Методическая разработка программы факультативного курса по математике "Комбинации геометрических фигур в стереометрии"

Человек всегда стремился к идеализации природных форм, создавая свои творения на основе простых геометрических фигур. Еще в глубокой древности люди чертили и рисовали на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения вещей, деревьев, животных и людей. Они делали это для удовлетворения своих потребностей, в том числе и эстетических. При этом основное требование к таким изображениям заключалось в правильном зрительном представлении о форме предмета.

С ростом практических и технических применений изображений к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельных элементов определенного предмета. О таких требованиях можно судить по многим памятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрически обоснованные правила и методы изображения пространственных фигур и их комбинаций стали систематически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.

Вопросами, касающимися изучения пространственных фигур и их комбинаций занимался и Евклид. Он, например, определяет призму как телесную фигуру, заключенную между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и с боковыми гранями — параллелограммами. А пирамиду он определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся к одной точке (вершине).

Растущие запросы архитектуры, техники, промышленности, военного дела и живописи привели к формированию специальной математической ветви — начертательной геометрии, завершенной французским математиком Г. Монжем. Его труд «Начертательная геометрия», возникший из решений ряда вопросов изображения как пространственных фигур, так и их комбинаций, лёг в основу проекционного черчения, которое широко используется в современной технике и науке. Это дает возможность решить задачу восстановления пространственной фигуры или изучение ее геометрических свойств по заданным изображениям, а также решение различных задач, касающихся комбинации пространственных фигур, с помощью их плоских изображений.

Принципы комбинаций геометрических фигур можно проследить на различных моделях, например: кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников; капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром.

Мы живем в трехмерном пространстве. В процессе деятельности человек часто сталкивается с необходимостью представлять внешний вид, структуру объектов окружающего мира. Многие профессии – конструктор, архитектор, хирург, закройщик, ландшафтный дизайнер требуют от человека умения мысленно производить пространственные преобразования, хорошо ориентируясь в пространстве видимом и воображаемом.

В настоящее время всё больше прослеживается связь стереометрии с современными компьютерными технологиями, реализация которых благодаря основным принципам стереометрии позволяет получить значительные достижения в архитектуре (отражается индивидуальность при строительстве зданий), дизайне (экспериментирование с формами геометрических фигур), ювелирном искусстве (для разных драгоценных камней требуются различные способы огранки, чтобы подчеркнуть их природную красоту). Всё это возможно благодаря грамотному использованию компьютерных программ, которые реализуют построение пространственных фигур (произвольно или по заданным характеристикам), позволяют комбинировать их, строить сечения, осуществляют вращение трехмерных объектов (3D Studio Max, Borland C++ Builder 6 и др.).

Глава I. Комбинации геометрических фигур в пространстве

1. Основные понятия параллельного проектирования

Значение чертежа при изучении геометрии очень велико, в частности при решении задач со взаимосвязанными между собой элементами фигуры, в том числе с дополнительными построениями.

Запись условия теоремы или задачи с помощью чертежа позволяет охватить, причем в наглядной форме, все условие целиком, лучше усвоить и яснее понять его, что существенно облегчает анализ теоремы или задачи, поиски путей доказательства или решения.

Решая задачу или доказывая теорему из курса стереометрии, мы пользуемся, как правило, не пространственной моделью соответствующей фигуры, а её изображением не плоскости, чертежом, то есть её графической моделью. Тот, кто хочет научиться решать стереометрические задачи, должен прежде всего научиться правильно изображать пространственные фигуры на плоскости.

В чем же сущность проектирования пространственных фигур на плоскость, позволяющего получить наглядные изображения этих фигур?

Для получения таких изображений пользуются чаще всего двумя методами – параллельным проектированием и центральным проектированием (перспективой).

Второй из этих методов более соответствует аппарату человеческого зрения, но он очень сложен и поэтому не пригоден для наших целей. Ведь рисунок при изучении стереометрии играет вспомогательную роль. К рисунку предъявляются не только требования верности оригиналу и наглядности, но простоты и быстроты выполнения. Этим требованиям вполне отвечает параллельная проекция.

Пусть в пространстве заданы некоторая плоскость α (будем называть её плоскостью проекций) и некоторая прямая l, пересекающая α. Прямая l определяет направление проектирования. Все параллельные ей прямые называются проектирующими.

Пусть – произвольная точка пространства. Через эту точку проходит только одна прямая, параллельная прямой l (то есть только одна проектирующая прямая), пересекающая плоскость проекций α в некоторой точке, которую обозначим буквой . Эту точку назовём проекцией точки на плоскость α при проектировании параллельно прямой l, или просто параллельной проекцией точки . Из данного определения следует, что точки, принадлежащие плоскости α, совпадают со своими проекциями на эту плоскость.

Таким образом, параллельное проектирование является отображением пространства на плоскость проекций. Это отображение не обратимо, так как все точки , лежащие на одной и той же проектирующей прямой, проектируются в одну точку . Однако, при изображении прямых, не являющихся проектирующими, и плоских фигур, не распложенных в проектирующей плоскости, между точками этих фигур и их проекциями существует взаимно однозначное соответствие.

Проектирующей называется любая плоскость, параллельная направлению проектирования.

Чтобы свободно пользоваться параллельным проектированием, надо выявить его свойства:

1. Проекция точки есть точка;

2. Проекция прямой, не параллельной направлению проектирования, есть прямая или точка, если прямая параллельна направлению проектирования;

3. Если прямая l не параллельна плоскости, то точкой пересечения этой прямой с плоскостью является точка пересечения прямой и её проекции на эту плоскость;

4. Проекции параллельных прямых, не являющихся проектирующими, параллельны или совпадают;

5. Проекция отрезка есть отрезок;

6. Параллельной проекцией окружности является эллипс (или отрезок – в случае, если окружность лежит в проектирующей плоскости;

7. Сохраняется простое отношение трёх точек, в частности середина отрезка проектируется в середину его проекции (теорема Фалеса);

8. Проекции параллельных отрезков пропорциональны самим отрезкам.

В стереометрии изображением фигуры (оригинала) называется любая фигура, подобная параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость. Задача изображения фигуры считается решенной, если получено любое изображение фигуры – верное, достаточно наглядное, удобное для проведения на нём дополнительных линий.

2. Изображение пространственных фигур

Под изображением пространственной фигуры понимается совокупность изображений всех её точек на плоскости изображения. Очевидно, что для получения изображения многогранника достаточно получить изображение всех его вершин.

Пространственная фигура (как и плоская), рассматриваемая в задаче, может быть довольно больших размеров или, наоборот, миниатюрной. И в том, и в другом случае больше устраивает не проекция самой фигуры, а фигура, подобная этой проекции, имеющая удобные для нас размеры.

При изображении многогранников, цилиндра и конуса будем по возможности располагать эти тела так, чтобы их высоты занимали вертикальное положение и изображались вертикальными отрезками. Это придаст изображениям большую наглядность.

Будем считать, что плоскостью изображений является плоскость чертежа, а изображаемая фигура расположена где-то в пространстве. Положение фигуры относительно плоскости изображений и направление параллельного проектирования, вообще говоря, безразличны. Но из различных возможностей следует выбирать то, которое является наиболее наглядным.

В основе изображения пространственных фигур лежат две следующие теоремы.

Теорема 1.2.1 (Польке - Шварца). Любой плоский четырехугольник вместе с его диагоналями можно принять за изображение тетраэдра произвольной формы.

Теорема 1.2.2. Если задано изображение тетраэдра , то изображение любой точки пространства может быть построено с помощью свойств параллельного проектирования.

Рассмотрим теперь изображения некоторых пространственных фигур.

Куб. Три ребра куба, выходящие из одной вершины, изображаются в виде тройки произвольной длины и произвольно направленных отрезков, выходящих из одной точки. Затем изображение куба достраивается с учетом того, что все его грани - квадраты, каждый из которых проектируется в соответствующий параллелограмм. Так выглядит кабинетная проекция куба.

Параллелепипед произвольной формы строится так же, как и куб, причем изображение не определяет формы параллелепипеда. Он может быть в оригинале наклонным, прямым или прямоугольным.

Призма. Основания n-угольной призмы - равные n-угольники с параллельными сторонами. На изображении это два n-угольника, один из которых получается параллельным переносом другого. Боковые грани изображаются параллелограммами.

Пирамида. По теореме Польке - Шварца за изображение вершины пирамиды и трех вершин основания можно взять любые четыре точки плоскости. Тогда остальные вершины изображаются с использованием правил построения изображений плоских фигур.

Изображение пирамиды или призмы сводится к изображению основания и боковых рёбер многогранника. Кроме того, для большей наглядности чертежа высоту пирамиды, боковые рёбра прямой призмы, высоту наклонной призмы изображают вертикальными отрезками.

Также не учитываются числовые данные о длине отрезков или величине углов, если они не влияют на геометрическое содержание и геометрическое решение задачи. Это обеспечивает большую свободу при изображении элементов фигуры.

Приступая к изображению многогранника, следует прежде всего проанализировать его форму и свойства.

Усеченная пирамида. Согласно определению, усеченной пирамидой называется многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию. В полном соответствии с этим определением и надо строить изображение усеченной пирамиды, начиная с полной пирамиды и изобразив затем сечение её плоскостью параллельной основанию. Секущая плоскость пересекает плоскости боковых граней пирамиды по прямым, параллельным соответствующим сторонам основания, а плоскости диагональных сечений – по прямым, параллельным диагоналям основания.

Тетраэдр. Из теоремы Польке – Шварца следует, что его изображением является произвольный четырехугольник вместе с диагоналями.

Прямой круговой цилиндр. Для построения изображения расположим цилиндр так, чтобы его ось была параллельна плоскости изображения. Направление проектирования не должно быть параллельным плоскости основания или образующим, так как в первом случае цилиндр изобразится в виде прямоугольника, а во втором - в виде круга, изображение не будет наглядным.

Нижнее основание цилиндра изображаем в виде произвольного эллипса. Через центр эллипса проводим вертикаль, откладываем отрезок произвольной длины, тем самым определяется изображение центра верхнего основания. Строим равный эллипс с этим центром и приложением линейки проводим общие касательные к эллипсам.

Прямой круговой конус. Располагаем ось конуса параллельно плоскости изображения, направление проектирования выбираем под углом к плоскости изображения, отличным от прямого. Основание конуса изобразим в виде произвольного эллипса, через его центр О проводим вертикаль, произвольную точку S на ней возьмем за изображение вершины конуса. Приложением линейки проводим из этой точки касательные к эллипсу (контурные образующие конуса). Заметим, что точки касания К₁, К₂, и центр О не лежат на одной прямой. Большую наглядность изображению придаст построение изображения SA еще одной образующей конуса.

Шар (сфера). В ортогональной проекции изображением шара является круг. Если на чертеже обозначить шар только его очертанием в виде окружности – контура, такое изображение не создаст наглядного образа шара как геометрического тела. Поэтому чертёж дополняется рядом линий и точек, которые изображают отдельные элементы шара (сферы).

Окружность одного из больших кругов шара назовём экватором; диаметр, перпендикулярный к плоскости экватора, - осью, его концы – полюсами шара. Окружности сечений, параллельных плоскости экватора, назовём параллелями, а окружности сечений, проходящих через полюсы, - меридианами.

Если изображение очертания шара дополнить изображениями экватора и полюсов, рисунок становится объёмным.

Пусть эллипс для изображения экватора выбран. Тогда изображение шара строится в такой последовательности:

- проекцию прямой EF, содержащей ось шара, располагаем «вертикально», выбираем на ней точку О, изображающую центр шара;

- совместив центр эллипса с выбранной точкой О и расположив малую ось CD эллипса вдоль прямой EF, изображаем экватор шара (видимой будет ровно половина экватора);

- радиусом, равным большой полуоси эллипса, описываем окружность с центром в точке О; эта окружность изображает очертание шара и делит сферу на две равные части: переднюю (обращенную к зрителю) – видимую и заднюю – невидимую;

- для изображения полюсов проводим касательную к эллипсу в точке С его малой оси; отрезок СК этой касательной между точками касания и точкой пересечения её с очертанием шара откладываем на прямой EF по обе стороны от точки О: ON=OM=CK. Полученные точки M и N – изображения полюсов шара.

3. Вписанные многогранники

3.1 Призма, вписанная в цилиндр

Определение. Призма называется вписанной в цилиндр (а цилиндр, соответственно, описанным около призмы), если ее основания вписаны в основания цилиндра.

Боковые ребра призмы, вписанной в цилиндр, являются образующими этого цилиндра.

Радиус цилиндра R равен радиусу окружности, описанной около основания цилиндра.

Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около основания призмы.

Теорема 1.3.1. Для того чтобы призму можно было вписать в цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая, а около ее основания можно было описать окружность.

□ Необходимость. Если призма вписана в цилиндр, то ее основания — по определению вписанные многоугольники. Кроме того, боковые ребра призмы — образующие цилиндра. Образующие цилиндра перпендикулярны плоскостям оснований, следовательно, рассматриваемая призма прямая.

Достаточность. Пусть дана прямая призма, около одного из
оснований которой можно описать окружность. Так как одно основание
призмы переводится в другое параллельным переносом на вектор,
перпендикулярный этим основаниям, то окружность, описанная около
одного основания, переходит при этом параллельном переносе в окружность,
описанную около другого основания. Из этого следует, что существует
цилиндр, основания которого — рассматриваемые круги, а образующая —
боковое ребро призмы. Этот цилиндр, по определению, описан около призмы. ■

Из доказанной теоремы следует, что около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр и что около любой правильной призмы можно описать цилиндр.

Изображение призмы, вписанной в цилиндр, сводится к изображению оснований призмы, вписанных в окружности оснований цилиндра. Основания цилиндра изображаются в виде эллипсов. Контурные образующие цилиндра изображаются параллельно ребру призмы.

3.2 Пирамида, вписанная в конус

Определение. Пирамида называется вписанной в конус (а конус, соответственно, описанным около пирамиды), если вершина пирамиды является вершиной конуса, а основание пирамиды вписано в основание конуса.

Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются его образующими. Радиус конуса R равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды, а высоты H конуса и пирамиды совпадают.

Теорема 1.3.2. Для того чтобы пирамиду можно было вписать в конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды были равны.

□ Необходимость сразу следует из того, что образующие конуса, являющиеся одновременно боковыми ребрами вписанной пирамиды, равны.

Достаточность. Если боковые ребра пирамиды равны, то около ее
основания можно описать окружность, а вершина проектируется в центр этой
окружности. Конус, основание которого ограничено этой окружностью, а
вершина является вершиной пирамиды, описан около пирамиды по определению. ■

В частности, около любой правильной треугольной пирамиды можно описать конус.

Изображение комбинации сводится к изображению основания пирамиды, вписанного в основание конуса. Вершина конуса и пирамиды лежит на прямой, проходящей через центр основания конуса и перпендикулярной этому основанию. Основание конуса изображается в виде эллипса.

Определение. Усеченная пирамида называется вписанной в усеченный конус (а усеченный конус, соответственно, описанным около усеченной пирамиды), если ее основания вписаны в основания усеченного конуса.

4. Описанные многогранники

4.1 Призма, описанная около цилиндра

Определение. Призма называется описанной около цилиндра (а цилиндр, соответственно, вписанным в призму), если ее основания описаны около оснований цилиндра.

Плоскости боковых граней призмы, описанной около цилиндра, касаются цилиндра.

Радиус цилиндра r равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания призмы.

Теорема 1.4.1. Для того чтобы призму можно было описать около цилиндра, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая, а в ее основание можно было вписать окружность.

В частности, во всякую прямую треугольную призму и во всякую правильную призму можно вписать цилиндр.

Изображение призмы, описанной около цилиндра, сводится к изображению оснований цилиндра, вписанных в основания призмы. Основания цилиндра изображаются в виде эллипсов. Контурные образующие цилиндра изображаются параллельно ребру призмы.

4.2 Пирамида, описанная около конуса

Определение. Пирамида называется описанной около конуса (а конус, соответственно, вписанным в пирамиду), если вершина пирамиды является вершиной конуса, а основание пирамиды описано около основания конуса.

A₁

Плоскости боковых граней пирамиды, описанной около конуса, являются касательными к конусу.

Радиус конуса r равен радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды, а высоты H конуса и пирамиды совпадают.

Теорема 1.4.2. Для того чтобы пирамиду можно было описать около конуса, необходимо и достаточно, чтобы двугранные углы при основании пирамиды были равны.

□ Необходимость. Пусть пирамида SA₁...A_n описана около конуса. Тогда основание конуса — круг с центром О — вписано в основание пирамиды. Обозначим точки касания этого круга со сторонами A₁A₂,…,A_nA₁ основания пирамиды через B₁,…,B_n соответственно. Прямоугольные треугольники SOB₁, SOB₂,…, SOB_n равны по двум катетам, следовательно . Указанные углы являются линейными углами двугранных углов при основании пирамиды, они равны, т.е. равны и двугранные углы при основании.

Достаточность. Если двугранные утлы при основании пирамиды равны, то в ее основание можно вписать окружность, а вершина проектируется в центр этой окружности. Конус, основание которого ограничено указанной окружностью, а вершина является вершиной пирамиды, по определению, вписав в пирамиду. ■

В частности, всякую правильную пирамиду можно описать около конуса.

Изображение комбинации сводится к изображению основания пирамиды, описанного около основания конуса. Вершина конуса и пирамиды лежит на прямой, проходящей через центр основания конуса и перпендикулярной этому основанию. Основание конуса изображается в виде эллипса.

5. Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники (призма, пирамида)

Определение. Многогранник называется вписанным в шар (сферу), если все его вершины лежат на поверхности шара (на этой сфере).

Утверждения для сферы справедливы и для шара. Из данного определения вытекает, что если многогранник можно вписать в шар, то центр этого шара равноудален от всех его вершин. Обратно, если существует точка, равноудаленная от всех вершин многогранника, то около многогранника можно описать шар с центром в этой точке.

Заметим, что если около многогранника можно описать шар, то этот шар единственный.

Теорема 1.5.1. Около многогранника можно описать сферу, тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий:

а) около всякой грани многогранника можно описать окружность, и оси окружностей, описанных около граней многогранника, пересекаются в одной точке;

б) плоскости, перпендикулярные к ребрам многогранника и
проходящие через их середины, пересекаются в одной точке;

в) существует единственная точка, равноудаленная от всех вершин
многогранника.

□ Необходимость. Пусть около многогранника описана сфера. Докажем, что выполняется условие а). действительно, поскольку плоскость данной грани многогранника пересекает сферу по окружности, то вершины грани, принадлежащие сфере и плоскости грани, принадлежат линии их пересечения — окружности. Поскольку центр сферы равноудален от всех вершин данной грани, то он лежит на перпендикуляре к этой грани, проведенном через центр описанной около грани окружности.

Достаточность. Пусть выполняется условие а). Докажем, что около многогранника можно описать сферу. В самом деле, поскольку общая точка перпендикуляров к граням, проведенных через центры описанных около граней окружностей, равноудалена от всех вершин многогранника, то около многогранника описывается сфера с центром в этой точке. ■

Если сфера описана около многогранника, то:

а) основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на любую грань, является центром окружности, описанной около этой грани (как основание высоты пирамиды с равными боковыми ребрами — радиусами сферы, проведенными из ее центра в вершины данной грани);

б) центр сферы, описанной около многогранника, может находиться
внутри многогранника, на его поверхности (в центре описанной около грани
окружности, в частности в середине некоторого ребра), вне многогранника.

5.1 Призма, вписанная в шар

Теорема 1.5.2. Для того чтобы около призмы можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая, а в ее основании лежал вписанный многоугольник.

□ Необходимость. Если около призмы описан шар, то ее основания вписаны в круги, являющиеся сечениями шара плоскостями оснований, а боковые грани вписаны в круги, являющиеся сечениями шара плоскостями этих граней. Боковые грани призмы — параллелограммы. Как известно из планиметрии, параллелограмм можно вписать в круг тогда и только тогда, когда он является прямоугольником. Итак, все боковые грани призмы — прямоугольники. Следовательно, призма прямая.

Достаточность. Пусть дана прямая призма , основания которой и — вписанные многоугольники с центрами описанных кругов и соответственно (ясно, что если одно из оснований призмы — вписанный многоугольник, то этим свойством обладает и другое основание, причём радиусы описанных кругов равны).

Пусть — середина . Докажем, что эта точка равноудалена от всех вершин призмы. Действительно, , , где R - радиус круга, описанного около основания призмы, а . Итак, около призмы можно описать шар с центром в точке . ■

В частности, мы установили, что около любой прямой треугольной призмы можно описать шар и что около любой правильной призмы можно описать шар. Шар можно описать также около любого прямоугольного параллелепипеда, в частности, куба. Кроме того, при доказательстве теоремы мы показали, что центр шара, описанного около призмы, есть середина отрезка, соединяющего центры кругов, описанных около оснований призмы. Следствия:

а) около всякой правильной призмы можно описать сферу;

б) около всякой прямой треугольной призмы можно описать сферу;

в) около всякого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу;

г) центр описанной около призмы сферы равноудален от плоскостей оснований призмы и может находиться внутри призмы, на ее боковой грани (в центре описанной около грани окружности), вне призмы.

Чтобы изобразить призму, вписанную в шар, надо начать с того, что вписать многоугольник в какой-нибудь параллельный экватору круг. Ребра призмы параллельны оси шара.

5.2 Пирамида, вписанная в шар

Теорема 1.5.3. Для того чтобы около пирамиды можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы в основании пирамиды лежал вписанный многоугольник.

□ Необходимость. Если около пирамиды описан шар, то сечение шара плоскостью основания — круг. Этот круг описан около основания пирамиды.

Достаточность. Пусть в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник . Геометрическим местом точек, равноудаленных от всех вершин основания, является перпендикуляр к плоскости , проходящий через центр описанного около многоугольника круга. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек S и , является плоскость , перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Пусть , тогда точка О равноудалена от всех вершин пирамиды. Следовательно, около данной пирамиды можно описать шар. Очевидно, что этот шар единственный. ■

Следствия:

а) около всякой правильной пирамиды можно описать сферу, центр
которой лежит на высоте пирамиды или ее продолжении;

б) около всякого тетраэдра можно описать сферу.

Центр сферы, описанной около пирамиды, может находиться:

а) с вершиной пирамиды по одну сторону от плоскости ее основания — внутри пирамиды, в плоскости боковой грани (в центре описанной около этой грани окружности), вне пирамиды;

б) в плоскости основания в центре описанной около основания
окружности;

в) с вершиной пирамиды по разные стороны от плоскости ее
основания.

Теорема 1.5.4. Если боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости ее основания, то около пирамиды можно описать сферу.

□ Поскольку боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания пирамиды, то около основания пирамиды можно описать окружность, а тогда около пирамиды можно описать сферу. ■

Эту теорему можно сформулировать иначе: если пирамида имеет равные боковые ребра, то около пирамиды можно описать сферу. Обратная теорема не верна.

Теорема 1.5.5. Для того чтобы около усеченной пирамиды можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы ее основаниями были вписанные многоугольники, а прямая, проходящая через центры кругов, описанных около оснований, была перпендикулярна плоскостям оснований.

Изображение комбинации: основание пирамиды вписано в какой-либо параллельный круг, а вершина – любая точка сферы.

6. Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники (призма, пирамида)

Определение. Многогранник называется описанным около шара (сферы), если этот шар (сфера) касается всех граней многогранника.

При этом указанный шар (сфера) называется вписанным в многогранник.

Далее будем говорить только о вписанной сфере (утверждения о вписанном шаре аналогичны).

Из определения следует, что если многогранник описан около шара, то центр шара равноудален от всех граней многогранника. Верно и обратное: если существует точка, равноудаленная от всех граней многогранника, то в него можно вписать шар с центром в этой точке.

Теорема 1.6.1. В многогранник можно вписать сферу тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий:

а) биссекторы двугранных углов при всех ребрах многогранника пересекаются в одной точке;

б) во всякий многогранный угол многогранника можно вписать коническую поверхность вращения, и оси конических поверхностей вращения, вписанных в многогранные углы многогранника, пересекаются в одной точке;

в) существует единственная точка, равноудаленная от всех граней многогранника.

Теорема 1.6.2. Объем многогранника, описанного около сферы, равен произведению его полной поверхности на треть радиуса вписанной сферы.

□ Центр сферы соединим со всеми вершинами многогранника. Если у многогранника n граней, то образуется n пирамид с общей вершиной в центре сферы и основаниями которых будут грани многогранника. Высоты этих пирамид, как радиусы одной и той же сферы, равны между собой. Пусть площади граней многогранника , , …, , а радиус вписанной сферы .

Тогда объем многогранника, как сумма объемов самонепересекающихся упомянутых пирамид, будет ранен:

, где - полная поверхность многогранника. ■

6.1 Призма, описанная около шара

Теорема 1.6.3. Для того чтобы в призму можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы в ее перпендикулярное сечение можно было вписать круг и чтобы высота призмы была равна диаметру этого круга.

□ Необходимость. Пусть шар вписан в призму . Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы, проходящее через центр О шара , . По определению следовательно, эта плоскость перпендикулярна всем боковым ребрам призмы (так как они параллельны), а значит, всем её боковым граням.

В плоскости проведем через точку O перпендикуляр к прямой . Он будет и перпендикуляром к плоскости , Следовательно, точка пересечения этого перпендикуляра с прямой является точкой касания шара с плоскостью . Из определения вписанного шара вытекает, что указанная точка лежит на отрезке . Аналогично доказывается, что все остальные точки касания шара с боковыми гранями призмы лежат по одной на соответствующих сторонах рассматриваемого перпендикулярного сечения. Отсюда следует, что большой круг, являющийся сечением шара плоскостью вписан в многоугольник . Диаметр этого круга равен диаметру шара.

Основания призмы параллельны, а вписанный шар касается каждого из них. Поэтому расстояние между плоскостями оснований равно диаметру шара. Следовательно, высота призмы равна диаметру круга, вписанного в ее перпендикулярное сечение.

Достаточность. Пусть дана призма, в перпендикулярное сечение которой можно вписать круг, а высота призмы равна диаметру этого круга. Центр круга равноудален от всех сторон перпендикулярного сечения, следовательно, он равноудален и от всех боковых граней призмы. Это означает, что биссекторы всех двугранных углов при боковых ребрах призмы пересекаются по прямой, проходящей через центр круга. Все точки этой прямой удалены от плоскостей боковых граней призмы на расстояние R. Пусть биссектор какого-нибудь двугранного угла при основании призмы пересекает указанную прямую и точке О. Эта точка удалена от всех боковых граней и одного из оснований призмы на расстояние R. По условию, основания призмы находятся на расстоянии 2R друг от друга, следовательно, точка О находится на расстоянии R от другого основания. Осталось доказать, что проекции точки О на плоскости оснований призмы попадут именно на сами основания. Допустим, что это не так. Тогда перпендикуляр, опушенный из точки О на плоскость одного из оснований, пересечет какую-то боковую грань призмы. Следовательно, расстояние от точки О до этой грани меньше R, что невозможно.

Итак, шар с центром О и радиусом R вписан в призму. ■

Следствия:

а) в правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы;

б) в треугольную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы;

в) центр сферы, вписанной в призму, расположен внутри призмы и
равноудален от плоскостей ее оснований (как и от боковых граней).

Изображение комбинации: изображаем шар, описываем многоугольник около экватора, далее достраиваем призму при условии, что боковое ребро равно диаметру шара.

6.2 Пирамида, описанная около шара

Теорема 1.6.4. Если боковые грани выпуклой пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то в пирамиду можно вписать шар.

□ Действительно, поскольку боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то в основание можно вписать окружность, центр которой есть основание высоты пирамиды. А тогда, в пирамиду можно вписать сферу. Исключением является треугольная пирамида, основание высоты которой может быть при равнонаклонности боковых граней к основанию центром вневписанной в основание окружности. Но во всякий тетраэдр вписывается шар.

Обратная теорема не верна. ■

Теорема 1.6.5. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то в неё можно вписать шар.

□ В данную пирамиду можно вписать конус, а в этот конус можно вписать шар. Докажем, что этот шар вписан в пирамиду.

Действительно, этот шар касается основания пирамиды, так как он касается основания конуса, а оно вписано в основание пирамиды. Шар касается каждой образующей конуса, а в каждой боковой грани пирамиды лежит ровно одна образующая конуса (которая является апофемой этой грани). Следовательно, шар касается и каждой грани пирамиды. ■

Замечание. Теорему можно доказать и не используя вписанный конус, а показав непосредственно, что все биссекторы двугранных углов при основании пересекаются в одной точке (для этого нужно воспользоваться теоремой «если все двугранные углы при основании пирамида равны, то в ее основание можно вписать окружность, а вершина пирамида проектируется в центр этой окружности», а затем доказать, что точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла какого-нибудь двугранного угла при основании принадлежит всем указанным биссекторам, т. е. является центром вписанного шара).

Из доказанной теоремы следует, что во всякую правильную пирамиду можно вписать шар. Радиус этого шара нетрудно найти, зная сторону основания пирамиды и двугранный угол при основании.

Изображение комбинации: изобразить шар, взять какой-нибудь параллельный круг и описать около него многоугольник. В точках касания провести касательные к меридианам шара. Пересечение касательных даст вершину шара. Далее достраиваем пирамиду, используя коэффициент подобия.

7. Комбинации шара и круглых тел

7.1 Описанные шары

Определение. Шар называется описанным около цилиндра, если все точки окружностей оснований цилиндра лежат на поверхности шара.

Аналогичное определение справедливо и для сферы.

Теорема 1.7.1. Около всякого цилиндра можно описать шар. Центр описанного шара находится в середине высоты цилиндра, а радиус равен радиусу круга, описанного около осевого сечения цилиндра.

□ Рассмотрим цилиндр радиуса и высоты . Пусть и - центры его оснований. Выберем на окружности основания с центром произвольную точку . Построим осевое сечение цилиндра, проходящее через . Это сечение — прямоугольник со сторонами и . Как известно из планиметрии, около прямоугольника можно описать окружность, а ее центр находится в середине отрезка, соединяющего середины противоположных сторон. В рассматриваемом случае центр описанной окружности – середина отрезка , т. е. середина высоты цилиндра (см. рис).

Из находим . В силу произвольности выбора точки заключаем, что рассматриваемая окружность основания цилиндра лежит на поверхности шара с центром и радиусом . Аналогично доказывается, что окружность другого основания также лежит на поверхности этого шара. ■

Замечание. Метод, использованный при доказательстве этой теоремы, заключается в сведении пространственной задачи о фигурах вращения к задаче на плоскости путем рассмотрения осевого сечения. Этим методом доказываются и все остальные теоремы этого раздела.

Определение. Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара.

Аналогичное определение справедливо и для сферы.

Теорема 1.7.2. Около всякого конуса можно описать шар. Центр описанного шара есть центр круга, описанного около осевого сечения конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.

□ Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.7.1. ■

Некоторые свойства:

а) Центры вписанной в конус и описанной около него сфер лежат на высоте конуса, причем центр вписанной сферы всегда находится внутри конуса, а описанной — внутри конуса, в плоскости его основания (в центре основания), вне конуса, если угол при вершине в осевом сечении конуса острый, прямой, тупой соответственно.

б) Отношение объемов конуса и вписанного в конус шара равно отношению площадей полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Теорема 1.7.3. Вписанная в конус и описанная около него сферы концентричны, если и только если выполняется любое из условий:

а) конус равносторонний;

б) отношение радиусов описанной около конуса и вписанной в него сфер минимально;

в) , где - радиус описанной около конуса сферы и - радиус вписанной в конус сферы.

□ Необходимость. Пусть вписанная в конус и описанная около него сферы концентричны. Докажем, что конус равносторонний. Осевое сечение конфигурации равнобедренный треугольник (, см. рис.) с концентрическими вписанной и описанной окружностями. Пусть ,, - точки касания вписанной окружности сторон треугольника. Учитывая, что ,, перпендикулярны к сторонам треугольника и то, что , заключаем, что , , . А поскольку, например, (как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной и той же точки), то . А это значит, что конус равносторонний.

Достаточность. Пусть конус равносторонний. Тогда осевое сечение конуса равносторонний треугольник, а посему вписанная в осевое сечение и описанная около него окружности концентричны. Вращением этой конфигурации вокруг, например , образуется конус с концентрическими вписанной и описанной сферами. ■

5.2. Вписанные шары.

Определение. Шар называется вписанным в цилиндр, если он касается всех образующих цилиндра и его оснований.

Если шар вписан в цилиндр, то говорят, что цилиндр описан около шара.

Аналогичное определение справедливо и для сферы.

Теорема 1.7.4. Для того чтобы в цилиндр можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы высота цилиндра была равна диаметру его основания.

□ Необходимость. Пусть в цилиндр вписан шар. Рассмотрим произвольное осевое сечение цилиндра плоскостью . Это сечение — прямоугольник, стороны которого равны высоте и диаметру основания цилиндра. Сечение шара плоскостью — круг, причем из определения вписанного шара вытекает, что этот круг вписан в осевое сечение цилиндра.

Как известно из планиметрии, в прямоугольник можно вписать круг тогда и тогда, когда он является квадратом. Поэтому у рассматриваемого цилиндра высота равна диаметру основания.

Достаточность. Пусть дан цилиндр, у которого высота равна диаметру основания. Рассмотрим произвольное осевое сечение цилиндра. Это квадрат, следовательно, в него можно вписать круг. Докажем, что шар с центром в центре этого круга и радиусом, равным радиусу круга, вписан в цилиндр. Действительно, В силу произвольности выбора осевого сечения, указанный шар касается всех образующих цилиндра и плоскостей его оснований в их центрах. ■

Следствие. Центр шара, вписанного в равносторонний цилиндр, есть середина высоты цилиндра, а радиус шара равен радиусу основания цилиндра.

Определение. Шар называется вписанным в конус, если он касается всех образующих конуса и его основания.

При этом говорят, что конус описан около шара.

Аналогичное определение справедливо и для сферы.

Теорема 1.7.5. Во всякий конус можно вписать шар. Центр вписанного шара есть центр круга, вписанного в осевое сечение конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.

Определение. Шар называется вписанным в усеченный конус, если он касается всех образующих конуса и его оснований.

При этом говорят, что усеченный конус описан около шара.

Теорема 1.7.6. В усеченный конус можно вписать сферу, если и только если выполняется любое из условий:

а) длина образующей равна сумме радиусов оснований конуса;

б) высота усеченного конуса есть среднее пропорциональное между диаметрами оснований;

в) в осевое сечение усеченного конуса можно вписать окружность.

□ Необходимость. Пусть в усеченный конус вписана сфера. Тогда осевое сечение конфигурации — равнобочная трапеция с вписанной окружностью (см. рис.). Пусть и - центры окружностей оснований усеченного конуса и , . Поскольку и , то .

Достаточность. Пусть в конусе . Докажем, что в усеченный конус вписывается сфера. Поскольку , то , т.е. суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны. Из планиметрии известно, что в такой четырехугольник вписывается окружность. Вращением равнобедренной трапеции с вписанной в нее окружностью около диаметра образуется сфера, вписанная в конус. ■

Эту теорему можно переформулировать так: в усеченный конус можно вписать сферу, если и только если его высота равна диаметру сферы, вписанной в полный конус. полученный дополнением из данного усеченного.

Некоторые свойства:

а) Центр сферы, описанной около усеченного конуса и вписанной в него, лежат на оси конуса, причем центр вписанной сферы – середина оси конуса, а описанной – внутри конуса (ближе к большему основанию), в центре большего основания, вне конуса (за большим основанием), если угол наклона образующей конуса к плоскости его большего основания больше, равен, меньше , соответственно ( - длина образующей, - радиус большего основания усеченного конуса).

б) Центры сфер, вписанной в усеченный конус и описанной около него, совпасть не могут.

в) Отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности описанного около него усеченного конуса равно отношению объемов этих тел.

Теорема 1.7.7. Сумма длин окружностей оснований, сумма площадей оснований, боковая поверхность, полная поверхность и объем усеченного конуса, описанного около шара, больше соответственно суммы длин окружностей оснований, суммы площадей оснований, боковой поверхности, полной поверхности и объема цилиндра, описанного около того же шара.

□ Пусть радиус шара и - угол наклона образующей к плоскости большего основания конуса . Имеем (см. рис.): , , . Вычислим теперь и сравним перечисленные в условии величины.

а) Сумма длин окружностей оснований:

б) Сумма площадей оснований:

в) Боковая поверхность:

г) Полная поверхность:

д) Объем:

. ■

Глава II. Программа факультативного курса

«Комбинации геометрических фигур в стереометрии»

При составлении программы факультативного курса педагогу полезно ответить на следующие вопросы:

1. Чем содержание курса будет качественно отличаться от базового курса?

2. Какие виды деятельности возможны в работе с данным содержанием?

3. Какие виды работ могут выполнить учащиеся для подтверждения своей успешности в ходе реализации курса?

4. Какова доля самостоятельности ученика?

5. Какие критерии позволят оценить успехи в изучении курса?

Оформление программы факультативного курса

Пояснительная записка
Тематическое планирование
Основное содержание курса
Результаты изучения курса
Организация и проведение аттестации учащихся
Литература

Пояснительная записка включает в себя название курса, цели и задачи, количество часов, отведённое на весь курс, и даёт о курсе полное представление.

Цели и задачи изучения курса формулируются в терминах, понятных преподавателю и учащимся.

Цель курса – для чего он изучается, какие потребности субъектов образовательного процесса удовлетворяет? Желательно продумать цели всех субъектов образовательного процесса: учащихся, преподавателей.

В соответствии с целями формулируются задачи изучения курса – что необходимо для достижения целей? Над чем конкретно предстоит работать преподавателю и учащимся при изучении курса?

Важно показать, каково место курса в соотношении как с общеобразовательными, так и с профильными предметами: какие межпредметные связи реализуются при его изучении, какие общенаучные и профильные умения и навыки при этом развиваются, каким образом создаются условия для активизации познавательного интереса учащихся, профессионального самоопределения.

В тематическом планировании отражается основное содержание всех разделов/тем курса с указанием бюджета времени на их изучение. Отдельно выделяются практические и лабораторные работы, экскурсии, учебные проекты и т.п.

Основное содержания курса. Этот раздел программы отражает содержание теоретических и практических занятий, а также самостоятельной работы учащихся: основные знания (факты, понятия, представления, идеи, принципы), умения и навыки, методы и виды деятельности, опыт их освоения. Важно указать, какие разделы курсов должны быть предварительно освоены.

Следует показать, как это содержание способствует внутрипрофильной специализации обучения и формированию профильных умений и навыков, для каких профессий полезны формируемые умения и навыки.

Желательно указать, в каких материалах реализуется содержание курса (учебное пособие, рабочая тетрадь для учащихся, методическое пособие для преподавателя, электронные/мультимедийные пособия, Интернет-ресурсы и др.).

Методы и формы обучения должны определяться требованиями профилизации обучения, учёта индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, развития и саморазвития личности.

Результаты изучения курса. Ожидаемый результат изучения – это ответ на вопрос: какие знания, умения, опыт, необходимые для построения индивидуальной образовательной траектории в техникуме и успешной профессиональной карьеры по его окончании, будут получены; какие виды деятельности будут освоены; какие ценности будут предложены для усвоения?

Организация и проведение аттестации учащихся. В качестве форм аттестации учащихся предполагается:

· Текущий контроль (беседы с учащимися по изучаемым темам, проблемам, индивидуальный отчёт по каждой теме);

· Тематический контроль (тестовые задания и тематические зачёты);

· Зачётный практикум (описание и практическое выполнение обязательных практических заданий);

· Обобщающий (итоговый) контроль (устные и письменные работы, рефераты).

Литература – для преподавателя и учащихся (основная и дополнительная), электронные издания, Интернет-ресурсы.

Пояснительная записка

Программа факультативного курса «Комбинации геометрических фигур в стереометрии» посвящёна одному из наиболее трудных и в тоже время очень важных разделов математики, изучаемому студентами средних профессиональных учебных заведений на первом курсе. Программа может быть использована для подготовки к ЕГЭ.

Основной задачей курса стереометрии является развитие пространственного представления и логического мышления учащихся. В наибольшей степени эти задачи разрешаются при изучении многогранников, тел вращения и их комбинаций. Однако, в ныне действующих учебниках, к сожалению, не уделено должного внимания теме «Комбинации геометрических фигур в стереометрии». В учебниках не хватает фактов, собранных воедино и образующих в совокупности некую теоретическую основу, на которой базируется изложение вопросов о взаимном расположении стереометрических фигур.

Цели и задачи курса

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретённых знаний, его цель – создать целостное представление о теме «Комбинации геометрических фигур в стереометрии», собрать воедино основной теоретический материал и расширить спектр задач, направленных на развитие пространственных представлений учащихся. Задачи на комбинации стереометрических фигур могут быть использованы с целью глубокого усвоения теоретического материала, развития интереса к математике, приобщения к поисковой и творческой деятельности.

Задачи курса:

· Ознакомить учащихся с основными понятиями темы «Комбинации геометрических фигур в стереометрии»;

· Развивать пространственное воображение учащихся, умение хорошо представлять себе геометрический объект;

· Способствовать сознательному и прочному усвоению материала;

· Сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

· Совершенствовать навыки решения стереометрических задач, необходимых для успешной сдачи ЕГЭ;

· Развивать творческую активность учащихся;

· Сформировать умения и навыки самостоятельной и исследовательской работы;

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате освоения программы факультативного курса «Комбинации геометрических фигур в стереометрии» учащиеся получают возможность

знать и понимать:

• определения: параллельное проектирование, вписанные многогранники, описанные многогранники, вписанные шары, описанные шары;

• основные свойства параллельного проектирования;

• правила изображения пространственных фигур и их комбинаций;

• формулировки и доказательства теорем;

уметь:

• применять полученные теоретические знания к решению задач, содержащих комбинацию тел;

• выделять в комбинации геометрических пространственных фигур их существенные (для решения данной задачи) элементы;

• изображать пространственные фигуры и их комбинации.

Содержание курса

(рассчитан на 24 учебных часа)

1. Введение (1 ч)

Цели и задачи факультативного курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами самостоятельных работ. Требования, предъявляемые к участникам курса.

2. Основные понятия параллельного проектирования (1 ч)

Проектирующая прямая, проектирующая плоскость, свойства параллельного проектирования.

3. Изображение пространственных фигур (1 ч)

Изображение пространственных фигур (куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, тетраэдр, цилиндр, конус, шар), теорема Польке - Шварца.

4. Вписанные многогранники (4 ч)

4.1 Призма, вписанная в цилиндр (2 ч)

Определение призмы, вписанной в цилиндр, необходимое и достаточное условие комбинации, изображение комбинации.

4.2 Пирамида, вписанная в конус (2 ч)

Определение пирамиды, вписанной в конус, необходимое и достаточное условие комбинации, изображение комбинации.

5. Описанные многогранники (4 ч)

5.1 Призма, описанная около цилиндра (2 ч)

Определение призмы, описанной около цилиндра, необходимое и достаточное условие комбинации, изображение комбинации.

5.2 Пирамида, описанная около конуса (2 ч)

Определение пирамиды, описанной около конуса, необходимое и достаточное условие комбинации, изображение комбинации.

Зачет №1 (1 ч)

6. Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники (призма, пирамида) (2 ч)

Определение многогранника, вписанного в шар, необходимое и достаточное условие комбинации многогранника (призмы, пирамиды) и сферы.

7. Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники (призма, пирамида) (2 ч)

Определение многогранника, описанного около шар, необходимое и достаточное условие комбинации многогранника (призмы, пирамиды) и сферы.

8. Комбинации шара и круглых тел (конус, цилиндр) (2 ч)

Определение цилиндра, конуса, вписанного в шар, и, описанного около шара, изображение комбинаций.

Зачет №2 (1 ч)

9. Многофигурные стереометрические задачи (1 ч)

Решение задач, содержащих многофигурную комбинацию тел.

10. Итоговое занятие (1 ч)

Календарно-тематическое планирование

№	Название раздела	Количество часов			Тема занятия	Форма проведения
№	Название раздела	всего	теория	практика	Тема занятия	Форма проведения
1.	Введение	1	1	-	Введение в факультативный курс	Лекция
2.	Основные понятия параллельного проектирования	1	1	-	Основные понятия параллельного проектирования	Лекция
3.	Изображение пространственных фигур	1	1	-	Изображение пространственных фигур	Лекция
4.	Вписанные многогранники	4	2	2	1. Призма, вписанная в цилиндр	Лекция
					2. Призма, вписанная в цилиндр	Практическая работа
					3. Пирамида, вписанная в конус	Лекция
					4. Пирамида, вписанная в конус	Практическая работа
5.	Описанные многогранники	4	2	2	1. Призма, описанная около цилиндра	Лекция
					2. Призма, описанная около цилиндра	Практическая работа
					3. Пирамида, описанная около конуса	Лекция
					4. Пирамида, описанная около конуса	Практическая работа
	Зачет №1	1		1	Зачет №1	Контрольная работа
6.	Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники	2	1	1	1. Призма и пирамида, вписанные в сферу	Лекция
6.	Комбинации шара с многогранниками: вписанные многогранники	2	1	1	2. Призма и пирамида, вписанные в сферу	Практическая работа
7.	Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники	2	1	1	1. Призма и пирамида, описанные около сферы	Лекция
7.	Комбинации шара с многогранниками: описанные многогранники	2	1	1	2. Призма и пирамида, описанные около сферы	Практическая работа
8	Комбинации шара и круглых тел	2	1	1	1. Цилиндр и конус, вписанные в шар, описанные около шара	Лекция
8	Комбинации шара и круглых тел	2	1	1	2. Цилиндр и конус, вписанные в шар, описанные около шара	Практическая работа
	Зачет №2	1		1	Зачет №2	Контрольная работа
9.	Многофигурные стереометрические задачи	1		1	Многофигурные стереометрические задачи	Практическая работа
10.	Итоговое занятие	1		1	Итоговое занятие	Практическая работа
	Итого:	21	10	11

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2007.

2. Безверхняя, И.С. Методы изображений. / И.С. Безверхняя. – Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2004.

3. Гольдберг, Я.Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. / Я.Е. Гольдберг. – К.: Рад. шк., 1990.

4. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач. — М.: Просвещение, 1985.

5. КИМы для ЕГЭ.

6. Погорелов А.В. и др. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 1992.

7. Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии. 11 класс. Дифференцированный подход. / В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2006. – (В помощь школьному учителю).

Критерии оценивания

Задания зачета №1 оцениваются по следующей схеме:

Максимальное количество баллов, которое можно получить – 17. Задания оформляются в тетради для зачетных работ.

Количество баллов за правильно решенное задание определяется по шкале:

№ задания	Количество баллов за задание
№ задания	Без недочетов	1-3 недочетов	Более 3
1	10	9-6	менее 5
2	7	6-4	менее 3

Задания зачета №2 оцениваются по следующей схеме:

Максимальное количество баллов, которое можно получить – 19. Задания оформляются в тетради для зачетных работ.

Количество баллов за правильно решенное задание определяется по шкале:

№ задания	Количество баллов за задание
№ задания	Без недочетов	1-3 недочетов	Более 3
1	5	4-3	1-2
2	7	6-4	менее 3
3	7	6-4	менее 3

Задания итогового зачета оцениваются по следующей схеме:

Максимальное количество баллов, которое можно получить – 24. Подробное решение каждой задачи оформляется на отдельном листе формата А4 с указанием фамилии и имени студента, группы, текста задачи. Задания выполняются дома.

Количество баллов за правильно решенное задание определяется по шкале:

№ задания	Количество баллов за задание
№ задания	Без недочетов	1-3 недочетов	Более 3
1	7	6-4	менее 3
2	7	6-4	менее 3
3	10	9-6	менее 5

Факультативный курс оценивается по следующей схеме:

За посещение занятий – 10,5 баллов. Работа на уроках – 29,5 баллов. Зачет №1 – 17 баллов. Зачет №2 – 19 баллов. Итоговый зачет – 24 балла. Всего 100 баллов.

Количество баллов
86-100	76-85	60-75	Менее 60
Оценка
5(отл.)	4(хор.)	3(удов.)	2(неудов.)

Варианты заданий

Контрольные вопросы

1. Какие существуют виды проектирования пространственных фигур на плоскость?

2. Какая плоскость называется проектирующей?

3. Что понимают под изображением пространственной фигуры?

4. Какие теоремы лежат в основе изображения пространственных фигур?

5. Каковы особенности изображения куба?

6. Каковы особенности изображения призмы?

7. Каковы особенности изображения пирамиды?

8. Каковы особенности изображения цилиндра?

9. Каковы особенности изображения конуса?

10. Каковы особенности изображения шара (сферы)?

11. Какая призма называется вписанной в цилиндр?

12. Каково условие, при котором можно вписать в цилиндр призму?

13. Каковы особенности изображение комбинации призмы, вписанной в цилиндр?

14. Какая пирамида называется вписанной в конус?

15. Каково условие, при котором можно вписать в пирамиду конус?

16. Каковы особенности изображение комбинации пирамиды, вписанной в конус?

17. Какая усеченная пирамида называется вписанной в конус?

18. Какая призма называется описанной около цилиндра?

19. Каково условие, при котором можно описать около цилиндра призму?

20. Каковы особенности изображения комбинации призмы, описанной около цилиндра?

21. Какая пирамида называется описанной около конуса?

22. Каково условие, при котором можно описать около пирамиды конус?

23. Каковы особенности изображения комбинации пирамиды, описанной около конуса?

24. Какой многогранник называется вписанным в сферу (шар)?

25. При каких условиях около многогранника можно описать сферу?

26. Каково условие, при котором можно описать около призмы шар?

27. Каковы особенности изображения комбинации шара, описанного около призмы?

28. Каково условие, при котором можно описать около пирамиды шар?

29. Каковы особенности изображения комбинации шара, описанного около пирамиды?

30. Где может находиться центр сферы, описанной около пирамиды?

31. Какой многогранник называется описанным около сферы?

32. При каких условиях в многогранник можно вписать сферу?

33. Каково условие, при котором можно описать около шара призму?

34. Каковы особенности изображения комбинации призмы, описанной около шара?

35. Где расположен центр сферы, вписанной в призму?

36. Каково условие, при котором можно описать около шара пирамиду?

37. Каковы особенности изображения комбинации пирамиды, описанной около шара?

38. В каком случае около цилиндра можно описать шар?

39. Каковы особенности изображения комбинации шара, описанного около цилиндра?

40. В каком случае около конуса можно описать шар?

41. Каковы особенности изображения комбинации шара, описанного около конуса?

42. В каком случае около шара можно описать цилиндр?

43. Каковы особенности изображения комбинации цилиндра, описанного около шара?

44. В каком случае около шара можно описать конус?

45. Каковы особенности изображения комбинации конуса, описанного около шара?

Примеры решения задач

Задача №1. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь его боковой поверхности равна . Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно . Найдите объём призмы.

Решение:

1) Пусть - правильная призма, точки и - центры оснований описанного цилиндра. Призма правильная, следовательно, треугольник правильный и . Так как - ось цилиндра, то . Следовательно и по признаку параллельности прямой и плоскости .

2) Проведем высоту треугольника . Треугольник правильный, поэтому точка лежит на и радиус основания описанного цилиндра равен . Следовательно, . Призма правильная, следовательно, грани и взаимно перпендикулярны. Поскольку и, по определению перпендикуляра к плоскости, , то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, . Поскольку , то из определения расстояния между скрещивающимися прямыми следует, что расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани является длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость , т.е. длина отрезка . Следовательно, радиус цилиндра равен .

Этот же результат мы получим, рассматривая любую диагональ любой боковой грани призмы.

3) Треугольник правильный, - радиус описанной окружности. Следовательно, .

Боковая поверхность цилиндра может быть найдена по формуле . Отсюда . Цилиндр описан около призмы,

следовательно, его высота является высотой призмы.

Объем призмы найдем по формуле . Получим .

Ответ: .

Задача №2. В прямую призму, в основании которой лежит ромб с углом , вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно . Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если объём призмы равен .

Решение:

1) Пусть - прямая призма. Так как цилиндр вписан в эту призму, то точки и пересечения диагоналей ее оснований – ромбов и - являются центрами оснований вписанного цилиндра, а его высота равна высоте призмы. Прима прямая, следовательно, . Так как - ось цилиндра, то . Следовательно, и по признаку параллельности прямой и плоскости .

2) Проведём через точку отрезок перпендикулярно стороне . Так как - центр основания цилиндра, то - диаметр основания цилиндра, а его радиус. Поскольку , то . Итак, и , следовательно, , а так как , то - расстояние между осью цилиндра и плоскостью боковой грани .

Поэтому из определения расстояния между скрещивающимися прямыми следует, что есть расстояние между осью цилиндра и диагональю грани . Поэтому из условия радиус вписанного цилиндра , а .

Этот же результат мы получим, рассматривая любую диагональ любой другой боковой грани призмы.

3) Рассмотрим нижнее основание призмы – ромб . Пусть - его высота. Тогда как расстояние между двумя параллельными прямыми и . По условию . Поэтому . Площадь ромба найдем по формуле . Так как объем призмы , где - высота призмы, то . Площадь полной поверхности цилиндра находим по формуле . Учитывая найденные величины, получим .

Ответ: .

Задача №3. В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от середины высоты пирамиды до боковой грани равно . Найдите объем вписанного в эту пирамиду конуса, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом .

Решение:

Пусть в правильную пирамиду вписан конус. Это значит, что вершина пирамиды является вершиной конуса, основание конуса вписано в квадрат , а центр .

- середина , , ,

, .

Так как , то , где - радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.

, так как , то .

, ;

, , , .

, где .

Из : , значит .

Из : .

Ответ: .

Задача №4. Внутри правильного тетраэдра с ребром равным , расположен конус, вершина которого является серединой ребра . Основание конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра параллельно прямым и . Найдите объем конуса.

Решение:

1) Пусть в правильном тетраэдре точки , , , - середины ребер , , , соответственно. Тогда по свойству средней линии треугольника имеем , и аналогично . Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость сечения удовлетворяет условию задачи, а - параллелограмм. А так как , и , то - ромб. Пусть точка - середина ребра . Поскольку все грани тетраэдра – правильные треугольники, то и . Следовательно , и, значит, . Но и , следовательно, ромб - квадрат.

2) Пусть точка - центр квадрата, тогда - ось и высота данного конуса. Основание конуса вписано в квадрат , значит окружность основания конуса касается стороны в ее середине – точке , а радиус основания конуса равен . Так как , , то . В треугольнике стороны и равны половинам равных отрезков и , следовательно, высота, проведенная из вершины , является и медианой, поэтому отрезок пересекает отрезок в его середине - точке . Следовательно, отрезок - образующая конуса.

3) По условию ребро тетраэдра равно . Тогда ; и .

Следовательно, . Откуда .

Найдем объем конуса: .

Ответ: .

Задача №5. Дано: сфера (О, R), DABC - правильный тетраэдр, DH – высота тетраэдра; R – радиус сферы. Найти: S полной поверхности тетраэдра.

Решение. Примем ребро тетраэдра равно а. Центр О описанной сферы лежит на высоте DH, точка Н – центр , поэтому . Из прямоугольного : , где .

Из по теореме косинусов:

Площадь одной грани тетраэдра равна ; все грани – равносторонние треугольники, поэтому .

Ответ: .

Задача №6. В шар радиусом вписана правильная треугольная призма . Прямая образует с плоскостью угол . Найдите объем призмы.

Решение:

1) Пусть - середина ребра . Так как призма правильная, то и , и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости . Значит, как угол между прямой и плоскостью .

2) Пусть и - центры оснований призмы, тогда и . Так как призма правильная, то , где - середина отрезка . Следовательно, по свойству наклонных и проекций и . Так как и , то прямоугольные треугольники и равны по двум катетам. Значит, . Следовательно, точка равноудалена от всех вершин призмы и поэтому является центром описанного около неё шара. Из условия радиус шара .

3) Пусть . Тогда . Но прямоугольный и . Следовательно . Из .

4) Отрезок , отрезок . Поэтому из прямоугольного имеем , . Следовательно, .

Объем призмы находим по формуле . Но , , . Отсюда .

Ответ: Объём призмы равен 36.

Задача №7. Отрезок - диаметр сферы. Точки , лежат на сфере так, что объем пирамиды наибольший. Найдите синус угла между прямой и плоскостью , если - середина ребра .

Решение:

1) Пусть - центр сферы, а - ее радиус. Тогда как диаметр сферы. Поскольку точки и лежат на сфере, то . Сечения сферы плоскостями и - окружности радиуса , описанные вокруг треугольников и , причем как вписанные углы, опирающиеся на диаметр.

2) Пусть - высота пирамиды , опущенная из вершины и - высота , проведенная к стороне . Поскольку точка лежит на сфере, а плоскость содержит центр сферы, то , причем , если . Аналогично, поскольку точка лежит на сфере, то , причем , если . Отсюда для объема пирамиды имеем

. При этом , только если . Таким образом, пирамида имеет наибольший объем, если треугольники и - прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.

3) Поскольку , то . Но и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости .

Пусть - середина . Проведём - среднюю линию треугольника . Тогда . Значит, и поэтому - проекция на плоскость и - угол между прямой и плоскостью . Пусть .

4) По свойству средней линии . Так как треугольники , , равны по двум катетам, то треугольник - правильный со стороной . - высота треугольника , значит .

Отсюда .

Ответ: .

Задача №8. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом . Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Определите площадь полной поверхности пирамиды, если радиус вписанной в пирамиду сферы равен .

Решение. Указанная в задаче пирамида не является правильной, но ее боковые грани равновелики: нетрудно доказать, что основание высоты пирамиды совпадают с точкой пересечения диагоналей ромба. Сделаем чертеж .

— радиус окружности, вписанной в ромб; — высота ромба. Из прямоугольного треугольника имеем:

Тогда . Из треугольника , в котором , , находим :

Теперь найдем площадь основания пирамиды:

Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой , где - радиус основания конуса, - его образующая. Площадь основания конуса определяется по формуле: .

Следовательно, .

Наконец, площадь полной поверхности пирамиды:

Ответ: .

Задача №9. Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду совпадает с центром шара, описанного около этой пирамиды. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

Решение:

Пусть фигура - изображение правильной четырехугольной пирамиды. Построим - высоту боковой грани и - проекцию апофемы на плоскость . Будем считать изображением биссектрисы , т.е. будем считать точку изображением центра вписанного шара.

Так как по условию точка является центром также описанного шара, то следует считать, что и - это изображения равных в оригинале отрезков, т.е. .

Итак, - радиус вписанного шара, - радиус описанного шара, и требуется найти двугранный угол при ребре пирамиды, т.е. угол .

Так как - высота , в котором , то. Но - проекция отрезка на плоскость . Тогда и . Таким образом, - линейный угол искомого двугранного угла .

Положим для краткости, что , и введем для выполнения подсчетов вспомогательный параметр, положив . Выразим двумя способами. Из прямоугольного находим, что . Далее из прямоугольного находим: , а из прямоугольного находим: .

Тогда . Но , т.е. . Так как , то .

Таким образом, ,

откуда .

Так как - острый угол, то , в результате преобразований получим: .

Возведём в квадрат обе части этого уравнения: . Переходя к и обозначая для краткости , получаем уравнение , которое после ряда упрощений преобразуется в уравнение .

Таким образом, находим: , , . Отбрасывая заведомо посторонние значения и , получаем: , т.е. , откуда , и, следовательно, .

Таким образом, .

Ответ: .

Задача №10. В усеченный конус вписан шар радиуса . Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . Определите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Решение: На рисунке изображено осевое сечение усеченного конуса и вписанного в него шара.

, .

Поэтому .

Ответ: .

Задача №11. Образующая конуса равна и составляет с высотой угол, равный . Через две образующие конуса, угол между которыми равен , проведена плоскость. Найдите расстояние от центра шара, вписанного в конус, до этой плоскости.

Решение:

Пусть - высота конуса, центр вписанного шара принадлежит высоте, - плоскость, проходящая через две образующие конуса и , - перпендикуляр, опущенный из центра шара на эту плоскость; .

~ .

;

; ;

; .

Из :

Ответ: .

Задача №12 . Даны два шара с центрами и , касающиеся извне, и описанный около них конус. Вычислите площадь боковой поверхности усеченного конуса, основаниями которого служат окружности прикосновения шаров к поверхности конуса, если радиусы шаров равны и , а образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом .

Решение. На рисунке показано осевое сечение (полного) конуса. Проведем радиусы и в точки касания шаров и конуса. Пусть и - радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса соответственно.

Из прямоугольных треугольников и имеем:

Используя формулу для боковой поверхности усеченного конуса, имеем:

Ответ: .

Задача №13. Дан куб . В призму вписан цилиндр, объём которого равен . Найдите объём данного куба.

Решение.

Пусть ребро куба равно , тогда высота вписанного цилиндра также равна .

Из формулы объема цилиндра выразим : или . Площадь равна , кроме того, она равна , где - полупериметр треугольника, - радиус вписанной окружности (радиус цилиндра). В результате получаем уравнение относительно :

;

Ответ: .

Задача №14. В основании пирамиды лежит прямоугольник , причем , . Пусть - середина , - середина , причем . Каким может быть минимальный радиус сферы, описанной около пирамиды ? Найти объем пирамиды , вписанной в эту сферу (минимального радиуса).

Решение.

1) Так как - средняя линия в треугольнике , то , откуда следует , . Пусть - середина , , - радиус окружности, описанной около треугольника , - центр этой окружности. Тогда , , , .

Центром окружности, описанной около прямоугольника , является точка пересечения его диагоналей, а радиус этой окружности равен , т.е. . Около пирамиды можно описать сферу, так как перпендикуляр к плоскости в точке и перпендикуляр к плоскости в точке лежат в одной плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной ребру . Точка пересечения этих перпендикуляров является центром сферы, описанной около пирамиды .

Радиус этой сферы не меньше наибольшего из чисел и . Если плоскость расположена так, что точка лежит на перпендикуляре к плоскости в точке , то точка будет равноудалена от всех вершин пирамиды и, следовательно, в этом случае радиус описанной около пирамиды сферы будет наименьшим и равным , так как , , . Итак, .

2) Пусть , - проекция точки на плоскость , тогда , где - высота пирамиды. Если , то и . Из подобия треугольников и следует, что , где , , .

Тогда .

Искомый объем пирамиды , где - площадь прямоугольника . Следовательно, .

Ответ: , .

Задача №15. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием сторона основания равна , а боковая грань образует с плоскостью основания угол , . Найдите радиус сферы, центр которой лежит в плоскости основания пирамиды и которая проходит через вершины , , .

Решение.

Центр сферы, проходящей через точки , , проектируется в центр окружности, описанной около . , - апофемы, - высота пирамиды. В плоскости восставим перпендикуляр к в точке , точку пересечения этого перпендикуляра с обозначим .

Поскольку плоскость перпендикулярна , то и . По построению , так что есть перпендикуляр к плоскости . Поэтому есть центр интересующей нас сферы, а - ее радиус.

Нам известно, что , положим , . Из находим, что , поэтому и . Радиус окружности, описанной около , есть или . Отсюда и из получается, что . Теперь и окончательно .

При заданных числовых значениях , находим: .

Ответ: .

Задача №16. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием боковая грань образует с плоскостью основания угол , . Площадь поверхности вписанной в пирамиду сферы равна 100. Найдите площадь поверхности сферы, проходящей через вершины , , и середину стороны .

Решение.

Проведем в пирамиде высоту , середину стороны основания обозначим и проведем . Заметим, что центр сферы, проходящей через точки , , должен лежать на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проведенном через центр окружности, описанной около . Обозначим сторону основания пирамиды , вынесем основание пирамиды на отдельный чертеж. Положим и обозначим через центр окружности, описанной около . Тогда радиус этой окружности есть , поэтому .

Теперь рассмотрим сечение пирамиды плоскостью . Из точки к стороне восставлен перпендикуляр, он параллелен высоте пирамиды , поэтому перпендикулярен к плоскости основания пирамиды, и центр интересующей нас сферы должен лежать на этом перпендикуляре. С другой стороны, сфера проходит через точки и , так что ее центр лежит на плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через середину этого отрезка. С плоскостью эта плоскость пересекается по прямой, проходящей через и перпендикулярной . Эта прямая пересекает перпендикуляр, проходящий через , в точке , это и есть центр интересующей нас сферы, а - радиус этой сферы.

Найти этот радиус мы можем, например, с помощью равенства . Поскольку , то и .

Далее из , в котором , получаем, что . Теперь обратимся к прямоугольной трапеции , в которой . Ясно, что . Таким образом, и , откуда после преобразований получаем .

Теперь нужно выразить через и радиус вписанной в пирамиду сферы. Центр этой сферы лежит на пересечении высоты и биссектрисы угла , откуда и . Отношение площадей поверхностей искомой сферы и вписанной сферы есть . При правая часть этого равенства есть , так что .

Ответ: .

Задача №17. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁с боковыми ребрами AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на сторонах AD, A₁B₁, B₁C₁ его оснований лежат точки L, K, M соответственно так, что AL : LD=2 : 5, A₁K : KB₁=2 : 3, B₁M : MC₁=5 : 2. Во сколько раз объём параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной К и основанием LDMB₁.

Решение.

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁- данный прямоугольный параллелепипед, длины его сторон обозначим AB = a, AD = b, AA₁ = с . Тогда объем параллелепипеда есть V = abc , а по известным из условия задачи отношениям, в которых точки К, L, М делят соответствующие ребра, мы легко определяем длины частей этих ребер:

Поскольку и , го ребро AD перпендикулярно плоскости AAB₁. Но || AD, значит, также перпендикулярно этой плоскости. Поэтому диагональное сечение параллелепипеда AB₁C₁D представляет собой прямоугольник. Основание пирамиды LDMB₁ лежит в этом прямоугольнике. При этом LD || B₁M и, как мы определили выше, LD=В₁М. Это означает, что LDMВ₁, - параллелограмм, при этом В₁A - высота этого параллелограмма, так что площадь основания пирамиды есть

В плоскости   АА₁B₁ проведем . Докажем, что KN перпендикулярно плоскости диагонального
сечения   AB₁C₁D.   В самом деле, B₁C₁ перпендикулярна плоскости
AA₁B₁ ,           поэтому . По построению    ,   так что KN перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости диагонального   сечения AB₁C₁D   и потому   перпендикулярна самой этой плоскости.   Отсюда следует важный вывод: KN есть высота пирамиды KLDMB₁.

Найти длину KN удобнее, рассмотрев треугольник AA₁B₁ на отдельном чертеже. Треугольники KNB₁ и AA₁B₁несомненно подобны. Из пропорции определяем, что

Теперь находим объем пирамиды KLDMB₁:

Искомое в задаче отношение объемов есть .

Ответ: Объем параллелепипеда больше объема пирамиды в 7 раз.

Задача №18. Основанием пирамиды является прямоугольник . Плоскость перпендикулярна плоскости , тангенс угла равен , тангенс угла между прямой и плоскостью равен . Точка лежит на ребре , . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит в плоскости основания пирамиды, радиус этой сферы равен . Найдите объем пирамиды .

Решение:

Опустим из точки перпендикуляр на плоскость , а из точки перпендикуляр на прямую (см. рисунок). Поскольку плоскости и перпендикулярны, точка лежит на их линии пересечения ― прямой . Кроме того, поскольку плоскости и перпендикулярны, прямая является проекцией прямой на плоскость . Следовательно, угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и прямой , т.е. равен углу . Отрезки и ― проекции равных наклонных и на плоскость , следовательно, . Таким образом, отрезок является высотой равнобедренного треугольника , а, следовательно, является и его медианой, откуда .

Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит в плоскости и ― прямоугольник, следовательно, ― диаметр этой сферы.

Далее имеем:

1) Из : а) ;

б) ;

в) .

2) Прямые и параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой , следовательно, ~, откуда , а, значит, .

3) В прямоугольном треугольнике , значит, .

4) .

Ответ: 16.

Задачи для самостоятельной работы

1. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, объем которой равен , а отношение сторон основания к боковому ребру равно . Найти объем цилиндра.

2. Пирамида , в основании которой лежит прямоугольник , вписана в конус. Найти отношение площадей полной поверхности пирамиды и конуса, если , , .

3. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна , а острый угол между его диагоналями равен . Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол . Найдите объём конуса.

4. В правильную треугольную призму, объем которой равен , вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

5. В прямую призму вписан цилиндр, площадь полной поверхности которого равна . Основание призмы – ромб с углом . Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно . Найдите объем призмы.

6. Около конуса описана четырёхугольная пирамида, основанием которой служит равнобочная трапеция с острым углом . Образующая конуса равна и наклонена к плоскости основания под углом . Найдите объём пирамиды.

7. В правильную пирамиду (в основании лежит квадрат), вписан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

8. Около правильной треугольной призмы, высота которой вдвое больше стороны ее основания, описан шар. Найдите отношение объема шара к объему призмы.

9. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной . Найдите площадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол .

10. Отношение радиуса сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды, к стороне основания равно . Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.

11. Основанием прямой призмы, описанной около шара, служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна и острый угол равен . Найдите объём призмы.

12. Шар вписан в прямую призму, основанием которой служит прямоугольный треугольник, в котором перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, равен и составляет с одним из катетов угол . Найти объем призмы.

13. - прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник (). Найти площадь поверхности вписанной в призму сферы, если , ( - высота ).

14. Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды в центрах описанных около них окружностей. Каждый плоский угол при вершине пирамиды равен , а сумма боковых ребер равна . Найти радиус шара.

15. Найти радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, если объем пирамиды равен , а угол между двумя ее противоположными гранями равен .

16. В конус, радиус основания которого равен , а образующая равна , вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

17. В сферу радиуса вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол . Найдите объем цилиндра.

18. В прямом круговом конусе даны площадь основания и площадь боковой поверхности . Найти радиус шара, вписанного в конус.

19. Вокруг шара описан цилиндр. Найдите отношение их поверхностей и объёмов.

20. В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнего и нижнего основания конуса в 5 раз больше радиуса шара. Найдите угол образующей конуса с плоскостью основ

21. В правильную четырехугольную пирамиду с плоским углом при вершине вписан шар. Точки касания шара с боковыми гранями и центр шара приняты за вершины новой пирамиды. Высота этой пирамиды, проведенная из центра шара, равна . Найти отношение объемов пирамид.

22. В правильной треугольной призме через сторону основания проведена плоскость, проходящая также через вершину другого основания. В пирамиду ( - вершина) вписан шар. Найти угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.

Задания к зачетам

Задания к зачету №1

1. Около прямой четырехугольной призмы описан цилиндр. Основание призмы – прямоугольник, диагонали которого образуют угол , а расстояние между боковым ребром призмы и скрещивающейся с ним диагональю основания равно . Найдите площадь боковой поверхности призмы, если объем цилиндра равен .

2. Основанием пирамиды является ромб со стороной и острым углом . В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол . Найдите объем конуса.

Задания к зачету №2

1. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом при основании вписан шар объема . Найдите объем пирамиды.

2. В шар вписана правильная треугольная призма так, что её высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен .

3. Определить объем усеченного конуса с образующей, равной , описанного около шара радиуса .

Задания к итоговому зачету

1. Около конуса описана треугольная пирамида. Боковая поверхность конуса делится линиями касания на части, площади которых относятся как . В каком отношении делят те же линии площадь боковой поверхности пирамиды?

2. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, каждая из боковых сторон которого равна , а угол между ними равен . Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с ней угол . Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.

3. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее – шар, объем которого в 24 раза меньше объема цилиндра. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Заключение

Данная методическая разработка показывает, что изучению комбинаций геометрических фигур в стереометрии, должно быть уделено больше внимания потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся комбинации геометрических фигур, требуют такого представления, которое оказывается при этом не совсем легким делом.

Основными задачами рассмотрения комбинации геометрических фигур в стереометрии являются: изучение пространственных форм, развитие пространственного воображения, развитие правильного логического мышления, развитие практических навыков, включая и умение решать различные геометрические задачи теоретического характера, и умение применять свои знания к решению вопросов практики.

Таким образом, можно сделать вывод, что изучение комбинации геометрических фигур в стереометрии: повышает уровень общего развития, способствует повышению интеллектуального развития личности, то есть влияет на формирование таких приёмов умственных действий, как анализ и синтез, сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, абстрагирование; приводит к целенаправленному наблюдению, выделению существенных признаков; помогает рассуждать, обосновывать свою мысль, делать умозаключения; формирует измерительные и графические навыки; воспитывает художественный вкус и повышает эстетическую культуру.

Список литературы

1. Андреев, Е. Невписываемые многогранники / Е. Андреев // Квант. – 1991. - №2. – с. 10-15.

2. Атанасян, Л.С., Бутузов, В.Ф., Кадомцев, С.Б. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. Общеобразовательных учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. – М.: Просвещение, 1996.

3. Атанасян, Л.С., Денисова, Н.С., Силаев, Е.В. Курс элементарной геометрии. Часть II. Стереометрия. / Л.С. Атанасян, Н.С. Денисова, Е.В. Силаев. – М.: «Сантакс - Пресс», 1997.

4. Безверхняя, И.С. Методы изображений. / И.С. Безверхняя. – Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2004.

5. Бескин, Н.М. Изображения пространственных фигур. / Н.М. Бескин. – М.: «Наука», 1971.

6. Генденштейн Л.Э., Ершова А.П. Наглядный справочник по геометрии для 7 – 11 классов. / Л.Э. Генденштейн, А.П. Ершова. – М.: «Издат - Школа», 1997.

7. Гольдберг, Я.Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. / Я.Е. Гольдберг. – К.: Рад. шк., 1990.

8. Готман, Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения. / Э.Г. Готман. – М.: «МЦНМО», 2006.

9. Гусев, В.А., Литвиненко, В.Н., Мордкович, А.Г. Практикум по решению математических задач. /В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. — М.: Просвещение, 1985.

10. Карнацевич, Л.С. Уроки геометрии в 10 классе. Учебно-методическое пособие. / Л.С. Карнацевич. – К.: Рад. школа, 1980.

11. Математика в школе. – 2008. - №4. – с. 40-42.

12. Методические рекомендации по разработке программ элективных курсов. – Комитет по образованию г. Тулы.

13. Писаревский, Б.М. Правильные пирамиды и «неправильные» сферы/ Б.М. Писаревский // Математика в школе. – 2008. – №3. – с. 40-44.

14. Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии. 11 класс. Дифференцированный подход. / В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2006.

15. Яковлева, Г.Н. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. / Г.Н. Яковлева. – М.: «Наука», 1981.

Математика

Другие методич. материалы

Методическая разработка программы факультативного курса по математике "Комбинации геометрических фигур в стереометрии"

25.03.2024

435

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Подколзина Татьяна Викторовна

Преподаватель математики и информатики

На сайте: 6 лет и 10 месяцев
Всего просмотров: 2049
Подписчики: 0
Всего материалов: 5

Об авторе

Категория/учёная степень: Высшая категория

Место работы: ГПОУ ТО "ЩПК"

Настоящий материал опубликован пользователем Подколзина Татьяна Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.