ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПЕНЗЕНСКИЙ ОБЛАСТНОЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ
ЗАНЯТИЯ
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
для преподавателя
ТЕМА: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»
Составлена для специальностей:
060109 «Сестринское дело»
Курс: первый
Преподаватель: Нурмухамедова И.В.
Составлена в соответствии с рабочей
программой по математике.
2011 г.
Тема занятия: Тригонометрические уравнения.
Цель темы: После изучения темы студент должен
знать:
- способы решения простейших тригонометрических уравнений
Интеграция темы: с целью лучшего усвоения темы, студентам необходимо восстановить знания по теме:
Способы решения уравнений
Функции синус, косинус, тангенс, котангенс
Свойства и графики тригонометрических функций
Методическая разработка темы «Тригонометрические уравнения»
Цель:
- рассмотреть общий вид решений простейших тригонометрических уравнений
Вид урока: комбинированный
Время: 90 минут
Оснащение: методическая разработка для преподавателя,
методические указания для студентов,
раздаточный материал
Хронокарта занятия
I. Организационный момент – 2 мин
II. Контроль усвоения материала по теме «Свойства и графики обратных тригонометрических функций» (письменный опрос) - 15 мин
III. Изучение нового материала - 30 мин
IV. Задание на уроке - 40 мин
V. Итоги урока – 1 мин
VI. Домашнее задание – 2 мин
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент
Приветствие. Отметка отсутствующих студентов. Проверка выполнения домашнего задания (письменные ответы на контрольные вопросы). Сообщение темы и цели занятия.
II. Контроль усвоения материала по теме «Свойства и графики обратных тригонометрических функций» (письменный опрос)
Вариант 1.
1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции
у = arctg x.
Вариант 2.
1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции
у = arсctg x.
III. Изучение нового материала
Для решения любого тригонометрического уравнения его надо свести к одному из четырех простейших (фактически методы решения тригонометрических уравнений являются способами сведения их к простейшим). Простейшими тригонометрическими уравнениями являются:
sin х = а, соs х = а, tg х = а, сtg х = а. Рассмотрим их решения.
Решения уравнения sin x = a
При а > 1 такое уравнение решений не имеет, так как функция синус ограничена и |sin x| < 1. На отрезке
функция sin x
возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Тогда по теореме о корне на
этом промежутке при \а\ < 1 уравнение sin x =1 имеет единственное решение х1
= arcsin a. На отрезке
функция sin x убывает и также принимает все значения от
–
1 до 1. Поэтому и на этом промежутке при
|а| < 1 уравнение sin x = а тоже имеет единственное решение
х2 = π – х1 = π – агсsin а.
Действительно, sin х2 = sin(π — х1) = sin х1 = а. Кроме того, поскольку
то есть х2 принадлежит отрезку
Учитывая, что период синуса равен 2π, получаем две формулы для всех решений данного уравнения: х = агсsin а + 2πn и х = π – агсsin а + 2πn, где п ε Ζ. Такие решения удобно описывать не двумя, а одной формулой:
х = (-1)к агсsin а + πк, к ε Ζ..
Действительно, при четных к = 2n из этой формулы получаем все решения, описываемые первой формулой; при нечетных к = 2п + 1 – решения, записываемые второй формулой.
В частных случаях а = 0; ±1 проще и
удобнее использовать
не общую формулу, а записывать решения на основании единичной
окружности:
для
Пример 1. Решим уравнение
По приведенной формуле запишем решение уравнения
Пример 2.
Решения уравнения соs x = a
При а >1 такое уравнение решений не имеет, так как функция косинус ограничена и |соs х| < 1. На отрезке [0; π] функция соs х убывает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому по теореме о корне на этом промежутке при |а| < 1 уравнение соs х = а имеет единственное решение х1 = агссоs а. Так как функция соs х четная, то на отрезке [-π; 0] данное уравнение также имеет единственное решение х2 = - х1 = - агссоs а. Итак, уравнение соs х = о на промежутке [-π; π] имеет два решения
х = ± агссоs а.
Учитывая, что период косинуса равен 2π, то получаем формулу для записи всех решений данного уравнения: х = ± агссоs а + 2πк, к ε Ζ.
В частных случаях а = 0; ±1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:
для уравнения
Пример 3. Решим уравнение соs х = -1/2
Используя приведенную формулу, запишем решения этого уравнения
Пример 4. Решим уравнение
Так как в данном случае имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решения
откуда
найдем
Решения уравнения tg x = а
На отрезке
функция
tg x возрастает
и принимает все значения от
-∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение tg x = а имеет единственное решение, равное
х = arctg a. Так как функция тангенс имеет период π, то получаем формулу для всех решений данного уравнения: x = arctg a + πk, k є z
Пример 5. Решим уравнение 3tg x = √3.
Запишем уравнение в виде
Используя приведенную формулу, выпишем решения уравнения
Пример 6.
По приведенной формуле запишем решения уравнения
Решения уравнения ctg x = a
На отрезке (0; π) функция сtg x убывает и принимает все значения от
-∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение сtg х = а имеет единственное решение
х = агссtg а. Учитывая, что период котангенса равен π, получим формулу для записи всех решений данного уравнения:
х = агссtg а + πк, к ε Ζ
Пример 7. Решим уравнение
ctg
Учтем, что функция котангенс нечетная, и запишем уравнение в виде
ctg
. Решения этого уравнения 
= 
. Теперь найдем х = 
.
IV. Задание на уроке
№ 136 (а, г); 137 (в); 139 (б); 140 (а); 145 (а, в, г); 147 (а, в); 148 (б).
Решите уравнения (№ 136 – 147):
№ 136.
а) 
г) 
№ 137.
в) 
№ 139.
б) 
№ 140.
а) 
№ 145.
а) 
в) 
г) 
№ 147.
а) 
в) 
№ 148. Для
каждой из функций у = 
и у = 
найдите координаты общих точек ее графика
с прямой:
б) у = -1.
V. Итоги урока.
VI. Домашнее задание
Учебник Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. Гл. 5, § 28. Ответить на
контрольные вопросы:
1. Выпишите решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Приведите решения для частных случаев уравнений sin x = 0; ±1 и
cos x = 0;±1.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Интеграция темы: с целью лучшего усвоения темы, студентам необходимо восстановить знания по теме:
Способы решения уравнений
Функции синус, косинус, тангенс, котангенс
Свойства и графики тригонометрических функций
Методическая разработка темы «Тригонометрические уравнения»
Цель:
- рассмотреть общий вид решений простейших тригонометрических уравнений
Для решения любого тригонометрического уравнения его надо свести к одному из четырех простейших (фактически методы решения тригонометрических уравнений являются способами сведения их к простейшим). Простейшими тригонометрическими уравнениями являются:
sinх = а, соsх = а, tgх = а, сtg х = а. Рассмотрим их решения
6 664 849 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Нурмухамедова Ирина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.