Материал для подготовки к ОГЭ по теме "Уравнения"

 Уравнения и системы уравнений.

Справочный материал

1. Уравнения

№ п/п	Вид уравнения	Схема решения
1	Линейные уравнения	а) раскрыть скобки, б) перенести известные в правую часть уравнения, неизвестные – в левую (при переносе через знак равенства менять знаки на противоположные), в) привести подобные слагаемые, г) решить полученное уравнение вида ах=в,                                                                    х=в:а ( в случае, если а=0 корней нет), д) записать ответ, е*) выполнить проверку (подставить полученное значение в первоначальное уравнение, при верном решении должно получиться верное равенство).
2	Квадратные уравнения	а) раскрыть скобки, б) перенести все в левую часть уравнения, в) привести подобные слагаемые, г) возможны три случая: 1. полное квадратное уравнение             вычислить дискриминант по формуле   D=в2-4ас если D>0, то уравнение имеет два корня х1,2= 2. неполное квадратное уравнение вида ах2+вх=0 Разложить на множители вынесением за скобки и использовать свойство произведения равного 0 3.  неполное квадратное уравнение вида ах2+с=0 Решить так:  ах2+с=0                       ах2=-с                       х2=-с:а      (в случае, если –с:а<0 – корней нет)                       х= д*) выполнить проверку (подставить полученное значение в первоначальное уравнение, при верном решении должно получиться верное равенство).
3	Дробно-рациональные уравнения (уравнения, содержащие деление на переменную)	а) умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей б) решить получившееся уравнение в) выполнить проверку: найденные значения переменной подставить в знаменатели, (в случае, если знаменатель равен 0 – посторонний корень) г) выполнить проверку (подставить полученное значение в первоначальное уравнение, при верном решении должно получиться верное равенство).
4	«Другие»	а) разложить на множители и использовать свойство произведения, равного 0 б) графический метод - рассмотреть функции правой и левой частей уравнения - построить графики функций в одной системе координат, - абсциссы точек пересечения – решения уравнения

Примечание: если уравнение содержит числовой знаменатель, нужно умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и решить получившееся уравнение.

2. Задания, сводящиеся к решению уравнений

а) чтобы вычислить координаты точек пересечения  графиков функций, нужно составить и решить уравнение, приравняв их левые части, а затем подставить найденное значение в любую из функций и вычислить вторые координаты;

б) чтобы вычислить координаты точек пересечения  графика функции с осью абсцисс (х) , нужно приравнять левую часть функции к 0 и решить полученное уравнение.

3. Системы уравнений

1. Способ подстановки:

- выразить из любого уравнения одну из переменных,

- подставить значение выраженной переменной в другое уравнение,
- решить получившееся уравнение,
- найти значение второй переменной, подставив найденное значение в выражение,

- записать ответ.

2. Способ сложения:

- умножить (при необходимости) одно или оба уравнения системы на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных  в уравнениях стали противоположными числами,

- сложить почленно уравнения, при этом получится уравнение от одной переменной,

- решить получившееся уравнение,

- найти значение второй переменной, подставив найденное значение в одно из уравнений,

- записать ответ.

3. Графический способ:

- выразить в каждом уравнении одну из переменных (чаще всего у) и рассмотреть соответствующие функции,

- в одной системе координат графики этих функций,

- координаты точек пересечения – решения системы,

- записать ответ.

Примечание: если к системе уравнений даны варианты ответов, то легче проверить каждый из вариантов, подставив ответы в систему. Верный ответ, если получается два верных равенства.

РАЗДЕЛ I

1. Уравнения

1. Решите уравнение 3х-х²=0

2. Решите уравнение 3(2+1,5х)=0,5х+24

3. Решите уравнение =-3

4. Решите уравнение 5х²=25х

5. Каждое уравнение, имеющее корни, соотнесите с множеством его корней:

1) х²=х                 2) х²=-х                  3) х²=-1               4) х²=1

           а) 1 и -1               б) 0 и 1             в) 0 и -1

6. Решите уравнение

7. Вычислите координаты точек пересечения параболы у=3х²+2 и прямой у=-6х+2

8. Решите уравнение 3х²-27=0.

9. Решите уравнение

10. Найдите корни уравнения

11. На рисунке изображен график функции у=2х²-4х-6. Вычислите координаты точки А.

 

                         у

                    А                                                х

12. Используя графики функций у=х³ и у=-х+2 решите уравнение х³+х-2=0

                        у

13. Какое из уравнений не имеет корней:

А. 3х²+5х-2=0                 Б. 3х²-10х+6=0                 В. 2х²+4х+5=0                  Г. 2х²+7х+5=0

14.

2. Системы уравнений

1. Решите систему уравнений

А. (0;3)                     Б. (0;-3)                         В. (0;-3), (3;0)                          Г. (-3;0), (0;3).

2. Из данных уравнение подберите второе уравнение системы  так, чтобы она не имела решения (используйте графические представления)

А. у=-х               Б. у=х                     В. у=х²                         Г. у=-х²

3. Решите систему уравнений

4. Для каждой из систем уравнений укажите число ее решений. (Для ответа используйте графики, график  уравнения х²+у²=9 изображен на рисунке)

1)             2)                 3)

                                       3

  

                             -3                   3

                                      -3

5. Используя графики, решите систему уравнений

                        у

х