения, которые хотел бы прорешать и выносит на обсуждение)

Обсуждение:

 осуществляем отбор заданий коллективно

Результат коллективной и индивидуальной работ: решили рассмотреть четырнадцать уравнений:

1.     х

2.    

3.    

4.    

5.    

6.     log

7.     1+2

8.    

9.    

10.

11.

12.

13. x

14.

       Основной этап: оперативно – познавательный

2.     повторение: вторая стадия математической деятельности – логическая организация математического материала.

Учащимся предлагается задание:

используя шаблоны провести классификацию уравнений по виду и по методам решения.

Организация:

 групповая форма работы (быстро создаем группы)

Обсуждение:

 разбивают уравнения по видам  и по методам решения используя шаблоны

Результат групповой работы:

 демонстрируют представители групп свой результат (на слайдах или другой форме).

                                  Итоговый результат после проверки

                                  Классификация уравнений по виду

                                  Классификация уравнений по методам решения

        Основной этап: рефлексивно - оценочный

3.     Проверочная работа: третья стадия математической деятельности – применение математической теории.

Учащимся предлагается задание:

 решить уравнения (кто, сколько пожелает на выбор).

Организация:

 индивидуальная, парная, групповая (ребята сами выбирают, как будут работать, быстро организуются и приступают к работе)

Обсуждение:

 рассматриваем уравнения, решение которых вызывает большой интерес.

Результат работы:

идет демонстрация решений у доски

На доске

Уравнение №1

х

Ребята предложили решить двумя способами:

При решении уравнения №4

ребята рассуждали так. Скобки я раскрывать умею, приведу   подобные слагаемые, получу целое алгебраическое уравнение четвертой степени и , если среди     делителей свободного члена есть корни, то левую часть  разложу  на  множители  и  найду все корни, их не более четырех.

Другие ребята предложили решить способом замены переменной. Пусть х-4х-9=к, тогда х- 6х -9 = к - 2х. Получим уравнение к. Решим его как квадратное относительно к (это было ОКРЫТИЕМ для некоторых учеников). Получим     к = 4х и к = х. Исходное уравнение распадается на два уравнения х- 4х -9 = 4х или х- 4х -9 = х.

Решим их, корни  х = -1 и х = 9 или х = .

Конечно, второй способ по сравнению с первым более рациональный.

Рассмотрим уравнение №5

Ребята предложили способ решения: привели его к виду хи нашли корни х = 1 и х = 3. Каково было удивление, когда они увидели в нем однородное алгебраическое уравнение.

Интересные рассуждения привели учащиеся при решении уравнения № 8

Обозначили ,получили уравнение . И сразу сделали ОТКРЫТИЕ, оно однородное относительно а и в, а такие уравнения мы решать умеем.

Так как в = 0 не является решением уравнением, разделим обе части на

. Получим = 1 или  = -

   или       где . Первое уравнение дает решение х=0, а второе в области действительных чисел решений не имеет.

Ответ: 0

После полученного ответа класс замер. И последовал вопрос: «А можно было угадать корень?»

Ответ: «Можно, но тогда надо доказать, что других корней нет»

Уравнение №13

x

Ребята решили, используя способы: замена переменной и как однородное

Уравнение №10

кроме показательной функции содержит линейную. Но можно заметить, что 2оно является квадратным.

; корни уравнения к =или к = 3-х. Решаем уравнения  корнем является х = -log3; Решаем уравнение , где х á3 ;      х = 1 является корнем уравнения. Функция у =возрастающая, а ¦(х)= 3-х убывающая, значит графики этих функций пересекаются только в одной точке с абсциссой х = 1

Ответ: 1;  -log3  

После решения этого уравнения отпала необходимость детального рассмотрения решений уравнений № 0 и № 6, ребята справились с ними самостоятельно.

Уравнение №3

Заметим, что х=2 удовлетворяет уравнению. Докажем, что других корней нет. Каждая из функций является возрастающей, поэтому их сумма - тоже возрастающая функция.   При  х = 2 левая часть равна 34, при  х ñ 2 она больше 34,при х á 2 она меньше 34. Итак, уравнение имеет один корень 2.

Уравнение № 12

В левой части уравнения – разность тригонометрических функций. Решаем уравнение, используя ограниченность синуса и косинуса.

Так как  и  имеем систему равнений  и cos6x= -1

 и 6х =,корни  к- целое и х = - целое

Общее решение найдем с помощью тригонометрического круга. Решение первого уравнения системы обозначим звездочкой, а второго – точкой и найдем их общее решение

Ответ:  к – целое.

Ребята анализируют свою собственную деятельность, оценивают ее, сопоставляя результаты своей работы с результатами товарищей.

                  5. Поведение итогов занятия и рефлексия

Каждый из учащихся заполняет оценочный индивидуальный лист по теме «Решение уравнений» (класс 20 чел. на «4 – 5»учатся 14 человек)

Анализ усвоения материала и интереса к теме

В результате  проделанной  работы  ученики  испытали  радость  победы над трудностями, преодоленными  ими,  познали  новые (для них) приемы  решений   уравнений, дали самооценку своей деятельности  убедились, что только кропотливая самостоятельная работа приводит к формированию   глубокого  познавательного  интереса к  учебной деятельности.

Проведены уроки по темам «Решение неравенств и систем уравнений и неравенств»