Определение.

Целое число называется чётным, если оно делится на 2 без остатка, и нечётным – в противном случае.

Примеры.

10 : 2 = 5 (ост.0),

(−6) : 2 = −3 (ост.0),

15 : 2 = 7 (ост.1),

0 : 2 = 0.

Значит, числа 10, (−6) и 0 являются чётными, а число 15 – нечётным.

Как формально можно записать, что заданное число является чётным (или нечётным)? Иными словами, как можно записать тот факт, что число является чётным (или нечётным), с помощью математических символов?

• Если число n – чётное, то его можно записать в виде n = 2 ∙ k, где k – целое число. Например, число 26 – чётное, т.к. его можно записать в виде 26 = 2 ∙ 13. Таким образом, мы получили формулу чётного числа – n = 2 ∙ k.
• Если число n – нечётное, то его можно записать в виде n = 2 ∙ k + 1, где k – целое число. Например, число 31 – нечётное, т.к. его можно записать в виде 31 = 2 ∙ 15 + 1. Таким образом, мы получили формулу чётного числа – n = 2 ∙ k + 1.

Можно заметить, что чётные и нечётные числа на координатной прямой чередуются. Поэтому, сдвинувшись на один шаг от чётного числа, мы попадём в нечётное.

Как понятия чётного и нечётного числа взаимодействуют с арифметическими операциями (а именно, с операциями сложения, вычитания и умножения)?

Нетрудно убедиться, что при сложении чётного числа с нечётным мы получаем нечётную сумму. Например, 8 + 9 = 17.

Запишем так:

чёт + нечёт = нечёт.

Докажем это утверждение для произвольных целых чисел.

Пусть n1 – чётное число, а n2 – нечётное.

Тогда эти числа можно записать так:

n1 = 2 ∙ k1,

n2 = 2 ∙ k2 + 1.

Сложив эти два числа, мы получим следующую запись:

Чётное число + нечётное число = 2 ∙ k1 + (2 ∙ k2 + 1) = 2 ∙ k1 + 2 ∙ k2 + 1 =

= 2 ∙ (k1 + k2) + 1 = чётное число + 1 = нечётное число

Аналогично можно доказать, что при сложении двух чётных чисел получается чётная сумма:

Чётное число + чётное число = 2 ∙ k1 + 2 ∙ k2 = 2 ∙ k1 + 2 ∙ k2 =

= 2 ∙ (k1 + k2) = чётное число.

Также легко убедиться, что при сложении двух нечётных чисел также получается чётное число:

Нечётное число + нечётное число = (2 ∙ k1 +1) + (2 ∙ k2 + 1) = 2 ∙ k1 + 2 ∙ k2 + 1 + 1 = 2 ∙ (k1 + k2) + 2 = чётное число + чётное число = чётное число.

При вычитании двух нечётных чисел чётность разности определяется так же, как и при их сложении.

Действительно:

• чётное число ∙ чётное число = (2 ∙ k1) ∙ (2 ∙ k2) = 2 ∙ (2k1∙ k2) = чётное число;
• чётн. число ∙ нечётн. число = (2 ∙ k1) ∙ (2 ∙ k2 + 1) = 2 ∙ (k1∙ (2k2 + 1)) = чётное число;
• нечётн. число ∙ нечётн. число = (2 ∙ k1 + 1) ∙ (2 ∙ k2 + 1) = 2k1∙ 2k2 + 2k1 + 2k2 + 1) = чётное число + чётное число + чётное число + нечётное число = нечётное число.

Утверждение.

Произведение нескольких целых чисел нечётно, если и только если все сомножители нечётны.

Утверждение 2.

Сумма нескольких чисел нечётна, если и только если в неё входит нечётное число нечётных слагаемых.

Решение задач.

Задача 1.Даны четыре числа. Сумма любых трёх из них чётна. Докажите, что все числа чётны.

Решение.

Обозначим данные числа буквами a, b, c, d. Запишем все возможные суммы этих чисел, группируя их по три числа:

a + b + c,

a + b + d,

a + c + d,

b + c + d.

Каждая из этих сумм, по условию, чётна. Сложим все четыре записанные суммы:

(a + b + c) + (a + b + d) + (a + c + d) + (b + c + d) = 3a + 3b + 3c + 3d = 3 ∙ (a + b + c + d).

Поскольку мы сложили изначально чётные суммы, то и данная сумма будет чётна. Но произведение нечётного числа 3 на сумму (a + b + c + d) будет чётна в том и только в том случае, когда выражение в скобках представляет собой чётное число.

Теперь рассмотрим это выражение в скобках (a + b + c + d).

Мы знаем, что в этом выражении сумма (a + b + c) – чётна. Но тогда число d – также чётное число. Аналогично, сумма чисел (a + b + d) – чётна. Это значит, что тогда и число с – чётно. Рассуждая таким же образом с суммами (a + c + d) и (b + c + d), приходим к выводу, что числа a и b также являются чётными. Что и требовалось доказать.

Задача 2.Существуют ли решения у ребуса АБ ⋅ Б = ЕВГ, если гласные буквы обозначают чётные цифры, а согласные — нечётные (одинаковые буквы обозначают одинаковые числа, а разные буквы — разные)?

Решение.

По условию задачи, буквы А и Е соответствуют чётным цифрам, а буквы Б, В и Г – нечётным цифрам.

Заметим, что цифра В получается при умножении цифр А и Б. Но А число чётное, значит, это произведение – чётно.

Чтобы цифра В стала нечётной, необходимо, чтобы при умножении Б на Б получилось число, большее 10. Это достигается только при Б = {5, 7, 9}. Но если Б = 5, то Б ∙ Б = 25, и тогда цифра Г также равна 5, что невозможно.

Если Б = 7, то Б ∙ Б = 49, и цифра 4 прибавляется к результату умножения цифр А и Б, равному чётному числу, и В опять будет чётной цифрой.

Аналогично, при Б = 9 получаем, что Б ∙ Б = 81, и цифра 8 прибавляется к результату умножения цифр А и Б, равному чётному числу, и В опять будет чётной цифрой.

Получается, что при любом нечётном значении цифры Б цифра В будет чётной, что противоречит условию задачи.

Следовательно, задача не имеет решения.

Ответ: решения нет.

Задача 3.Можно ли 25 рублей разменять 10 монетами номиналом 1, 3 и 5 рублей?

Решение.

Заметим, что каждая монета номиналом 1, 3 и 5 рублей представляет собой нечётное число рублей. Если сложить 10 нечётных чисел по 1, 3 и 5, то независимо от того, какие именно числа мы сложили, их сумма будет чётной (поскольку 10 нечётных чисел можно разбить на пять пар нечётных чисел, и в каждой из этих пар сумма будет чётной). А число 25 – число нечётное.

Следовательно, 25 рублей невозможно разменять 10 монетами номиналом 1, 3 и 5 рублей.

Ответ: нельзя.

Задача 4.На доске написано следующее равенство:

∗ 1 ∗ 2 ∗ … ∗ 10 = 0.

Можно ли заменить каждую ∗ на один из знаков "+" или "−" так, чтобы получилось верное равенство?

Решение.

Нам нужно сложить десять целых чисел, среди которых имеется ровно пять чётных и ровно пять – нечётных.

Заметим, что после сложения данных десяти чисел мы должны получить число 0, которое является чётным.

Но сумма пяти чётных чисел равна чётному числу, а сумма пяти нечётных чисел – нечётному числу. Таким образом, сумма всех десяти данных чисел должна равняться нечётному числу, и следовательно, равняться нулю она не может.

Ответ: нельзя.

Задача 5.

Кузнецу заказали выковать десять мечей. Каждый меч может стоить 3, 5 или 7 златников. Могут ли они стоить вместе 53 златника?

Решение.

Сумма чётного количества нечётных чисел чётна. У нас есть 10 мечей, цена каждого меча – нечётное число, значит, их сумма должна быть чётна. Но 53 – число нечётное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечётных чисел нельзя.

Ответ: нет.

Задача .6

Можно ли 7 селений соединить между собой попарно так, чтобы каждое было соединено напрямую ровно с тремя другими?

Решение.

Если мы рассматриваем объекты типа верёвки – провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т.д., то при любом количестве объектов число концов должно быть чётным. Предположим, что мы соединили между собой 7 селений попарно так, чтобы каждое было соединено ровно с тремя другими. Подсчитаем количество концов дорог, соединяющих эти селения. Понятно, что их число должно быть чётным. От каждого из 7 селений отходит 3 конца дорог, всего 7 ∙ 3 = 21 конец, число нечётное. Значит, нельзя 7 селений соединить между собой попарно так, чтобы каждое было соединено ровно с тремя другими.

Ответ: нет.

Задача 7.

13 команд мечников участвуют в королевском однокруговом турнире. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая чётное число встреч. (Однокруговой турнир – когда каждая команда играет с каждой ровно один раз).

Решение.

Подсчитаем, сколько встреч провела каждая команда, и просуммируем полученные числа. В общей сумме каждая игра учитывается два раза. Если же подсчитать сумму игр 13 команд, сыгравших по нечётному числу встреч, результат будет нечётный. Чтобы общая сумма игр получилась чётной, хотя бы одна команда должна сыграть чётное число встреч.

Задача 8.

В секции фехтования мальчиков в 14 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20 человек. Смогут ли они разбиться на пары?

Решение.

Пусть количество девочек х, тогда мальчиков 14х, всего 15х. Но 15х < 20, значит, х = 1. Мальчиков 14, девочек – 1, всего 15 человек. Но 15 человек нельзя разбить на пары.

Ответ: нет.