1204772
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт проекта «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Математика КонспектыКонспект урока по математике на тему

Конспект урока по математике на тему

Международный конкурс
«Час экологии и энергосбережения»
Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Принять участие
библиотека
материалов

Урок на тему

«Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»

МБОУ «Татарская гимназия» Заинского муниципального района Республики Татарстан

Мухамова Гайнелхаят Гумеровна



Уравнением называется равенство, содержащую переменную. Например, уравнением являются равенства:



2у + 3 = у 0,06 = (n – 0,01) (n – 0,2)



Значения переменной, при подстановке которого в уравнении получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Например, число 2 является корнем уравнения х3 – х = 6, так как 23 – 2 = 6. Напротив, число 3 не является корнем этого уравнения, так как 33 – 3 ≠ 6.

Чтобы решить уравнение, содержащую переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используется его определение:



х│={█( х,если х≥0 @ @-х,если х<0 )┤

На практике это делается так:

Находят критические точки, т.е. значение переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

Разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.

На каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.

Совокупность решений указанных промежутков и составляет все решения, рассматриваемого уравнения.

Пример 1.Решим уравнение │х – 5│= 3.

Так как модуль х – 5 равен 3, то по определению модуля числа значение выражения под знаком модуля равно либо 3, либо – 3.

Имеем совокупность двух уравнений:

х – 5 = 3 или х – 5 = - 3

Решив их, найдем, что х1 = 8, х2 = 2.

Вообще уравнение │f (х)│ = b, где b – положительное число, равносильно совокупности двух уравнений:

f (x) = b или f (x) = -b.

Рассмотрим решение уравнений вида │f (x)│= g (x).

Если Х0 – корень этого уравнения, то │f (x0)│= g (x0). – Верное равенство, при этом g (x0)≥0, так как модуль числа всегда неотрицательное число. Отсюда следует, что f(x0) = g(x0) или f(x0) = - g(x0) Верно и обратное: если g (x0)≥0 и f(x0) = g(x0) или f(x0) = - g(x0), то │f(x0)│ = g(x0).

Значит, уравнение │f(x)│ = g(x) равносильно совокупности двух систем:

(█(█({█(f(x)= g(x),@g (x)≥0;)┤@{█(f(x)=-g(x)@g (x)≥0)┤ ))┤

Пример 2. Решить уравнение │х +3 │ = 2х – 1.

Решение. Критическая точка находится после решения уравнения

х + 3 = 0, х = - 3.

1)При х < -3 получаем уравнение – х – 3 = 2х – 1, откуда х = -2/3. Но найденное значение не входит в рассматриваемый промежуток.

2) При х ≥ 3 получаем уравнение х + 3 = 2х – 1, откуда х = 4.

Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.

Ответ: 4.

Пример 3. Решим уравнение │х + 2│+│х + 3│= х

Решение. Найдем критические точки:

х + 2 = 0 или х + 3 = 0

х = -2 или х = -3

Решаем задачу на каждом промежутке:

х < -3, -х – 2 – х – 3 = х, -3х = 5; х = - 5/3 (не входит в рассматриваемый промежуток).

– 3 ≤ х < - 2, - х – 2 + х + 3 = х; х = 1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Х ≥ - 2, х + 2 + х + 3 = х; х = - 5 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: нет корней.

Пример 4. Решим уравнение │х - 1│+│х - 2│= 1.

Освободим левую часть уравнения от знака модуля. С это целью выделим промежутки, в которых х – 1 и х – 2 оба отрицательны, имеют разные знаки, оба положительны. Для этого нужно найти значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль, - это числа 1 и 2. Они разбивают множество действительных чисел на три промежутка: (-∞; 1), (1;2) и (2; +∞).

Имеем:

х – 1 │+│х - 2│ = {█(- 2х+3,если х<1,@1,если 1≤х≤2,@2х-3,если х>2.)┤

Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности трех систем

{█(- 2х+3=1,@х<1,)┤ {█(1=1,@1 ≤х ≤2,)┤ {█(2х-3=1,@х>2.)┤

Первая и третья системы не имеют решений, а решение второй системы образуют промежуток [1;2].

Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: [1;2].

Причину несколько необычного ответа при решении этого уравнения можно увидеть, если обратиться к графику функции

У =│х - 1│+│х - 2│

Пример 5. Решить уравнение

х + 5│-│х-3│= 8.

Решение. Найдем критические точки:

Х + 5 = 0 или х – 3 = 0

Х = - 5 или х = 3.

Решаем задачу на каждом промежутке:

1) х < -5, -х – 5 –(- х + 3) = 8, -х – 5 + х – 3 = 8; -8 = 8 ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.

2) -5 ≤ х < 3, х + 5 – (-х + 3) = 8, х + 5 + х – 3 + 8, 2х =6; х = 3 (не входит в рассматриваемый промежуток).

3) х ≥ 3, х + 5 – (х – 3) = 8, х + 5 – х + 3 = 8; 8 = 8 верно. Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.

Ответ: (3; +∞)

Пример 6. Решим уравнение |х2 + 3х - 10| = 3х – 1.

Это уравнение равносильно совокупности двух систем: [█({█(х²+3х-10=3х-1,@3х-1≥0;)┤@{█(х^2+3х-10=1-3х,@3х-1 ≥0,)┤ )┤ или [█({█(х^2-9=0,@х≥1/3;)┤@{█(х^2+6-11=0,@х≥1/3.)┤ )┤

Из корней х1 = -3 и х2 = 3 уравнения х2 – 9 = 0 удовлетворяет первой системе лишь х2 = 3. Из корней х3 = -3 - 2√5 и х4 = -3 + 2√5 уравнения х2 + 6 – 11 = 0 второй системе удовлетворяет лишь х4 = -3 + 2√5, так как

-3 + 2√5 ≈ - 3 + 2 ∙ 2,2 = 1,4; 1.4 > 1/3, а х3 < 1/3.

Ответ:3; -3 + 2√5

Пример 7. Реши уравнение |х2 – 5х +7| = |2х - 5|.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

[█(х^2-5х+7=2х-5@х²-5х+7=5-2х)┤

Решим первое уравнение:

х² - 7х +12 = 0, х1 = 3, х2 = 4.

Решим второе уравнение:

х2 – 3х +2 = 0, х3 = 1, х4 =4.

Ответ: 1; 2; 3; 4.

Задачи для самостоятельного решения

а)|х²-4| = 5

б)|х²-16| = 0

в)|х²+3х| = 2

г)|х+4|+|х-3| = 7

д)|х+4|-|х-3| = 1

е)|3х²-5х-2|=|х²+6х-16|

ж)(|х|-2х²)/(х²-4|х|-2) = 1

з)(х²-5|х|-3)/(3|х|-4) = 2

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Чтобы решить уравнение, содержащую переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используется его определение:

 

│х│={█( х,если х≥0 @ @-х,если х

На практике это делается так:

         Находят критические точки, т.е. значение переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

         Разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.

         На каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.

Совокупность решений указанных промежутков и составляет все решения, рассматриваемого уравнения.

Пример 1.Решим уравнение │х – 5│= 3.

   Так  как модуль х – 5 равен 3, то по определению модуля числа значение выражения под знаком модуля равно либо 3, либо – 3.

   Имеем совокупность двух уравнений:

              х – 5 = 3            или       х – 5 = - 3

Решив их, найдем, что х1 = 8,  х2 = 2.

Вообще уравнение │f (х)│ = b, где b – положительное число, равносильно совокупности двух уравнений:

              f (x) = b     или     f (x) = -b.

Рассмотрим решение уравнений вида   │f (x)│= g  (x).

 Если Х0 – корень этого уравнения, то │f (x0)│= g  (x0). – Верное равенство, при этом g (x0)≥0, так как модуль числа всегда неотрицательное число. Отсюда следует, что  f(x0) = g(x0) или       f(x0) = - g(x0) Верно и обратное: если g (x0)≥0  и  f(x0) = g(x0)  или      f(x0) = - g(x0), то │f(x0)│ = g(x0).

Значит, уравнение │f(x)│ = g(x) равносильно совокупности двух систем:

(█(█({█(f(x)= g(x),@g (x)≥0;)┤@{█(f(x)=-g(x)@g (x)≥0)┤ ))┤

Пример 2. Решить уравнение │х +3 │ = 2х – 1.

Решение. Критическая точка находится после решения уравнения

        х + 3 = 0,   х = - 3.

Общая информация
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку
26-28 октября 2019 I МЕЖДУНАРОДНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ «ИНФОФОРУМ» «Современные тенденции в воспитании и социализации детей» Подать заявку Очное участие Дистанционное участие Курс повышения квалификации (36 часов) + Сертификат участника “Инфофорума”
Международный конкурс
«Час экологии и энергосбережения»
Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Принять участие
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
17 курсов по пожарно-техническому минимуму
Обучение от 2 дней
дистанционно
Удостоверение
Программы актуальны на 2019 г., согласованы с МЧС РФ
2 500 руб. до 1 500 руб.
Подробнее