История
происхождения дробей
Введение
Необходимость в дробных числах возникла у человека на
весьма ранней стадии развития. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких
убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не
кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о
дробном числе.
Наряду с необходимостью считать предметы у людей с
древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и
другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным
числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Исторически дроби
возникли в процессе измерения.
Потребность в более точных измерениях привела к тому,
что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой
единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали
индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.
Дроби в Древнем Риме
У римлян основной единицей измерения массы, а
также и денежной единицей служил «асс». Асс делился на 12 равных частей -
унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12,
2/12, 3/12… Со временем унции стали
применяться для измерения любых величин.
Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то
есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12
римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций»
и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций –
половиной.
В ходу было всего 18 различных
дробей:
· СИМИС – половина асса;
· СЕКСТАНС – шестая его доля;
· СЕСКУНЦИЯ – восьмая;
· ТРИЕНС – треть асса;
· БЕС – две трети;
· УНЦИЯ – двенадцатая часть асса;
· СЕМИУНЦИЯ – пол-унции.
Дроби в Древнем Египте
На протяжении многих веков египтяне именовали дроби
“ломаным числом”, а первая дробь с которой они познакомились была 1/2. За ней
последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби
называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда
единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали
входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых
числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.
В Древнем Египте архитектура достигла высокого
развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять
длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали,
что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему
счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства,
торговли и военного дела.
Одним из первых известных упоминаний о египетских
дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в
которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный
свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус
Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n,
а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде
египетских дробей.
Египтяне ставили иероглиф (ер, «[один] из» или ре,
рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных
текстах использовали линию. К примеру:
У них также были специальные символы для дробей 1/2,
2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).
Остальные дроби они записывали в виде суммы
долей. Дробь они записывали в виде ,но знак «+» не указывали. А сумму записывали в виде .
Следовательно, такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась с тех
пор.
Вавилонские шестидесятеричные дроби
Жители древнего Вавилона примерно за три тысячи лет до нашей эры создали систему мер аналогичную нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60, в которой меньшая единица измерения составляла часть высшей единицы. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот
почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими
знаменателем всегда число 60 или его степени: 602, 603 и
т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими
десятичными дробями.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую
математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в
современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось
деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на
60 мин., минуты на 60с.
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии.
Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до
XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби
общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.
Нумерация и дроби в Древней Греции
Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь
эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые
известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в
алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе
предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо
шестидесятиричным дробям.
Недостатки греческих обозначений дробных чисел,
включая использование шестидесятиричных дробей в десятичной системе счисления,
объяснялись отнюдь не пороками основополагающих принципов. Недостатки греческой
системы счисления можно отнести скорее за счет их упорного стремления к
строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения
несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали как набор единиц, поэтому
то, что мы теперь рассматриваем как единое рациональное число – дробь, – греки
понимали как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему
обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике.
Дроби на Руси
В русских рукописных арифметиках XVII века дроби
называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим
следующие названия дробей на Руси:
1/2 - половина, полтина
|
1/3 – треть
|
1/4 – четь
|
1/6 – полтреть
|
1/8 - полчеть
|
1/12 –полполтреть
|
1/16 - полполчеть
|
1/24 – полполполтреть (малая треть)
|
1/32 – полполполчеть (малая четь)
|
1/5 – пятина
|
1/7 - седьмина
|
1/10 - десятина
|
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в
страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления.
Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Дроби в других государствах древности
В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют
место сокращения дробей и все действия с дробями.
У индийского математика Брахмагупты мы находим
достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и
основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель
записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто
размещаются один над другим.
Арабы первыми начали отделять чертой числитель от
знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в
случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас.
Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления
числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление
умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:
В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже
знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы,
которые встречаются в наших учебниках.
Следует отметить, что раздел арифметики о дробях
долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась
поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение.
Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
Десятичные дроби
Появились
десятичные дроби в трудах арабских математиков в Средние века и независимо от
них в древнем Китае. Но и раньше, в древнем Вавилоне, использовали дроби такого
же типа, только шестидесятеричные.
Позднее учёный Гартман Бейер
(1563-1625) выпустил сочинение “Десятичная логистика”, где писал: “…я обратил
внимание на то, что техники и ремесленники, когда измеряют какую-нибудь длину,
то очень редко и лишь в исключительных случаях выражают её в целых числах
одного наименования; обыкновенно им приходится или брать мелкие меры, или
обращаться к дробям. Точно так же астрономы измеряют величины не только в
градусах, но и в долях градуса, т.е. минутах, секундах и т.п. Их деление на 60
частей не так удобно, как деление на 10, на 100 частей и т.д., потому что в
последнем случае гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить
арифметические действия; мне кажется, что десятичные доли, если бы ввести
вместо шестидесятеричных, пригодились бы не только для астрономии, но и для
всякого рода вычислений”.
Сегодня мы пользуемся десятичными дробями естественно и
свободно. Однако то, что кажется естественным нам, служило настоящим камнем
преткновения для учёных Средневековья. В Западной Европе 16 в. вместе с широко
распространённой десятичной системой представления целых чисел в расчётах
повсюду применялись шестидесятеричные дроби, восходящие ещё к древней традиции
вавилонян. Понадобился светлый ум нидерландского математика Симона Стевина,
чтобы привести запись и целых, и дробных чисел в единую систему. По-видимому,
толчком создания десятичных дробей послужили составленные им таблицы сложных
процентов. В 1585 г. он опубликовал книгу “Десятина”, в которой объяснил
десятичные дроби.
С начала XVII века начинается интенсивное
проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака,
отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в
качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.
Развитие промышленности и торговли, науки и техники
требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей
легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке
после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов.
Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби
и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.
Литература:
- М.Я.Выгодский “Арифметика и алгебра в
Древнем мире”(М. Наука,1967г)
- Г.И.Глейзер “История математики в школе”(М.
Просвещение,1964г)
- И.Я.Депман “История арифметики” (М. Просвящение,
1959г)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.