Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа на тему "Аликвотные дроби"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа на тему "Аликвотные дроби"

библиотека
материалов

Введение

В результате практической деятельности человека, при дележе добычи после охоты возникла потребность в нахождении долей. Другой существенной причиной появления дробных чисел можно считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида hello_html_m1f636f5.gif  – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).

Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида hello_html_36c37922.gif(так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Цель: Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни

Задачи:

  • Узнать происхождение аликвотных дробей.

  • Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.

  • Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

  • Составлять и решать задачи практического содержания.

















I Теоретическая часть

1 Происхождение аликвотных дробей

В Древнем Египте «настоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида hello_html_36c37922.gif так называемые единичные дроби или аликвотные. То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1.

И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, hello_html_7796ade2.gif.

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е. аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

Египтяне широко использовали дроби. Египетская дробь представляла собой сумму нескольких единичных (или аликвотных) дробей вида 1/n. Например, 8/15=1/3+1/5. Часто сами аликвотные дроби они представляли в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, 1/4=1/5+1/20.

Для обозначения единичной дроби египтяне над обычным числом ставили специальный иероглиф "рот" hello_html_m150083fe.jpg. Например дроби 1/3 и 1/10 выглядели так:

hello_html_292831a6.pnghello_html_33457663.pngи hello_html_m3945bd88.pnghello_html_1026c19f.png


В папирусе Ахмеса есть задача:.«Как разделить 7 хлебов между 8 людьми?».

Египтяне решали эту задачу так: 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8.

Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба.

Сhello_html_2e346265.pngуществовали и другие способы записи дробей, например, для написания дробей от 1/2 до 1/64 использовались составные части глаза Гора.


Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков . К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой(позиционная система исчисления)

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» – это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.


2 Основные операции над аликвотными дробями


Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число hello_html_m660a5e62.gif выражается так:

hello_html_m96f34dd.gif.

Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Начиная решение задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей, как, например

hello_html_m4f904347.gif

мы выявили закономерность, которую записали в виде формулыhello_html_m683710b4.gif. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Докажем это равенство:

hello_html_1d28ce23.gif (1)

hello_html_m3f02cec9.gif, приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

hello_html_73288990.gifпосле сокращения получаем hello_html_36c37922.gif.

Итак, получается, что hello_html_280e6ecc.gif. Наша формула верна.

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

hello_html_m79bbc99a.gif. (2)


3 Решение задач

3.1 Решение задач из учебника

Простейшими задачами – разложение дроби на сумму аликвотных дробей. Эти разделить на две категории:

1. в знаменателе простое число,

2. в знаменателе составное число.

Рассмотрим решение задач первого типа:

Для того, чтобы выполнить это задание, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель получившейся дроби можно было разложить на слагаемые, каждый из которых будет делителем знаменателя (так как при сокращении в числители получится 1). После решения многих таких задач мы сделали вывод, что таким «удобным» числом является число 6.

hello_html_4672c400.gif.

Задачи второго типа также можно разделить на три вида:

1) числитель сразу можно предс2тавить в виде суммы делителей знаменателя, например

hello_html_116f7970.gif;

2) в числителе число меньшее наименьшего делителя знаменателя:

решение совпадает с решением первого типа

hello_html_m78173a63.gif;

3) числитель можно разложить на сумму чисел, среди которых есть как делители знаменателя, так и числа не являющиеся таковыми:

hello_html_m32e7b8c.gif.

Для того чтобы разложить дробьhello_html_2001747a.gif на сумму аликвотных дробей, воспользуемся алгоритмом пункта 1.

hello_html_m40fda14d.gif

Тогда конечный результат будет таким: hello_html_30d4ab81.gif.

К следующей разновидности задач, относятся задачи подобные задаче о 7 хлебах (рассмотренная выше). Приведем пример из учебника [2]:

730. Олжас, Нуртас и Алмас купили 2 дыни. Как не разрезая каждую дыню на 3 доли, мальчики разделят их поровну?

Решение: По условию задачи 2 дыни нужно разделить на 3 равные части.

hello_html_32fa747d.gif.

Каждый мальчик взял по половинке дыни, а когда оставшуюся половину дыни разделили на три равные части, то каждый мальчик получил еще по hello_html_24fd3bbf.gifдыни.

Ответ: половинка дыни и hello_html_24fd3bbf.gifдыни.

Подобных задач можно придумать очень много. И над этим мы планируем поработать в дальнейшем. Рассмотрим одну из таких придуманных нами задач.

Задача.


3.2 Решение олимпиадных задач

1. Найдите сумму: hello_html_m6f462ce4.gif.

Решение: Для решения воспользуемся формулой (2)

hello_html_m8d35f93.gif

и т. д.

т. е. получим hello_html_m63d360e8.gif.

2. Найти сумму: hello_html_m7d419061.gif

Решение: Для решения воспользуемся решением предыдущей задачи.

hello_html_m43d90c0e.gif, и т. д.

Рассуждая аналогично решению предыдущей задачи, получаем ответ hello_html_m19e8bb17.gif.

4 Авторская задача


Хотим предложить свою задачу для решения в олимпиадах.

Чтобы узнать в каком году в Астане будет проводиться международная ярмарка EXPO нужно сумму аликвотных дробей hello_html_m1e593fa5.gif умножить на год, когда Н. А. Назарбаеву исполнится лет.

Решение: hello_html_622ca098.gif

Ответ: 2017 год.




Заключение

При разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что любая правильная дробь может быть разложено на единичные дроби. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики. Аликвотные дроби долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Мы выяснили, что точного алгоритма решения подобных задач нет, но мы составили приближенный алгоритм решения для различных дробей. Мы рассмотрели решение некоторых олимпиадных задач, а также составили свою.

На этом работа над данной темой не заканчивается. Нам бы хотелось рассмотреть, как можно разложит любое рациональное число hello_html_m76fa386c.gif. А так же составить сборник задач.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Введение

В результате практической деятельности человека, при дележе добычи после охоты возникла потребность в нахождении долей. Другой существенной причиной появления дробных чисел можно считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида   – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).

Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Задачи с использованием в  решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего,  задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Цель: Систематизировать знания по теме«Аликвотные дроби»

Задачи:

  • изучить историю возникновения;
  • разобрать задачи учебника;
  • рассмотреть виды дробей для решения этих задач;
  • разобрать решение олимпиадных задач;
  • придумать свои задачи.
Автор
Дата добавления 15.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров5078
Номер материала 302404
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх