- 15.01.2015
- 18387
- 19
Введение
В результате практической деятельности человека, при дележе добычи после охоты возникла потребность в нахождении долей. Другой существенной причиной появления дробных чисел можно считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.
Первые
дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида 
– так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot –
«несколько»).
Египетская
дробь — в математике
сумма нескольких дробей
вида 
(так называемых аликвотных
дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель,
равный единице, и знаменатель,
представляющий собой натуральное
число.
Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
Цель: Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни
Задачи:
ü Узнать происхождение аликвотных дробей.
ü Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.
ü Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.
ü Составлять и решать задачи практического содержания.
I Теоретическая часть
1 Происхождение аликвотных дробей
В Древнем Египте «настоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.
Таким
образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида 
так называемые единичные дроби
или аликвотные. То есть аликвотными дробями
называются дроби с числителем 1.
И даже сами аликвотные
дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей.
Например, 
.
Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е. аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.
Египтяне широко использовали дроби. Египетская дробь представляла собой сумму нескольких единичных (или аликвотных) дробей вида 1/n. Например, 8/15=1/3+1/5. Часто сами аликвотные дроби они представляли в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, 1/4=1/5+1/20.
Для
обозначения единичной дроби египтяне над обычным числом ставили специальный иероглиф
"рот" 
.
Например дроби 1/3 и 1/10 выглядели так:
и
В папирусе Ахмеса есть задача:.«Как разделить 7 хлебов между 8 людьми?».
Египтяне решали эту задачу так: 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8.
Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба.
Существовали и другие
способы записи дробей, например, для написания дробей от 1/2 до 1/64
использовались составные части глаза Гора.
|
Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков . К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой(позиционная система исчисления)
Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» – это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.
2 Основные операции над аликвотными дробями
Чтобы
представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится
проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 
выражается так:
.
Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.
Начиная решение задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей, как, например
мы
выявили закономерность, которую записали в виде формулы
. Эта формула действует, если требуется
разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.
Докажем это равенство:
(1)
, приведя дроби к общему знаменателю,
получаем:
после сокращения получаем .
Итак,
получается, что 
. Наша формула верна.
Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:
.
(2)
3 Решение задач
3.1 Решение задач из учебника
Простейшими задачами – разложение дроби на сумму аликвотных дробей. Эти разделить на две категории:
1. в знаменателе простое число,
2. в знаменателе составное число.
Рассмотрим решение задач первого типа:
Для того, чтобы выполнить это задание, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель получившейся дроби можно было разложить на слагаемые, каждый из которых будет делителем знаменателя (так как при сокращении в числители получится 1). После решения многих таких задач мы сделали вывод, что таким «удобным» числом является число 6.
.
Задачи второго типа также можно разделить на три вида:
1) числитель сразу можно предс2тавить в виде суммы делителей знаменателя, например
;
2) в числителе число меньшее наименьшего делителя знаменателя:
решение совпадает с решением первого типа
;
3) числитель можно разложить на сумму чисел, среди которых есть как делители знаменателя, так и числа не являющиеся таковыми:
.
Для
того чтобы разложить дробь
на сумму
аликвотных дробей, воспользуемся алгоритмом пункта 1.
Тогда
конечный результат будет таким: 
.
К следующей разновидности задач, относятся задачи подобные задаче о 7 хлебах (рассмотренная выше). Приведем пример из учебника [2]:
№ 730. Олжас, Нуртас и Алмас купили 2 дыни. Как не разрезая каждую дыню на 3 доли, мальчики разделят их поровну?
Решение: По условию задачи 2 дыни нужно разделить на 3 равные части.
.
Каждый
мальчик взял по половинке дыни, а когда оставшуюся половину дыни разделили на
три равные части, то каждый мальчик получил еще по 
дыни.
Ответ: половинка
дыни и дыни.
Подобных задач можно придумать очень много. И над этим мы планируем поработать в дальнейшем. Рассмотрим одну из таких придуманных нами задач.
Задача.
3.2 Решение олимпиадных задач
1.
Найдите сумму: 
.
Решение: Для решения воспользуемся формулой (2)
и т. д.
т.
е. получим 
.
2.
Найти сумму: 
Решение: Для решения воспользуемся решением предыдущей задачи.
, и т. д.
Рассуждая
аналогично решению предыдущей задачи, получаем ответ 
.
4 Авторская задача
Хотим предложить свою задачу для решения в олимпиадах.
Чтобы
узнать в каком году в Астане будет проводиться международная ярмарка EXPO
нужно сумму аликвотных дробей 
умножить
на год, когда Н. А. Назарбаеву исполнится лет.
Решение: 
Ответ: 2017 год.
Заключение
При разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что любая правильная дробь может быть разложено на единичные дроби. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики. Аликвотные дроби долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Мы выяснили, что точного алгоритма решения подобных задач нет, но мы составили приближенный алгоритм решения для различных дробей. Мы рассмотрели решение некоторых олимпиадных задач, а также составили свою.
На
этом работа над данной темой не заканчивается. Нам бы хотелось рассмотреть, как
можно разложит любое рациональное число 
.
А так же составить сборник задач.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Введение
В результате практической деятельности человека, при дележе добычи после охоты возникла потребность в нахождении долей. Другой существенной причиной появления дробных чисел можно считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.
Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).
Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.
Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
Цель: Систематизировать знания по теме«Аликвотные дроби»
Задачи:
6 672 466 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Семенова Елена Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.