Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок комплексного применения знаний, совершенствования знаний и умений по теме "Решение уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок комплексного применения знаний, совершенствования знаний и умений по теме "Решение уравнений"

библиотека
материалов


тема «Решение уравнений»


тип урока: урок комплексного применения знаний, совершенствования знаний и умений

методы: методы стимулирования и мотивации, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности учащихся, методы контроля и самоконтроля.

цели и задачи урока: в процессе повторения ученики должны последовательно перейти от одного уровня математической деятельности к следующему более высокому, сделав для себя открытия в этой теме; умения самостоятельно решать проблемы, преодолевать трудности в учении; реализовать развитие интеллекта, внимания, речи, памяти, воли, самостоятельности, познавательных интересов учащихся.

формы: индивидуальная, групповая, коллективная

основные этапы деятельности: мотивационный, операционно-познавательный и рефлексивно-оценочный


конспект занятия

Основной этап: мотивационный


  1. Организационный момент: обсуждение

С учащимися обсуждаем, почему и для чего необходимо повторить данную тему. Даем оценку своих возможностей и составляем план предстоящей работы.

Мотивация учащихся: готовимся к выпускному экзамену, расширяем и углубляем знания по теме.

План:

- повторить тему за шесть уроков

- повторить тему «Общие сведения об уравнениях»

- обратить внимание на виды уравнений

- повторить теоремы о равносильности уравнений

- повторить способы решения уравнений (способы решения уравнений, которые предлагаются учащимся в школьных учебниках усваиваются достаточно хорошо, поэтому при повторении мы решили пользоваться различными пособиями по математике).

2. Творческая работа: первая стадия математической деятельности - накопление фактов с помощью наблюдения, опыта, обобщения

Учащимся предлагается задание:

подобрать уравнения, которые выходят за рамки традиционных уравнений, предлагаемых в школьном учебнике.

Организация:

индивидуальная работа (каждый работает с различными источниками, записывает в тетрадь уравнения, которые хотел бы прорешать и выносит на обсуждение)

Обсуждение:

осуществляем отбор заданий коллективно

Результат коллективной и индивидуальной работ: решили рассмотреть четырнадцать уравнений:

  1. хhello_html_30f8e989.gif

  2. hello_html_d75bd47.gif

  3. hello_html_5450b404.gif

  4. hello_html_m4e405340.gif

  5. hello_html_303fc6a8.gif

  6. loghello_html_6c468a0d.gif

  7. 1+2hello_html_734ba86d.gif

  8. hello_html_222ed037.gif

  9. hello_html_d996b0e.gif

  10. hello_html_m4b53f171.gif

  11. hello_html_3b30b33.gifhello_html_2d8a42f2.gif

  12. hello_html_m7f170dc0.gif

  13. xhello_html_m7ac475e2.gif

  14. hello_html_671f0529.gif


Основной этап: оперативно – познавательный


  1. повторение: вторая стадия математической деятельности – логическая организация математического материала.

Учащимся предлагается задание:

используя шаблоны провести классификацию уравнений по виду и по методам решения.

Организация:

групповая форма работы (быстро создаем группы)

Обсуждение:

разбивают уравнения по видам и по методам решения используя шаблоны

Результат групповой работы:

демонстрируют представители групп свой результат (на слайдах или другой форме).

Итоговый результат после проверки


Классификация уравнений по виду

уравнения

трансцендентные

алгебраические

показательные

2,3

целые

1,4,5

логарифмические

6

дробные

8

тригонометрические

7,12,14

иррациональные

13

смешанные

9,10,11




Классификация уравнений по методам решения

Методы решения уравнений

разложением на множители

заменой переменной

как однородные уравнения

с помощью свойств функций

1,4,5

1,4,7,10,13

2,5,8,11,13,14

3,6,9,12



Основной этап: рефлексивно - оценочный


  1. Проверочная работа: третья стадия математической деятельности – применение математической теории.

Учащимся предлагается задание:

решить уравнения (кто, сколько пожелает на выбор).


Организация:

индивидуальная, парная, групповая (ребята сами выбирают, как будут работать, быстро организуются и приступают к работе)

Обсуждение:

рассматриваем уравнения, решение которых вызывает большой интерес.

Результат работы:

идет демонстрация решений у доски


На доске

Уравнение №1

хhello_html_30f8e989.gif

Ребята предложили решить двумя способами:


1 способ

2 способ

Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена, значит можно разложить левую часть на множители.

х=-1 и х=3 удовлетворяют уравнению.

Имеем: хhello_html_30f8e989.gif

(х+1)(х-3)(хhello_html_4fbf37b8.gif+6х-3)=0

х+1=0 х-3=0 хhello_html_4fbf37b8.gif+6х-3=0

х=-1 х=3 х = -3hello_html_2b9d2729.gif

Ответ: -1;3; -3hello_html_2b9d2729.gif

Убеждаемся, что х=0 не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на хhello_html_4fbf37b8.gifhello_html_3750bfcb.gif0,получим: хhello_html_3d0d7f93.gif

(hello_html_6b2bf442.gif

Обозначим hello_html_514f1230.gif=к, тогда хhello_html_5cd8a78c.gif. Имеем уравнение hello_html_m42302435.gif, корни которого к = -6 и

к = 2 . Получим х -hello_html_m6560ad93.gif=-6 или х - hello_html_m6560ad93.gif=2

х = -3hello_html_2b9d2729.gifили х =-1; 3



При решении уравнения №4

hello_html_m4e405340.gif

ребята рассуждали так. Скобки я раскрывать умею, приведу подобные слагаемые, получу целое алгебраическое уравнение четвертой степени и , если среди делителей свободного члена есть корни, то левую часть разложу на множители и найду все корни, их не более четырех.

Другие ребята предложили решить способом замены переменной. Пусть хhello_html_4fbf37b8.gif-4х-9=к, тогда хhello_html_4fbf37b8.gif- 6х -9 = к - 2х. Получим уравнение кhello_html_6ed96a4b.gif. Решим его как квадратное относительно к (это было ОКРЫТИЕМ для некоторых учеников). Получим к = 4х и к = х. Исходное уравнение распадается на два уравнения хhello_html_4fbf37b8.gif- 4х -9 = 4х или хhello_html_4fbf37b8.gif- 4х -9 = х.

Решим их, корни х = -1 и х = 9 или х = hello_html_c77b5e3.gif.

Конечно, второй способ по сравнению с первым более рациональный.


Рассмотрим уравнение №5

hello_html_303fc6a8.gif

Ребята предложили способ решения: привели его к виду хhello_html_4191b9e5.gifи нашли корни х = 1 и х = 3. Каково было удивление, когда они увидели в нем однородное алгебраическое уравнение.

Интересные рассуждения привели учащиеся при решении уравнения № 8 hello_html_222ed037.gif

Обозначили hello_html_m2c923326.gif,получили уравнение hello_html_6174ee2a.gif. И сразу сделали ОТКРЫТИЕ, оно однородное относительно а и в, а такие уравнения мы решать умеем.

Так как в = 0 не является решением уравнением, разделим обе части на hello_html_m535c59e0.gifhello_html_504a29.gif

hello_html_m1c87f852.gif. Получим hello_html_54e368e0.gif= 1 или hello_html_54e368e0.gif= - hello_html_m3d4efe4.gif

hello_html_6dac3e14.gifили hello_html_m378355f1.gif где hello_html_m29261c22.gif. Первое уравнение дает решение х=0, а второе в области действительных чисел решений не имеет.

Ответ: 0

После полученного ответа класс замер. И последовал вопрос: «А можно было угадать корень?»

Ответ: «Можно, но тогда надо доказать, что других корней нет»


Уравнение №13

xhello_html_m7ac475e2.gif

Ребята решили, используя способы: замена переменной и как однородное


1 способ

2 способ

hello_html_3fefabc6.gif, получим hello_html_m6bcd2ef2.gif.Учитываем ,что х -3 и к0, решая получим , что к = hello_html_7dfeb3f2.gif или к = -hello_html_m76633e2f.gif. Уравнение х+3 = hello_html_m7da9dac4.gif,если х0 имеет корни х = 6 и х = -2, а уравнение х+3 = hello_html_m4276ae55.gif, если -3 х 0 имеет корни х = hello_html_m51096ac7.gif. Учитывая условия получим, что уравнение имеет корни х = 6 или х = hello_html_m3e09c6bc.gif

Данное уравнение справедливо при х -3 и является однородным относительно х и hello_html_b8ff92e.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m46a446af.gif

Решаем hello_html_7241d0a8.gif или

hello_html_m44417d00.gif

Корнями уравнений являются х=6; х = hello_html_m3e09c6bc.gif


Уравнение №10

hello_html_m4b53f171.gif

кроме показательной функции содержит линейную. Но можно заметить, что 2hello_html_m55c037b1.gifоно является квадратным.

hello_html_7bdb366.gif; корни уравнения к =hello_html_m19e8bb17.gifили к = 3-х. Решаем уравнения hello_html_643d39e5.gif корнем является х = -loghello_html_m4bcd60e4.gif3; Решаем уравнение hello_html_m3d589a88.gif, где х 3 ; х = 1 является корнем уравнения. Функция у =hello_html_m3c2a82ec.gifвозрастающая, а (х)= 3-х убывающая, значит графики этих функций пересекаются только в одной точке с абсциссой х = 1

Ответ: 1; -loghello_html_m4bcd60e4.gif3

После решения этого уравнения отпала необходимость детального рассмотрения решений уравнений № 0 и № 6, ребята справились с ними самостоятельно.


Уравнение №3

hello_html_5450b404.gif

Заметим, что х=2 удовлетворяет уравнению. Докажем, что других корней нет. Каждая из функций является возрастающей, поэтому их сумма - тоже возрастающая функция. При х = 2 левая часть равна 34, при х 2 она больше 34,при х 2 она меньше 34. Итак, уравнение имеет один корень 2.

Уравнение № 12

hello_html_m7f170dc0.gif

В левой части уравнения – разность тригонометрических функций. Решаем уравнение, используя ограниченность синуса и косинуса.


Так как hello_html_m2117802a.gif и hello_html_42a3fc45.gif имеем систему равнений hello_html_4c038996.gif и cos6x= -1

hello_html_f076ba6.gifи 6х =hello_html_m2748fad8.gif,корни hello_html_2bf24049.gif к- целое и х = hello_html_3180ab1b.gif- целое


Общее решение найдем с помощью тригонометрического круга. Решение первого уравнения системы обозначим звездочкой, а второго – точкой и найдем их общее решение


Ответ: hello_html_2bf24049.gif к – целое.

Ребята анализируют свою собственную деятельность, оценивают ее, сопоставляя результаты своей работы с результатами товарищей.


5. Поведение итогов занятия и рефлексия

Каждый из учащихся заполняет оценочный индивидуальный лист по теме «Решение уравнений» (класс 20 чел. на «4 – 5»учатся 14 человек)

Первый этап

Второй этап Третий этап

повторение

Творческая работа

Работа в группах

выступление

Количество решенных уравнений

Интерес и новое

+

+

+

+++

14

+

+

+

+

+

10

+

+

+

+

+

4

+

+

+

+

+++

14

+

+

+

+

++

10

+

+

+

+

+

6

+

+

+

+

+

10

+

+

+

+

+

6

+

+

++

+

+

6

+

+

+

+

+

4

+

+

++

+

+

4

+

+

++

+


10

+

+

+

+


10

+

+

+

+


12

+

+

+

+

+

11

+

+

+

+

+

11

+

+

+

+

+

11

+

+

+

+

+

3

+

+

+

+

+++

14

+

+

+

+

+

12

+



Анализ усвоения материала и интереса к теме

В результате проделанной работы ученики испытали радость победы над трудностями, преодоленными ими, познали новые (для них) приемы решений уравнений, дали самооценку своей деятельности убедились, что только кропотливая самостоятельная работа приводит к формированию глубокого познавательного интереса к учебной деятельности.



Проведены уроки по темам «Решение неравенств и систем уравнений и неравенств»









Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

тема «Решение уравнений»

 

тип урока: урок комплексного применения знаний, совершенствования   знаний  и  умений

методы: методы  стимулирования  и  мотивации, методы  организации  и осуществления      учебно-познавательной деятельности учащихся, методы контроля и самоконтроля.

цели и задачи урока: в процессе   повторения   ученики  должны  последовательно  перейти  от одного уровня математической   деятельности  к  следующему  более  высокому, сделав   для себя открытия   в  этой  теме;   умения   самостоятельно   решать     проблемы,       преодолевать   трудности  в    учении;   реализовать   развитие    интеллекта,    внимания,    речи,   памяти,      воли, самостоятельности, познавательных интересов учащихся.

формы: индивидуальная, групповая, коллективная

основные этапы деятельности: мотивационный, операционно-познавательный и рефлексивно-оценочный

 

Автор
Дата добавления 17.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров356
Номер материала 486678
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх