Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка темы «Тригонометрические уравнения»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка темы «Тригонометрические уравнения»

библиотека
материалов

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ОБЛАСТНОЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ










МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ЗАНЯТИЯ

ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

для преподавателя


ТЕМА: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»










Составлена для специальностей:

060109 «Сестринское дело»

Курс: первый



Преподаватель: Нурмухамедова И.В.

Составлена в соответствии с рабочей

программой по математике.








г. ПЕНЗА

2011 г.

Тема занятия: Тригонометрические уравнения.

Цель темы: После изучения темы студент должен


знать:

- способы решения простейших тригонометрических уравнений


Интеграция темы: с целью лучшего усвоения темы, студентам необходимо восстановить знания по теме:

Способы решения уравнений

Функции синус, косинус, тангенс, котангенс

Свойства и графики тригонометрических функций




Методическая разработка темы «Тригонометрические уравнения»


Цель:

- рассмотреть общий вид решений простейших тригонометрических уравнений


Вид урока: комбинированный


Время: 90 минут


Оснащение: методическая разработка для преподавателя,

методические указания для студентов,

раздаточный материал







Хронокарта занятия

  1. Организационный момент – 2 мин

  2. Контроль усвоения материала по теме «Свойства и графики обратных тригонометрических функций» (письменный опрос) - 15 мин

  3. Изучение нового материала - 30 мин

  4. Задание на уроке - 40 мин

  5. Итоги урока – 1 мин

  6. Домашнее задание – 2 мин




ХОД ЗАНЯТИЯ


  1. Организационный момент

Приветствие. Отметка отсутствующих студентов. Проверка выполнения домашнего задания (письменные ответы на контрольные вопросы). Сообщение темы и цели занятия.


  1. Контроль усвоения материала по теме «Свойства и графики обратных тригонометрических функций» (письменный опрос)

Вариант 1.

1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции

у = arctg x.

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\1.bmp

Вариант 2.

1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции

у = arсctg x.

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\2.bmp

  1. Изучение нового материала

Для решения любого тригонометрического уравнения его надо свести к одному из четырех простейших (фактически методы решения тригонометрических уравнений являются способами сведения их к простейшим). Простейшими тригонометрическими уравнениями являются:

sin х = а, соs х = а, tg х = а, сtg х = а. Рассмотрим их решения.


Решения уравнения sin x = a

hello_html_m48cde044.png

При а > 1 такое уравнение решений не имеет, так как функция синус ограничена и |sin x| < 1. На отрезке

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\3.bmpфункция sin x возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Тогда по теореме о корне на этом промежутке при \а\ < 1 уравнение sin x =1 имеет единственное решение х1 = arcsin a. На отрезке

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\4.bmpфункция sin x убывает и также принимает все значения от – 1 до 1. Поэтому и на этом промежутке при

|а| < 1 уравнение sin x = а тоже имеет единственное решение

х2 = π – х1 = π – агсsin а.

Действительно, sin х2 = sin(π — х1) = sin х1 = а. Кроме того, поскольку

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\10.bmp

то есть х2 принадлежит отрезку

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\11.bmp

Учитывая, что период синуса равен 2π, получаем две формулы для всех решений данного уравнения: х = агсsin а + 2πn и х = π – агсsin а + 2πn, где п ε Ζ. Такие решения удобно описывать не двумя, а одной формулой:

х = (-1)к агсsin а + πк, к ε Ζ..

Действительно, при четных к = 2n из этой формулы получаем все решения, описываемые первой формулой; при нечетных к = 2п + 1 – решения, записываемые второй формулой.

В частных случаях а = 0; ±1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:
для

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\6.bmp


Пример 1. Решим уравнение

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\7.bmp

По приведенной формуле запишем решение уравнения

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\9.bmp


Пример 2.

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\12.bmp

Решения уравнения соs x = a

hello_html_m6822c1a8.png

При а >1 такое уравнение решений не имеет, так как функция косинус ограничена и |соs х| < 1. На отрезке [0; π] функция соs х убывает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому по теореме о корне на этом промежутке при |а| < 1 уравнение соs х = а имеет единственное решение х1 = агссоs а. Так как функция соs х четная, то на отрезке [-π; 0] данное уравнение также имеет единственное решение х2 = - х1 = - агссоs а. Итак, уравнение соs х = о на промежутке [-π; π] имеет два решения

х = ± агссоs а.

Учитывая, что период косинуса равен 2π, то получаем формулу для записи всех решений данного уравнения: х = ± агссоs а + 2πк, к ε Ζ.

В частных случаях а = 0; ±1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\14.bmp

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\15.bmp


Пример 3. Решим уравнение соs х = -1/2

Используя приведенную формулу, запишем решения этого уравнения

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\16.bmp

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\17.bmp


Пример 4. Решим уравнение

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\18.bmp

Так как в данном случае имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решения

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\19.bmpоткуда найдем

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\21.bmp

Решения уравнения tg x = а

На отрезке

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\22.bmpфункция tg x возрастает и принимает все значения от

-∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение tg x = а имеет единственное решение, равное

х = arctg a. Так как функция тангенс имеет период π, то получаем формулу для всех решений данного уравнения: x = arctg a + πk, k є z


hello_html_6a930593.png


Пример 5. Решим уравнение 3tg x = √3.

Запишем уравнение в виде

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\23.bmp

Используя приведенную формулу, выпишем решения уравнения

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\24.bmp

Пример 6.

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\25.bmp

По приведенной формуле запишем решения уравнения

C:\Documents and Settings\Админ\Мои документы\26.bmp

Решения уравнения ctg x = a

hello_html_m5db2ce76.png

На отрезке (0; π) функция сtg x убывает и принимает все значения от

-∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение сtg х = а имеет единственное решение

х = агссtg а. Учитывая, что период котангенса равен π, получим формулу для записи всех решений данного уравнения:

х = агссtg а + πк, к ε Ζ

Пример 7. Решим уравнение ctghello_html_7ff5c25c.gif

Учтем, что функция котангенс нечетная, и запишем уравнение в виде

ctghello_html_m97951ad.gif . Решения этого уравнения hello_html_m3edaffce.gif = hello_html_30ff3715.gif. Теперь найдем х = hello_html_19e0304e.gif .


  1. Задание на уроке

136 (а, г); 137 (в); 139 (б); 140 (а); 145 (а, в, г); 147 (а, в); 148 (б).

Решите уравнения (№ 136 – 147):

136.

а) hello_html_6ad985f4.gif г) hello_html_bac84e8.gif

137.

в) hello_html_m6eba553b.gif

139.

б) hello_html_m56b0fec3.gif

140.

а) hello_html_35545c77.gif

145.

а) hello_html_1f5fe17.gif в) hello_html_m12b0b593.gif г) hello_html_44f84183.gif

147.

а) hello_html_52da19d7.gif

в) hello_html_m618c71a0.gif

148. Для каждой из функций у = hello_html_171e4ca1.gif и у = hello_html_7b516772.gif найдите координаты общих точек ее графика с прямой:

б) у = -1.


  1. Итоги урока.

  2. Домашнее задание

Учебник Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. Гл. 5, § 28. Ответить на

контрольные вопросы:

1. Выпишите решения простейших тригонометрических уравнений.

2. Приведите решения для частных случаев уравнений sin x = 0; ±1 и

cos x = 0;±1.



Краткое описание документа:

Интеграция темы: с целью лучшего усвоения темы, студентам необходимо восстановить знания по теме:

Способы решения уравнений

Функции синус, косинус, тангенс, котангенс

Свойства и графики тригонометрических функций

 

 

 

Методическая разработка темы  «Тригонометрические уравнения»

 Цель: 

- рассмотреть общий вид решений простейших  тригонометрических уравнений

 Для решения любого тригонометрического уравнения его надо  свести к одному из четырех простейших (фактически методы решения тригонометрических уравнений являются способами сведения их к простейшим). Простейшими тригонометрическими уравнениями являются:

sinх = а,  соsх = а,  tgх = а,  сtg х = а.  Рассмотрим их решения

Автор
Дата добавления 11.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров371
Номер материала 110771
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх