Инфоурок Математика Рабочие программыМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса (специальность 09.02.03. Программирование в компьютерных системах

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса (специальность 09.02.03. Программирование в компьютерных системах

Скачать материал

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М.Д. Евдокимова

 

 

 

 

методические указания

по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы 

по  дисциплине «Математика»

для студентов 1 курса

(специальность 09.02.03.    Программирование в компьютерных системах)

 

 

 

 

 

 

 

 

Семилуки , 2014


 Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное пособие содержит  указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по «Математика», являющейся базовой дисциплиной. Методические указания составлены  в соответствии с рабочей программой  по дисциплине «Математика» и предназначены для студентов 1-го курса, обучающихся по специальности 09.02.03.    Программирование в компьютерных системах

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Евдокимова М.Д., 2014

©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»


Оглавление

 

Введение

4

Содержание самостоятельной внеаудиторной работы

9

Задачи профильной направленности

146

Ответы к задачам

163

Тесты для самоконтроля  по темам

164

Методические указания к самостоятельной работе студента

222

Литература

230

 


Введение

 

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной  работы по дисциплине «Математика» предназначены для студентов, обучающихся по специальности 09.02.03.     Программирование в компьютерных системах.

 

Выполнение внеаудиторной самостоятельной  работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом  Семилукского государственного технико-экономического колледжа по данной специальности.

Самостоятельная внеаудиторная работа проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- развития познавательных способностей и активности студентов, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике  используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;

для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;

для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.

 

Требования к результатам освоения дисциплины:

 

При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики», вводится линия «Начала математического анализа». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи:

систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и нематематических задач;

расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей;

изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять полученные знания для решения практических задач;

развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления;

знакомство с основными идеями и методами математического анализа.

 

Цели

Изучение математики на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:

·         формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

·         развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;

·         овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

·         воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.

 

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;

самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

 

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ  ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ

В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен

знать/понимать

 

·                значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

·                значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

·                универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

·                вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

 

Алгебра

уметь

·                выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

·                проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

·                вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни  для:

·                практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

·                понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет

 

Функции и графики

уметь

·                определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

·                строить графики изученных функций;

·                описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

·                решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·                описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

·                понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет

 

Начала математического анализа

уметь

·                вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

·                исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;

·                вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·                решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;

·                понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет

 

Уравнения и неравенства

уметь

·                решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

·                составлять уравнения и неравенства по условию задачи;

·                использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;

·                изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·                построения и исследования простейших математических моделей;

·                понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет

 

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь

·                решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

·                вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·                анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

·                анализа информации статистического характера;

·                понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет

 

Геометрия

уметь

·                распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

·                описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

·                анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

·                изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

·                строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

·                решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

·                использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

·                проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·                исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

·                вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства;

·                понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет

 

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы студент должен внимательно выслушать инструктаж преподавателя по выполнению задания, который включает определение цели задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.

В пособии представлены как индивидуальные, так и групповые задания в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности. В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются аудиторные занятия, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

- уровень освоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированность общеучебных умений;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями.

 

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания самостоятельной работы; вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.

 


Содержание самостоятельной внеаудиторной работы

 

Самостоятельная работа №1 Подготовка сообщения  «История развития понятия функции»

 

Цель: получить представление о функциях, истории развития понятия функции и ее применении  в различных областях науки

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №2 Подготовка сообщения  «История появления алгебры как науки»

 

Цель: получить представление об истории развития и становления алгебры как науки, о ее достижениях, о связи с другими науками

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №3 Подготовка сообщения  «История развития тригонометрии»

 

Цель: получить представление об истории развития тригонометрии, о ее достижениях, о связи с другими науками

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №4 Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Тригонометрические функции»

 

Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Тригонометрические функции»

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: ответ на уроке

 

Теоретический материал

 

Определение тригонометрических функций на единичной окружности

 

Вспомним определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника. Только построим его в единичной окружности.

 

Отметим на окружности точку Р (х;у). И ее проекции на координатные оси: ОА=х, ОВ=у. Соединим точку с началом координат, получим угол α.

Рассмотрим ∆АРО- прямоугольный, катеты ОА и РА, гипотенуза ОР=1.

 

Определение: Синус угла α — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е.

Таким образом, синус любого угла определяется по оси ОУ.

 

Определение: Косинус угла α — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, т.е.

Таким образом, косинус любого угла определяется по оси ОХ.

 

Определение: Тангенс угла А — это отношение противолежащего катета к прилежащему, т.е.

 

Определение: Котангенс угла А — это отношение прилежащего катета к противолежащему, т.е.

 

Для основных углов тригонометрических функций составлена таблица их значений:

 

Пример:

Найти значение выражения:

.

 

 

Самостоятельная работа №5 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Тригонометрические функции числового аргумента»

 

Цель: закрепить навыки решения тригонометрических задач с помощью формул приведения, выработать навыки их применения при нахождении углов больше , преобразовании тригонометрических выражений.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

  1. Вычислить с помощью формул приведения
  2. Упростить выражение
  3. Доказать тождество

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Знаки тригонометрических функций

 

Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки вчетвертях будут следующими:

Формулы приведения

 

Это формулы, позволяющие выражать значения тригонометрических функций любого угла через функции угла первой четверти, т.е. α< 90°.

 

ПРАВИЛО 1. Если угол   α  откладывают от оси ОX, то функция не меняется.

А если угол α  откладывают от оси ОY, то функция меняется на кофункцию.

ПРАВИЛО 2. Знак в правой части формулы определяется по знаку функции в левой части.

Пример: Запишите формулы приведения

 

Формулы приведения

 

β

π/2 - α

π/2 + α

π - α

π + α

3π/2 - α

3π/2 + α

2π - α

2π + α

cos

sin α

- sin α

-cos α

-cos α

- sin α

sin α

cos α

cos α

sin

cos α

-cos α

sin α

-sin α

-cos α

cos α

-sin α

sin α

tg

сtg α

-сtg α

-tg α

tg α

-сtg α

-сtg α

-tg α

tg α

ctg

tg α

-tg α

-ctg α

ctg α

tg α

-tg α

-ctg α

ctg α

 

Пример 1.Выразите тригонометрические функции через угол меньше 45°.

 

Пример 2. Упростите выражение.

Решение:

Пример 3. Упростите выражение.

Решение:

 

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, учебник и ответьте  на следующие вопросы:

  1. Правило перевода градусной меры в радианную
  2. Правило перевода радианной меры в градусную

3.      Определение тригонометрических функций на единичной окружности

  1. Знаки тригонометрических функций.
  2. Четные и нечетные функции.
  3. Периодичность тригонометрических функций.
  4. Основное тригонометрическое тождество.

 

Задания.

1 уровень.

Вариант1.                            

1.Вычислить с помощью формул приведения.      а)      б)

2.Упростить выражение:             

3.Вычислите:       если     и

4.Найдите значение выражения:

5. Докажите тождество: 

2 уровень.

         Вариант2.

1.Вычислить с помощью формул приведения.        а)      б)

2.Упростить выражение:               

3.Вычислите:    если  и

4.Найдите значение выражения:

5. Докажите тождество: 

3 уровень

Вариант 3.

1.Вычислить с помощью формул приведения.           а)      б)

2.Упростить выражение:                          

3.Вычислите:   если   и

4.Найдите значение выражения:

5. Докажите тождество: 

 

 

Самостоятельная работа №6 Подготовка сообщения  «Тригонометрические функции в физике»

 

Цель: получить представление о применении тригонометрических функций в физике

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №7 Подготовка презентации  «Преобразование графиков функций»

 

Цель: формирование умений и навыков применения преобразования графиков функций для решения задач, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №8  Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Преобразования графиков тригонометрических функций»

 

Цель: закрепить навыки построения графиков с помощью преобразований

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1.      Построить график функции

2.      Описать вид преобразования графика функции

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

1.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

 

1.1.  Построение графика функции y=f(x)+n

Пусть нам известен вид графика функции y=f(x) и надо построить график функции y=f(x)+n. Значения у для второй функции на n больше при n>0 и на n меньше при n<0, это значит, что график в первом случае выше, а во втором ниже, опорного графика f(x).

 

График функции y=f(x)+n получается из графика  y=f(x) сдвигом вдоль оси Оу на n единиц. Направление сдвига определяется знаком числа n (при n>0 график сдвигается вверх, при n<0 – вниз).

 

На рис.1 изображены графики функций +3, -2.

На рис.2: y=f(x), y=f(x)-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     Рис.1                                                                            Рис.2

 

1.2.           Построение графика функции y=f(x-m).

Ранее неоднократно строились графики квадратичной функции вида y=a(x-m)2 и не раз убеждались в том, что происходит сдвиг параболы  y=ax2 вдоль оси Ох  вправо при m>0 и влево при m<0. Это преобразование справедливо и для графика любой другой функции.

На рис.3 графики функций: , .

На рис.4 :  у = -х3, у = -(х-4)3, у = -(х+3)3.

 

График функции y=f(x-m)  получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох  вправо при m>0 и влево при m<0.

 

1.3.  Построение графика функции y=af(x).

Пусть надо построить график функции y=af(x), и пусть  для определенности а=2. Это означает, что значения у функции, которую надо построить в 2 раза больше значений у опорной функции для у>0 и в 2 раза меньше для у <0. И в том и другом случае происходит растяжение графика вдоль оси Оу. В случае, когда |а|<1,  происходит сжатие.

 

График функции y=af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в а раз по оси Оу ( в случае |а|<1получается сжатие).

На рис.5 изображены графики функций: , , .

На рис.6 :  y=f(x), f(x), y=2f(x).

 

 

 

    .                                                                 

 

 

 

 

                   Рис.3                                                                                     Рис.4

 

 

 

 

 

 

.                            Рис.5                                                                                      Рис.6

1.4.Построение графика функции y=f(kx).

 

В одной и той же системе координат построим  графики функций:

1), 2), 3) (рис.7)

 

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

               

Рис.7

 Заметим: в случае графика 2) происходит сжатие графика 1) в 2 раза, а в случае графика 3) – растяжение графика 1) в 3 раза вдоль оси Ох.

Для построения графика функции y=f(kx) надо подвергнуть график функции  y=f(x) сжатию вдоль оси Ох, если |k|>1, и растяжению в 1/|k| раз, если |k|<1.

В нашем случае: 1) y=f(x), 2) y=f(2x), 3) .

 

Задания:

Вариант 1

  1. Используя график функции у=х2, построить графики функций: у =х2-1
  2. Используя график функции , постройте график функции: .
  3. Постройте графики функций:

 

Вариант 2

  1. Используя график функции у=х2, построить графики функций: у =(х+1)2
  2. Используя график функции , постройте график функции: .
  3. Постройте графики функций:

 

Вариант 3

  1. Используя график функции у=х2, построить графики функций: у =(х-3)2+2.
  2. Используя график функции , постройте график функции:.
  3. Постройте графики функций:

 

 

Самостоятельная работа №9: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Свойства тригонометрических функций»

 

Цель: закрепить навыки решения задач на определение свойств тригонометрических функций

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

  1. Выразите в радианной мере величины углов
  2. Выразите в градусной мере величины углов
  3. Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения)
  4. Найти другие тригонометрические функции.
  5. Упростите
  6. Определите знак выражения.

 

Задания:

Вариант 1

 

  1. Выразите в радианной мере величины углов 640;  1600.
  2. Выразите в градусной мере величины углов , .
  3. Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):

  1. Дано: . Найти другие тригонометрические функции.
  2. Упростите: .
  3. Определите знак выражения: .

 

Вариант 2

 

  1. Выразите в радианной мере величины углов 560;  1700.
  2. Выразите в градусной мере величины углов , .
  3. Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):

  1. Дано: . Найти другие тригонометрические функции.
  2. Упростите: .
  3. Определите знак выражения: .

 

Вариант 3

 

  1. Выразите в радианной мере величины углов 720;  1400.
  2. Выразите в градусной мере величины углов , .
  3. Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):

  1. Дано: . Найти другие тригонометрические функции.
  2. Упростите: .
  3. Определите знак выражения: .

 

Вариант 4

 

  1. Выразите в радианной мере величины углов 420;  1300.
  2. Выразите в градусной мере величины углов , .
  3. Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):

  1. Дано: . Найти другие тригонометрические функции.
  2. Упростите: .
  3. Определите знак выражения: .

 

 

Самостоятельная работа №10 Подготовка сообщений  «Гармонические колебания»

 

Цель: получить представление о гармонических колебаниях, их использовании в различных областях науки

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №11 Подготовка сообщений  «Обратные тригонометрические функции»

 

Цель: получить представление об обратных тригонометрических функциях, их использовании в различных областях науки

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №12  Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»

 

Цель: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1.      Решить уравнения

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Решение простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aЄR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

 

 

 

1. sinx = a, |a| ≤1

 

 

 

 

2. cos x = a , |a| ≤1

 

 

3. tg x = a , a Є R                                          ctg x = a , a Є R

 

 

 

 

 

 

Задание: Решить уравнения

 

1)                                   

2)                             

3)                                               

4)                                              

5)                                          

6)                                                  

7)                                                 

8)                                          

9)                                               

10)                                         

11)                                           

12)                                            

13)                                              

14)                                             

15)                                

16)                              

17)                                             

18)                                          

19)                                             

20)                          

 

 

Самостоятельная работа №13  Решение простейших тригонометрических неравенств

 

Цель: закрепить умения использовать тригонометрический круг  при  решении простейших неравенств вида sin x > a, sin x <-a , cos x > a, cosx < -a;

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1.      Решить неравенства

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Определение.

Два тригонометрических выражения, соединённые между собой знаком  или >,  называются тригонометрическими неравенствами.

Решить тригонометрическое неравенство - это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

Тригонометрические  неравенства  можно  решать  с  помощью  графиков  функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y= ctg x или с помощью единичной окружности.

Решение тригонометрических неравенств, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin x>asin xasin xasin x<acos x<a и т.п

 

Алгоритм решения тригонометрических  неравенств с помощью единичной окружности.

1) На оси ординат (абсцисс)  отметить точку  a  и провести прямую y = a (x = a), перпендикулярную соответствующей оси.

2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3)  Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x  и  y = cos x  ).

 

Решение простейших неравенств вида  sin x>asin xasin xasin x<a

Пример 1.   Решите неравенство sin x>

На единичной окружности проводим прямую y = , которая пересекает окружность в точках  A и B.

Все значения y на промежутке NM больше , все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших , но меньших sin x  будет принимать значения больше  (но не больше единицы).

Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале , т.е. <x<. Для того, чтобы получить все  решения данного неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить 2, ,   т.е.                     + 2<x< + 2, . Заметим, что значения x= и  являются корнями уравнения sin,

 т.е.  =arcsin;         .

 Ответ:, .

 

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 2 .      Решите неравенство      

Все значения  y  на промежутке MN меньше , но не меньше (-1). Неравенство имеет решение  или , отличающееся от предыдущего на минус один период, т.е.   , причем . Обобщая, решение неравенства запишем: , .

Ответ: , .

 

В общем виде:

Ответ:  , .

В общем виде:

Ответ:,.

Пример 3:      .        

Ответ: ,.

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 4:         .            

Ответ: ,.

 

В общем виде:

Ответ:      и

            ,.

 

Решение простейших неравенств вида  cos x>acos xacos xacos x<a

                       

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 6:       .           

 Ответ:(),.

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 7:       .            

Ответ: ,.

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 8:      .       

 Ответ:  ,.

В общем виде:

Ответ: ,.

 

Пример 9 :   .       

 Ответ: ,.

 

Задания:

 

  1. Решить неравенства:

;    ;    ;      ;     ;   ;       ;   ;    ;        ;    ;      ;   

  1. Решить неравенства:

 

 ;       ;         ;       ;      ;       ;       ;          ;       ;       ;    

 

 

Самостоятельная работа №14 Подготовка сообщения  «История развития геометрии»

 

Цель: получить представление об истории развития и становления геометрии как науки, о ее достижениях, о связи с другими науками

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №15 Подготовка сообщения  «Сущность аксиоматического метода»

 

Цель: получить представление о сущности аксиоматического метода, его влиянии на развитие геометрии

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №16 Подготовка сообщения  «Геометрия Лобачевского»

 

Цель: получить представление о вкладе Лобачевского в развитие геометрии

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №17 Подготовка презентации  «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»

 

Цель: расширить знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №18: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Построение сечений»

 

Цель: закрепить умения построения сечений многогранников;

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

  1. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки.
  2.  Проверьте правильность построения сечения.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Введение понятия секущей плоскости и сечения

 

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.

Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

 

1)      Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получиться либо треугольники, либо четырехугольники.

2)      Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда? (т.к. параллелепипед имеет шесть граней, то в сечении могут получиться либо треугольники, либо четырехугольники, либо пятиугольники, либо шестиугольники).

 

Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости

 

а) Построить линию пересечении выделенной плоскости и плоскости, в которой лежит прямая.

б) Точка пересечения построенной прямой с данной является искомой.

 

Пример: Построить точку пересечения прямой АВ с выделенной плоскостью

 

Решение задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

 

     Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра и параллелепипеда, для этого решим следующие задачи.

 

  1. На ребрах AB, AD, CD тетраэдра ABCD отмечены точки Q, N, P . Построить сечение тетраэдра плоскостью QNP. ( Для построения сечений ищем отрезки, по которым секущая плоскость пересекает каждую грань)  (слайд 9).

 

 

  1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В, С.

 

 

  1. Постойте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через указанные точки.

                                                                                      Построение (рис 1):

 

 

Алгоритм построения сечения многогранника  плоскостью

 

  1. Построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника (тетраэдра, параллелепипеда).

2. Полученные точки, лежащие в одной грани, соединить отрезками.

3. Многоугольник, ограниченный данными отрезками, и есть построенное сечение.

 

Замечание: Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-либо отрезкам, то эти отрезки параллельны.

 

Задания:

 

  1. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки.

 

  1.  Проверьте правильность построения сечения.

 

 

 

Самостоятельная работа №19: Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

 

Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

Самостоятельная работа: работа с литературой, работа с интернет-ресурсами

Форма контроля: ответ на уроке

 

Теоретический материал

 

Перпендикулярность прямой и плоскости

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.

 

Безымянный2

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Безымянный3

 

Задача№117.В тетраэдре АВСD:ВСАD. Докажите, что АDMN, где М и N – середины ребер АВ и АС.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ

 

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Безымянный9

Задача №119. Прямая ОАOBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD. 

Задача №121. В треугольника АВС дано: угол С = 900, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.  

Задача №120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.

ТЕОРЕМЫ,УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ К ПЛОСКОСТИ

 

Теорема 1: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Безымянный4

Теорема 2:Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны между собой.

Безымянный6

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Безымянный7 

 

ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна

 

Безымянный20

 

1.      Закрепление материала:

Задача №124. Прямая РQ параллельна плоскости α  . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1.

 

 

Самостоятельная работа №20 Подготовка презентации  «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве»

 

Цель: расширить знания о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №21: Изготовление таблиц «Формулы тригонометрии»

 

Цель: закрепить знания формул тригонометрии

Самостоятельная работа: изготовление таблиц «Формулы тригонометрии»

Форма контроля: демонстрация таблиц на уроке

 

 

Самостоятельная работа №22  Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Преобразования тригонометрических выражений»

 

Цель: закрепить умения упрощать тригонометрических выражений;

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

  1. Найдите значение выражения 
  2. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций
  3. Упростите выражение
  4. Докажите тождество

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Преобразование тригонометрических выражений

 

I.   Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

II.      Формулы (теоремы) сложения аргументов:

III.    Формулы двойного аргумента:

IV.    Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):

V.      Формулы произведений:

VI.    Формулы сумм:

Пример:

Пример:  Упростите выражение .

Решение: , так как .

Пример:  Вычислите: .

Решение: Воспользуемся формулой .

Имеем: .

 

Задания:

Вариант 1

 

А1. Найдите значение выражения 

А2. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если

     А3. Упростите выражение:  , если  .

В1. Упростите выражение   

 

Вариант 2

 

А1. Найдите значение выражения 

А2. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если

     А3. Упростите выражение 

В1. Упростите выражение   

  • Докажите тождество

1 вариант

2  вариант

 

3 вариант

    

 

 

 

Самостоятельная работа №23 Изготовление моделей многогранников

 

Цель: изучить, какие правильные многогранники существуют;

научиться выполнять развертки многогранников;

исследовать, есть ли еще другие правильные многогранники

Самостоятельная работа: изготовление моделей многогранников.

Форма контроля: демонстрация моделей на уроке

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Многогранник - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник — выпуклый.[1]

Выпуклый многогранник называется правильным, если  все его грани – равные правильные многоугольники и к каждой вершине примыкает одно и то же число граней.

1.  Виды правильных многогранников

                                Тетраэдр

ТетраэдрТетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Элементы симметрии:

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.[10]

                                           Куб

КубКуб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии:

Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии[11]

                                         Октаэдр

ОктаэдрОктаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии:

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. [12]

 

                                          Икосаэдр

ИкосаэдрИкосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Элементы симметрии:

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. [13]

                                          Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его Додекаэдрвершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

 

 

 

 

Развертка многогранника

 

Развёртка поверхности- , фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными.

Также близко по смыслу понятие развёртки в оригами.

В технике развёрткой называют плоскую заготовку или чертёж плоской заготовки, из которой получают объёмную форму детали или конструкции путём изгибания. В этом случае развёртка не вполне отвечает математическому определению, из-за необходимости учёта изменения длин изгибаемого материала.

 

 

 

 

 

Это развертка куба

 

 

 

 

 

 

 

 

                Это развертка октаэдра

 

 

 

Это развертка икосаэдра

 

 

 

 

 

 

Это развертка додекаэдра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это развертка тетраэдра

 

 

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа №24 Подготовка презентации  «Симметрия в нашей жизни»

 

Цель: расширить знания о симметрии, рассмотреть симметрию, встречающуюся в разных сферах жизни, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №25 Подготовка сообщения  Звёздчатые многогранники», «Платоновы тела».

 

Цель: получить представление о звездчатых многогранниках, платоновых телах, проследить историю развития многогранников, расширить знания о звёздчатых многогранниках, исследовать способы изготовления различных моделей звёздчатых многогранников.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №26 Подготовка сообщения «История развития дифференциального исчисления»

 

Цель: рассмотреть  историю развития дифференциального исчисления; рассмотреть  имена, связанные с возникновением и развитием дифференциального исчисления..

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №27: Подготовка сообщения «Понятие предела в математическом анализе»

 

Цель: рассмотреть  понятие предела в математическом анализе.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №28: Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Определение производной»

 

Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Определение производной».

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: ответ  на уроке

 

Теоретический материал

 

Производная функции

 

Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной математики невозможно, поскольку соответствующие математические величины, используемые для этой цели, должны сами обладать способностью к “движению” . Высшая математика, в отличие от элементарной, оперирует зависимостями и величинами, подверженными изменениям, происходящим по определенным законам. Величиной, определяющей темп изменения функциональных зависимостей в высшей математике, является производная функции. Для пояснения этого понятия рассмотрим рис.1, где графически представлена некоторая произвольная функциональная зависимость    y = f (x).

Приращением функции y = f(x) называется разность

где Dx - приращение аргумента x. Из рис. 1 видно, что

                                               (1)

Рис. 1

 

Производной функции y = f(x) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

          (2)

Если указанный предел в формуле (2) существует, то функцию f(x) называют дифференцируемой в точке x, а операцию нахождения производной y¢ - дифференцированием.

           

Пример 1. Найти производную функции y = x2 в точке x = 3.

Решение. При любом приращении Dx имеем:

            Касательной называется прямая к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей М1(x1, f(x1)) к первой М0(x0, f(x0)).

Рис. 2

 

Таким образом, тангенс угла между касательной, проведенной к графику функции в данной точке, и осью абсцисс, числено равен значению производной функции в данной точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

К  физическому смыслу производной подойдем из рассмотрения механического движения. Если за время Dt тело проходит путь DS, то  средняя за это время скорость движения:   Но на пути D S скорость может иметь различные мгновенные значения (vмгн), которые определяются как предел отношения  DS   к  Dt  при Dt®0 :

                                                                              (3)

Следовательно, мгновенная скорость движения в данной точке  представляет собой значение  в данный  момент  времени   производной  от  пути  по  времени.

Итак, производная имеет  смысл скорости некоторого процесса.

Если рассматривается ускорение (а) механического движения,  то мгновенное ускорение представляет собой первую производную от скорости или вторую производную от пути:

                         (4)

        Таким образом, вторая производная имеет физический смысл   ускорения.

 

 

Самостоятельная работа №29 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Вычисление производных»

 

Цель: познакомиться с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, научиться применять формулы дифференцирования и таблицу производных .

Самостоятельная работа: разбор формул дифференцирования и таблицы производных.

Форма контроля: ответ на уроке, проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1.      ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

            Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1.   ,

2.   ,

3.   ,

4.   ,

5.   ,

6.   ,

7.   ,

8.   ,

9.   ,

10.,

11.,

12.,

13.,

14.,

15.,

16.,

17..

 

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

 

Определение: Функция называется сложной, если ее аргумент сам является функцией.

Пусть y=y(u) и  u=u(x)- дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y(u(x)) есть также дифференцируемая функция, причем

y/x=y/u *u /x или

Примеры:

  1. Найти производные заданных функций

а) ;

Решение.  .

б) ;

Решение.  Используем формулу .

.

в) ;

Решение.  Используем формулу .

.

  1. Найти точки, в которых производная функции равна нулю:

Решение.  

  1. Найти производные функций:

а) ;       б) .

Решение. а) Функция  – это произведение двух функций  и , поэтому по третьему правилу дифференцирования:

          .

Из таблицы производных находим, что , и так как , то ; .

Значит, .

б) .

  1. Найти производные функций:

а)

Решение.  

б)

Решение.

 

 

Задания:

 

Вариант 1

 

1. Найти производные

а)      ,

б)      ,

в)      ,

Вариант 2

1. Найти производные

а)      ,

б)      ,

в)      ,

г)      ,

Вариант 3

1. Найти производные

а)      ,

б)      ,

в)      ,

г)      ,

Вариант 4

1. Найти производные

а)      ,

б)      ,

в)      ,

г)      ,

 

 

Самостоятельная работа №30:  Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Уравнение касательной к графику функции»

 

Цель: научиться строить уравнение касательной к графику функции .

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Определение касательной к графику функции у=f(х)

 

Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую называют секущей. Будем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться (стремиться к точки Р) предельное положение прямой РР1 и будет касательной к кривой в точке Р.

 

 

Уравнение вида у=f(a)+f’(a)(х-а) является уравнением касательной к графику функции.

 

Алгоритм составления касательной к графику функции у=f(x)

 

  1. Обозначить буквой а абсциссу точки касания.
  2. Найти f(а).
  3. Найти f’(x) и f’(а).
  4. Подставить найденные числа а, f(а), f’(а) в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a)

 

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

    Пусть даны две прямые: у1=k1x+b1  и  у2=k2x+b2.

    Если  k1= k2, то прямая  у1 параллельна  у2.

    Если k1×k2=–1, то данные прямые взаимно перпендикулярны

 

Рассмотрим задачи на касательную

 

1. Касательная проходит через точку, лежащую на данной кривой

 Даны дифференцируемая функция у=f(х) и

 1)  точка А(n;m) через которую проходит касательная;

 2)  точка А(n;m) задана как пересечение   двух графиков функций;

 3) точка А(n;m) задана как корень системы уравнений.

 

 

 

 

 

Ключевая задача 1.

Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2.

Решение. 

1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда а=2.

2. Найдем f(a):    f(a)=22–2·2–3,   f(a)=-3.

3. Найдем f’ (x) и f’(a):  f’(x)=2x–2,  f’(a)=2.

4. Подставим найденные числа а, f(a),  в общее уравнение касательной

 у=f(a)+f’(a)(x–a):  у=-3+2(х–2), 

у=-3+2х–4,  у=2х–7 – уравнение касательной. 

Ответ:  у=2х –7.

 

2. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной кривой

 Даны дифференцируемая функция у=f(х) и

 1)  точка А(n;m) через которую проходит касательная;

 2)  точка А(n;m) задана как пересечение   двух графиков функций;

 3) точка А(n;m) задана как корень системы уравнений.

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача 2.

Напишите уравнение всех касательных к графику функции  

у = х2 +4х+6  проходящих через точку М(-3;-1).

Решение.  1. Точка М(-3;-1) не является точкой касания, так как  f(-3)=3.

                  2. а – абсцисса точки касания.

                  3. Найдем   f(a):     f(a) = a 2+4a+6.   

                  4.  Найдем  f’(x) и f’(a):  f’(x)=2x+4,   f’(a)=2a+4.

                  5. Подставим числа а, f(a),  в общее уравнение касательной 

    у= f(a)+ f’(a)(x–a):       y=a2+4a+6+(2a+4)(x–a) – уравнение касательной

Так как касательная проходит через точку М(-3;-1), то   -1=a2+4a+6+(2a+4)(-3–a),   a2+6a+5=0,   a=-5  или  a=-1.

Если  a=-5,  то  y=-6x–19 – уравнение касательной.

Если a=-1,   y=2x+5  – уравнение касательной.

Ответ:  y=-6x–19,     y=2x+5.

 

3. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой

 

 

Ключевая задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции у=х2–2х–8, параллельных прямой у=-4х–4.

Решение.  1. Обозначим абсциссу точки касания а.

                  2. Найдем f(a):      f(a)=a2–2a–8.     

                  3. Найдем f’(x) и f’(a):  f’(x)=2x–2, f’(a)=2a–2.

Но, с другой стороны, f’(a)= - 4 (условие параллельности). Решив уравнение  2a–2= - 4, получим  a= - 1,  f(a)= - 5.

Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной  у=f(a)+f’(a)(x-a): y=-5–4(x+1),

          y= - 4x–9 – уравнение касательной.

Ответ:  y= - 4x–9.

 

4. Касательная является общей для двух кривых

 

 

Ключевая задача 4. Напишите уравнения всех общих  касательных к графикам функций  у=х2+х+1  и. у=0,5(х2+3).

Решение.  I 1. а  – абсцисса точки касания графика функции  у=х2+х+1

                     2. Найдем  f(a):      f(a) =a2+а+1.     

                     3. Найдем f’(x) и f’(a):   f’(x)=2x+1,  f”(a)=2a+1.

                     4. Подставим а, f(a),  в общее уравнение касательной 

у=f(a)+ f’(a)(x–a):  y=a2+а+1+(2a+1)×(x–a), y=(2a+1)x–a2+1  – уравнение касательной

II. 1.  с – абсцисса точки касания графика функции   у=0,5(х2 +3).

     2. Найдем  f(c):       f(c)=0,5c2 +1,5.                 

     3. Найдем f’(x) и f’(c):  f’(x)=х,  f’(c)=c.

     4. Подставим а, f(a),  в общее уравнение касательной    у=f(a)+ f’(a)(xa):  

y=0,5c2+1,5+c(xc),   y=cx–0,5c2+1,5  – уравнение касательной.

Так как касательная общая, то        2a+1=c,                        c=1,               с=-3

                                                           –a2+1= –0,5c2+1,5        a=0;  или       а=-2

 Итак,   y=x+1  и  y=-3x–3  общие касательные.

Ответ:    y=x+1  и  y=–3x–3. 

 

Пример: Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?

Даны дифференцируемая функция у=f(х) и уравнение прямой у=kх+b. Выясните, является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x).

 

Решение:

1 способ.

     Если  у=kх+b – уравнение к графику функции в точке с абсциссой а, то f’(а)=k. Решив это уравнение, находим а и задача сводится к решению первого типа задач на касательную. Полученное уравнение сравнивается с данным уравнением прямой.  

2 способ.

     Прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(x) в том и только том случае, если существует такое значение а, при котором совпадают значения данных функций и значения их производных, т. е. Совместна система уравнений:

      f(a)=ka+b,  f’(a)=k.

 

Задания:

 

  1. Дана функция у=х3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке х0=2.
  2. Составить уравнение касательной к графику функции  f(x)=2sinx+5 в точке х0=П/2
  3. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y=1/x+√x  в точке x0=1/4

4.      В какой точке графика функции y=4/x2+2x тангенс угла наклона касательной равен 3?

5.      В какой точке графика функции y=8√х+2x тангенс  угла наклона касательной равен 2?

6.      Напишите уравнение касательной к графику функции у=х2-2х+1 в точке х0=2

7.      Напишите уравнение касательной к графику функции у=х2+2х+1 в точке х0=1

 

 

Самостоятельная работа №31: выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Исследование функций и построение графиков»

 

Цель: научиться исследовать функции и строить их графики

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Применение производной к исследованию функций

 

 

Определение: Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

 

Определение: Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

подпись монотмонотонность3 Задача1 .Найти промежутки возрастания функции.

Геометрически – это интервалы оси   ox, где график функции идет вверх. .

монотонность1

 

Задача2.Найти промежутки убывания этой же функции:

Геометрически – это интервалы оси   ox, где график функции идет вниз .

 

 

 

Проблема

 

            Можно ли установить зависимость между видом монотонности (возрастанием или убыванием) функции на промежутке и знаком производной в каждой точке этого промежутка? Как это сделать?

 

 

 

Признак возрастания функции

 

Достаточное условие возрастания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f’(x)>0, то функция f(x) монотонно  возрастает на этом интервале.

монотонность5

 

Признак убывания функции

 

Достаточное условие убывания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f’(x)<0, то функция f(x) монотонно  убывает на этом интервале.

монотонность7 jpg

 

 

Условие постоянства функции

 

4

            Необходимое и достаточное условие постоянства функции : Функция f постоянна на интервала (a; b) тогда и только тогда, когда f’(x)=0 в каждой точке этого интервала.

 

Экстремумы функции

 

Определение. Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)≥f(x0).          

43

Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)≤f(x0).          

42

            Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются максимумами и минимумами функции.

 

Критические точки функции

 

       Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

            Роль критических точек – только они могут быть точками экстремума функции.

            Необходимое условие экстремума. Если х0 – точка экстремума функции f, то эта точка является критической точкой данной функции.

 

Достаточное условие экстремума

 

Если функция f непрерывна в точке х0 и производная f’(x) меняет знак в

этой точке, то х0 – точка экстремума функции f.

 

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а

f’(x)>0 на интервале (a; x0) и f’(x)<0 на интервале 0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.

 

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f’(x)<0 на интервале (a; x0) и f’(x)>0 на интервале 0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.

 

Схема применения производной

для нахождения интервалов монотонности и экстремумов

 

  1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.
  2. Найти производную f’(x).  
  3. Найти критические точки.
  4. В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и вид монотонности функции.
  5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

 

Пример: y=2x3-3x2-36x+5

Задания:

 

Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции:

  1.                  

 

Исследование функций и построение графиков

 

f(x)=3x5-5x3+2

Решение: 1) D(f)=R, так как f – многочлен

2) f(-x)=-3x5+5x3+2, значит f(x) ни чётная, ни нечётная; не периодическая

3),4) f’(x)=15x4-15x2=15x2(x2-1)

     D(f)=R, поэтому критических точек, для которых f’(x) не существует, нет

     f’(x)=0, если х22-1)=0, т.е. при х=0, х=-1, х=1

5) Пересечение с осью Оу: 3х5-5х3+2=0, отсюда х=1

6) Построение графика

3

Как вы видите, исследование занимает немало времени и труда. А представьте, что построение графика функции является лишь промежуточной задачей.

Теперь хотелось бы привести слова Д. Юнга: «Десять страниц математики понятой,  лучше ста страниц, заученных на память и не понятых, а одна страница, самостоятельно проработанная, лучше десяти страниц, понятых отчетливо, но пассивно».

Только самостоятельно выполненная работа поможет вам узнать, насколько вы усвоили тему, поэтому мы переходим к решению задач.

 

Задания:

Исследовать функцию и построить её график:  

1)f(x)=-x3+3x-2 .             

2) f(x)=x4-2x2-3

 

 

Самостоятельная работа №32 Подготовка сообщения  «Математик Эйлер и его научные труды»

 

Цель: познакомиться с математиком Эйлером и его математическими трудами

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №33 Подготовка сообщения  «Математика в моей профессии»

 

Цель: познакомиться с применением математики в выбранной профессии, сформировать навыки и умения самостоятельного изучения материала и обсуждение на занятиях результатов их познавательной деятельности.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №34 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Решение задач на отыскание наибольших и наименьших значений величин»

 

Цель: научиться решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Определение: Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Определение: Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Определение: Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

 

         

 

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6; 6].

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1; 6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3; 2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

 

I.       Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

 

  • Найти область определения функции.
  • Найти производную функции.
  • Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
  • Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
  • Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
  • Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

 

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 18x2 + 81x + 23 на отрезке [8; 13].

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

  • Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
  • Производная функции равна: y’ = 3x2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
  • Нули производной: y’ = 3x2 – 36x + 81 = 0, значит x2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).

·         Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x3 – 18x2 + 81x + 23 = x(x-9)2+23:

 y(8) = 8 · (8-9)2+23 = 31;

y(9) = 9 · (9-9)2+23 = 23;

y(13) = 13 · (13-9)2+23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23.

Ответ: 23.

 

Пример 2.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции

а) на отрезке [1; 4]

б) на отрезке [-4; -1]

 

Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть
D(y):  x Î (-¥; 0) È(0; +¥). Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x = 2. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1; 4].

а) Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x = 1, x = 2 и x = 4:

;       ;     

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x = 1, а наименьшее значение  достигается при x = 2.

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4; -1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):

;      

Следовательно,
.


Графическая иллюстрация.

 

Пример 3. Найдите наибольшее значение функции:
y=-\sqrt{x^2-6x+10}.

Решение: действуем по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:

  • Область определения функции задается неравенством:
    x^2-6x+10\geqslant0, которое выполняется при любом x, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: D(y) = R.
  • Производная функции равна:
    y'=-\frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+10}},
    область определения которой также не ограничена, поскольку по указанной выше причине x2 – 6x + 10 > 0, и знаменатель дроби нигде не обращается в ноль: D(y’) = R.
  • Нули производной: 2x — 6 = 0, откуда x = 3 (одна точка, подозрительная на экстремум).
  • Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках:x = 3 — точка максимума, поскольку в ней возрастание функции (плюс производной) сменяется убыванием (минусом производной). Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке.
  • Находим это значение:
    y(3)=-\sqrt{3^2-6\cdot 3+10}=-1.

Итак, наибольшее значение функции равно -1. Ответ: -1.

1.      Закрепление материала

Задача 1: Найти наибольшее и наименьшее значения функции           на промежутке [1, 5].

Решение:

Найдём производную y' и точки “подозрительные на экстремум”, принадлежащие [1, 5]. (Т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.)

.

Производная существует на всей числовой оси и равна нулю при x = 0 и x = 4. Точка x=0 не принадлежит [1, 5]. Следовательно, единственная точка “подозрительная на экстремум” на сегменте [1, 5] – точка x=4. Вычислим значения функции в этой точке и на концах сегмента.

Итак, наибольшим значением функции      на интервале [1, 5]   является   ,   а наименьшим  

 

Задача 2:  Найти наибольшее и наименьшее значения  функции  на отрезке .

Решение:

1.      Найдем критические точки на

     при

              

 не принадлежит

2.      Вычислим значения функции в критической точке  и на концах отрезка .

  

3.      Среди полученных значений функции выберем наибольшее и наименьшее:

 

Задания:

 

1.   Найти наибольшее и наименьшее значения  функции  на отрезке:

а)       ,          [-3; 0];

б)       ,                         [-1; 1];

в)       ,                   [2; 4]; 

г)       ,                         [0; -1]  ;

 

 

Самостоятельная работа №35 Подготовка презентации «Векторы. Действия над векторами»

 

Цель: расширить знания о векторах, действиях над ними

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №36 Составление кроссворда «Координаты и векторы».

 

Цель: углубить знания по изученной теме

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: решение кроссворда на уроке в качестве повторения материала

 

 

Самостоятельная работа №37  Подготовка презентации «Компланарные векторы. Правило параллелепипеда»

 

Цель: расширить знания о компланарных векторах, действиях над ними

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №38 Подготовка сообщения  «Декарт и его математические труды»

 

Цель: познакомиться с математическими работами Декарта.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №39 :Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Простейшие задачи в координатах»

 

Цель: научиться решать простейшие задачи в координатах

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Декартова система координат в пространстве.

 

Если через  точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная (декартова) система координат.

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка  - началом координат. Она обозначается обычно буквой О, а оси координат так: Ox, Oy, Oz – и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Вся система координат  обозначается Oxyz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ox и Oy, Oy и Oz, Ox и Oz, называются координатными плоскостями и обозначаются Oxy, Oyz, Ozx.

Точка O разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч – отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами. Они определяются аналогично координатам точек плоскости: проведем через точку м три плоскости перпендикулярные к осям координат, и обозначим через М1, М2 и М3 точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Тогда координаты точки М будут определятся так: 

М ( x; y ;z)

1. Абсцисса х=ОМ1, если  М1 – точка положительной полуоси, х=-ОМ1, если  М1 – точка отрицательной полуоси, х=0, если М1 совпадает с точкой О.

2. Ордината y=ОМ2, если  М2 – точка положительной полуоси, y=-ОМ2, если  М2 – точка отрицательной полуоси, y=0, если М2 совпадает с точкой О.

3. Ордината z=ОМ3, если  М3 – точка положительной полуоси, z=-ОМ3, если  М3 – точка отрицательной полуоси, z=0, если М3 совпадает с точкой О.

Пример: Определить  координаты точек

 

А (3; 5; 5), B (2;-4; 2),  C (6; 0; 0),

D (5; 0; 6), E (0; 7; 0)

 

 

 

 

Координаты вектора.

 

Рассмотрим прямоугольную систему координат Оxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, длина которого равна единице. Обозначим через   единичный вектор оси абсцисс, через  - единичный вектор оси ординат и через  - единичный вектор оси аппликат. Векторы ,  и назовем координатными векторами.

 

Очевидно, что эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде

,

Причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом и являются координатами точки М(х ;у; z) – конца вектора.

Коэффициенты  x, y и z в разложении вектора  называются координатами вектора  в данной системе координат. Координаты вектора записываются в фигурных скобках: 

{x; y;z}

Для точки М вектор будет являться радиус-вектором

Свойство:  Координаты любой точки равны соответствующим координатам  её радиус вектора.

Рассмотрим свойства координат векторов:

1. Координаты нулевого вектора равны нулю:

2. Координаты равных векторов соответственно равны:

 

3.  Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов:

4. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов:

5. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число:

 

Координаты середина отрезка

В системе координат Oxyz  отметим точки А и В. Выразим координаты точки С являющейся серединой отрезка АВ. Для этого рассмотрим два вектора  и , тогда вектор можно представить в виде:  (т.к. все три вектора лежат в плоскости, а данное утверждение доказывалось в курсе планиметрии). А это значит, что координаты  вектора   будут выражаться следующим образом:

Таким образом:

Свойство: Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

 

Вычисление длины вектора по его координатам

Рассмотрим вектор . Разложим его по координатным плоскостям: , , . Рассмотрим плоскость Оxy:

Рассмотрим плоскость АОА4:  (т.к. ОА3АА4 прямоугольник), тогда . Из треугольника ОАА4 получаем:  

 

Таким образом:

Свойство:  Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

 

Расстояние между двумя точками

 

Рассмотрим две произвольные точки  и . Длина отрезка  будет равна длине вектора ,  т.е.

Свойство: Расстояние между точками  и  определяется по формуле:

 

 

Задания:

 

  1. Найдите координаты вектора ,  координаты точки С – середины отрезка  АВ, а так же длину отрезка АВ, если координаты точек: А (4; -1; 8), В (2; 5;  -4)

 

  1. ABCD- параллелограмм. A(1; -2; 3), B(3; 2; 1), C(6; 4; 4). Найти координаты точки D.

 

3.      Найти координаты векторов:           ,  если

 

 

Самостоятельная работа №40 : Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Скалярное произведение векторов»

 

Цель: научиться решать простейшие задачи в координатах

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами

Определение:

Скалярное произведение векторов – это скалярная величина, равная сумме произведений соответствующих координат.

+

Обозначение:

 

Геометрический смысл:

Скалярное произведение двух векторов равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

 

 

Свойства скалярного произведения.

1.      Коммутативность

2.      Дистрибутивность

3.     

4.      Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля)

 

Угол  между векторами.

 

Два вектора называются коллинеарными, если выполняется:

 

Свойство: Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

 

Задания:

 

1.      Даны векторы , и , причем:  

Найти: 

а).  ;

б). значение т, при котором .

 

2.      Найдите угол между прямыми  АВ и СD,   если А(3; -1; 4), В(3; -6; 2), С(2; 7; 3) и  D(1; 2; 8).

  1. Коллинеарны ли векторы   и , разложенные по векторам  и ?
  2. Перпендикулярны ли векторы  и , если 

 

 

Самостоятельная работа №41 : Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Понятие корня п-й степени из действительного числа»

 

Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Понятие корня п-й степени из действительного числа»;

Самостоятельная работа: работа с литературой, работа с интернет-ресурсами

Форма контроля: ответ на уроке

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Степень с рациональным показателем. Ее свойства

 

Вы умеете вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими определениями:

1) если n=1, то аn =а;

2) если n=0 и а¹0, то аn=1

3) если n=2, 3,4, 5,..., то аn =а•а.а•...а (n множителей);

4) если n =1,2, 3,4, ... и а¹0, тогда   

Но математики на этом не остановились, они научились работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие символы математического языка, как и т.д.

Зададимся вопросом: если вводить символ , то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:

   , поскольку

Пр.1: Положим . Тогда интересующее нас равенство можно переписать в виде а5=23, откуда получаем . Значит, появились основания определить  как . Подобные соображения и позволили принять следующее определение:

Опр. 1: Если  - обыкновенная дробь (q ¹ 1) и a³0, то под выражением понимают , т.е

Пр. 2:

Пр. 3: Вычислить:

Ответы: а) 2  ; б) 9  ; в) 0

 

Свойства степени с рациональным показателем

 

Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных  a и b справедливы равенства:

1.      ar×as = a r+s

2.      ar : as = a r-s

3.      (ar) s= a rs

4.      (ab)r = ar×br

5.     

ПР. 4: Упростите выражение:

Ответ:

 

Следующие два свойства применяются при решении неравенств:

6.  Пусть r- рациональное число  и 0<a<b . Тогда 

ar<br  при  r>0

ar>br  при  r<0

 

7. Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r>s следует, что

ar>as  при  a>1

ar < as  при 0<a<1

2.      :      Решение примеров:

1.Упростите выражение:

а) 14а2/5-10(а1\5)2

б)3а0,3:1,5а-3,7

в)в-5,6∙11в0,4

 

Решение:

а) 14а2/5-10(а1\5)2=14а2/5-10а1/52/1=14а2/5-10а2\5=4а2/5;

б)3а0,3:1,5а-3,7= 3/1,5 а0,3-(-3,7)= 2а0,3+3,7=2а4;

в)в-5,6∙11в0,4=11в-5,6+0,4=11в-5,2.

 

2. Найдите значение выражения

а) (1/4):(4-5а) при а=0,5.

б)     (2/2-2в)-1/3     при в=-2.

 в)  (аа/2∙3а)-1  при а=-2.

  

Решение:

а) Так, как 1/4=1/41= 4-1, то   (4-1):4-5а=4-3а:4-5а=4-3а-(-5а)=4-3а+5а=4,

при а=0,5 42∙ 0,5=41=4.

 

б)  (2/2-2в)-1/3   =( 24в-(-2в))-1/3= (24в+2в)-1/3= (2)-1/3=26в∙(-1/ 3)=2-2в,

при в = -2:       2-2∙ (-2)=24=16.

 

в)   (аа/2∙3а)-1= (аа/2)-1∙(3а)-1-а/ 2∙3,

при а=-2:      (-2)-(-2) / 2∙3-(-2) =(-2)2 / 2∙32=(-2)1∙9=-18

 

 

 

Самостоятельная работа №42: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Преобразование выражений, содержащих радикалы»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Преобразование выражений, содержащих радикалы»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

 

Тест Тема «Корень n-ой степени, степень с рациональным показателем»

 

А1.   Вычислить:  6

    1)    2) 6     3)    4)2

А2.  Вычислить:  

1)      4

А3. Вычислить: 

    1)2-2

А4. Представить в виде степени с основанием m

  1)

А5. Представить в виде степени с основанием а :

 1)     2)

А6. Представить в виде степени с основанием в:  

 1)b5    2)

А7. Упростить:  

1)      -

А8. Упростить: 

  1)

А9.Упростить: 

1)      2

А10. Упростить: 

1)9      2) 2

А11.Вычислить: 

 1)

Часть В

В1. Вычислить: 

В2. Вычислить: 

В3. Вычислить:

В4.Вычислить:

В5.Найти значение выражения  , при у=16

В6.Найти у, если

 

 

Самостоятельная работа №43 Подготовка презентации  «Степенные функции, их свойства и графики»

 

Цель: расширить знания о степенных функциях, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №44: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Степенные функции, их свойства и графики»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Степенные функции, их свойства и графики»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Определение: Степенными функциями называются функции вида у = хr,  где r – заданное рациональное  число

 

Нам знакомы функции:

 

1. Показатель r = 2n   четное натуральное число

 

                                                

                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Показатель r = 2n-1   нечетное натуральное число

 


                                                   

                                                 

                                                  

 

 

                                                   -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Показатель r = – (2n-1), где n – натуральное число

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                                

 

 

 

 

 

4. Показатель r = – 2n, где n – натуральное число

 

 

 

 

 

 

 


                                           

                                                

 

 

 

5. Показатель r – дробное положительное число

 

у

 
0 < r < 1

                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                          

r > 1

 

у

 
                                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


6. Показатель r – отрицательное дробное число   r < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Задания:

    1. Постройте график степенной функции и опишите  её области  определения и значения:

а)

б)

в)

    1. Постройте график степенной функции и опишите  её области  определения и значения:

а)

б)

в)

 

    1. Постройте график степенной функции и опишите  её области  определения и значения:

а)

б)

в)

 

    1. Постройте график степенной функции и опишите  её области  определения и значения:

а)

б)

в)

 

 

Самостоятельная работа №45 Подготовка сообщения, презентации  «Показательная функция в нашей жизни»

 

Цель: расширить знания о показательных функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №46: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Показательные уравнения»

Цель: научиться решать задачи по теме «Показательные уравнения»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

 

Показательные уравнения

 

Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени некоторых величин.

При решении показательных уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения .(1) уравнению ;

2) введение новых переменных.

Иногда приходится применять искусственные приемы.

 

Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей теореме:

Теорема: Если , то уравнение равносильно уравнению .

 

Рассмотрим основные приемы сведения показательного уравнения к уравнению вида (1).

 

1.      Приведение обеих частей уравнения к одному основанию

 

Пример 1. Решить уравнение: 

Решение.:.

 

Ответ:.4.

Пример 2. Решить уравнение:  .

Решение. Заметим, что основания степеней, стоящих в левой и правой части уравнения есть степени двойки, поэтому, учитывая свойства степеней,  имеем уравнение  , тогда на основании теоремы получаем уравнение: .

Ответ: .

Пример 3.  Решить уравнение:   .

Решение. Учтем, что    , тогда первоначальное уравнение примет вид:       .

Ответ: .

 

Решите уравнения:

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

 

 

  1. Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1)

 

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение. Вынесем в левой части уравнения  выражение за скобки, получим:   =      .

Ответ: .

Решите уравнения:

1)    

2)    

3)    

4)    

5)    

 

 

  1. Метод введения новых переменных

 

Уравнение вида  при помощи введения новой переменой , сводится к решению алгебраического уравнения  .

Пример 5.  Решить уравнение: .

Решение. Пусть . Тогда первоначальное уравнение примет вид: , откуда находим . Таким образом данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений  и . Решая первое уравнение, получаем . Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как при любом значении переменной, а  .

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение:   .

Решение. Учитывая, что    и , получим уравнение  . Введем новую переменную , получим: . Преобразуя это дробно-рациональное уравнение, придем к следующему уравнению: . Последнее уравнение распадается на совокупности двух уравнений, решая которые получаем:    ,   . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений: ; ; . Из первого уравнения находим  . Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 2,  находим .Третье уравнение решений не имеет, так как , в то время как  при любом значении переменной.

Ответ: .

 

Решите уравнения:

1)    

2)    

3)    

 

  1. Решение однородных уравнений

 

Пример 7.  Решить  уравнение:   .

Решение. Так как , то имеем: . Разделим обе части уравнения на , получим: . Введем новую переменную , придем к квадратному уравнению  , решая которое, получим . Таким образом, решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности двух показательных уравнений: , решая которые получим: .

Ответ: .

 

Решите уравнения:

1)    

2)    

3)    

 

 

Самостоятельная работа №47: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Показательные неравенства»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Показательные неравенства»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Показательные неравенства

 

            Решение показательных неравенств вида    , где а – положительное число отличное от 1, основано на следующих теоремах:

 

1.      Если а >1, то неравенство  равносильно неравенству .

2.      Если 0<а<1, то неравенство равносильно неравенству (меняется знак неравенства).

 

Другие показательные неравенства теми или иными методами, как правило, сводятся к неравенству этого вида.

Пример 1. Решить неравенство

 

Пример 2. Решить неравенство

 .

Пример 3. Решить неравенство

 

 

Задания:

Решить неравенства:

 

 

 

Самостоятельная работа №48 Подготовка сообщения «Функции в нашей жизни»

 

Цель: расширить знания о функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №49 Подготовка сообщения, презентации  «Логарифмическая функция в нашей жизни»

 

Цель: расширить знания о логарифмической функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №50 Подготовка сообщения «Логарифмы и музыка»

 

Цель: познакомиться с их применением логарифмов в музыке

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №51 Подготовка сообщения «Функции в пословицах и поговорках»

 

Цель: изобразить  графически  как  некоторую  функцию пословицу  и  описать  свойства  функции-пословицы.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №52: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Логарифмические уравнения»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Логарифмические уравнения»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Логарифмические уравнения

 

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения  к уравнению вида;

2) введение новых переменных.

 

Замечание. Так как  область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

 

Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.

 

Решение простейших логарифмических уравнений

 

1)     Решение простейшего логарифмического уравнения  ……(1)

Основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.

      Для уравнения (1) из этого свойства получаем:          - единственный корень.

      Для уравнения вида       …………..(2) получаем равносильное уравнение  .

Пример 1.

 

Пример № 1 :  Решите уравнение  log 1/6  (0,5 + х) = - 1

Решение

log 1/6  (0,5 + х) = - 1                         Найдем Область Допустимых Значений

 

ОДЗ: 05 + х  > 0                                т.к. D(log а х) = R+, область определения: функция

                                                           принимает только  положительные значения

                  1     - 1

0,5 + х = -----                                     Запишем равенство выражающее  определения

                  6                                       логарифма  log а х = b, х = аb

 

0,5 + х = 6                                          Решая уравнение вспомним свойство   степени

                                                           а- n  =  1          

                                                                      аn

х = 6 – 0,5

х = 5,5                                                Проверим является ли число 5,5 корнем данного

                                                           уравнения. Подставим вместо  х число 5,5  в ОДЗ.                                                           

ОДЗ: 0,5 + 5,5 >0

         6 >0 – верно

Ответ:  5,5

 

Закрепление материала

 

1.       

log 5  х = 4                        

 

2.       

log 3  х = 2                        

3.       

log 2  (5-х) = 3                        

 

4.       

log 3  (х+2) = 3                        

5.       

log ¼ (х -  0,5) = - 2                        

 

6.       

log ¼  (2х – 1) = - 1                         

7.       

log 2 (2х-1) =  3 

 

8.       

log 0,5 (3х-1) = - 3                                                                         

 

 

2) Уравнение вида  , можно заменить одной из равносильных ему систем:  или 

 

Пример 2.  Решить уравнение .

Решение. Так как , , то по теореме  ; ; , .

Проверим, удовлетворяют ли корни условию:

   

Подходит только первый корень. Следовательно,  - корень уравнения  .

 

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств:  . Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при  . Поэтому система имеет решение .

2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:   

             .

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: . Из найденных значений только  входит в область допустимых решений уравнения.

Ответ: .

 

Закрепление материала

 

  1. log 3 (5х+3)= log 3  (7х + 5)
  2. .
  3. .
  4. Решить уравнение .
  5. Решить уравнение .

 

Метод введения новой переменной

При данном методе логарифмическая функция заменяется на переменную и уравнение преобразуется в алгебраическое. Далее переходим от переменной к логарифмической функции и получаем простейшее логарифмическое уравнение.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Введем новую переменную  . Подставляем  переменную в исходное уравнение и получаем следующее квадратное уравнение: . Находим корни: , ; , . Но ,  , ; , , .

Ответ: , .

Задания:

 

Вариант №1

 

  1. Решите уравнение
  2. Решите уравнение  
  3. Решите уравнение
  4. Решите уравнение

 

Вариант №2

 

1.      Решите уравнение   

  1. Решите уравнение
  2. Решите уравнение
  3. Решите уравнение

 

Вариант №3

 

1.      Решите уравнение

2.      Решите уравнение

3.      Решите уравнение

4.      Решите уравнение

 

Вариант №4

 

  1. Решите уравнение
  2. Решите уравнение
  3. Решите уравнение
  4. Найдите произведение корней уравнения

 

 

Самостоятельная работа №53: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Логарифмические неравенства»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Логарифмические неравенства»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Логарифмические неравенства

 

Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида

    ……………..(1)

Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:

1. Если а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:

2. Если 0 < а < 1, то неравенство (1) равносильно системе неравенств:

Замечания 1. Первые два неравенства систем задают область допустимых решений неравенства (1).

2. В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно следует из второго и третьего. Аналогично в системе из теоремы 2 можно опустить второе неравенство.

 

Решение простейших логарифмических неравенств

 

 

Пример 1.

Решение  

Ответ

Пример 2.

Решение  

Ответ  (1;1,2).

Пример 3. .

Решение  

Ответ   (-10;20).

Пример 4. .

Решение  

 Ответ   (3;21).

 

Задания:

 

 

 

Самостоятельная работа №54 Подготовка сообщения «Современные открытия в области математики»

 

Цель: познакомиться с современными открытиями в области математики, расширить знания по математике

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №55: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функций»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функций»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Показательная функция в любой точке области определения имеет производную и эта производная  находится по формуле:

х)' = ах·ln a

в формуле заменим число а на е, получим

(eх)' = eх_ формула производной экспоненты

 

Логарифмическая функция в любой точке области определения имеет производную, и эта производная находится по формуле:

(log ax)'=

в формуле заменим число а на е ,получим

 

 

Задания: 

 

А1. Найдите производную функции:             

 .  

А2. Найдите производную функции:

 

А3. Напишите уравнение касательной к графику функции   в точке с абсциссой    .              

 

В1. Найдите производную функции   .

В2. Найдите наибольшее значение функции y~=~8\ln (x+7)-8x+3на отрезке [-6,5;0].

 

C1. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию  .

 

 

Самостоятельная работа №56 Подготовка презентации «Тела вращения»

 

Цель: расширить знания о телах вращения

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №57  Изготовление моделей тел вращения

 

Цель: изучить, какие тела вращения существуют;  научиться выполнять развертки тел вращения;

Самостоятельная работа: изготовление моделей тел вращения.

Форма контроля: демонстрация моделей на уроке

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Тела вращения

 

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

 

Какие же основные тела вращения существуют?

Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.

Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.

 

Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга 9а круг. как всем известно, тело заполненное).

 

Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем Гульдина-Паппа.

 

Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

 

Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

 

Построение разверток тел вращения

Основы и инструмент

Все нижеописанные действия выполняются на бумаге, при помощи линейки, карандаша и циркуля. Рекомендуется комплект лекал, для повышения точности и качества развёрток.

При изготовлении развёрток на металле используется метровая линейка, чертилка, циркуль по металлу, комплект лекал, молоток и керно, для отметки узловых точек.

 

Построение развёртки цилиндра

 

 

Тело вращения с наиболее простой развёрткой, имеющей форму прямоугольника, где две параллельные стороны соответствуют высоте цилиндра, а две другие параллельные стороны — длине окружности оснований цилиндра.

 

Усечённый цилиндр (рыбина)

Подготовка:

Для создания развёртки, начертим четырёхугольник ACDE в натуральную величину (см.чертёж).

Проведём перпендикуляр BD, из плоскости AC в точку D, отсекая от построения прямую часть цилиндра ABDE, которую можно достроить по мере надобности.

Из центра плоскости CD (точка O) проведём дугу, радиусом в половину плоскости CD, и разделим её на 6 частей. Из получившихся точек O, проведём перпендикулярные прямые к плоскости CD. Из точек на плоскости CD, проведём прямые, перпендикулярные к плоскости BD.

 

Построение:

Отрезок BC переносим, и превращаем в вертикаль. Из точки B, вертикали BC, проводим луч, перпендикулярный вертикали BC.

Циркулем снимаем размер C-O1, и откладываем на луче, из точки B, точку 1. Снимаем размер B1-C1, и откладываем перпендикуляр из точки 1.

Циркулем снимаем размер O1-O2, и откладываем на луче, из точки 1, точку 2. Снимаем размер B2-C2, и откладываем перпендикуляр из точки 2.

Повторять, пока не будет отложена точка D.

Получившиеся вертикали, из точки C, вертикали BC, до точки D — соединить лекальной кривой.

Вторая половина развёртки зеркальна.

 

Подобным образом строятся любые цилиндрические срезы.

Примечание: Почему "Рыбина" — если продолжить построение развёртки, при этом половину построить от точки D, а вторую в обратную сторону от вертикали BC, то получившийся рисунок, будет похож на рыбку, или рыбий хвост.

 

Построение развёртки конуса

Развёртка конуса может быть выполнена двумя способами.

Если известен размер стороны конуса, из точки O, циркулем чертится дуга, радиусом равным стороне конуса. На дуге откладываются две точки (A1 и B1), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.

Строится конус в натуральную величину, из точки O, в точку A, ставится циркуль, и проводится дуга, проходящая через точки A и B. На дуге откладываются две точки (A1 и B1), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.

Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.

 Конус со смещёной вершиной строиться так же, как усечённый конус со смещёнными основаниями.

 

 Как отложить длину окружности на дуге:

При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.

При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.

Построить окружность основания конуса в виде сверху, в натуральную величину. Разделить окружность на 12 или более равных частей, и отложить их на прямой поочерёдно.

 

 

Самостоятельная работа №58 Составление кроссворда «Тела вращения».

 

Цель: углубить знания по изученной теме

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: решение кроссворда на уроке в качестве повторения материала

 

 

Самостоятельная работа №59: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Цилиндр. Конус. Шар»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Цилиндр. Конус. Шар»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Цилиндр

              Определение: Цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.  

 

ü  Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра.

ü  Круги - основания цилиндра.

ü  Образующие цилиндрической поверхности – образующие цилиндра.

ü  Прямая ОО1 ось цилиндра.

Цилиндр является телом вращения: он получается вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB

Длина образующей - высота цилиндра.

Радиус основания – радиус цилиндра.

 

Свойства цилиндра:

1) Основания равны и параллельны.

2) Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу

Цилиндр называется прямым, если образующие перпендикулярны основанию.

В прямом цилиндре :  ось=высота=образующая

 - наклонный цилиндр

 

 

 

Сечения конуса:

1. Осевое сечение цилиндра

2. Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.

3. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси

1)                2)             3)

Любые два осевых сечения цилиндра равны между собой

 

Пример :Осевое сечение  цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.

Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Решение:

ABCD-квадрат

Н=СD, CD=AD

2CD2=AC2

CD=10

R=0,5AD=5Ö2см

S=πR2

S=50πсм2

 

Пример :Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

 

Решение:

1.      Проведем диагональ АС сечения АВСD.

2.      DADC – равнобедренный, прямоугольный, АD=DC, h = 2r,

4. Найдем площадь основания

Ответ:

 

Пример :Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания – 5 м2. Найдите высоту цилиндра.

 

Решение:

1. Площадь основания – площадь круга: , тогда

2. Площадь сечения – площадь прямоугольник: тогда

Ответ:

 

 

Конус.

В переводе с греческого «КОНУС» означает «сосновая шишка».

Определение:

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника OSВ вокруг катета  SO.

 

 

 

 

konyc_4Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой конуса.

Определение:

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.

ор

- Непрямой конус

 

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. 

 

konyc_5

Сечения конуса:

I. Осевое сечение конуса.

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны- образующие конуса. Это сечение- осевое.

konyc_5

 

 

II. Сечение плоскостью, параллельно основанию.

Сечение конуса плоскостью, параллельно основанию (плоскостью, перпендикулярной к его оси) будет представлять собой окружность.

konyc_5

 

 

IV. Сечение плоскостью, проходящей через его вершину и пересекающей основание

 Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса

 

Площадь поверхности конуса

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развертки:

 

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.  

S= π r l

Площадь полной поверхности конуса- сумма площадей боковой поверхности и основания.

S= π r (l+r)

 

Усеченный конус.

Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую:

S = π (r + r‘) l

 

 

 

 

 

 

 

 

Шар и сфера, их сечения

 

Определение:

Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. 

Эта точка называется центром, а заданное расстояние – радиусом сферы, или шара – тела, ограниченного сферой.

Определение:

Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки.

Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на его поверхности, называется радиусом шара.

Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через центр, называется диаметром шара, а концы этого отрезка – диаметрально противоположными точками шара.

 

 

 

Пример 1:

Чему равно расстояние между диаметрально противоположными точками шара, если известна удаленность точки, лежащей на поверхности шара от центра? (18)

Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра оси.

 

 

 

Пример 2:

Пусть известна площадь полукруга. Найдите радиус шара, который получается вращением этого полукруга вокруг диаметра. (4)

 

 

 

 

 

Площадь сферы вычисляется пор формуле: Sсферы= 4ПR2

 

 

 

Сечения сферы

Теорема. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга.

Следствие. Если известны радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения, то радиус сечения вычисляется по теореме Пифагора.

 

 

Плоскость и прямая, касательные к сфере.

Определение: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пример 3:

Пусть шар, радиус которого известен, лежит на горизонтальной плоскости. В этой плоскости через точку касания и точку В проведен отрезок, длина которого известна. Чему равно расстояние от центра шара до противоположного конца отрезка?

(6)

 

 

 

 

 

 

Пример 4:

Пусть известны диаметр шара и расстояние от центра шара до секущей плоскости. Найдите радиус круга, получившегося сечения. (10)

 

Чем меньше расстояние от центра шара до плоскости, тем больше радиус сечения: , тогда Þ

 

Пример 4:

В шаре радиуса пять проведен диаметр и два сечения, перпендикулярных этому диаметру. Одно из сечений находится на расстоянии три от центра шара, а второе – на таком же расстоянии от ближайшего конца диаметра. Отметьте то сечение, радиус которого больше.

 

 

 

Пример 5:

В шаре, радиус которого известен, проведены два больших круга. Какова длина их общего отрезка? (12)

Наибольший радиус сечения получается, когда плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом. Большой круг делит шар на два полушара.

 

Задача:

На сфере радиуса R взяты три точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной а. На каком расстоянии от центра сферы расположена плоскость, проходящая через эти три точки?

Дано:

ABC – точки на сфере, AB=BC=AC=a

Найти:

Решение:

OH-высота пирамиды, OA=OB=OC=R, Н – центр описанной окружности.

 

Найдем радиус описанной окружности, а затем рассмотрим один из треугольников, образованных радиусом, боковым ребром пирамиды и высотой,. Найдем высоту по теореме Пифагора.

ВК – высота в АВС,

,

 

 

 

Задания:

 

1.      Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 м2, а площадь основания – 8 м2. Найдите высоту цилиндра.

  1. Диаметр основания цилиндра равен 1м. высота цилиндра равна длине окружности основания.  Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3.      Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 6, d = 4, AB = 9.

4.      Объём конуса равен 20π дм3. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найти высоту.

  1. Площадь осевого сечения конуса равна 48см2, его  образующая составляет  с плоскостью основания угол 600. Найдите площадь основания конуса.
  2. Прямоугольный треугольник с катетами 5см и 6см вращается вокруг большего катета. Найдите площадь полной поверхности конуса.
  3. Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр равна 36м2. Найти площадь сферы.

 

 

Самостоятельная работа №60 Подготовка сообщения «История развития интегрального исчисления»

 

Цель: познакомиться с историей развития интегрального исчисления

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №61: Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Определенный интеграл»

 

Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Определенный интеграл»;

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: ответ на уроке

 

Теоретический материал

 

Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах.

Определение:

Пусть дана функция f(x) на отрезке [a;b]. Площадь плоской  фигуры, расположенной ниже графика функции f(x) и ограниченного прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a;b]:

 

[a;b] – отрезок интегрирования;

a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования.


Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.

Геометрический смысл  вычисление площади с помощью определенного интеграла.

Что значит решить определенный интеграл? Это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница:

 (1)

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Пример 1:

  не существует, поскольку отрезок интегрирования [-5;-2] не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными).

Пример 2:

  - такого интеграла тоже не существует, так как в точках ,  отрезка [2;3]  не существует тангенса.

 

Теорема:

Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.

Пример 3:

 - интеграла не существует - нельзя подставлять отрицательные числа под корень!

Теорема:

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке. Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a;b], существует на этом отрезке неопределенный интеграл òf(x)d(x)=F(x)+C и имеет место формула Ньютона-Лейбница.

 

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию F(x)  (неопределенный интеграл).

Обратите внимание, что константа C в определенном интеграле никогда не добавляется.

Обозначение   является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Сама запись  нужна, как подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию F(b).

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию F(a).

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность F(b)-F(a), то есть, находим число.

 

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность.

 

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.

 

Рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла:

1. Замена переменной в определенном интеграле

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.

;

2. Интеграл по нулевому промежутку равен нулю:

 ;

3. В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Пример 4:

 – в таком виде интегрировать  значительно удобнее.

4. Если функция f(x) непрерывна на [a;b] и cÎ[a;b], то

 ;

5. Интеграл от суммы (или разности) равен сумме (или разности) интегралов:  – это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

6. Для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

, где  - постоянная;

7. Если f(x) - нечетная функция, то есть f(-x)=f(x), то

 ;

Если f(x) - четная функция, то есть f(-x)=-f(x), то

 .

8. Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

 

 

Пример 1. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интеграл

.

Решение.

               .

Пример 2. Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу  целесообразно отделить от  и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в  верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле: .

.

 

1.      Закрепление материала:

Задача 1: Вычислить определенный интеграл

Решение:

Задача 2: Вычислить определенный интеграл

 Решение:

Задача 3: Вычислить определенный интеграл

Решение:

I.

При решении:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:


СЛАБОЕ ЗВЕНО В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ – ЭТО ОШИБКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩАЯСЯ ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! ОСОБОЕ ВНИМАНИЕ ЗАОСТРЯЮ НА ТРЕТЬЕМ СЛАГАЕМОМ:  – ПЕРВОЕ МЕСТО В ХИТ-ПАРАДЕ ОШИБОК ПО НЕВНИМАТЕЛЬНОСТИ, ОЧЕНЬ ЧАСТО МАШИНАЛЬНО ПИШУТ  (ОСОБЕННО, КОГДА ПОДСТАНОВКА ВЕРХНЕГО И НИЖНЕГО ПРЕДЕЛА ПРОВОДИТСЯ УСТНО И НЕ РАСПИСЫВАЕТСЯ ТАК ПОДРОБНО). ЕЩЕ РАЗ ВНИМАТЕЛЬНО ИЗУЧИТЕ ВЫШЕРАССМОТРЕННЫЙ ПРИМЕР.

СЛЕДУЕТ ЗАМЕТИТЬ, ЧТО РАССМОТРЕННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА – НЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ. РЕШЕНИЕ МОЖНО ЗНАЧИТЕЛЬНО СОКРАТИТЬ. НАПРИМЕР, РЕШЕНИЕ МОЖЕТ ВЫГЛЯДЕТЬ ТАК:

 

II.

Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?

ТАК, ПЕРЕД ТЕМ, КАК В ПЕРВООБРАЗНУЮ ФУНКЦИЮ   ПОДСТАВЛЯТЬ ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ, ЖЕЛАТЕЛЬНО ПРОВЕРИТЬ, А ПРАВИЛЬНО ЛИ ВООБЩЕ НАЙДЕН НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ? ДИФФЕРЕНЦИРУЕМ:

ПОЛУЧЕНА ИСХОДНАЯ ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЗНАЧИТ, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ НАЙДЕН ВЕРНО.

 

Задача 4: Вычислить определенный интеграл

Решение:

Задача 5: Вычислить определенный интеграл, методом замены переменной

Решение:
Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм:  .  Однако, в табличном интеграле под корнем
x2, а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: t=x2
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: 
Ö(t2+16).
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть 
xdx подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал dt:

 

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.

Находим новые переделы интегрирования.

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену t=x2 и старые пределы интегрирования a=0, b=Ö3.

Сначала подставляем в выражение замены t=x2 нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

t1=02=0

Потом подставляем в выражение замены t=x2  верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх: t2=(Ö3)2=3

Продолжаем решение.

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу (1/2) лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования  – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница .

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, используя свойства логарифмов.

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.

 

 

Самостоятельная работа №62 Подготовка сообщения «Методы интегрирования»

 

Цель: познакомиться с методами интегриррования

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №63 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Греческий физик и математик. Ему принадлежит метод нахождения длин и площадей, предвосхитивший интегральное исчисление. Закон Архимеда – один из фундаментальных законов физики. «Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим открытиям геометрии»,- сказал о нем Лейбниц.

КОРОТКО ОБ ИНТЕГРАЛЕ МОЖНО СКАЗАТЬ ТАК - ИНТЕГРАЛ – ПЛОЩАДЬ:

Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а;b]. Тогда площадь соответствующей КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ находится по формуле Ньютона-Лейбница:

            Интегралом от функции ƒ на отрезке [а;b] называется площадь ее подграфика на этом отрезке.

            Если при этом график функции пересекает ось Оx, то части подграфика, расположенные ниже оси Ох, берутся со знаком минус.

 

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная прямыми y=0; x=а; x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [а;b] функции ƒ(x).

            Примеры:

 

 

I. Площадь криволинейной трапеции

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями      

Решение:

 

 

 

 

 

 

II. Площадь фигуры, ограниченной несколькими линиями

 

Если требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной несколькими линиями, то находят криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура, вычисляют площадь каждой из них и находят разность или сумму площадей этих криволинейных трапеций.

Формулы вычисления площади с помощью интеграла:

              

 

Пример 2.

   Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Для нахождения пределов интегрирования решаем уравнение:

Искомая площадь:

 

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  если .

Решение:

 

 

III. Запись площади через интеграл

Пример 4:

Запишите площадь заштрихованных фигур с помощью интегралов:

а)

Ответ:

б)

Ответ:

в)

Ответ:

 

Задача 1:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x+2y+4=0, y=0, x=-3 и х=2

Решение:

  1. Выразим функцию у: y=-1/2x-4
  2. Построим все линии в координатной плоскости:

 

  1. По формуле а) для функции f(x)=-0,5x-4 имеем:

 

 

Задача 2:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x-2y+4=0, x+y-5=0 и y=0.

Решение:

  1. Выразим функцию у: y1=1/2x+2 и y2= -х+5
  2. Выполним построение фигуры в координатной плоскости:

для прямой y1 точки (-4;0) и (0;2);

для прямой y2 точки (5;0) и (0;5);

  1.  Найдем точку пересечения прямых:

  1. Находим площадь: S=S1+S2

,  

 

Задача 3:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2, y=0, x=2 и x=3.

Решение:

  1. Выполним построение фигуры в координатной плоскости:
  2. Находим площадь:

 

 

 

Задача 4:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=cosx, y=0, x=0 и x=p.

Решение:

  1. Выполним построение фигуры в координатной плоскости:
  2. Находим площадь: S=S1+S2,

 S1=S2 т.к. cosх –четная функция, то : S=2S1

 

 Задача 5:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2 и y=2x.

Решение:

1.        Найдем точку пересечения:

2.        Выполним построение фигуры в координатной плоскости:

3.        Находим площадь по формуле б)

 

 

Задача 6:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 7x2-9y+9=0 и 5x2-9y+27=0.

Решение:

1.        Выразим функцию у:

2.        Найдем точку пересечения:

3.        Выполним построение фигуры в координатной плоскости:

4.        Находим площадь по формуле б)

 

Задания:

Вычислите площади фигур, ограниченные линиями:

  1. x-y+2=0, y=0, x=-1, x=2
  2. 2x-3y+6=0, y=0,x=3
  3. y=x3, y=0, x=-2, x=2
  4. y=cosx, y=0, x=0, x=p/3
  5. x-y+3=0, y=-x, y=0

 

 

Самостоятельная работа №64 Подготовка презентации  «Объёмы геометрических тел»

 

Цель: наглядное представление формул объемов геометрических тел и их вывод,  развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

 

 

Самостоятельная работа №65: Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Понятие объёма»

 

Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Понятие объёма»;

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: ответ на уроке

 

Теоретический материал

 

Определение: Положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, называется объемом тела.

Общие свойства объемов тел:

1) за единицу объема принят объем куба,  

 ребро которого равно единице длины;

2) равные тела имеют равные объемы, при перемещении тела его объем не изменяется;
3) если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей.

Объем тела по параллельным сечениям

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объем V. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох.

С изменением х площадь сечения также будет изменяться, т.е. являться некоторой функцией х.

Обозначим эту функцию через S(х) и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [а, b]. Тогда объем тела можно найти по формуле

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками

Через эти точки проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох. Эти плоскости разобьют тело на n слоев. Найдем объем i-го слоя, образованного сечениями с абсциссами хi - 1 и хi.

Его объем Vi приближенно равен объему прямого цилиндра, основание которого совпадает с сечением тела, соответствующим какой-либо точке ξ ii - 1 ≤ ξ i ≤ хi ), и, следовательно, имеет площадь S(ξ i ), а высота равна Δx i = x i− x i - 1, т.е.

ViS ( ξi ) Δ xi.

Сумма объемов всех n слоев приближенно равна объему V данного тела:

Таким образом, получена интегральная сумма для интеграла. Так как функция S(х) непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу

Объём призмы

Рассмотрим произвольную призму. Построим в ней сечение параллельное основаниям. Площадь данного сечения будет равна площади основаниям и не зависит от параметра х. Получаем по основной интегральной формуле:

Площадь сечения, параллельного основаниям, равна площадям основания и не зависит от х, т.е. является величиной постоянной. Получаем:

С учетом, что x приближается к высоте h, имеем:

Объём пирамиды

Вычислим объем пирамиды, высота которой равна Н, а площадь основания Sосн.

 

Пересечем пирамиду плоскостью, параллельной основанию. Расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости обозначим через х, 0 ≤ хH, а площадь сечения — через Sсеч (х). Найдем функцию Sсеч(х). Для этого воспользуемся известным из элементарной геометрии свойством сечений пирамиды, параллельных основанию, и составим пропорцию

откуда находим:

Подставляя последнее равенство в формулу, имеем

Итак, мы получили формулу объема пирамиды:

Формула объема цилиндра

Площадь сечения, параллельного основаниям, равна площадям основания и не зависит от x, т.е. является величиной постоянной.

 

Получили:

 

Формула объема конуса

Вычислим объем конуса, высота которой равна Н, а радиус основания R. Тогда площадь основания: Sосн=pR2

Пересечем конус плоскостью, параллельной основанию. Найдем Sсеч - воспользуемся известным из геометрии свойством сечений:

откуда находим:

Объём тела вращения

В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f ( x), аxb, объем тела вращения вычисляется по формуле

Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку (х, 0), представляет собой круг радиуса f(x). Площадь этого сечения (площадь круга) равна S (x) = π ( f ( x ) )2. Из формулы объёма тела по параллельным сечениям получаем формулу

   Замечание. Если криволинейная трапеция 0 ≤ х ≤ φ (у), ауb вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения найдём по формуле

Объём шара

   Вычислим объем шара радиуса R.
   Решение. Шар радиуса R получается вращением полуокружности вокруг оси Ох. Используя симметрию данного шара относительно оси Оу, находим

 

Таким образом получили:

 

Закрепление материала:

                                                        i.            Что такое объем?

                                                      ii.            Назовите основные свойства объема.

                                                    iii.            Назовите интегральную формулу объема.

                                                    iv.            Назовите формулу объема:

1.      призмы

2.      прямоугольного параллелепипеда

3.      куба

4.      пирамиды

5.      цилиндра

6.      шара

 

 

Самостоятельная работа №66: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Объёмы тел»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Объёмы тел»;

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Объём призмы -

Пример 1:

Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы V1, V2. Выразить объем V тела R через V1 V2 если б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен 1/3V

 

Решение:

 V=V1+V2-1/3V1=2/3V1+V2

 

Пример 2:

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны а и b, а высота равна h, если а=11, b=12, h=15  

 

 


Решение:

V=abc=Sh= =11*12*15==1980 ед3.

 

Пример 3:

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что

одна сторона основания 2, высота 3, а диагональ боковой грани, содержащей неизвестную сторону основания равна 5.

Ответ: 24 ед2.

 

 

Задача 1:

Найдите объем куба АВСDА1В1С1D1 , если  АС1=3√2 

Дано: АВСDА1В1С1D1 – куб, АС1=3√2

Найти: V-?

 

Решение:

Пусть ребро куба равно а, тогда  из треугольника АDС   АС222=2а2. Рассмотрим треугольник АСС1, найдем АС1:

АС12=a2+2a2=3а2 , выразим а

а=АС1/√3 = 3√2/√3=√6

V=(√6)3=6√6 (cм3)

Ответ:V=6√6 (см3)

 

Задача 2:

Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями

25см, 12см и 6,5см. Плотность кирпича равна 1,8г/cм3.

Найти его массу.

Решение:

Найдем объем тела:    V=25*12*6,5= 1950 (см3)

Связь плотности тела с его массой и объемом P= m / V  Þ

   m= P*V

m= 1,8*1950=3,51(кг).

 

 

 

Задания:

 


1.      Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна а и составляет угол в 300 с плоскостью боковой грани и угол 450  с плоскостью основания.

  1. Объясните, как построить угол в 300 между диагональю параллелепипеда и плоскостью боковой грани
  2. Объясните, как построить угол в 450 между диагональю параллелепипеда и плоскостью

     боковой грани

4. Составьте план вычисления длины отрезка AD

     и объема параллелепипеда

3. Найдите длины отрезков

 

 

 

 

Объем цилиндра

 


Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

 V=S*h                  

V=S(r)×h = π×h

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример :Дано: прямая призма, цилиндр, описанный около этой призмы, катеты прямоугольного треугольника равны 4 и 1,боковые ребра равны 2/п.

 

Найти: V цилиндра

 

Решение:

V=SH=pR2H

Из прямоугольного треугольника найдём гипотенузу

 

 

Пример :Осевое сечение  цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.

Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) площадь основания цилиндра

в) объем.

Решение:

ABCD-квадрат, тогда: Н=СD, CD=AD

2CD2=AC2,   CD=10

R=AD=5см

 

 

 

Объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

 где S — площадь основания и h — высота.

Упражнение 1

Вершинами пирамиды являются все вершины одного основания и одна вершина другого основания призмы. Какую часть объема призмы составляет объем пирамиды?

 

 

 

Ответ: Одна треть.

 

 

 

 

 

 

Упражнение 2

Найдите объем пирамиды, высота которой 3, а в основании - прямоугольник со сторонами 1 и 2.

 

 

 

                Ответ: 2.

 

Упражнение 3

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1.

 

Решение. Пусть ACS – правильный треугольник.

Его высота SO равна     Сторона основания равна

Следовательно, объем пирамиды равен

 

 

 

Упражнение 4

Найдите объем правильного тетраэдра с ребром, равным 1.

Решение. Пусть E – середина ребра BC. В треугольнике ADE

AE = DE =          Высота DH равна      Площадь ∆ABC равна

Следовательно, объем тетраэдра равен

 

 

Объем конуса

Объем конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту: V=1/3×S×h

 

 

 

 

 

 

Пример 1:

Дан конус с d=8 см, Н=15 см. Найти Vконуса.

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

Задача 1:

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 300.

 

Решение:

, отсюда следует:

 

Задача 2:

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем.

 

Решение:

 

 

Задача 3:

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6.

 

Решение:

 

Формула объема сферы (шара)

Вспомните, определение шара и его элементов.

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара.

Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Объем шара равен 4/3 произведения p на r3: 

Пример 1( проблемная задача):

При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

?

 

 

 


Решение:

                       

Пример 2 (задача Архимеда):

Дано: в цилиндр вписан шар.

Найти: отношение объемов цилиндра и шара.

 

 

Ответ: 1,5.

 

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах.

 

  Пример 3:

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

 (Опираемся на открытие Архимеда.)

 

Ответ: 12

 

 

Задания:

 

  1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, высота–6.
  2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 5, боковое ребро – 8 м. Найдите ее объем.

3.      Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 3. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 60о. Найдите объем пирамиды.

4.      Найдите объем  конуса, образующая которого равна 4 и наклонена к плоскости основания под углом 300.

5.      Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 64П.

6.      Конус получается при вращении прямоугольного треугольника АВС с катетами 5 и 7 вокруг меньшего катета. Найдите его объем.

7.      Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 5 и высотой 3. Найдите его объем.

 

 

Самостоятельная работа №67 Подготовка сообщения «Основополагающие концепции математической статистики»

 

Цель: познакомиться с основами математической статистики

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №68 Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Простейшие вероятностные задачи»

 

Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Простейшие вероятностные задачи»

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: ответ на уроке

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Основные определения

 

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти.

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдёт.

Невозможное событие – это событие, которое не может произойти.

Совместные события - события, которые могут произойти одновременно.

Несовместные события - события, которые не могут произойти одновременно.

Противоположные события - события, наступление одного из которых означает не наступление другого.

 

Классическое определение вероятности

Определение: Вероятностью события А называются число P(А), равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу исходов:

где n – общее число исходов испытания,

m – число исходов, благоприятствующих событию А.

Пример: m = 1 – результат анализа;  n = 4 – все возможные исходы  проведения анализа;

Р(А) = 1 : 4 = 0, 25

 

Примеры решения задач

 

Пример 1 В пакете лежат 20 зеленых и 10 желтых груш.

Какова вероятность вынуть из пакета грушу?         Р=1

Какова вероятность вынуть из пакета яблоко?      Р=0

 

Пример 2 В классе из 30 учеников, где 17 мальчиков и 13 девочек, наугад выбирается один. Какова вероятность того, что это мальчик?

Решение:

Обозначим через А событие: наугад выбранный ученик – мальчик.   

Число благоприятных событию А исходов равно 17, т.е. т=17 , а число всех исходов равно 30, т.е. n=30,  поэтому Р(А)=17/30.

Пример 3 Какова вероятность события А – наугад названное число из натуральных чисел от 5 до 28 кратно 5?

Решение:

Множество исходов, благоприятных событию А: {5;10;15;20;25},      т.е. т=5, а всего чисел от 5 до 28 имеется 24, т.е. n=24, поэтому        Р(А)=5/24.

 

Пример 4 Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру. Найти вероятность того что, номер набран верно(событие А), если известно, что цифра нечетная.

Решение:

Нечетные цифры – 1,3,5,7,9, значит, n=5,  m=1,  Р(А)=1/5  .

 

Пример 5 Игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность следующих событий:

а)Выпадает 1(событие А);

б)выпадает больше 3 очков (В);

в)выпадет  не больше 4 очков (С).

Решение:

Всего  при этом испытании возможно выпадение шести цифр, определяющих число  выпавших очков, - 1,2,3,4,5,6, т.е. n=6.

а)Множество исходов, благоприятных событию А : Р(А)=1/6;

б) Множество исходов, благоприятных событию В :Р(В)=3/6=1/2;

в) Множество исходов, благоприятствующих  событию С : Р(С)=4/6=2/3;

г) Множество исходов, благоприятных событию D : Р(D)=2/6=1/3.

 

Пример 6 Бросают три монеты. Какова вероятность следующих событий:

А – гербов больше, чем цифр,

В – выпало две цифры,

С – выпало 3 герба,

Д – три монета выпали одинаковыми сторонами?         

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты выпадения монет:

 (ГГГ), (ГГЦ), (ЦГГ), (ГЦГ), (ЦЦГ), (ЦГЦ), (ГЦЦ), (ЦЦЦ).

Событие А : n=8; m=4; Р(А)=4/8=1/2;

Событие В : n=8; m=3; Р(В)=3/8;

Событие С : n=8; m=1; Р(С)=1/8;

Событие Д : n=8; m=2; Р(D)=2/8=1/4;

Событие Е : n=8; m=4; Р(Е)=4/8=1/2.

 

Примеры решения задач c  использованием  комбинаторных формул

 

Пример 7 На карточках написаны буквы у, ч, р, а, к. Какова вероятность того, что, переставляя наугад все буквы, мы получим слово «ручка»(событие А) ?

Решение:

Множество букв состоит из пяти элементов, используются все элементы, значит,  n=5!

Из всех получаемых «слов» нас утраивает только одно, значит, m=1,

т.е. Р(А)=1/5!=1/120.

 

Пример 8 Замок с «секретом» содержит четыре шестигранные призмы, которые поворачиваются независимо друг от друга вокруг общей оси. На каждой боковой грани призмы выбита одна цифра от 1 до 6. Поворачивая призмы, получают в прорези замка четырехзначное число. Замок открывается лишь тогда, когда набрано четырехзначное число, составляющее «секрет» замка. Какова вероятность того, что один человек, не знающий «секрета» замка, откроет его за один произвольный набор четырехзначного числа(событие А)?                   

Решение:

т.к. в каждом из четырех окошек может оказаться любая из шести цифр.

т=1; n=64 ,

Пример 9 В колоде 52 карты. Игрок наугад получает 3 карты. Какова вероятность того, что это будет тройка, семерка и туз (событие А)?

Решение:

Всего возможных вариантов       .

Получить одну тройку из четырех карт (троек) колоды существует  способов, одну семерку -     способов и туз - способов,

итого благоприятных исходов            .

 

Задачи на закрепление материала

  1. Из ящика, в котором 10 белых и 6 черных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что один из них белый, а два черных?
  2. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, запомнив лишь, что они различные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры?
  3. 25 экзаменационных билетов содержат по две вопроса, которые не повторяются. Студент подготовил 45 вопросов. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет состоит из подготовленных им вопросов?
  4. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что 6 из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в общей регулировке.
  5. Из колоды в 52 карты берется наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди этих 4 карт будут представлены все четыре масти.
  6. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди них находится трехтомник А.С.Пушкина. Некто взял наудачу с полки 5 книг. Найти вероятность того, что среди этих пяти книг есть трехтомник Пушкина.
  7. Секретных замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов с различными цифрами. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что образуют определенное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок откроется.

 

 

Самостоятельная работа №69: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Решение простейших задач на сочетания и размещения»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Решение простейших задач на сочетания и размещения»

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Задачи на расчет количества выборок

На использование формул для перестановок и размещений

1.       Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:

(а) из восьми букв,   (б) из семи букв,       (в) из трех букв?

Решение задачи:

В слове фрагмент 8 букв алфавита.

(а) Всевозможные перестановки 8 букв по восьми местам: А = =P8.

(б) Размещения 8 букв по 7 местам: А.

(в) Размещения 8 букв по 3 местам: А.

Ответ: P8, А, А.

2.       Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом,           (б) эти две книги не должны стоять рядом?

Решение задачи:

(а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P2), то получаем окончательно следующее произведение: P2P6 =2 6! = 1440.

(б) Способов переставить 7 книг существует P7= 7!. Из них ‑ 26! способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 7! ‑ 26!.

Ответ: 1440; . 7! ‑ 26!

 

На использование формул для сочетаний

1.       Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение задачи:

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т.к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:

С = .

Ответ: 56.

2.       Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из которых входят три человека, во вторую — пять и в третью — двенадцать. Сколькими способами они могут это сделать? (Ответ записать в виде произведения сомножителей, не вычисляя его.)

Решение задачи:

Из 20-ти элементов необходимо сделать три выборки, причем порядок внутри выборок значения не имеет. Поэтому используем формулу для сочетаний. Чтобы выбрать из 20-ти элементов 3, существует С способов. Остается 17 элементов, из которых выбирается 5 элементов - С способами. Остается 12 элементов, из которых выбирается 12 элементов. Это можно сделать С= 1, т.е. одним способом. Используя принцип произведения, получаем: С С С.

Ответ: С С С.

 

На использование формул для перестановок и сочетаний

1.       Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир? 2) Сколько среди них таких, которые не содержат буквы р? 3) Сколько таких, которые начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р?

Решение задачи:

1.  Из шести букв составляются четырехбуквенные слова, причем порядок букв важен для образования новых слов. Поэтому используется формула для размещений: А.

2.  Необходимо исключить букву р из рассмотрения. Количество слов, не содержащих эту букву: А.

3.  На первое место поставить букву с можно только одним способом. На последнее место поставить букву р можно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам: А.

Ответ: 360, 120, 12.

2.       Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух гласных, можно. образовать из букв слова уравнение?

Решение задачи:

В слове уравнение 3 согласных и 4 гласных буквы русского алфавита. Чтобы посчитать количество требуемых пятибуквенных слов, необходимо посчитать количество сочетаний 3 согласных из 3-х заданных и двух гласных из четырех заданных: С и С. После того, как 5 букв выбраны, необходимо посчитать все возможные перестановки этих букв: ССP5.

Ответ: ССP5.

 

  1. Закрепление нового материала:

1.      Сколькими способами можно разложить 7 шаров по 4-м ящикам?

Ответ:  .

2.      Сколькими способами можно разложить 5 разноцветных шаров по 3-м ящикам?

Ответ: 243.

3.      Директор фирмы составил список из 5-ти возможных кандидатов на вакантные должности своих 1-го, 2-го и 3-го заместителей, а также список из 4-х возможных кандидатов на 2 вакантные должности своих помощников. Сколько вариантов заполнения пяти вакантных должностей имеет директор?

Ответ: .

4.      У одного человека есть 7 книг, а у другого — 9 книг. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

Ответ: .

5.      Бригада строителей состоит из 16-ти штукатуров и 4-х маляров. Сколькими способами бригаду можно разделить на две бригады, чтобы в одной из них было 10 штукатуров и 2 маляра, а в другой 6 штукатуров и 2 маляра?

Ответ: .

 

Самостоятельная работа №70 Подготовка сообщения «Треугольник Паскаля»

 

Цель: познакомиться с построением треугольника Паскаля, его применением в математической статистики

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

Самостоятельная работа №71 Подготовка сообщения «Связь математики с другими науками»

 

Цель: познакомиться с применением математики в других науках

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №72 Подготовка сообщения «Методы решения уравнений»

 

Цель: познакомиться с методами решения уравнений

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

 

Самостоятельная работа №73: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Общие методы решения уравнений»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Общие методы решения уравнений»

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Основные приемы решения уравнений и систем

 

Методы решения иррациональных уравнений

 

I. Способ

Возведем обе части уравнения в квадрат

 

 

 


Решая данное квадратное уравнение, находим

Проверка корней.

1)   Если  х = 42,  то                                                      2)   Если х = 2,   то

 

 

 

 

                                                                                        Значит, число 2 является

                                                                                                               корнем уравнения.

Значит, число 42 не является

 корнем уравнения.

Ответ. 2

 

II. Способ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Ответ. 2

2.  Разложение на множители

 

 

 

 

 

 


Числа -2 и 2 посторонние корни, т.к. не удовлетворяют условию х ≥ 3.

Ответ.3

3.      Введение новой переменной

 

 


ОДЗ:   х – любое число.

Пусть                                 где t ≥ 0, тогда исходное уравнение примет вид

 


Решая данное квадратное уравнение, находим, что

Число – 7 посторонний корень, т.к. не удовлетворяет условию t ≥ 0.

Если t = 6, то

Решая данное уравнение,  находим 

Ответ. х= - 4,5;   х = 3.

 

 

 

Методы решения  логарифмических уравнений

 

1. Введение новой переменной

 

 

 


ОДЗ: х>0.       Пусть                 ,           тогда уравнение примет вид

 

Решив данное квадратное уравнение, находим его корни

Следовательно,  

 

Ответ.  х = 10;  х = 100.

 

2. Замена уравнения равносильным

 

 

 

 

 

 


Решая квадратное уравнение                                находим,

Корень    х = - 4,   не удовлетворяет условию                    

 Ответ. 0

 

3.      Разложение на множители

 

 

 

 

 

 


Ответ. 2; 3

 

Методы решения показательных уравнений

 

1. Замена уравнения равносильным

 

 


Ответ. – 3

2. Введение новой переменной

 


Пусть                   где                 тогда уравнение примет вид

Решая данное квадратное уравнение, находим, что

Корень                  не удовлетворяет условию

Следовательно,   решим уравнение

Ответ.    x= 3. 

3. Разложение на множители

 

 

 


Функционально-графический метод

 

1) 1 + log2(x+1) = 2x . Построим график левой и правой частей данного уравнения      y =1+log2(x+1),    y = 2x . Абсциссы точек пересечения графиков и будут решением данного уравнения: х = 0; 1. приме5.JPG

   2) 2-│x-3│ - │x2x - 6│+1=0. Построим график левой и правой частей данного уравнения   y=2-│x-3│,     y=│x2x - 6│+1.

пример 2.JPG

4.                  Закрепление материала:

1)Решить уравнение:

Решение.    

                    

                     

                   

                      или        

                               

                                                   

Ответ:  

 

2) Решить уравнение

      Решение:  

                         

 

1)                                         2)                             3)

,                                                      

                                                           

Ответ:  

 

3)

                                                        = 0

                                                         решений нет         х = - 1, х = 2.

Ответ: х = - 1, х = 2.

Неравенства, входящие в систему можно сразу не решать, а подставить полученный корень в неравенство.

 

4)  Необходимо разложить на множители.

 

                                                               = 4

                                                                решений нет              х = 0, х = 5.

Ответ: х = 0, х = 5.     

 

5)  Решить уравнение: .

Решение. Пусть . Тогда первоначальное уравнение примет вид: , откуда находим . Таким образом данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений  и . Решая первое уравнение, получаем . Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как при любом значении переменной, а  .

Ответ: .

6)  Решить уравнение .

Решение. Введем новую переменную  . Подставляем  переменную в исходное уравнение и получаем следующее квадратное уравнение: . Находим корни: , ; , . Но ,  , ; , , .

Ответ: , .

 

7)Решить уравнение:

Решение:

 Введем новое неизвестное cosx=t, тогда наше уравнение запишем в виде квадратного уравнения с неизвестным t:

2t2+3t+1 = 0, решаем:

Д=1, Д>0, два корня;

t1= -1, t2=

Поэтому множество всех решений уравнения  

 есть объединение решений уравнений: cosx= -1 и cosx=

решение есть

 

8)

 = t, где t ≥ 0

 t 2 – 2 t – 3 = 0,    t = - 1 , t = 3, учитывая, что  t ≥ 0, t = 3

= 3

Ответ: х = ± 7

 

 

 

Самостоятельная работа №74 Подготовка сообщения «Методы решения неравенств»

 

Цель: познакомиться с методами решения неравенств

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

Самостоятельная работа №75 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Решение неравенств»

 

Цель: закрепить навыки решения неравенств с одной переменной.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

  1. Решить неравенство
  2. Решите квадратные неравенства двумя способами
  3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства 
  4. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства
  5. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения
  6. Равносильны ли неравенства
  7. Сколько целочисленных решений имеют неравенства

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Решение линейных неравенств

 

Решением неравенства с переменной называется множество значений переменной, при которых неравенство является верным. Решить неравенство с переменной – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Решение неравенства принято записывать с помощью числового промежутка. При этом концы промежутков для строгого неравенства и бесконечности записывают с помощью круглой скобки, а для нестрогого неравенства с помощью квадратной скобки.

Неравенство

Промежуток

x > a

x <a

x ≥ a

x ≤ a

a < x < b

a ≤ x ≤ b

a ≤ x < b

a < x ≤ b

Неравенства вида  (или ) называются линейными неравенствами.

Например: ; ; .

Для решения линейного неравенства применяются основные свойства неравенств.

 

Алгоритм решения линейного неравенства

  1. Раскрыть скобки.
  2. Перенести слагаемые с переменной в левую часть, слагаемые без переменной – в правую.
  3. Привести подобные слагаемые.
  4. Разделить число из правой части на числовой коэффициент при переменной.

 

Пример 1. Решить неравенство .

Решение.

,

,

 ,

,

,

.

Ответ: (– ∞; – 9).

 

Решение квадратных неравенств

 

Квадратные неравенства – это неравенства вида ax2+bx+c>0,  ax2+bx+c<0,

ax2+bx+c≤0,  ax2+bx+c≥0.

Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0  имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.  Например:

-3х2-5х+2>0,

2+5х-2<0,

2+5х-2=0,

x1,2 =

x1=x2= -2;

2+5х-2=3(x-)(x+2);

Ответ: (-2; )

               3(x-)(x+2)<0,

              или          

                                   

нет  решения                         .

        Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax2+bx+c, где a0. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

 

Графическое изображение

D

a>0

a<0

 

 

 

D<0

 

 

 

        

 

           

 

 

 

 

D=0

 

 

 

 

    х1,2=       

 

 

    х1,2=       

 

 

 

 

 

D>0

 

 

 

  х1,2= 

 

  х1,2= 

               

 

Задания:

1. Решить неравенство:

   а)                       (–∞; 11)

   б)                        (10; +∞)

   в)                    [–1,5; +∞)

   г)                    (–∞; –0,5]

   д)                   (–∞; –3)

   е)                    (9; +∞)

2. Решить неравенство:

   а)                             

   б)                             

   в)                               

   г)                               

   д)                     

3.     Решите квадратные неравенства двумя способами:

 а)   (х-2)(х+4)>0,                         в)    x2-3x+2<0,

 б)   (x-3)(x+5)<0,                           г)    x2-2x-3>0.

4.  Решите неравенства (любым способом):

       а)   х2 – 5х > 0,                              д)   4х ≤ -х2

       б)   х2 > 25х,                                  е)      1/3х2 > 1/9

       в)   х2 – 36 < 0,                              ж)                    

       г)   3х2 + х + 2 > 0,                        з)                                                       

5.  Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства  х2 + 7х ≤ 30.

6.  Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства 3х – х2 > -40.

7.  Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:

         а)                               в)  

        б)                                      г)  

8.  Равносильны ли неравенства:

          а)   х2 + 6х – 16 < 0    и      х2   + 6х  - 16 ≤ 0;

          б)      и  

9.  Сколько целочисленных решений имеют неравенства:

           а)   15 – х2 + 10х ≥ 0,                 б)   х2 + 5х – 8 < 0.      

10.    При каких значениях параметра р квадратное уравнение 3х2 – 2рх – р + 6 = 0

а) имеет 2 различных корня;      б) имеет 1 корень;       в) не имеет корней.

11.  Решить неравенство:

   а)                                               

   б)                                               

   в)                                         

   г)                                        

   д)                                              

12. Решить неравенство:

   а)                               

   б)                                  

   в)                         

   г)                         

13. Решить неравенство:

   а)                               

б)                               

 

Самостоятельная работа №76 Подготовка реферата «Математическая философия Аристотеля»

 

Цель: познакомиться с трудами Аристотеля, его математической философией

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

Самостоятельная работа №77 Подготовка сообщения «Методы решения систем линейных уравнений»

 

Цель: познакомиться с методами  решения систем линейных уравнений

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

 

 

 

 

Самостоятельная работа №78 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Уравнения и неравенства с параметрами»

 

Цель: научиться решать задачи по теме «Уравнения и неравенства с параметрами»

Самостоятельная работа: решение задач.

Форма контроля: проверка работы

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Задачи с параметрами – неотъемлемая  часть задач по математике. Решение задачи с параметром, как правило, предполагает небольшое исследование. Задачи с параметром очень разнообразны. Общих методов их решения не существует (кроме линейных уравнений, неравенств и систем с параметрами; квадратных уравнений и задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена, относительно заданных чисел). Единственное, что объединяет задачи с параметром – это  то, что почти любую из них можно отнести к одной из следующих групп:

-        задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется некоторое условие (уравнение имеет корни, принадлежащие данному промежутку; неравенство имеет решение и т.д.);

-        задачи, в которых требуется решить уравнение (неравенство или систему) с параметрами.

Причем, во второй группе требуется установить, при каких значениях параметра задача имеет решения и указать их. Решение большинства таких задач связано со свойствами функций, входящих в условие задачи.

Представим решение шести задач с параметрами. Осуществлять решение задач будем по схеме:

   анализ вида задания и поиск плана решения → решение → анализ решения.

При выполнении решения избранных заданий будем использовать следующие условные обозначения:

ООУ – область определения уравнения;

ООН – область определения неравенства;

ООС – область определения системы уравнений или неравенств;

л.ч. – левая часть уравнения (или неравенства);

п.ч. – правая часть уравнения (или неравенства).

Задача 1.  Найти все а, при которых неравенство

                          

не имеет решения.

I. Анализ вида задания и поиск плана решения.

-        данное неравенство является иррациональным, следовательно, начинать решение следует с нахождения ООН;

-        в задании требуется найти все а, при которых данное неравенство не имеет решений; опыт решения такого вида неравенств подсказывает: можно вначале найти, при каких а неравенство имеет решение, а затем ответить на требование задачи;

-        так как в записи неравенства в явном и неявном виде повторяются выражения  и  (), то в записи ООН возможны «неожиданности»;

-        план решения может быть таким:

1) найти ООН;

2) найти а, при которых неравенство имеет решения;

3) записать ответ на требование задачи.

II. Решение.

1) ООН:             ,

т.е. ООН состоит из двух значений х.

2) Найдем все а, при которых  и  являются решением данного неравенства.

2.1.            

2.2.            

Неравенство имеет решение при .

3) Следовательно, неравенство не имеет решения при .

III. Анализ решения.

Следует взять на будущее:

-        возможны случаи, когда ООН состоит из конечного числа значений х;

-        иногда следует найти все значения а, при которых есть решение, а затем с помощью полученных значений а, найти ответ задачи.

Задача 2. Решить уравнение при всех допустимых значениях а

                                       

I. Анализ вида задания и поиск плана решения.

-        дано тригонометрическое уравнение комбинированного вида;

-        параметр включен только в аргумент косинуса;

-        функция, зависимая от параметра а, является ограниченной.

План решения задачи может быть таким:

1)      проверить является ли  решением уравнения;

2)      если - не является решением, то решить тригонометрическое уравнение относительно ;

3)      к полученному уравнению применить метод оценки для  и для ;

4)      обобщить полученные результаты.

II. Решение.

1) Подставив  в данное уравнение, убеждаемся, что   не является решением.

2) Преобразуем данное уравнение при  к виду: .

3) Решим уравнение при  и   методом оценки.

3.1.  ………………..(*)

                      а)                    б)

Следовательно, уравнение (*) при  равносильно системе уравнений:

                               

3.2.    …………………..(**)

                       а)                  б)

Следовательно, уравнение (**) при  равносильно системе уравнений:

                       

4) Обозначим полученные результаты и запишем ответ:

, если ,

, если .

IV. Анализ решения.

По ходу решения

-        применили прием перехода к уравнению ;

-        использовали прием разбиения ООУ () на конечное число подмножеств и решали уравнение на каждом подмножестве;

-        предложенное решение уравнения имеет в ответе 2 конкретных значения переменной х и неограниченное количество значений а

Задача 3. При каких значениях параметра а система уравнений имеет хотя бы одно решение?

I. Анализ и поиск плана решения:

-        данная система уравнений с параметром является логарифмическо-алгебраической;

-        первое уравнение системы не зависит от параметра а, следовательно, решение системы можно начать с решения логарифмического уравнения;

-        так как первое уравнение сводится к линейному уравнению, то решать систему удобнее методом подстановки;

-        в результате подстановки получим квадратное уравнение с параметром, которое решается перебором возможных ситуаций.

II. Решение.

1) Упростим уравнение (1):

2) Подставим  в уравнение (2) и получим систему, равносильную исходной:

Найдем из уравнения (*) значение а, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение:

                                          

3) Осуществим перебор возможных ситуаций для уравнения (*) при .

3.1. Корни уравнения (*) положительные

                           .

3.2. Корни уравнения (*) имеют  противоположные знаки:

                                       .

3.3. Уравнение (*) может быть неполным квадратным:

а) - это значение уже рассматривалось в 3.2 (оно содержится в ответе).

б) , тогда (*) принимает вид , следовательно, , . ООС удовлетворяет , значит,  включаем в ответ.

в) . Это значение при подстановке в уравнение (*) дает корни, не удовлетворяющие условию .

Объединим полученные результаты:

Ответ

III. Анализ результата.

При решении системы уравнений использовали умения находить область определения логарифмической функции, решать квадратные уравнения с параметром при заданных начальных условиях.

Задача 4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

                                

имеет более трех различных корней.

I. Анализ задания и поиск плана решения.

-        особенностью данного уравнения является то, что оно в неявном виде содержит одинаковые операции над выражениями  и .

-        план решения может быть таким:

1) записать данное уравнение в виде ;

2) убедиться, что - монотонная функция;

3) осуществить переход к уравнению  и решить его.

II. Решение.

1) Используя свойства модуля (, степени ( и внесение множителя под знак корня (), заменим исходное уравнение равносильным:                     

2) Получим функцию , имеющую смысл при  и возрастающую при  (как сумма двух возрастающих функций). Исходное уравнение, в этом случае, стало вида:

, где ,  

3) Воспользуемся теоремой:

Если функция  монотонна на промежутке J, то уравнение равносильно на промежутке J уравнению  .

Получили уравнение , или  ……………….(*),

равносильное данному.

Так как требуется найти все значения а, при которых данное уравнение, а значит и равносильное  ему уравнение (*), должно иметь более трех различных корней, то для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение (*) имело 2 различных корня. Это будет выполняться при условии

                                

III. Анализ результата

Следует взять на заметку теорему о переходе от уравнения  к уравнению .

Задача 5. При каких значениях а система неравенств

                          

имеет единственное решение.

I. Анализ задания и поиск решения:

-        особенностью системы неравенств является то, что в состав системы входят неравенства второй степени с двумя неизвестными;

-        кроме того, «порядка» в записи каждого неравенства нет: можно члены перенести в каждом неравенстве в одну часть и привести подобные;

-        заменив исходную систему на равносильную, можно «попробовать увидеть» свойство координат решений системы (или симметричность  и , или совпадение  и  и др.);

-        обнаружив специфическое свойство решения, «попробовать» найти его и выйти на условие вычисления значений параметра;

-        вычислив значения параметра, обязательно проверить, действительно ли при найденных значениях параметра, система неравенств имеет единственное решение.

II. Решение.

1) Заменим данную систему неравенств на равносильную ей:

                       …………………………………(*)

2) Замечаем, что, если пара является решением этой системы, то и пара  - также ее решение. А так как требуется найти все а, при которых СН имеет единственное решение, то  или . Получили необходимое условие того, чтобы исходная система имела единственное решение.

3) Воспользуемся полученным результатом  и решим неравенство, которому будет равносильна система (*):

                                           

Это неравенство будет иметь единственное решение в случае, когда дискриминант квадратного трехчлена его левой части равен нулю:

.

4) Полученное равенство  - это необходимое условие, которому должен удовлетворять параметр а, чтобы исходная система имела единственное решение.

5) Проверим, действительно ли при  система имеет единственное решение:

                         

Воспользовавшись методом сложения, получим:

   или       или   , следовательно,  или

                                      

Следовательно, действительно, СН имеет единственное решение при .

Ответ: .

III. Анализ решения:

-        взять на будущее прием анализа вида и особенностей данной задачи по ее записи;

-        не забывать осуществлять проверку найденных в  решении значений параметра на выполнение требования задачи (иметь единственное решение, два различных решения и т.д.)

 

 

 

 


ЗАДАЧИ ПРОФИЛЬНОЙ  НАПРАВЛЕННОСТИ

 

ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ

 

1.                  Бак прямоугольного сечения 3,2 м х 1,2 м вмещает 900л воды. Сколько квадратных метров оцинкованного железа пошло на его изготовление?

2.                  Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Длина его    0,8м., ширина – 37,5см. Он должен вместить 0,18м3. Найдите высоту аквариума.

3.                  Свинцовый брусок массой 18 кг имеет форму прямой призмы, высота которой 300 мм. Основанием призмы является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 350 мм и 115 мм, а боковая сторона 850 мм. Узнайте, имеются ли внутри бруска пустоты или же он сплошной. Плотность свинца 11,3 г/см3.

4.                  Сколько нужно рабочих для переноса дубовой балки размером 6,5 м х 30 см х 45 дм? Каждый рабочий может поднять в среднем 80 кг. Плотность дуба 800 кг/см3.

5.                  Классные помещения должны быть рассчитаны так, чтобы на одного учащегося приходилось не менее 6 м3 воздуха. Можно ли в класс, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8,3 м х 6,25 м х 3,6 м вместить 30 человек, не нарушая санитарной нормы?

6.                  Из болванки, имеющей форму правильной четырехугольной призмы, размером 10 см х 10 см х 80 см, прокатывается лист толщиной в 1 мм. Вычислите площадь этого  листа.

7.                  Из листа жести размером 70 см х 140 см вырезали по углам квадраты со стороной 10 см и, загнув края, получили коробку, открытую сверху. Вычислите объем.

8.                  Требуется отлить правильную призму, объем которой составлял бы 36867 см3 и высотой 42см. Основанием призмы должен быть правильный двенадцатиугольник. Вычислите его сторону.

9.                  Нужно выбрать в глинистой почве прямую канаву длиной 300 м и глубиной 1,5 м, ширина канавы вверху 4 м, у дна 2 м. Сколько рабочих дней нужно для этой работы, если на извлечение 10 м3 земли в таком грунте требуется 4 рабочих дня?

10.              Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и весит 514,15 г. Толщина стенок  0,1 см. Найти удельный вес металла, из которого сделан куб.

11.              Размер металлической пластинки 5см х 4см х 2 см. Из какого материала она сделана, если масса ее равна 108 г?

12.              Резец для скоростного резания оснащен пластинкой твердого сплава ВК3  Размер пластинки 16 мм х 16 мм х 6 мм. Определить ее массу, если плотность равна 14,5 г/см3.

13.              Какой длины нужно взять стальной квадратный пруток со стороной 40 мм для изготовления 40 молотков массой 0,75 кг каждый? На угар и обработку добавить 6%.

14.              Из стального прутка квадратного сечения 45 мм х 45 мм отковать шесть поковок для квадратных гаек размером 50 мм х 50 мм х 25 мм. Какой длины необходимо взять пруток? Припуск на угар и обработку составляет 6% объема поковок.

15.              Сечение железнодорожной выемки имеет форму равнобочной трапеции, меньшее основание которой 8 м, ширина ската 8,4 м, глубина 3,6 м, длина выемки 100 м. Сколько кубических метров грунта было вынуто?

16.              Сечение железнодорожной насыпи имеет форму равнобочной трапеции, основание которой 24 м и 5,7 м. Боковые стороны наклонены к нижнему основанию под углом 350. Определить высоту насыпи и сколько кубических метров земли приходится на 1 км?

17.              При рытье колодца, имеющего форму правильной  восьмиугольной призмы со стороной основания, а = 6 дм, было вынуто 25 т земли (плотность земли 1,8∙10 кг/м3). Найдите глубину колодца.

18.              Требуется из проволоки сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с ребрами, равными 12 см, 8 см, 5 см. Сколько пойдет проволоки на изготовление параллелепипеда? На обрезки добавить 3%.

19.              Плавучий док имеет форму прямоугольного параллелепипеда: размер погруженной части дока (без корабля) 85 м х 12 м х 2,5 м. Найти: 1) его водоизмещение, 2) на сколько он еще погрузится, если в него введут корабль водоизмещением 1000 т.

20.              Плот сколочен из 16 балок прямоугольного сечения, из которых каждая длиной 3,6 м, шириной 0,20 м и толщиной 0,25 м. Какой наибольший груз может он поднять не затонув? (удельный вес дерева принять равным 0,84).

21.              К гидростанции вода подводится по каналу, поперечное сечение которого – трапеция с основаниями 5 м и 16 м, высота 4,5 м. Вычислить расход воды в минуту, если уровень воды в канале 3 м, скорость течения 1,6 м/с.

22.              Строительный кирпич имеет размеры 25 см х 12 см х 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 1000 кирпичей. Учтите, что раствор увеличивает объем на 15%.

23.              Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 м х 5 м х 3 м, если размер одного куска: 1) 0,5 м х 10 м; 2) 0,6 м х 18 м, на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери.

24.              Для определения массы чугунной цельнолитой детали неправильной формы токарь погрузил ее в бак с водой, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, размеры дна которого 55 см х 34 см. В результате этого уровень воды в баке поднялся на 2 см. Какова масса детали, если плотность чугуна 7 г/см3.

25.              Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, доверху заполнен бензином. Длина бака 3 м, ширина 1,5 м, высота 1,2 м (размеры внутренние). Плотность бензина 710 кг/м3. На сколько рабочих дней хватит этого бензина для заправки автомобиля ГАЗ-53, если средний расход бензина автомобилем за рабочий день 95 кг?

26.              Определить массу рулона войлока для прокладок, если длина рулона (в развернутом виде) 15 м, ширина 85 см, толщина войлока 1,1 см, а плотность 0,34 г/см3.

27.              Кирпич размером 25 см х 12 см х 6,5 см весит 3,51 кг. Найти его удельный вес.

28.              Прямоугольный золотой лист имеет размеры 4,7 см х 6,2 см и весит 6,3 г. Найти толщину листа, если удельный вес золота 19,3 г/см3.

29.              Сколько пойдет мраморных плиток размером 19 см х 30 см х 2 см для облицовки четырехгранной колонны с квадратным сечением, если высота колонны 4,2 м, а ширина ее грани в готовом виде 40 см?

30.              Масса строительного кирпича – 4 кг. Какова масса игрушечного кирпичика из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

31.              Металлический прямоугольный ящик без крышки высотой 50 см и объемом 1 м3 выкрасили изнутри и снаружи. На окраску ушло 530 г краски при расходе 50 г на один квадратный метр. Найдите размеры ящика.

32.              Сколько строительного кирпича и раствора потребуется для постройки стены длиной 12 м, толщиной 0,5 м и высотой 2,5 м, если в 1 м3 кирпичной площадки содержится 400 штук кирпича, а потребность в растворе составляет 0,2 объема кладки?

33.              Дно резервуара для воды имеет форму прямоугольника размерами 3,5 м х 2,9 м. Какова высота резервуара, если он вмещает 15 м3 воды?

34.              Во сколько раз нужно увеличить каждое из трех измерений прямоугольного бруса, чтобы его увеличить вдвое?

35.                                                                                                                                           

c

 

a

 

h

 
Найдите вместимость сарая прямоугольной формы с двускатной крышей и прямым углом между стропилами (см. рис.), если длина сарая а = 12,5 м, ширина в = 7,6 м, высота стен с = 3,5 м и высота конька крыши h = 7,3 м.

 

 

 

 

 


36.                                                                                                                                            Надпись: 1,5

1 м

 

0,5

 
Надпись: 1,5

0,6

 

1,3

 

1,8

 
Сколько солдат потребуется для того, чтобы вырыть за 8 ч траншею длиной 25 м и ход сообщения такой же длины, учитывая, что каждый солдат в час может выкопать 0,75 м. профили траншеи и хода сообщения и размеры в метрах даны на рисунке.

 

 

16

 
 


37.                                                                                                                                            Надпись: 18Надпись: 18

26

 
Длина железнодорожной шпалы равна 2,7 м, ее поперечное сечение показано на рис. (размеры в см). Сколько шпал можно погрузить на платформу грузоподъемностью 17 т? (Плотность дерева 0,8 г/см3)

 

 

 

38.                                                                                                                                            Надпись: 5 м

7 м

 

25 м

 
На рисунке изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?

 

 

 

39.                                                                                                                                            Железная заготовка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 50 см х 20 см х 20 см, распиливается по линии, соединяющей середины противоположных сторон квадрата, образующего торцевую грань. Полотно ножовки наклонено к плоскости торцевой грани под улом 600. Определить отношение объемов частей заготовки, получившихся после распиливания.

 

 

ПИРАМИДА

1.        Крыша башни имеет вид правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 12 м, а высота 18 м. Сколько понадобится плиток на покрытие этой крыши, если каждая плитка имеет вид прямоугольника со сторонами 22 см и 18 см.

2.        Кристалл имеет форму двух правильных четырехугольных пирамид, соединенных основаниями. Сторона общего основания равна 3,5 см, а расстояние между вершинами соединенных пирамид 5 см. Найдите объем кристалла.

3.        Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м х 4,5 м и углом наклона грани к основанию 450. Сколько листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

4.        Один из алмазов, добытых в Якутии, весит 42 карата и имеет форму правильного октаэдра. Найдите ребро этого октаэдра (плотность алмаза 3,5 г/см3, 1 карат = 0,2 г)

5.        Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

6.        Масса чугунной пирамиды с квадратным основанием равна 540 г, высота  равна 6 см. Вычислите длину стороны основания. Плотность чугуна 7,5 г/см3.

 

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

1.    Кузов тракторного прицепа имеет размеры: вверху 3,5 м х 2,6 м, понизу 2,9 м х 1,1 м. Найдите вместимость, если высота прицепа 1,2 м.

2.    Гранитная подставка имеет вид усеченной пирамиды высотой 3,6 м с квадратным основанием. Стороны оснований: а = 2,8 м, в = 2 м. Найдите вес подставки, плотность  гранита равна 2,5 г/см3.

3.    Фундамент сделан из бетона, форма его – правильная усеченная четырехугольная пирамида со сторонами основания 200 см и 140 см и боковым ребром 160 см. Найти вес фундамента, если плотность бетона равна 2,2 г/см3.

4.                   

В

 

А

 
Надпись: 200

275

 

125

 
На рисунке изображен бункер, поверхность основной  части которого представляет боковую поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным на рисунке (в сантиметрах), вычислите, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера (не считая рукавов А и В).

5.        Бункер заполнен зерном. Вычислите массу зерна, если масса одного кубического метра зерна равна 500 кг. (см. рисунок предыдущей задачи).

6.        Для перекрытия русла реки при строительстве гидроэлектростанции изготавливают из бетона правильные треугольные усеченные пирамиды массой по 10 т. Высота и стороны основания такой пирамиды пропорциональны числам 5, 2 ,6. Рассчитайте линейные размеры этой пирамиды. (Плотность бетона 2,2 г/см3).

 

ЦИЛИНДР

1.    На сверлильном станке сверлятся отверстия диаметром 15 мм со скоростью резания 30 м/мин () и подачей 0,2 мм/об (S). Определить глубину отверстий, если время его обработки составляет 0,25 мин. (Тмаш.).

2.    Сверло диаметром 50 мм делает 260 об/мин (n) при подаче 0,7 мм/об (S). Определить объем металла, снимаемого сверлом в одну секунду. (Тмаш. ).

3.    На токарном станке обрабатывается цилиндрический вал диаметра 50 мм, длиной 1200 мм. Какую площадь поверхностей надо обработать: 1) без подрезки торца; 2) с подрезкой концов перпендикулярно оси (без учета толщины подрезки).

4.    На токарном станке обтачивается вал диаметром 150 мм и длиной 600 мм (Н) за один проход. Определить время обработки изделия (Тмаш.), если скорость резания равна 75 м/мин (), а подача 0,8 мм/об (S).

5.    На токарном станке обтачивается вал диаметром 40 мм. Определить объем металла, снимаемого в одну минуту (Тмаш.), если глубина резания (t) – 5 мм, подача – 0,8 мм/об (S) и скорость 60 об/мин (n).

6.    Сколько нужно заготовить досок шириной 20 см и длиной 6 м для обивки внутренних боковых стенок башни цилиндрической формы высотой 6 м и диаметром 3 м? На пригонку дать припуск 5%.

7.    Надо изготовить цилиндрическую цистерну для масла, закрытую сверху. Диаметр ее основания 450 см, высота 220 см. Сколько листов листовой стали размером 100 см х 600 см пойдет на ее изготовление? На швы и обрезки добавить 12% площади.

8.    Прямоугольный лист жести, имеющий длину 1,6 м и ширину 0,8 м, можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина трубки будет 1,6 м; во втором – 0,8 м. Найти отношение объемов трубок и площадей их поверхностей.

9.    Цилиндрический паровой котел имеет длину 3,8 м, а диаметр 1 м. Давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла, зная что на 1см2 пар давит силой 10 кг.

10.  Диаметр струи нефтяного фонтана у основания равен 20 см. Нефть вытекает со скоростью 23м/с. Сколько кубических метров нефти выбрасывает фонтан за час? Сколько надо цистерн емкостью 50 т, чтобы поместить эту нефть?

11.  При строительстве метро применяли кольца из железобетона с внешним радиусом 5,5 м и внутренним 5,1 м. 1) Чему равен объем такого кольца длиной 100 м? 2) На сколько процентов сократиться его объем, если внешний и внутренний радиус уменьшит на 0,4 м?

12.  Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала).

13.  Кабель диаметром 50 м заключается в свинцовую оболочку толщиной 2,5мм. На изготовление оболочки израсходована  1 т свинца. Какова длина кабеля? (плотность свинца 11,4 г/см3).

14.  Найти вес железной цилиндрической трубки, внутренний диаметр которой равен 17 см, а внешний диаметр равен 18 см, а длина равна 74 см. Плотность железа 7,9 г/см3.

15.  Сколько весит полая чугунная колонна высотой 2 м, если наружный диаметр равен 10 см, а внутренний 6 см и если 1 кубический сантиметр чугуна весит 7 г.

16.  В цилиндрическом колодце, внутренний диаметр которого 2,5 м, прибыло воды на 30 см. Сколько кубических метров воды прибавилось?

17.  Сколько весит километр железной телеграфной проволоки толщиной       4 мм, если известно, что 1 кубический сантиметр железа весит 8 г?

18.  Цилиндрическая дымовая труба с диаметром  65 см имеет высоту 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала.

19.  Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода, если плотность алюминия равна 2,6 г/см3.

20.  Надо покрыть свинцовой оболочкой кабель, диаметр сечения которого 50 мм. Найти с точностью до 1 кг массу необходимого свинца, если длина кабеля 5 км, а толщина свинцовой оболочки 3 мм (плотность свинца равна 11,4 г/см3).

21.  Толщина стенок стальной трубы равна 5 мм, длина внешней окружности поперечного сечения трубы равна 160мм. Вычислите массу одного погонного метра трубы (плотность стали равна 7,8 г/см3).

22.  На барабан диаметром 1 м намотано в один ряд 50 витков медной проволоки диаметром 3 мм. Вычислите массу проволоки (плотность меди равна 8,9 г/см3).

23.  На цилиндрический барабан подъемной машины, диаметр которого 750 мм, а ширина 350 мм, наматывается стальной трос толщиной 20 мм. Сколько метров каната помещается в один ряд на поверхности барабана?

24.  Диаметр цилиндра паровой машины равен 330 мм, ход поршня 406 мм. Найти объем рабочей части цилиндра с точностью до 0,1 дм3.

25.  Какова масса 15 м цилиндрической дымоходной трубы диаметром 40 см, изготовленной из листового железа. При подсчете прибавить на шов 8% материала.

26.  Сколько жести пойдет на погонный метр водосточной трубы диаметром 250 мм, если на швы расходуется 7% общего количества?

27.  100 кубических сантиметров масла, вылитые на поверхность воды образовали пленку в форме круга диаметром 18 м. Определить толщину пленки.

28.  Среднее количество тепла, которое дает 1 м2 поверхности нагрева при паровом отоплении низкого давления, считается равным 550 тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром 120 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по расчетам требуется 4500 единицы в час?

29.  Суточное выпадение осадков составило 15 мм. Сколько воды могло бы выпасть на круглую тумбу, диаметр которой 8 м?

30.  Определить вместимость зернового элеватора, имеющего 40 резервуаров. Размеры резервуара: высота – 30 м, диаметр – 10 м. Объемная масса зерна 0,8 т.

31.  В цилиндрическую цистерну емкостью 12 т налито горючее. Сколько горючего содержится в цистерне, если ее высота равна 6 м, а уровень горючего 2 м?

32.  Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Размеры каждого цилиндра: ход поршня – 150 мм, диаметр 80 мм. Определите часовую подачу этого насоса, если известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту.

33.  25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки, если плотность меди 8,9 г/см3.

34.  Найдите объем цилиндрической колонны, у которой высота 25,5 м, а диаметр основания 1,22 м.

35.  Сколько бочек высотой 1,5 м и диаметром 0,8 м нужно, чтобы разлить в них содержимое цистерны длиной 4,5 м и диаметром 1,6 м?

36.  Малярный валик имеет длину 230 мм, диаметр основания – 50 мм. Как узнать площадь поверхности, которую окрасит маляр за один полный прокат валика? Сколько полных прокатов совершает маляр при окраске за смену 200 квадратных метров поверхности?

37.  Необходимо изготовить двадцать водосточных труб длиной 8 м и диаметром 10 см. Сколько листов жести размером 142 см х 70 см пойдет на их изготовление? На швы добавить 10% материала.

38.  Диаметр основания цилиндра равен 16 см, а полная поверхность его содержит 1546 кв. см. Вычислить высоту цилиндра.

39.  Столбик ртути в термометре длиной 15,6 см весит 5,2 г. Удельный вес ртути 13,6 г/см3. Найти площадь поперечного сечения столбика.

 

КОНУС

1.        Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м х 1,4 м, а на швы и обрезки тратиться 10% от площади крыши?

2.        Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 м3 зерна равна 750 кг?

3.        Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса  300. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 м3?

4.        Коническая жестяная воронка должна иметь диаметр 10 см и высоту      12 см. Вычислите размер ее заготовки – радиус и угловую величину дуги развертки.

5.        Вибросито СО – 3 для процеживания окрасочных составов имеет форму конуса. Боковая поверхность вдвое больше площади основания. Определить вместимость вибросита,  если радиус основания 20 см.

6.        122 – миллиметровая бомба дает при взрыве воронку диаметром в 4 м и глубиной 1,5 м. Какое количество земли (по весу) выбрасывает эта бомба? 1 м3 земли весит 1650 кг.

7.        Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2,5 м и образующая 3,5 м. Сколько надо машин, чтобы перевести щебень, уложенный в десяти таких кучах? 1 м3 щебня весит 3,2 т. В машину грузят 4 т.

8.        На станции железной дороги насыпана конусообразная куча угля, ее высота 3,8 м, уклон 1 : 1,2. Сколько вагонов нужно для перевозки этого угля, грузоподъемность вагона 25 т.

 

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

1.    Сколько олифы потребуется для окраски 100 ведер конической формы, если диаметры ведра 25 см и 30 см, а образующая 27,5 см и если на 1 м2 требуется 150 г олифы?

2.    Вычислить вместимость ведра, имеющего форму усеченного конуса, если диаметр дна равен 18 см, диаметр отверстия 35 см, а глубина 38,5 см.

3.    Ведро с нижним диаметром 20 см и верхним 28 см имеет высоту 24 см. Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление ведра?

4.    Сосуд имеет вид усеченного конуса, высота которого 27 см и длины окружностей оснований равны 66 см и 96 см. Сколько литров вмещает сосуд?

5.    Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,076 м и образующая 1,42 м?

6.            Надпись: 0,3

l

 

Ø 1,0

 

Ø 0,2

 
Над котлом устроен колпак в форме усеченного конуса, размеры на рисунке. Сколько квадратных метров листового железа потребовалось для его изготовления? (Обрезки во внимание не принимаются)

 

 

 

7.     

R

 

r

 
Высота ведра 25 см, диаметры оснований 30 см и 22 см. Вычислите размеры заготовки ведра: радиусы и угловые величины дуг развертки боковой поверхности. Расход материала на швы не учитываются.

 

 

 

8.

r=60

 

75o

 

R=90

 
      Какую высоту будет иметь ведро, если у заготовки его боковой поверхности угловые величины дуг равны 750, а радиусы 90 см и 60 см. (Расход материала на швы не учитывать).

9. 

 

Ø20

 
 


10.                                                                                                                                   Надпись: 88Надпись: 8

Ø30

 

Ø12

 
Сколько материала пойдет на изготовление урны, форма и размеры которой (в сантиметрах) указаны на рисунке, если на швы требуется прибавить 3%

 

 

 

11.                                                                                                                                   Надпись: 90Надпись: 50

Ø20

 

Ø70

 
 Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах) указанные на рисунке. Сколько квадратных дециметров жести затрачено на изготовление воронки (на швы уходит 10% площади поверхности воронки).

 

 


ШАР. СФЕРА

1.        Чтобы отлить свинцовый шар диаметром 3 см, используют свинцовые шарики диаметром 5 мм. Сколько таких шариков нужно взять?

2.        Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км).

3.        Во сколько раз объем Земли больше объема Луны? (Dз = 13 тыс. км, Dл = 3,5 тыс. км).

4.        Масса железного шара равна 4 кг. Каков его диаметр? Плотность железа рвана  7,8 г/см3).

5.        Какова масса пробкового шара диаметром 2 м? (Плотность пробки 0,25 г/см3).

6.        Диаметр воздушного шара равен 15 м. Сколько весит его оболочка, если квадратный метр той же материи, из которой его сшивают, весит 300 г?

7.        На позолоту 1 кв. м купола идет 1 г золота. Сколько потребуется золота, чтобы позолотить купол окружностью 20 м? Форма купола – полусфера.

8.        Сколько дождевых капель нужно, чтобы из них составился 1 м3 воды, если капли имеют форму шара с диаметром 2 мм?

9.        Сколько квадратных метров шелковой материи надо взять для приготовления оболочки воздушного шара диаметром 12 м, если на швы надо прибавить 5% материала?

10.    Сколько весит воздушный шар диаметром 10 м, если: 1) 1 кв. м его оболочки весит 300 гр; 2) 1 куб. м наполняющего его светильного газа весит 0,55 кг; 3) общий вес сети, корзины, якоря и прочих принадлежностей и приборов равен 200 кг?

11.    Вычислить поверхность купола, имеющего форму полушара, у которого диаметр 5,25м.

12.    Чтобы вы предпочли: съесть арбуз радиуса 15 см вчетвером или арбуз радиуса 20 см ввосьмером?

13.    Искусственные спутники Земли имеют форму шаров, диаметры которых равны 58 см и 16 см соответственно. Во сколько раз объем одного из них больше объема другого?

14.    Внутренний диаметр чугунного пологого шара равен 8 см, а внешний диаметр 10  см. Определить массу шара, если плотность чугуна равна 7,3 г/см3.

15.    Сколько метров шелковой материи шириной 1,1 м надо для изготовления воздушного шара, радиус которого 2 м? На соединение и отходы идет 10% материала.

16.    Сколько металлических шариков радиуса 2 см можно отлить, расплавив шар  R = 6см?

17.    В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 8 см или на никелировку 10 шаров диаметром по 2 см каждый?

18.    125 одинаковых шариков диаметром 9 см сплавили в один шар. Определить диаметр получившегося шара.

19.    Сколько дробинок диаметром 3,0 мм содержится в 1,0 кг свинцовой дроби? (Плотность свинца равна 11,4 г/см3).

20.    Два свинцовых шара диаметром 23см и 34 см переплавили  в один шар. Найдите его диаметр.

21.    Наружный диаметр полого медного шара 10 см, толщина стенок 2 мм. Будет ли такой шар  плавать в воде? Плотность меди 8,9 г/см3.( Плотность воды равна 1г/см3).

22.    Масса железного шара равна 4 кг. Найдите площадь его поверхности. Плотность железа 7,8 г/см3.

23.    Шарообразный приемник газа имеет диаметр 9,22 м. 1) Какова его вместимость? 2) До скольких атмосфер сжат газ в газоприемнике, если в него накачено 2500 м 3 газа при нормальном давлении?

24.    Определить вес медного шарообразного полого поплавка диаметром в 140 мм, если 100 мм листовой меди, из которой сделали поплавок, весят 0,35 г?

25.    На окраску шара диаметром 1,5 дм расходуется 50 г краски. Сколько краски требуется для окраски шара диаметром 3 дм?


ПРИЗМА – ПИРАМИДА

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД – ПИРАМИДА

 

1.    Величайшая из пирамид Египта (пирамида Хеопса) имеет высоту 146 м; сторона ее основания равна 233 м (основание квадратное). Предполагая, что эта пирамида сплошь сложена из камней, вычислить, какой высоты каменную стену толщиной в полметра и длиной от Санкт-Петербурга до Москвы (640 км) можно было бы соорудить из ее материала.

2.    Из стального стержня квадратного сечения размером 50 мм х 50 мм х 120 мм откована деталь в форме пирамиды с прямоугольным основанием 60 мм х 90 мм. Определить длину (высоту) детали, если на угар отошло 4%.

3.    Кристалл кварца состоит из правильной шестиугольной призмы с боковым ребром 6,2 см и стороной основания 1,7 см и двух правильных шестиугольных пирамид с боковым ребром 2,5 см. Найдите объем кристалла.

4.                                                                                                                                                                              Найти объем детали. Размеры на рисунке даны в миллиметрах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ПРИЗМА, ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД – ЦИЛИНДР

1.        Железобетонная плита для перекрытия потолка имеет размер 180 см х 24 см х 580 см. Плита имеет в длину девять круглых сквозных отверстий диаметром 10 см. Найти вес плиты, если плотность равна 7,9 г/см3.

2.        Стальная балка имеет форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 0,40 м и высотой 1,00 м. Сколько метров проволоки диаметром 5 мм можно изготовить из этой болванки вытягиванием.

3.       

Ø100

 
На столе стоят два одинаковых стакана, до краев наполненных водой. В одном стакане плавает деревянный брусок. Найдите массу воды в каждом  стакане, если стакан имеет форму цилиндра высотой 98 мм, радиусом основания 40 мм, а брусок имеет форму прямоугольного параллелепипеда  с размерами 20 мм х 30мм х 40 мм. Плотность воды 1000 кг/м3, плотность дерева 700 кг/м3.

4.                                                                                                                                                Надпись: 20Надпись: 140Найти массу чугунного кронштейна сверлильного станка. Размеры в миллиметрах даны на рисунке. Плотность чугуна 7,5 г/см3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


5.                  Надпись: 120Надпись: 40

Ø20

 

Ø30

 
                                              Ключ к патрону токарного станка имеет вид: см. рисунок, размеры в миллиметрах. Найти массу ключа, если плотность стали 7,83 г/см3.

 

 

 

 

 


6.                                                                       Гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Ребро гайки 22 мм, площадь круга (отверстия) равна 108 мм2. Толщина гайки (высота призмы) равна 10 мм. Определить массу гайки, если плотность материала, из которого изготовлена гайка равна 7,83 г/см3.

 

 

ЦИЛИНДР – ШАР

 

1.    В цилиндрический сосуд, у которого диаметр основания равен 6 см, а высота 36 см, налита вода до половины высоты сосуда. На сколько поднимется уровень воды  сосуде, если в нее погрузить шар диаметром 5 см?

2.    Резервуар для воды состоит из полушария радиуса 35 см и цилиндра с таким же радиусом основания. Какой высоты должна быть его цилиндрическая часть, чтобы объем всего резервуара равнялся 167 л.

3.    Можно ли в цилиндр, высота которого равна 2 дм, а диаметр основания 1 дм поместить шар, объем которого в два раза меньше объема цилиндра?

4.    В цилиндрический сосуд, наполненный водой до половины, опущен шар диаметром 4 см. Высота сосуда равна 8 см, радиус 2,2 см. Достигает ли уровень воды краев сосуда?

5.    Стальная заклепка имеет форму цилиндра, на которой насажен шаровой сегмент. Диаметр цилиндра равен 16 мм, высота цилиндра 35 мм, высота сегмента 10 мм, радиус шара 16 мм. Вычислите массу 1000 таких заклепок, если плотность стали 7,5 г/см3.

6.    В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опущены четыре металлических шарика с диаметром 1,0 см. На сколько поднялся уровень воды в мензурке?

7.    Надпись: 80Рукоятка сверлильного станка имеет вид: см. рисунок, размеры в миллиметрах. Найдите массу рукоятки, если плотность стали 7,83 г/см3.

 

 

 

 

 

 


ЦИЛИНДР – КОНУС

1.   

Ø15

 
Жидкость, налитая в конический сосуд, высота которого равна 0,18 м и диаметр основания равен 0,24 м перелита в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого равен 0,1 м. Чему равен уровень жидкости в сосуде?

2.                                                                                                                                                Надпись: 12Надпись: 18Рассчитать: 1) массу стальной детали; 2) диаметр круглой стальной заготовки для холодной штамповки деталей (данные на рисунке, размеры в сантиметрах). Площадь заготовки должна равняться площади поверхности детали. Удельный вес стали 7,86 г/см3.

3.                                                                                                                                               

Ø10

 
Найти массу строительного отвеса. Размеры на рисунке в миллиметрах. Плотность стали 7,83 г/см3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ЦИЛИНДР – УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

1.                  Втулка имеет форму усеченного конуса, больший диаметр которого равен 48 мм, меньший – 36 мм, длина – 90 мм. Диаметр цилиндрического отверстия втулки 28 мм. Найдите массу втулки. Плотность 8,7 г/см3.

2.                  Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, требуется переплавить в равновеликий цилиндр такой же высоту. Определить радиус основания полученного цилиндра.

3.                  Деревянный усеченный конус (удельный вес 0,58), высота которого 48 см и диаметры оснований 44 см и 32 см просверлен цилиндрически вдоль оси. Оси цилиндра и конуса совпадают, диаметр цилиндра 10 см. Просверленная часть заполнена железом (удельный вес 7,5 г/см3). Найти массу образовавшегося таким образом тела.

4.                                                                                                                                                                              Надпись: Ø20Надпись: Ø40

40

 

200

 

120

 
Найти вес стальной детали. Размеры в миллиметрах на рисунке. Удельный вес стали 7,86 г/см3. Найти площадь обрабатываемой поверхности с подрезкой торца.

 

 

Ø180

 
 


5.                                                                                                                                                Надпись: 80Надпись: 60Найти массу стальной детали. Размеры в миллиметрах на рисунке. Плотность стали 7,86 г/см3.

 

 

 

 


6.                                                                                                                                                Надпись: 20Надпись: 50

Ø20

 
Ступица сверлильного станка имеет вид: см. рисунок. Найти массу детали, размеры даны в миллиметрах плотность стали 7,86 г/см3.

Ø70

 
                                                                                                                                             

 

 

 


Ответы

Призма. Параллелепипед.

1. 5,86м2 ; 2. 0,6м; 3. есть; 4. 9 чел.; 5. можно; 6. 8 м2; 7. 60дм3; 8. 5,1 см; 9. 540 дней; 10.8,4 г/см3; 11. 2,7 г/см3; 12. 22,3 г; 13.2,38м;  14. 19,6 см; 15. 2952 м3;      16. 6,4 м; 95000м3; 17. 8 м; 18. 61,8 см; 68 см; 76,2 см; 19. 2550 м3; на 0,98 м;

 20. 2,4 т; 21. 2218 м3; 22. ≈ 21 м3; 23. 13; 6; 24. 26 кг; 25. 40 дней; 26. 47,7 кг;

27. 1,8 г/см3; 28. 0,01 см; 29. 106 шт; 30. 0,0625 кг; 31. 2,5м; 0,8 м; 0,5 м;

32. 6000 шт.; 3м3; 33.1,5 м;  34. в 1,25 раза;    35.513 м3; 36. 10 чел.; 37. 170 шт.; 38. 27600м2; 39. 1:3;

Пирамида.

1.      8381 шт.; 2.20,4 см3; 3. 33 листа; 4. 1,7 см; 5. 87728 м2; 7770000м3; 6. 6 см;

Усеченная пирамида.

1.      7 м3; 2. 52,5 т.; 3. 9,9 т.;  4. 160 дм2; 5. 4,2 т; 6. 187,5 см; 75 см; 225 см;

Цилиндр.

            мм; 2. 3 мм3; 3. 180000 мм2; 183750 мм2; 4. 4,5 мин; 5. Указание: Н=Ln S;

6. 48 шт.; 7.12шт.; 8. 2,1; 1,2;  9. 1,4·107 Н; 10. 2484м3; 45 шт.;  11. 318 м3; 7,55%; 

12. 35000 м2; 13. 210 м; 14. 15,3 кг; 15. 67,2 кг; 16. 0,17 м3; 17. 96 кг; 18. 38,6 м2

19. 218 м; 20. 24111 кг; 21. 5,4 кг; 22. 9,4 кг; 23. 412 м; 24. 33,2 дм3; 25. 153 кг;

 26. 8025 см2; 27. 4·10-5мм; 28. 80,2 м; 29. 0,72 см3; 30. 1800 т; 31. 4т; 32. 2,16 м3;

 33. 0,0078 мм; 34. 28,46 м3; 35. 12 шт; 36. 4445; 37. 53; 38. 24,2 см; 39. 0,98 г/см3;  40.0,024 см2;

Конус.

1.      40 листов; 2. 19 т.; 3. 1,6 м; 4. 10,9 см; 1970; 5. 13600 см3; 6. 9,9 т; 7. 50; 8. 4;

Усеченный конус.

1.      4,4 кг; 2. 20978 см3; 3. 21 дм3; 4. 14,9 л; 5. 0,99 м2; 6. 0,9 м2; 7. 69,6 см; 94,9 см; 570; 8. 27 см; 9. 4400см2; 10. 0,0095 дм2;

Шар. Сфера.   

1. 216 шт.; 2. 15000 км; 3. 51; 4. 9,9 см; 5. 1 т; 6. 202,5 кг; 7. 67 г; 8. 250000000;

 9. 445 м2; 10. 569,2 кг; 11. 41,34 м2; 12. ввосьмером; 13. в 24 раза; 14. 1,8 кг;

 15. 12 м; 16. 27;  17. на 1 шар; 18. 45 см; 19. 6200шт; 20. 37 см; 21. да; 22. 310 см2; 23. 392 м3; 24. 215 г; 25. 200 г;

Призма-пирамида. Параллелепипед- пирамида.

1. 8,25 м; 2. 53см; 3. 54,7 см3; 4. 61,5 см3;  5. 72,45 см3;  

Параллелепипед – цилиндр.

1.      18,4 т; 2. 8200 м; 3. 218,4 г; 4. 17.3 кг; 5. 305 г; 6. 12 г; 

Цилиндр – шар.

1.      2,3 см; 2. 1,7 м; 3. можно; 4. нет; 5. 100,5 кг; 6. 43 мм; 7. 2,5 т; 8. 155г;

Цилиндр – конус.

1.      0,35 м; 2. 18,5 кг; 25 см; 3. 0,19 кг;

Цилиндр – усеченный конус.

1. 2,7 кг; 2. 14; 3. 55 кг; 4. 285 г; 5. 14,5 кг;  6. 1 кг;           


Тесты для самоконтроля  по темам  

 

Глава 1. Числовые функции

                     

            

 

          

 

                  

 

                

 

             

 

 

           

 

 

                                 

 

 

        

      

    

                                     

 

 

Итоговый тест

Вариант 1

А1.Функция у = f(x) задана графиком на отрезке [-4;3]. Укажите область её значений.

 

     1) (0;2);                  2)[-5;0];                    3) (-2;0);                      4) [-4;-3].                                                     

  

                                                                                            

     

А2. Найдите область определения функции у = .

       1)                       2)                 3)                 4) (-∞;1,5].

А3. Найдите область значений функции у = 6 cos 3x.

 

       1) [-6 ; 6];            2) [-18 ; 18];               3) [-7 ;-5];                   4) [ 5 ;7].

 

А4. Найдите значение производной функции у = х 2 + sin x  в точке х 0 = π .

 

       1) π 2 – 1;             2) 2π + 1;                    3) 2π - 1;                     4) 2π.

В1. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log 0,5 (2 – x 2).

В2. При каком наибольшем значении m  функция f(x) = -x 3 + m x 2 – 4mx + 3 убывает на всей

       числовой прямой?

В3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 2 – х 2; у = - х.

С1. Найдите область значений функции 12 sin x – 5 cos x + 1.

                                                      

 

                                                               Вариант 2

А1. Укажите график нечётной функции.

 

А2. Найдите область определения функции у = .

      1) (-∞;14];             2)     3)                 4) [14; +∞).

А3. Найдите область значений функции .

      1) [-1 ; 1];             2) [-2 ; 2];                   3) [-0,5 ; 1,5];             4) [-0,5 ; 0,5].

А4. Найдите значение производной функции f(x) = ln 3x + 3x при х = .

       1) 0;                     2) 2;                3) 6;                4) 4.

В1. Найдите наименьшее значение функции  g(x) = log 0,5 (4 – x 2).

В2. Найдите минимум функции у = .

В3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х – х 2 и у = 0.

 

С1.Найдите область значений функции 2 sin 2 x – 6 sin x cos x + 4 cos 2 x .

                                                  

                                                             Вариант 3

А1. Найдите область определения функции у = .

       1) (-6; +∞);                      2) (-∞;-6];                   3) [-6;+∞);                   4)

А2. Укажите график чётной функции.

А3. Какое из следующих чисел входит во множество значений функции

       1) 1;                     2) 2;                3) 3;                4) 4.

А4. Найдите f ′ (1), если f(x) = ln x – 2 cos x.

      1) 1;                      2) -2 cos 1;                 3) 1 + 2 sin 1;             4) 0.

В1. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log 0,5 (8 – x 2).

В2. Найдите минимум функции у = .

В3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 5 – х 2, x = -2, х = 1, у = 0.

С1.Укажите наименьшее значение функции f(x) = 4 cos 2 x + 3sin x + 7 sin 2 x  и все значения х,

      при которых оно достигается.

                                                                 Вариант 4

А1. Найдите область определения функции у = .

      1)  (-∞;-0,7];                     2)               3)                4)

А2.  Функция задана графиком на отрезке [-5;6]. Укажите область её значений.

                                                 

       1) [2;5];                2) (2;5);                       3) (1;5];                       4) [1;5].

А3. Какое из следующих чисел не входит во множество значений функции у =

       1) -4;                    2) -1;               3) 5;                4) -3.

А4. Найти значение производной функции  в точке х = е.

       1) е;                      2)               3) 2;                 4) 0.                      

В1. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log 3 (3 – 3x) на промежутке [-8;0].

В2. Найдите длину промежутка возрастания функции у = .

В3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х 2 + 1 ,х =0, х = 3, у = 0.

С1.Найдите область значений функции f(x) = 1 – 2 .

 

Глава 2. Тригонометрические функции

 

№1. Числовая окружность разделена точками на восемь равных частей. Установите соответствие между точкой на окружности и числами.

А.

А

1.

Б.

N

2.

В.

M, P

3.

Г.

A, C

4.

 

А

Б

В

С

 

 

 

 

 Ответ:

 

 

 

 

№2. Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей. Установите соответствие между точками на окружности и числами.

А.

Р, Е

1.

Б.

N,E

2.

В.

А, P,L

3.

Г.

N, L

4.

 

А

Б

В

С

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

№3. Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге.                                    

1.

2.

3.

4.

В ответ запишите номер выбранного неравенства.

Ответ:

№4. Каким из заданных отрезков принадлежит точка    числовой окружности:    

В ответ запиши номер выбранного отрезка.

Ответ:

№5. Найдите координаты точки на числовой окружности .

Ответ: х=    , у=    .

№6. Укажите дугу числовой окружности, соответствующую множеству точек с ординатой

 

Укажите номер выбранного ответа.

Ответ:

 

№7. Дополни.

Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют _____________________ числа t и обозначают _________, а ординату точки М называют __________________ и обозначают _________.

 

№8. Дополни.

Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют ____________ числа t и обозначают ______. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют _____________ числа t и обозначают _________.

 

№9. Расположите числа в порядке возрастания:

В ответ запишите четырехзначное число.

Ответ:

 

№10. Расположите в порядке возрастания числа:

В ответ запишите четырехзначное число.

Ответ:

 

№11. Вычисли значение выражений и установи соответствие.

Предполагаемые ответы: 1)0;   2) ½;   3)1;   4)2.

В ответ запишите четырехзначное число.

 

№12. Упростите выражение и найдите  его значение при.

Ответ:

 

№13. Расположите числа в порядке возрастания:

В ответ запишите четырехзначное число.

 

№14. Решите уравнение .

 

 

 

 

 Ответ:

№15. Подбери значения m, k и n так, чтобы на данном рисунке был изображен график y=msin(kx+n).

 

№16. Найдите множество значений функции y=ctgx на отрезке .

Ответ:

 

 

Глава 3. Тригонометрические уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5. Производная

 

 

Итоговый тест по теме

«Правила дифференцирования»

Вариант 1

А1. Найдите производную функции  .

  1) 12х2                                             2) 12х                           3)2                                 4) 12х3

А2. Найдите производную функции   .

  1) -5                                             2) 11                           3) 6                                 4)

А3. Найдите производную функции   .

  1)                                    2)                        3)                              4)  

А4. Найдите производную функции   .

  1)              2)            3)                        4)  

А5. Найдите производную функции  .

  1)                       2)                             3)                     4)

А6. Вычислите значение производной функции   в точке  хо=2. 

  1) 10                         2) 12                            3) 8                             4) 6

А7. Найдите производную функции  .

  1)            2)          3)        4)

А8. Вычислите значение производной функции      в точке  хо= 4.

  1) 21                            2) 24                          3) 0                            4) 3,5

А9. Вычислите значение производной функции   

 в точке   .                             1) 2          2)             3) 4         4)

А10. Найдите производную функции   .

  1)                   2)             3)               4)

В1. Вычислите значение производной функции       в точке  хо= 26.

В2. Найдите значение  х, при которых производная функции      равна 0.

Вариант 2

А1. Найдите производную функции  .

  1)                                              2)                            3)                                  4)  

А2. Найдите производную функции   .

  1) 7                                             2) 12                           3) -5                                 4) -5х

А3. Найдите производную функции   .

  1)                                    2)                        3)                              4)  

А4. Найдите производную функции   .

  1)              2)            3)                        4)  

А5. Найдите производную функции  .

  1)                       2)                             3)                     4)

А6. Вычислите значение производной функции   в точке  хо=2. 

  1) 13                         2) 3                            3) 8                             4) 27

А7. Найдите производную функции  .

  1)            2)          3)        4)

А8. Вычислите значение производной функции      в точке  .

  1) -47                            2) -49                          3) 47                            4) 11,5

А9. Вычислите значение производной функции   

 в точке   .                             1) 2          2) -1            3) -2         4)

А10. Найдите производную функции   .

  1)                   2)             3)               4)

В1. Вычислите значение производной функции       в точке  хо= -7.

В2. Найдите значение  х, при которых производная функции      равна 0.

 

Итоговый тест по теме

«Производная и её применение».

 

А1 Найти производную функции f(x)=2sin x + cos x-3

     1) f (x) = tg x + 7;                         2) f (x) = - 2;

     3) f (x) = 2cos x – sin x;               4) f (x) = 3sin x – 2

А2 Найдите коэффициент наклона касательной к графику функции

     у = ех – х – 1 в точке х = 0

     1) 1;                2) -1;                3) е;                 4) 0

А3 При движении тела по прямой расстояние S (км) от начальной

     точки меняется по закону S(t) =  (t – время движения в

     часах). Найдите скорость (км/ч) тела через 1 час после начала

     движения.

     1) 2;                2) 1,5;             3) 0,1;               4) 0,5

 

В1 Найдите наибольшее значение функции f(x) = -х2 + 4х +21

В2 Найдите точку минимума функции h(x) = е3х+7х3

В3 Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;7). На рисунке

     изображён график её производной. Найдите точку х0, в которой

     функция у = f(x) принимает наименьшее значение.

 

сканирование003 

 

 

 

 

 

 


Часть 3

С1 При каком значении параметра а функция у =  имеет

     минимум в точке х0 = 1?

С2 Найдите наименьшее значение функции

     f(x)=0,25x-+x2+()2

 

Глава 6. Степени и корни. Степенные функции

 

Тест по теме «Степень с натуральным показателем  и ее свойства»

1 вариант.

А 1. Как называется выражение  (- 9)6?

1) основание степени   2) показатель степени      3) степень.

А 2.  Дано  выражение  (- 9)6. Как в этом выражении называется число 6?

1) основание степени   2) показатель степени    3) степень.

А 3.  Дано  выражение  (- 9)6. Как в этом выражении называется число   - 9?

1) основание степени   2) показатель степени    3) степень.

А 4. Запишите произведение  (- 3)·(- 3)·(- 3)∙(- 3)·(- 3)·(- 3) в виде степени.

1) (– 6)3         2) - 63      3)  (-3)6      4)  -3 6

А 5. Найдите значение выражения ()4

1)           2)       3)       4)

А 6. Найдите значение выражения   – 2,5∙ (-10)3

1)           - 2500      2) 2500     3) 25000      4) -25000

А 7. Представьте в виде степени с основанием 4 число 16

1)                   2)      3)       4)

А 8. Представьте в виде степени ∙ а ∙

1)                   2)       3)      4)  

А 9. Представьте в виде степени  : 

1)                   2)       3)      4)  

А 10. Представьте в виде степени  ∙

1)                   2)        3)      4)  

А 11. Упростите  выражение   .

1)             .       2)        3)      4)

А 12. Упростите выражение  .

1)               400      2)  40      3)      4)

В 1. Представьте  число в виде степени с основанием 2.   ______

В 2. Представьте в виде степени  ∙ 0,09 = ________________

В 3. Найдите значение выражения  = _____________________________

В 4. Найдите значение выражения  при х = , у = 5.  ___________________

В 5. Упростите выражение   = _______

В 6. Не выполняя вычислений, расположите в порядке возрастания следующие числа:   0,40;   (-1,5)2;   (-1,5)7

В 7. При каком  натуральном  p  верно равенство ((с2)p)3 = c12? ______

В 8. Вычислите  = ______

 

2 вариант.

А 1. Как называется выражение  (- 4)5?

1) основание степени   2) показатель степени      3) степень.

А 2.  Дано  выражение  (- 4)5. Как в этом выражении называется число  - 4?

1) основание степени   2) показатель степени    3) степень.

А 3.  Дано  выражение  (- 4)5. Как в этом выражении называется число   5?

1) основание степени   2) показатель степени    3) степень.

А 4. Запишите произведение  (- 10)·(- 10)·(- 10)∙(- 10)·(- 10)·(- 10) в виде степени.

1)  6 -10         2) (- 6)10      3)  -106      4)  (-10) 6

А 5. Найдите значение выражения ()4

1)           2)       3)  10     4)

А 6. Найдите значение выражения   – 5,2∙ (-10)5

1) 5200000      2) - 5200000     3) - 520000        4)  520000    

А 7. Представьте в виде степени с основанием 2 число 64.

1)      2)      3)       4)   

А 8. Представьте в виде степени ∙ а ∙    

1)       2)       3)      4)  

А 9. Представьте в виде степени  :    

1)       2)       3)      4)  

А 10. Представьте в виде степени  ∙  

1)      2)        3)      4)  

А 11. Упростите  выражение   .   

1)        2)        3)      4)

А 12. Упростите выражение  .

1)        2)  80      3) 1600     4)

В 1. Представьте  число в виде степени с основанием 5.   ______

В 2. Представьте в виде степени  ∙ 0,25 = ________________

В 3. Найдите значение выражения  = _____________________________

В 4. Найдите значение выражения  при х = , с = 7.  ___________________

В 5. Упростите выражение   = _______

В 6. Не выполняя вычислений, расположите в порядке возрастания следующие числа:   1,80;   (-2,1)2;   (-2,1)3

В 7. При каком  натуральном  p  верно равенство ((сp)2)4 = c16? ______

В 8. Вычислите  = ______

Итоговый тест

                                                               Вариант 1

 

А1. Найдите значение выражения 81  - 3  ∙ 3 .

    1) -6;                       2) ;            3) 6;                4) 11,25                                                        

А2. Найдите значение выражения        при х = 16.

      1) -1;                     2) 7;                3) -3;               4) 9.

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения √ 2х + 7 – 2 = х.

      1) (0; 2);                2) (-2;0);                     3) (7; 10);                    4) (5;7).

В1. Решите уравнение:  

В2. Пусть (х 0; у 0)- решение системы уравнений:

 


         √ 16 – 8х + х 2 + у = 2,                    Найдите произведение

          у – 5х + 10 = 0.                                               х 0 ∙ у 0.

 

С1. При каких значениях параметра а уравнение  √ х + 1 = х + а    имеет единственное решение?

                                                               Вариант 2

А1. Найдите значение выражения   ∙   – 2 ∙ 3   .

       1) 2;                     2) 3 -;                       3) 0;                 4) √3.

А2. Найдите значение выражения          при х = 81;

      1) 1;                            2) 9;                                3) 3;                          4) -1.

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения  = 4 - х.

 

      1) (-1; 0];              2) [4;+∞);                    3) (0; 3];                      4) (3;4).

В1. Решите уравнение: √ x + 5 = √ 4x + 9 - √ x.

В2. Пусть (х 0; у 0)- решение системы уравнений:

 


          y +√25 – х 2 = 0,                    Найдите сумму

          у + 5 = | x – 6 |.                                               х 0 + у 0.

 

С1. Решите уравнение √ 2 – 2,5 sin x = cos x .

 

                                                          Вариант 3

А1. Найдите значение выражения  ∙   –  36  .

       1) -1;                    2) -13;             3) 1;                4) 5  3√5  .

А2. Упростите выражение       

        1) 0;                    2) - у ;                      3) – у ;                     4) у 2.

А3. Решите уравнение √ 2х - 1  = х - 2. Укажите верное утверждение:

1)      корней два, и они оба положительные;             2) корней два, и они разных знаков;

3)      корень один, и он положительный;                   4) корень один, и он отрицательный.

В1.  Решите уравнение: √ 2x + 3 + √ x – 2 = 2 √ x + 1.

В2. Пусть (х 0; у 0)- решение системы уравнений:

 


          √  х - 3  = у,                    Найдите сумму

          | x – 3 | - у = 2.                        х 0 + у 0.

С1. При каких значениях  параметра а уравнение  √ а х – 8а =  х – 1 не имеет корней?

 

                                                 Вариант 4

А1. Найдите значение выражения  3 ∙ 2 0,5 -   .

       1) 2;                     2) 5√2;            3) 10;              4) 4.

А2. Упростите выражение: 10 a  + ( – 5) 2.

       1) 25;                   2) а + 5а + 25;                     3) а + 25;                    4) 5а.

А3. Решите уравнение   2 – х = . Укажите верное утверждение:

       1) корень один, и он  положительный;             2) корней два, и они разных знаков;

       3) корень один, и он отрицательный;               4) корней два, и они отрицательные.

В1. Решите уравнение:  =

В2. Пусть (х 0; у 0)- решение системы уравнений:

 


          √  х - 3  = у,                    Найдите произведение

 

          2| x – 3 | - у = 1.                        х 0 ∙ у 0.

С1. Решите уравнение 3 + √ 16 х | x – 2 | + 9 = 4x.

 

 

Глава 7. Показательная и логарифмическая функции

Итоговый тест по теме: «Показательная функция».

 

Вариант 1

 

А1. Укажите график функции, заданной формулой у = 0,5х.

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 

      1) (-4;-2];              2) (-2;0];                     3) (2;4];                       4) (0;2].

А3. Решите неравенство  < .

      1) (-∞;5);               2) (-∞;7);                     3) (5;+ ∞);                   4) (7;+ ∞).

 

А4. Найдите область значений функции у = 3х + 1.

       1) (-1; + ∞);         2) (0; + ∞);                 3) (1; + ∞);                  4) (- ∞;1).

В1. Найдите корень уравнения 7 ∙ 5х – 5 х+1 = 2 ∙ 5 -3.

В2. Найдите наименьшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству

                                     – 2 1 – х – 8 ≤ 0.

C1. Решите уравнение 3 | sin x – 1 | = 9.

 

Вариант 2

А1. Укажите график функции, заданной формулой у = 3 х.

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 

       1) (-1;0];               2)(0;1];                        3) (1;2];                       4) (2;3].

А3. Решите неравенство 81 ∙ 3 х > .

       1) (-2; + ∞);         2) (-6; + ∞);                3) (-∞;-6);                    4) (-∞;-6).

А4. Найдите область значений функции у =  

     1) (1; + ∞);             2) (0; + ∞);                 3)                 4) (-1; + ∞).

В1. Решите уравнение 2 + 14 ∙ 2 х + 1 – 29 = 0.

В2. Найдите наибольшее целое решение неравенство √ 32 ∙ 2  ≥ 8 .

 

С1. Решите уравнение 2 | cos x – 2 | = 8.

 

Вариант 3

 

А1. Укажите график функции, заданной формулой у = 4 х.

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 9 2,5х – 2 = .

       1)[-2;-1);              2) [-1;0);                     3) [1;2);                       4) [0;1).

А3. Решите неравенство 2 ∙ 2х .

       1) [-2; + ∞);         2) (-∞;4];                     3) (-∞;-4];                    4) [-4; + ∞).

А4. Найдите область значений функции у =.

       1) (0; + ∞);           2) (; + ∞);                3) (3; + ∞);                  4) (-3; + ∞).

В1. Решите уравнение 5 ∙ 2 2х + 2 + 3 ∙ 2 2х – 1 =86.

В2. Найдите наименьшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству

                25 ∙ 0,04 2x > 0,2 x (3 - x) .

С1. Решите уравнение х 2 ∙ 4  + 4 2 + х = 16 ∙ 2  2  + х 2 ∙ 2

 

                                   Вариант 4

А1. Укажите график функции, заданной формулой у = 1,5 х.

 

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 8 0,5х + 2 = .

      1) (6;7];                 2) (2;6];                       3) (-2;2];                      4) (-7;-2].

А3. Решите неравенство  ≥ 4

      1) (-∞;-4);              2) (-4; + ∞);                3) (-∞;-4];                    4) [4; + ∞).

 

А4. Найдите область значений функции у = 10 х – 1.

 

      1) (- ∞;-1);            2) (-1; + ∞);                3) (1; + ∞);                  4) (10; + ∞).

 

В1. Решите уравнение 2 ∙ 4 х +1 – 2 х+1 – 1 = 0.

 

В2. Найдите наименьшее целое решение неравенства 0,7 | x + 2 | ≥ 0,7 0,5.

 

C1. Решите уравнение 5 ∙ 3 2x + 15 ∙ 5 2x – 1 = 8 ∙ 15 x .

Итоговый тест по теме: «Логарифмическая функция».

 

                                                     Вариант 1

 

A1. Найдите значение выражения: 2 log 2 7 + log 5 75 – log 53.

        1) 9;                    2) 32;              3) 51;               4) 4.

      А2. Укажите график функции у = log 4 x.

     

      А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:  lg (x – 10) = 1.

        1) (19;21);                 2) (-1;1);                     3) (-11;-9);                  4) (9;11).

      А4. Решите неравенство log 2,2 (1,1 – 0,5x) ≥ 1. 

       1) (-∞;-2,2];               2) (-∞;2,2);                  3) [-2,2;+ ∞);              4) [-2,2;2,2).

В1. Решите уравнение log 2 (x+1) – log 2 (x-1) = 1.

.

      В2. Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству

                     log √10 (2x 2 + x) < 2.

      C1. Решите уравнение | x – 5 | ∙ lg x = x – 5.  

                          

                                                   

 

Вариант 2

 

А1. Упростите выражение: 3  log 3 4.

       1) 2;                     2) 8;                3) 9;                4) 16.

А2. Укажите график функции у = log  x.      

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 5 (9 -2x) = 2.

       1) (-10;-7);           2) (3;5);           3) (-1;2);          4) (-14;-11).

А4. Решите неравенство log 2 (2 – 0,7x) ≥ - 2.

       1)         2) ;             3) (-∞;2,5];                  4) [2,5; + ∞).

В1. Решите уравнение log 25 (x – 1) + = log  125.

В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства log  (7x - 3х2) < - 1.

C1. Решите уравнение √ 1 +  tg x  ∙ log 0,5 (3-x) = 0.

 

                                           Вариант 3

 

А1. Упростите выражение  7 log 7 3 + log 3 135 – log 3 45.

       1) 2;                     2) 4;                3) 8;                4) 6.

А2. Укажите график функции у = log 2 x.

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lg (4x + 1) = 1.

       1) (2;3);                2) (1;2);                       3) (-3;-2);                    4) (-1;1).

А4. Решите неравенство log  (6 – 0.3x) > -1.

       1) (-10; + ∞);                   2) (-∞; -10);                3) (-10;20);                  4) (-0,1;20).

В1. Решите уравнение log  (х + 2) + 3 log (х + 2)= 1.

В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства log (х + 2) – log 9 (x + 2) > - 1,5.

С1. Решите уравнение  = | cos((2x – 2) ∙ sin 3 x)| - 1.

 

                                                Вариант 4

А1. Упростите выражение 4 log 4 3 + log 2 12 – 2 log 2 √3 .

       1) 8;                     2) 12;              3) 6;                4) 5.

А2. Укажите график функции у = log  x.

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 0,1 (2x + 5) = 0.

      1) (-4; 0);              2) (2; 4);                     3) (0; 2);                      4) (-7;-5).

А4. Решите неравенство log 0,3 (4x – 15) ≥ 0.

      1) [4; + ∞);            2) (-∞;4];                     3) (0;4];                       4) 

В1. Решите уравнение log 3   – 2 log  (x + 3) = 2.

В2.Найдите наибольшее целое решение неравенства log   (2x – 1) – log  (2х – 1) < 2,5.

C1. Для каждого допустимого значения параметра а решите неравенство

                            > .            

Итоговый тест по теме «Вычисление логарифмов»

 

1.      Вычислите:

а) log 3 81

              1)   3                  2)      -3                            3)    4                       4) 27

б)  

            1)  -1/2                              2)   1/2                            3) -2                        4) 1/4

в) lg 0,001

              1)  3                 2) -3                              3)10                        4)-0,1

             г)    25-log5  2

                           1) 5                   2)0,25                 3)  1/2                    4) 4

            д)  log3 log3log3 2

                          1) 27                    2)1           3) 0                 4) 3

2. .Найдите число, логарифм которого по основанию 3 равен -2

1) -6                     2)1,5          3) 9                     4)

3.  При каком основании логарифм числа   равен 2  

1)                      2) 4              3) 8              4)

4.  Какие из выражений имеют смысл:

а) log2 0,8              b) log4 cos 90°   c) log3 (1- )        d) log7 (-7)

5. Решите уравнение:      log5 х =2

1)32                     2) 0,4                 3)  2,5                  4) 25

6. Вычислить

  1. log 30 5+  log 30 2 + log 30 3

  1) 2              2) 3                  3)1                        4)0

  1. log 5 22 - log 5 11 - log 5 10

1)0                    2) -1                3) 2                     4)  1

  1. log 7 196 - 2log 7 2

1)2                       2) 3             3)7                        4)1

  1.  (log 4 24 - log 4 8) ∙ log 3 4 +5

1) 4                     2)  3            3)  5                        4)6

5.    

1)17                 2)  15           3) 10                        4)  0

1) 10                2) 0               3) 4                        4) 8     

7. Найдите log 3 12 , если log 3 4 =в

1) в              2) 3в                3) 1+в                4) 3+в

8. Решите уравнения  log 4 х = -1,5 и   . Найти произведение их корней

1) 1                         2)  9/8                    3) 8                      4)3   

  9. Найти длину окружности, если её радиус равен значению выражения

(cos2 22°30´ - sin2 22°30´) 

 

1) 32         2) 16                   3) 64                    4)4

Итоговый тест по теме «Решение логарифмических уравнений»»

 
1.                    Какое из чисел 5, -2,  6, 0 является корнем уравнения  log 2 (x-5) + log2 (x+2) = 3
 
               1) 0       2) 6       3) 5     4)-2
 
  2 .Найдите произведение корней уравнений: lg 10000 = x    и  log5x = 3 
 
             1)   3            2)   500     3) 6    4) 12
 
3.                    Какому промежутку принадлежит корень уравнения log2 (х+8) = log230 ­‑ log25 
 
             1)  (-∞ ; 6]     2)  [7; 8)     3) (15; + ∞)    4)  (3;5)
4.                    Найти сумму корней уравнения:  lg (x+1) + lg(x-1) = lg3
 
            1) 0     2)  4       3) 2     4) 3
 
5.  Найти частное от деления большего корня уравнения на меньший:
         log0.5 х =3
         1)16        2) -3      3) 4      4) 0,5
 
6 .Найдите ординату точки пересечения графиков  у = log2 х  и у = 5 – log2 (х+4)
 
         1)   4                       2)1                 3) 2                          4) 8
7.Укажите наименьший целый корень уравнения  (х-1)=3
 
        1)   2                      2) 3               3)   4                           4) -2
 
8. Если х1 – наименьший корень уравнения  хlg 2,2 = 2,2 lg x, кратный 21, то выражение 
22 равно
 
      1) 44                   2) lg 44              3) lg43                   4)43
 
Итоговый тест по теме;
«Решение показательных уравнений и неравенств»
 

Вариант 1

А1. Какой формулой задается функция, график которой изображен на рисунке?

  

1)         2)        3)               4)

А 2. Решите уравнение

1) –1;                 2) 1;                 3) 7;                4) –7.

А3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

1) (9; 11);                      2) (9; 10);                   3) (3; 5];                      4) [0; 3].

А 4. Решите уравнение

1)               2) –2;               3)               4) 0.

А 5. Решите неравенство

1)     2) 3) (–4; 3);        4) (–3; 4).

А 6. Найдите наибольшее целое решение неравенства

1) –5;                 2) –4;               3) –3;              4) 0.

В1.      Решите уравнение  В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

В2.      Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству решений неравенства  

В3.        Найдите нули функции

 

 

 

 

 

Вариант 2

 

А 1. Какой формулой задается функция, график которой изображен на рисунке?

  

1)      2)        3)               4)

А 2. Решите уравнение

1) 1;                   2) 4;                 3) –1;              4) 0.

А 3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

1) ;       2) (–0,8; 2];                 3) (2; 3,5);                   4) [4; 10).

А 4. Решите уравнение

1)               2)               3)               4) .

А 5. Решите неравенство

1)     2)   3) (–1; 7);        4) (–7; 1).

А 6. Найдите наибольшее целое решение неравенства

1) –1;                 2) –2;               3) –5;              4) –10.

В1.      Решите уравнение  В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

В2.      Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству решений неравенства    

В3.      Найдите нули функции

Итоговый тест по теме:

           «Производная  и первообразная показательной и логарифмической функций».

                                                         Вариант 1

 

А1. Найдите производную функции у = ех – 2х2.

       1) у′ =  ех – х;      2) у′ = -4х;      3) у′ = ех + 4х;            4) у′ = ех – 4х.

А2. Вычислите f ′ (), если f (x) = ех sinx.

       1) о;                     2) 2е√2;                   3) 1;                 4) е.

А3. Укажите первообразную функции f (x) = 2x + на промежутке ( 0 ; + ∞ ).

       1) F (x) = 2 –;            2) F (x) = х2 + ln x;    3) F (x) = х2;                  4) F (x) = 2x + ln x.

В1. Сколько промежутков возрастания имеет функция у = х2 log2 x?

В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 1, х = 3. (Результат округлите

      до десятых.)

С1. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) =  – 1 в точках его

       пересечения с осью абсцисс.

 

                                                        Вариант 2

 

А1. Укажите производную  функции f (x) =  ех (1 + sin x).

       1) f ′(x) = ех (1 + sin x – cos x );                        2) f ′(x) = ех (1 - sin x + cos x );

       3) f ′(x) = ех (1 + sin x + cos x );                        4) f ′(x) = ех cos x.

А2. Найдите f ′(), если f (x) = + ln x .

       1)     ;              2) ln4;             3) 1 +  ln4;                  4)     .

А3. Укажите первообразную функции f (x) =  на промежутке ( 0 ; + ∞ ).

       1) F (x) = 2x + ln x;         2) F (x) = ln(2 + х);                3) F (x) = ln 2x;          4) F (x) = 2 ln x.

В1. Найдите наименьшее значение функции f (x) = ех + е  на отрезке [-1;2].

В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  у = 3х, х = 0, х = 1. (Результат округлите

       до десятых).

С1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции  f (x) = х ∙.

 

 

Вариант 3

 

А1. Найдите производную функции у = 2 х + 9х 2.

       1)  у′ = 2 х + 18х;            2) у′ = 2 х ln 2 + 18;         3)  у′ = 2 х ln 2 + 18х;      4)   у′ =  + 9х.

А2. Найдите производную функции φ(х) в точке х0 = 1, если φ(х) =    

       1) 1;                     2) 0,5;                         3) ;                          4) 1,5.

А3.  Укажите первообразную функции f (x) = ех - х 3.

        1) F (x) = ех -;              2) F (x) = ех-1 – 3е2;            3) F (x) = ех – 3х2;                 4) F (x) = ех – х4.

В1. Найдите количество промежутков возрастания функции у = 2 ех3 + 2х2).

В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  у = 2х, у = 0, х = 1, х = 8.

С1. Найдите наименьшее значение функции f (x) =  ∙ (2 х + 2 –х) на отрезке [-1;1].

 

                                                       

                                                     Вариант 4

 

А1. Найдите производную функции f (x)  =7 х + ех - 7.

       1) f ′(x) = x ln 7 + x;        2) f ′(x) = 7 х ln 7 + ех;    3) f ′(x) = 7x + 1 – ех lg e;      4) f ′(x) =  - 3.

А2. Найдите f ′(-), если f (x)  =  ln (- 4х).

       1) 1;                     2) -;             3) 4;                4) -3.

А3. Укажите первообразную функции f (x) = ех + 12.

       1) F (x) = ех;        2) F (x) = ех-1;            3) F (x) = ех + 12х;                 4) F (x) = ех + 12.

В1. Найдите наибольшее значение функции f (x)  = ln (е2 – х2) на отрезке [-1;1].

В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  у = , х = 1, у = . (Результат

      округлите до сотых.)

С1. Решите неравенство f ′(t) > φ′ (t) , если f (t) = 4 t,  φ (t) = 2 t + 1

 

 

 

 

 

Глава 8. Первообразная и интеграл

                                              

Вариант 1

А1. Укажите первообразную функции f(x) = x + cos x.

  1) F(x) =  + sin x;           2) F(x) =  - sin x;        3) F(x) = x 2 + cos x:        4) F(x) = 2 – cos x.

А2. Для функции f(x) = 1 +  укажите первообразную F, если известно, что F(1) = 3.

       1) x  + x 2 + 7;      2) ;         3)  ;           4) 2 x 2 + 2x + 1.

А3. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = (6t + 4) м/с. В  момент времени t = 3 с тело находится на расстоянии S = 19 м от начала отсчёта. Укажите  формулу, которой задаётся зависимость расстояния от времени.

 

  1) S(t) = 3t 2 – 4t + 4;           2) S(t) =3t 2 - 4t - 20;       3) S(t) =2t 2 + 4t - 20;        4) S(t) =3t 2 + 4t + 20.

В1. На рис. изображён график функции у = ах2 + bx + и четыре прямые. Укажите номер  той,

       для   которой квадратичная функция является первообразной .

 

                                                                                                                    

В2. Найдите значение выражения 2S, если S- площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2  + 1 и у + х = 3.

С1. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями: , у = 0, х =     

Вариант 2

А1. Укажите первообразную функции f(x) = 3 - cos x.

       1) F(x) = x3 – sin x;                     2) F(x) = -sin x;          3) F(x) = 3x – sin x;      4) F(x) = 3x + sin x.

А2. Для функции f(x) = 2 +4x  укажите первообразную F, если известно, что F(-1) = 1.

        1) F(х) = 2x + 2х2 + 3;   2) F(х) = 2x + 2х2 - 3;            3) F(х) = 4;                 4) F(х) =  2х2 + 2x + 1.

А3. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = (2t - 3) м/с. В момент времени t = 5 с тело находится на расстоянии S = 10 м от начала отсчёта. Укажите формулу, которой задаётся зависимость расстояния от времени.

        1) S(t) = t 2 – 3t;             2) S(t) =t 2 - 3t - 20;         3) S(t) =2t 2 - 3t + 10;        4) S(t) =t 2 + 3t - 10.

В1. На рис. изображён график функции у = ах2 + bx + и четыре прямые.

Укажите номер  той,  для   которой квадратичная функция является первообразной.

 

 

В2. Найдите значение выражения 6S, если S- площадь фигуры, ограниченной линиями

       у = х2 – 2x  + 1 и графиком её производной.

С1. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной  заданными линиями: , у = 0, х =  .

Вариант 3

 А1. Укажите первообразную функции f(x) = 3 х2  - sin x.

       1) F(x) = x3 – cos x;         2) F(x) = 2x  + sin x;    3) F(x) = x3 + cos x;     4) F(x) =

 А2. Для функции f(x) = x - 3х2  укажите первообразную F , если известно, что  F(0) = 2.

    1) F(x) = х-  + 2;    2) F(x) = 2х-  + 2;  3) F(x) = ;   4) F(x) = ;

 

 А3. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = (3t2 – 6t) м/с. В момент времени t = 2 с тело находится на расстоянии S = 1 м от начала отсчёта. Укажите формулу, которой задаётся зависимость расстояния от времени.

1) S(t) = t 3 – 3t2 + 4;              2) S(t) =t 3 - 3t2 + 5;         3) S(t) =3t - 3t2 + 1;        4) S(t) =t + 3t2 - 20.

 

В1. На рис. изображён график функции у = ах2 + bx + и четыре прямые. Укажите номер той, для   которой квадратичная функция является первообразной.

 

В2. Найдите значение выражения 3S, если S- площадь фигуры, ограниченной графиком функции  f(x)=2x – 2 и графиком её первообразной F(x), зная, что F(0) =1.

С1. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями:           

 

Вариант 4

 А1. Укажите первообразную функции f(x) = 2sin x – 5.

          1) F(x) = 2 cos x;          2) F(x) = 2 cos x-5x;    3) F(x) = -2 cos x-5;    4) F(x) = -2 cos x.

 

А2. Для функции f(x) = x – 3 х2   укажите первообразную F, если известно, что F(0) = 2.

       1) F(х) = x2 - 3х3 + 3;   2) F(х) = 1 -  6х + 1;   3) F(х) = x2 - 3х3 + 2;   4) F(х) = х2 - х3 + 2.

А3. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = (3t2 + t) м/с. В

       момент времени t = 2 с тело находится на расстоянии S = 12м от начала отсчёта. Укажите формулу, которой задаётся зависимость расстояния от времени.

        1) S(t) = t 3 – 2t2 + 4;      2) S(t) =6t  - 36 ;              3) S(t) =t + 0,5t2 + 2;      4) S(t) =t + 0,5t2 - 12.

В1. На рис. изображён график  четырёх прямых. Для прямой у = m найдите график её

       первообразной.

                                                                                  

В2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = - 3х2 + 6х + 1, касательной к

       этой кривой, проведённой в точке пересечения этого графика с осью ординат и прямой х = 2.

С1. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями:   

 

 

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей

 

Вариант 1

 

А1. Сколькими способами могут разместиться 4 человека в салоне автобуса на четырех свободных местах? 

   1) 4                          2) 16                           3) 24                         4) 12

 

А2. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из четырех?

     1) 6                          2) 4                        3) 2                       4) 8

 

А3. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

    1) 36                          2) 18                        3) 72                       4) 16

 

А4. Выберите число, на которое не делится число 30!

    1) 108                          2) 91                        3) 72                       4) 62

 

А5. Сколькими способами могут разместиться 3 человека в четырехместном купе на свободных местах? 

   1) 36                          2) 16                           3) 24                         4) 12

 

А6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений цифр? 

   1) 24                        2) 36                      3) 45                     4) 60

 

А7. После группировки данных эксперимента получилась такая таблица их распределения:

 

Варианта

10

11

12

13

14

15

16

Кратность варианты

 

2

 

4

 

5

 

14

 

10

 

8

 

7

 

Определите объем выборки.

   1) 100                          2) 50                     3) 14                        4) 92

 

А8. Используя таблицу распределения данных из задания А7 определите моду измерения:

   1) 6                            2) 16                        3) 14                          4) 13

 

А9. В партии из 2500 семян подсолнечника 50 семян не взошли. Какова относительная частота появления невсхожих семян?

   1) 0,02                          2) 0,05                        3) 0,01                    4) 0,025

А10. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет более 4 очков?

   1)                           2)                           3)                           4)  

 

Вариант 2

 

А1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений цифр? 

   1) 25                          2) 120                        3) 60                       4) 50

 

А2. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из шести? 

   1) 12                          2) 16                       3) 10                       4) 15

 

А3. В шашечном турнире участвуют 8 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно? 

   1) 36                          2) 24                        3) 28                       4) 16

 

А4. Выберите число, на которое не делится число 20! 

   1) 76                          2) 45                        3) 46                       4) 910

 

А5. Сколькими способами можно выбрать из восьми карандашей различного цвета четыре карандаша? 

   1) 1680                        2) 840                      3) 420                     4) 240

 

А6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений цифр? 

   1) 420                           2) 360                      3) 240                     4) 180

 

А7. После группировки данных эксперимента получилась такая таблица их распределения:

 

Варианта

8

10

12

14

16

18

20

Кратность варианты

 

1

 

6

 

15

 

12

 

10

 

19

 

12

Определите объем выборки.

   1) 100                          2) 50                     3) 98                        4) 75

 

А8. Используя таблицу распределения данных из задания А7 определите моду измерения:

   1) 18                            2) 20                         3) 19                           4) 14

 

А9. В партии из 500 деталей отдел технического контроля обнаружил 7 нестандартных деталей. Какова относительная частота появления нестандартных деталей?

   1) 0,07                          2) 0,35                        3) 0,14                    4) 0,035

А10. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет менее 4 очков?

   1)                           2)                           3)                           4)  

 

 

Глава 10.  Уравнения и неравенства. Системы   уравнений и  неравенств

 

Итоговый тест

Вариант 1

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения  = 9.

       1) [-2;-1);             2) [-1;1);                     3) [1;3);                       4) [3;5).

А2. Найти все решения уравнения 3 sin x + 1 + ctg 2 x =  + 3.

       1) πn, n  Z;        2)  + πn, n Z;                   3) (-1)n  + πn, n  Z,         4)  + 2πn, n  Z.

А3. Решите неравенство: 

       1) [-4;+∞);            2) (-∞;-4] (-2;5];     3) [-4;-2)  [5; +∞);              4) [5;+∞).

 


А4. Укажите область определения функции: у = √ log 0,5 (0,2x + 6) + 3.

       1) [-10; +∞);                    2) (-30; +∞);               3) (-∞;-10];                  4) (-30;10].

В1. Найдите корень уравнения: х -

В2. Пусть (х00) – решение системы уравнений

 


       3 х ∙ 2 у = 576,                Найдите х0 + у0.

       log (y – x) = 4.

 

С1. Решите уравнение 32 х + 3 ∙ 3 3х + 1 ∙ 625 х + 2 = 600 х + 7 .

 

 

                                            Вариант 2

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

       1) (3;9];                2) (-7;0);                     3) (-9;-7];                    4) (0;3].

 

А2. Решите уравнение: 3 cos x – sin 2x = 0.

       1)   + 2πn, n Z;         2) 2πn, n  Z;            3) +  + , n Z;  4)  + πn, n  Z.

А3. Решите неравенство:      .

                                               

      1) (-3;-2]  [2; +∞);        2) (-3;-2)  [2; +∞);     3) (-∞;-3)  [-2;2);            4) (-∞;-3]  (-2;2].

А4. Укажите область определения функции: у = √ log (0,3x + 1) + 1.

      1) (-∞;30];             2) [30; +∞);                3);             4)

В1. Найдите корень уравнения : √ х 2 + 2х + 10 = 2х – 1.

В2. Пусть (х00) – решение системы уравнений

      

       10 1 + lg (x + y) = 50,                                         Найдите х0 + у0.

        lg (x + y) + lg (x – y) = 2 – lg 5.

 

C1. Решите уравнение √ (2 sin 3x – 3) 2 + √sin 2 3x – 8 sin 3x + 16 = 7.

 

                                            Вариант 3

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

       1) (-3-2];              2) (-2;0);                     3) [2;5);                       4) [0;2).

А2. Решите уравнение: 4 sin x + sin 2x = 0.

       1) корней нет;                2) 2πn, n  Z;            3) πn, n  Z;               4)  + πn, n Z.

А3. Решите неравенство : .                                                              

      1) (-8;-4] [0; 2);            2) (-8;-4)  (0; 2);         3) (-8;-4]  [0;2];              4) (-8;-4) (4;. +∞).

А4. Укажите область определения функции: у = √ log (7 – 0,5x) + 3.

      1)   [-40; +∞);        2) [-40; 14);                3)  (-∞;-40];                            4) (14; +∞).

В1. Найдите корень уравнения: √2 х 2 - х – 5 + x =  1.

В2. Пусть (х00) – решение системы уравнений

      

       10 1 + lg (x + y) = 40,                                         Найдите х0 ∙  у0.

        lg (x - y) + lg (x + y) = 3 lg 2.

 

С1. Решите уравнение 7 tg x + cos 2 x + 3 sin 2x = 1.

 

                                            Вариант 4

 

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 4 5 х + 4 = 64.

       1) [-2-1);              2) [-1;0);                     3) [0;1);                       4) [1;2].

А2. Решите уравнение: ctg 2 x (1 - cos 2 x)  = 0.

       1) +  + πn, n Z;                    2)  , n  Z;            3) πn, n Z;               4)  + πn, n  Z.

А3. Решите неравенство:    

       1) (-∞;-2];            2) (-∞;-2]  (1;3);          3) (-∞;3);               4) [-2;1)  (3;+∞).

 


А4. Укажите область определения функции: у = √ -2 - log (2,5x  + 1) .

      1)   (-0,4; -0,3];                 2) (-∞;-0,3];                3) [-0,3; +∞);                          4) (-0,4; +∞).

 

В1. Найдите корень уравнения: x +  √ 4 + 2x - х 2 =  2.

 

В2. Пусть (х00) – решение системы уравнений

      

        lg x – lg y = 1,                                         Найдите  .

        lg 2x + lg 2 y = 5.

 

С1. Решите уравнение .

 

Глава I. Параллельность прямых и плоскостей

 

1. Какие из перечисленных понятий геометрии являются первичными?

   А) Луч, точка, плоскость, треугольник.

   Б) Прямая, точка, расстояние от точки до точки, плоскость.

   В) Плоскость, прямая, луч, угол.

2. Пересечением двух плоскостей  является

   А) точка

   Б)  прямая

   В)  отрезок

3. Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой  плоскости?

   А)  одна

   Б)  две

   В)  три

4.  На сколько множеств разбивает пространство любая плоскость?

    А)  на два

    Б)  на три

    В)  на четыре

5. Чтобы задать единственную плоскость необходимо

   А)  две точки

   Б)  три точки

   В)  три точки, не лежащие на одной прямой

6. Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?

    А)  две параллельные прямые

    Б)  две скрещивающиеся прямые

    В)  три точки

7.  Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?

    А)  одну плоскость

    Б)   две плоскости

    В)  бесконечно много плоскостей

8.  Через какие из перечисленных фигуры можно провести единственную плоскость?

    А)  Через три точки

    Б)  Через прямую и не лежащую на ней точку

    В)  Через отрезок

9.  Сколько плоскостей задаёт прямая?

    А)  одну плоскость

    Б)   две плоскости

    В)  бесконечно много плоскостей

10.  Две прямые пересекаются. Что это значит?

    А)  Они имеют две общие точки.

    Б)   Они имеют одну общую точку.

    В)   Они лежат в одной плоскости.

11.  Две прямые называются скрещивающимися, если

    А)  они не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.

    Б)  они не имеют общих точек.

    В)  они имеют одну общую точку.

12.  Две прямые в пространстве называются параллельными, если

     А)  они не имеют общих точек.

     Б)  они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.

     В)  они не имеют общих точек, и не существует проходящей через них плоскости.

13.  Прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что

     А)  они параллельны.

     Б)   они пересекаются.

     В)   они скрещиваются.

14.  Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Это значит, что

     А)  они параллельны.

     Б)   они пересекаются.

     В)   они скрещиваются.

15.  Прямая и плоскость имеют две общих точки. Каково их взаимное расположение?

     А)  они параллельны.

     Б)   они пересекаются.

     В)   они скрещиваются.

16.  Если две плоскости не имеют общих точек, то они

     А)   параллельны.

     Б)    пересекаются.

     В)    скрещиваются.

17.   Две плоскости пересекаются. Это значит, что

      А)  они имеют одну общую точку.

      Б)  они имеют общую прямую.

      В)  они имеют общий луч.

 

Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

1. Если  одна  из  двух  параллельных  прямых  перпендикулярна  к  третьей  прямой ,  то    как  расположена  вторая  прямая  по  отношению  к  третьей ?

                   а) параллельна                           б) перпендикулярна

                   в) скрещивается                         г) совпадают

2. Если  две  прямые  перпендикулярны  к   плоскости ,  то  как  они  расположены  по  отношению  друг  к  другу ?

                   а) параллельны                          б) перпендикулярны

                   в) скрещиваются                       г) пересекаются

3. Если  прямая  перпендикулярна  к  двум  пересекающимся  прямым ,  лежащим  в  плоскости , то  как  расположена  эта  прямая  по  отношению  к  плоскости ?

                   а) параллельна плоскости         б) перпендикулярна  к плоскости

                   в) лежит в плоскости                       

4 .Прямая  а  параллельна    плоскости  α , а  прямая  перпендикулярна  к  этой  плоскости.  Как  расположены  прямые  а  и  b  ?

                   а) параллельны                           б) перпендикулярны

                   в) скрещиваются                         г) совпадают

5. Сколько  прямых ,  перпендикулярных  к  данной  плоскости  проходит  через  данную  точку  пространства ?

                   а) одна                                          б) две

                   в) ни  одной                                  г) бесконечное  множество

    6. Если   одна  из  двух  плоскостей  проходит  через  прямую,  перпендикулярную  к  другой  плоскости ,  то  как  расположены такие  плоскости ?

                   а) параллельны                             б) перпендикулярны

                   в) скрещиваются                           г) совпадают

    7. Сколько  двугранных  углов  имеет  параллелепипед ?

                  а) четыре                                         б) восемь

                  в) десять                                          г) двенадцать

    8. Диагональ  квадрата  перпендикулярна  к  некоторой  плоскости .   Как  расположена  другая  диагональ квадрата  по  отношению к  этой плоскости ?

                 а) параллельна   плоскости            б) перпендикулярна  к  плоскости

                 в) лежит  в  плоскости                    г) пересекает  плоскость

    9. Каждая  из  плоскостей  α  и  β  перпендикулярна к  плоскости  γ .  Каково  взаимное  расположение  плоскостей  α  и  β ?

                 а) параллельны                                б) перпендикулярны

                 в) совпадают                                    г) скрещиваются

   10. Что  больше :  перпендикуляр,  проведенный  из  данной  точки  к  плоскости  или  наклонная  проведенная  из  той  же  точки  к  этой  плоскости ?

                 а) перпендикуляр                            б) наклонная

                 в) они  равны

 

Глава III . Многогранники

 

1.Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется:

а) четырехугольник

б) многоугольник

в) многогранник

г) шестиугольник

2. Вершины многогранника обозначаются:

а) а, в, с, д ...

б) А, В, С, Д ...

в) ав, сд, ас, ад ...

г) АВ, СВ, АД, СД ...

3. К многогранникам относятся:

а) параллелепипед

б) призма

в) пирамида

г) все ответы верны

4. Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных параллельным переносом, называется:

а) пирамидой

б) призмой

в) цилиндром

г) параллелепипедом

5. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:

а) диагональю

б) ребром

в) гранью

г) осью

6. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является:

а) наклонной

б) правильной

в) прямой

г) выпуклой

7. У призмы боковые ребра:

а) равны

б) симметричны

в) параллельны и равны

г) параллельны

8. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:

а) правильной призмой

б) параллелепипедом

в) правильным многоугольником

г) пирамидой

9. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:

а) противолежащими

б) противоположными

в) симметричными

г) равными

10. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется:

а) конусом

б) пирамидой

в) призмой

г) шаром

11. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:

а) медианой

б) осью

в) диагональю

г) высотой

12. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:

а) гранями

б) сторонами

в) боковыми ребрами

г) диагоналями

13. Треугольная пирамида называется:

а) правильной пирамидой

б) тетраэдром

в) наклонной пирамидой

г) призмой

14. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:

а) медианой

б) апофемой

в) перпендикуляром

г) биссектрисой

15. К правильным многогранникам не относится:

а) куб

б) тетраэдр

в) икосаэдр

г) пирамида

16. У куба все грани:

а) прямоугольники

б) квадраты

в) трапеции

г) ромбы

17. Высота пирамиды является:

а) осью

б) медианой

в) перпендикуляром

г) апофемой

18. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:

а) треугольниками

б) углами

в) многоугольниками

г) шестиугольниками

19. Основания призмы:

а) параллельны

б) равны

в) перпендикулярны

г) не равны

20. Боковая поверхность призмы состоит из:

а) параллелограммов

б) квадратов

в) ромбов

г) треугольников

21. Площадью боковой поверхности призмы называется:

а) сумма площадей боковых многоугольников

б) сумма площадей боковых ребер

в) сумма площадей боковых граней

г) сумма площадей оснований

22. Боковая поверхность прямой призмы равна:

а) произведению периметра на длину грани призмы

б) произведению длины грани призмы на основание

в) произведению длины грани призмы на высоту

г) произведению периметра основания на высоту призмы

23.Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его:

а) центром

б) центром симметрии

в) линейным размером

г) точкой сечения

24. К правильным многогранникам относятся:

а) тетраэдр

б) куб и додекаэдр

в) октаэдр и икосаэдр

г) все ответы верны

Параллелепипед и призма.

 

№ 1. Площадь диагонального сечения куба равна  см2. Найдите площадь поверхности куба.

       а)  см2;          б)    см2;         в)   см2;               г)   см2.             

 

№ 2. Длины диагоналей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, равны см, см и см. Найдите диагональ параллелепипеда.

       а)  см;              б)    см;            в)   см;             г)   см.             

 

№ 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 см и 3 см, а синус угла между ними равен . Найдите угол, который образует большая диагональ параллелепипеда с основанием, если боковое ребро параллелепипеда равно см.

                   а)   ;           б) ;                    в) ;             г) .

№ 4. Площади двух диагональных сечений прямого параллелепипеда равны 48 см2 и 30 см2, а боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь основания параллелепипеда, если оно является ромбом.

       а)  см2;           б)    см2;              в)   см2;               г)   см2.             

                                     

№ 5. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4 см, а большая диагональ призмы образует с основанием угол, равный 600. Найдите площадь полной поверхности призмы.

       а)  см2;              б)    см2;       в)   см2;             г)   см2.             

 

№ 6. АВСА1В1C1 – наклонная треугольная призма. Двугранный угол при ребре АА1 равен 900. Расстояния от ребра АА1 до ребер ВВ1 и СС1 равны соответственно 4 см и 3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её высота равна  см и боковое ребро образует с основанием угол 600.

       а)  см2;                б)    см2;              в)   см2;          г)   см2.              

 

№ 7. АВСА1В1C1 – правильная треугольная призма. Через ребро А1В1 и точку М – середину АС - проведено сечение, площадь которого равна см2. Найдите высоту призмы, если сторона её основания равна 2 см.

       а)  см;                б)    см;              в)   см;                   г)   см.             

 

№ 8. АВСDА1В1C1D1 – прямоугольный параллелепипед.  Причем АВ =  см, ВС =  см, ВВ1 =  см. Через точки А, В1 и С проведена плоскость. Найдите тангенс угла между плоскостями АВ1С и АВС.

                   а)   ;                  б) ;                   в) ;                   г) .

Пирамида. Усеченная пирамида.

 

№ 1. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой. Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.

       а)  ;                       б)  ;                      в)  ;                       г)  .             

 

№ 2. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее боковые ребра по см, а стороны основания равны 10 см, 10 см и 12 см.

       а)  см;              б)    см;              в)   см;               г)   см.             

 

№ 3. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональное  сечение пирамиды – прямоугольный треугольник, площадь  которого  равна 32 см2.

       а)  см2;              б)    см2;        в)   см2;          г)   см2.             

 

№ 4. Основание пирамиды – ромб, каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 600. Найдите площадь основания пирамиды, если высота пирамиды 9 см, а один из углов ромба 450.

       а)  см2;              б)    см2;        в)   см2;          г)   см2.             

                                     

№ 5. Основание пирамиды МАВСDEF –  правильный шестиугольник АВСDEF  со  стороной 8 см. Ребро АМ перпендикулярно основанию и равно 8 см. Найдите двугранный угол между гранью МЕD и плоскостью основания.

 

                   а)   ;       б) ;                    в) ;                    г) .

 

№ 6. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды  равны  4 см  и 6 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 450.

       а)   см2;               б)    см2;           в)   см2;            г)   см2.             

 

№ 7. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды  равны 6 см и 12 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен 300. Найдите площадь боковой поверхности данной усеченной пирамиды.

       а)  см2;           б)    см2;              в)   см2;               г)   см2.             

 

№ 8. КАВСD – правильная четырехугольная пирамида. Точки М и N – середины ребер КВ и КС. Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью, параллельной грани АКD и проходящей через точки М и N, если сторона основания пирамиды 16 см, а высота пирамиды 4 см.

       а)  см;                 б)    см;               в)   см;                г)   см.             

 

Объемы многогранников.

 

№ 1. Диагональ куба равна 12 см. Найдите объем куба.

       а)   см3;        б)   см3;            в)   см3;        г)   см3.             

 

№ 2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 дм и  дм, а угол между ними 450. Найдите объем параллелепипеда, если площадь его меньшего диагонального сечения равна  дм2

       а)   дм3;            б)   дм3;            в)   дм3;            г)   дм3.             

 

№ 3. Все ребра наклонного параллелепипеда равны, причем боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 300. Большая диагональ основания равна 6 см, а один из углов основания 1200. Найдите объем параллелепипеда, если большее диагональное сечение перпендикулярно основанию.

       а)   см3;               б)   см3;          в)   см3;          г)   см3.             

 

№ 4. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 600. Найдите объем призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна     см2.

       а)   см3;               б)   см3;          в)   см3;          г)   см3.             

                                     

№ 5. В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция, ВСAD, причем АВ = 3 см, AD = 5 см. Диагональ призмы В1D образует с плоскостью основания угол, равный 450, а плоскости АА1В1 и В1ВD перпендикулярны. Найдите объем призмы.

       а)   см3;         б)   см3;         в)   см3;           г)   см3.             

 

№ 6. Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды является равносторонним треугольником, площадь которого равна см2. Найдите объем пирамиды.

 

       а)   см3;            б)   см3;               в)   см3;          г)   см3.              

 

№ 7. В треугольной пирамиде КАВС АКВК и ВКСК, а АКС = 300. Найдите объем пирамиды, если АК = 8 см, ВК = 12 см, СК = 10 см.

 

       а)   см3;          б)   см3;               в)   см3;          г)   см3.             

 

№ 8. Через точку А бокового ребра пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания, причем точка А делит ребро на два отрезка, длины которых находятся в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если объем образовавшейся усеченной пирамиды равен 315 см3.

 

       а)   см3;            б)   см3;             в)   см3;             г)   см3.             

 

 

Глава IV. Векторы в пространстве

Вариант №1

 

1. Какое утверждение неверное?

1) Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны.

2) Любые два коллинеарных вектора сонаправлены.

3) Любые два равных вектора коллинеарны.

2. Даны точки А, В, С, D, K. Известно, что    

Тогда неверно, что…

1) все точки лежат в одной плоскости;

2) прямые ВС и DK параллельны;

3) точки А, С и D не лежат на одной прямой.

 

3. Какое утверждение неверное?

1) Длины противоположных векторов не могут быть неравны.

2) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны.

3) Если длины векторов равны, то и векторы равны.

 

4 причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямые АС и BD не могут быть…

1) параллельными;

2) пересекающимися;

3) скрещивающимися.

 

5ABCA1B1C1 – правильная призма. A1F = FB1, B1K = KC1.

Какое утверждение неверное?

1)

2)

3)

 

6ABCA1B1C1 – правильная призма. CE = EC1, BF = FB1, FM = MB1, AD : DC = 3 : 1.

Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.

1)

2)

3)

 

8. Векторы  и  являются

1) равными;

2) противоположными;

3) сонаправленными

 

9. DABC – тетраэдр.  

Тогда

1)

2)  

3)

 

В1. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Вариант №2

 

1. Какое утверждение верное?

1) Любые два сонаправленных вектора коллинеарны.

2) Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены.

3) Любые два коллинеарных вектора равны.

 

2. Какое утверждение верное?

1) Если   то

2) Если   то

3) Существуют векторы   и  такие, что  и  не коллинеарны,  и  не коллинеарны, а  и  коллинеарны.

 

3. Какое утверждение неверное?

1) Если длины векторов равны, то и векторы равны.

2) Если векторы равны, то их длины равны.

3) Длины противоположных векторов равны.

4 причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямые АС и BD являются параллельными, если…

1) k = 1;

2) k = –1;

3) k = 3.

 

5. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1F = FB1, B1E = EC1. Какое утверждение неверное?

1)

2)

3)

6FABCD – правильная пирамида.  FE = EC, EN = NC, OP = PD. Какое утверждение верное?

                                    

1)

2)  

3)

7. ABCA1B1C1 – призма.

1)

2)

3)

 

8. Векторы – и  являются

 

1) противоположными;

2) равными;

3) сонаправленными.

 

9. DABC – тетраэдр.

1)

2)

3)

 

В1. . ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.

Тогда

 

 

Глава V Метод координат

Вариант №1   

 

1. Точка M (–2; 3; –7) находится от плоскости XOY на расстоянии, равном…

1) 7;    

2) 2;    

3) 3.

2.  Тогда вектор  имеет координаты…

1)      

2)      

3)

3.    Тогда коллинеарными будут векторы…

1)  и      

2)  и      

3)  и

4. Первая и третья координаты ненулевого вектора  равны нулю. Тогда неверно, что…

1)      

2)      

3)

5. Первая координата ненулевого вектора  равна нулю. Тогда неверно, что…

1)      

2)      

3)

 

6. А (1; 2; 3), В (1; 5; 4), С (4; 5; 3). Тогда верно, что…

1)      

2)      

3)

 

7. Ордината точки А равна 3, ордината точки В равна 6. Длина отрезка АВ равна 3. Тогда прямая АВ и ось OY

1) параллельны;

2) перпендикулярны;

3) скрещиваются.

8. M (x1; y1; z1), K (x2; y2; z2). Тогда координаты вектора  равны

1)

2)

3)

9.  Тогда верно, что…

1)      

2)      

3)

Уровень В

 

1. Дана точка А (–1; 2; 5). Тогда координаты точки – проекции точки А на ось OZ равны…

2. Даны точки M (–1; 2; 3) и В (1; –1; 5). Тогда координаты вектора  равны…

3. А (–1; 0; 2), В (1; –2; 3). Тогда

 

4. ABCD – параллелограмм,  В (–2; 1; 0), О (0; 1,5; 0). Тогда координаты точки D равны…

 

5. Вектор  сонаправлен с вектором   Тогда координаты вектора  равны…

 

 

Вариант №2

 

Уровень А

 

1. Точка А (–1; 2; –3) находится от плоскости YOZ на расстоянии, равном…

1) 1;    

2) 2;    

3) 3.

2.  Тогда вектор  имеет координаты…

1)      

2)      

3)

 

3. Координаты равных векторов…

1) равны;

2) противоположны;

1) пропорциональны.

4. Первая и вторая координаты ненулевого вектора  равны нулю. Тогда верно, что…

1)      

2)      

3)

5. Третья координата ненулевого вектора  равна нулю. Тогда неверно, что…

1)      

2)      

3)

6. А (2; 3; 4), В (2; 5; 6), С (5; 3; 6). Тогда верно, что…

1)      

2)      

3)

 

7. Абсцисса точки А равна 3, абсцисса точки В равна 6. Длина отрезка АВ равна 3. Тогда прямая АВ и ось OX

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) скрещиваются.

8M (x1; y1; z1), K (x2; y2; z2). Тогда длина вектора  равна

1)

2)

3)

9. A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2). Тогда координаты точки – середины отрезка АВ равны

1)

2)

3)

 

Уровень В

 

1. Дана точка А (–1; 2; 5). Тогда координаты точки – проекции точки А на плоскость OYZ равны…

2. Даны точки K (2; –1; –3) и M (1; –2; 3). Тогда координаты вектора  равны…

3. А (7; 1; –5), В (4; –3; –5). Тогда

4. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке ОА (1; 3; –1), О (0; 1,5; 0). Тогда координаты точки С равны…

5. Вектор  противоположно направлен вектору   Тогда координаты вектора          равны…

 

Глава  VI Цилиндр. Конус. Шар.

 

1. Сколько окружностей большого круга можно провести через точку, принадлежащую сфере?

          1) Одну.

          2) Две.

          3) Четыре.

          4) Бесконечно много.

2. Какой фигурой является пересечение двух больших окружностей сферы?

          1) Окружностью.

          2) Прямой.

          3) Двумя точками.

          4) Отрезком.

3. Сколько сфер можно провести через четыре точки, которые являются вершинами квадрата?

          1) Одну.

          2) Две.

          3) Четыре.

          4) Бесконечно много.

4. Сколько касательных плоскостей можно провести через точку, принадлежащую сфере?

          1) Ни одной.

          2) Одну.

          3) Две.

          4) Бесконечно много.

5. Шар радиуса 3,4 см пересечен плоскостью на расстоянии 1,6 см от центра. Найдите площадь сечения.

          1) 11,56 см2.

          2) 5 см2.

          3) 9 см2.

          4) 256 см2.

6. Через середину радиуса шара перпендикулярно ему проведена плоскость. Площадь получившегося сечения равна 9 см2. Найдите радиус шара.

          1) http://geometry2006.narod.ru/Didakt10-11/Test1.files/image067.gifсм2.

          2) 12 см2.

          3) http://geometry2006.narod.ru/Didakt10-11/Test1.files/image069.gifсм2.

          4) http://geometry2006.narod.ru/Didakt10-11/Test1.files/image071.gifсм2.

7. Найдите радиус сферы, описанной около куба с ребром 36 см.

          1) 18http://geometry2006.narod.ru/Didakt10-11/Test1.files/image073.gifсм.

          2) 36http://geometry2006.narod.ru/Didakt10-11/Test1.files/image074.gifсм.

          3) 9http://geometry2006.narod.ru/Didakt10-11/Test1.files/image075.gifсм.

          4) http://geometry2006.narod.ru/Didakt10-11/Test1.files/image076.gifсм.

8. Найдите радиус сферы, вписанной в куб с ребром 72 см.

          1) 72 см.

          2) 36 см.

          3) 18 см.

          4) 9 см.

9. Сколько осевых сечений имеет цилиндр?

          1) Одно.

          2) Две.

          3) Четыре.

          4) Бесконечно много.

10. В цилиндре, радиус основания которого равен 20 см и высота равна 15 см, проведена плоскость параллельно оси на расстоянии 12 см от нее. Найдите площадь сечения.

          1) 240 см2.

          2) 300 см2.

          3) 480 см2.

          4) 720 см2.

11. В конусе с высотой 3,45 см и радиусом основания 6 см проведено сечение параллельно основанию на расстоянии 1,725 см от вершины. Найдите площадь сечения.

          1) 3 см2.

          2) 9 см2.

          3) 1,725 см2.

          4) 18 см2.

12. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вращается вокруг прямой AC. Какая фигура получается при этом от вращения точки B?

          1) Окружность.

          2) Круг.

          3) Отрезок.

          4) Точка.

13. Прямоугольная трапеция ABCD с прямыми углами и B вращается вокруг прямой, проходящей через  вершину острого угла и параллельной меньшей боковой стороне. Какая фигура получится при этом от вращения меньшего основания BC?

          1) Круг.

          2) Отрезок.

          3) Две концентрические окружности.

          4) Кольцо.

14. Какое движение оставляет на месте только одну точку?

          1) Параллельный перенос.

          2) Центральная симметрия.

          3) Осевая симметрия.

          4) Зеркальная симметрия.

15. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, не имеющий квадратных граней?

          1) 3.

          2) 4.

          3) 6.

          4) 12.

16. Сколько осей симметрии имеет цилиндр?

          1) 1.

          2) 2.

          3) 4.

          4) Бесконечно много.

Цилиндр. Конус. Шар.

 

№ 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найдите радиус основания цилиндра.

       а)   см;             б)   см;             в)   см;                 г)   см.             

 

№ 2. Площадь осевого сечения цилиндра равна  дм2, а площадь основания цилиндра равна 25 дм2. Найдите высоту цилиндра.

       а)   дм;              б)   дм;                 в)   дм;           г)   дм.             

 

№ 3. Отрезок АВ равен 13 см, точки А и В лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найдите расстояние от отрезка АВ до оси цилиндра, если его высота равна 5 см, а радиус основания равен 10 см.

 

       а)  см;                б)   см;             в)   см;                  г)   см.             

 

№ 4. Длина образующей конуса равна  см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 1200. Найдите площадь основания конуса.

 

       а)   см2;              б)    см2;        в)   см2;              г)   см2.             

                                     

№ 5. Радиус основания конуса  см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.

       а)   см2;          б)    см2;              в)   см2;          г)   см2.             

 

№ 6. Отрезок АВ – хорда основания конуса, которая удалена от оси конуса на 3 см. МО – высота конуса, причем МО =  см, где М – вершина конуса. Найдите расстояние от точки О до плоскости, проходящей через точки А, В и М.

 

       а)  см;                б)  см;              в)  см;              г)  см.             

 

№ 7. Сфера α проходит через вершины квадрата АВСD, сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние от центра сферы – точки О – до плоскости квадрата, если радиус ОD образует с плоскостью квадрата угол, равный 600.

 

       а)  см;              б)  см;              в)  см;            г)  см.             

 

№ 8. Стороны треугольника АВС касаются шара. Найдите радиус шара, если АВ = 8 см,     ВС = 10 см, АС = 12 см и расстояние от центра шара О до плоскости треугольника АВС равно  см.

       а)  см;              б)  см;              в)  см;                    г)  см.             

Объемы тел вращения.

 

№ 1. Отрезок АВ, концы которого лежат на разных окружностях цилиндра, пересекает ось цилиндра под углом 300. Найдите объем цилиндра, если длина отрезка АВ равна  см.

       а)   см3;            б)   см3;       в)   см3;            г)   см3.             

 

№ 2. Объем цилиндра равен 63π см3, а площадь осевого сечения 18 см2. Найдите радиус основания цилиндра. 

       а)   cм;                  б)   cм;             в)   cм;                  г)   cм.             

 

№ 3. Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду АВ основания, образует с  высотой конуса угол 300 и удалена от центра основания на 3 дм. Найдите объем конуса, если длина хорды АВ равна 2 дм.

       а)   дм3;           б)   дм3;      в)   дм3;           г)   дм3.             

 

№ 4. Объем конуса равен  см3. Найдите высоту конуса, если его осевое сечение – равносторонний треугольник

       а)   см;                  б)   см;             в)   см;               г)   см.             

                                     

№ 5. На поверхности шара даны три точки: А, В и С такие, что АВ = 8 см, ВС = 15 см, АС = 17 см. Центр шара – точка О находится на расстоянии  см от плоскости, проходящей через точки А, В и С. Найдите объем шара.

       а)   см3;         б)   см3;         в)   см3;          г)   см3.             

 

№ 6. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 см и см, вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите объем фигуры вращения.

       а)   см3;              б)   см3;        в)   см3;        г)   см3.             

 

№ 7. Чугунное ядро радиусом 1 дм переплавили в равновеликий конус, образующая которого  дм. Найдите высоту конуса, если она не менее 1 дм.

 

       а)   дм;               б)   дм;               в)   дм;                  г)   дм.             

 

№ 8. В углу комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, лежит шар объемом 36π дм3, который касается трех граней этой комнаты, имеющих общую точку. Найдите расстояние от центра шара до этой точки (вершины угла комнаты).

 

       а)   дм;             б)   дм;             в)   дм;            г)   дм.             

 

 


 

Методические указания к самостоятельной работе студента

 

 

Целевые направления  самостоятельной  работы студентов

 

1.Для овладения и углубления знаний:

- составление различных видов планов и тезисов пот тексту;

- конспектирование текста;

- создание презентации.

2. Для закрепления  знаний:

- работа с конспектом лекции;

- повторная работа с учебным материалом;

- составление плана ответа;

- составление различных таблиц.

3. Для систематизации учебного  материала:

- подготовка ответов на контрольные вопросы;

- аналитическая обработка текста;

- подготовка сообщения, доклада;

- тестирование;

- составление кроссворда;

- формирование плаката;

- составление памятки.

4 .Для формирования практических и профессиональных умений.

-решение задач и упражнений по образцу;

-решение ситуативных и профессиональных задач;

 

Приёмы самостоятельной работы студентов.

 

1. Работа с учебником.

Для обеспечения максимально возможного усвоения материала и с учётом индивидуальных особенностей студенов, можно предложить им следующие приёмы обработки информации учебника:

- конспектирование;

- составление плана учебного текста;

- тезирование;

- аннотирование;

- выделение проблемы и нахождение путей её решения;

- самостоятельная постановка проблемы и нахождение в тексте путей её решения;

- определение алгоритма практических действий (план, схема).

2. Опорный конспект.

      Опорный конспект необходимо давать на этапе изучения нового материала, а потом использовать его при повторении.

Опорный конспект позволяет не только обобщать, повторять необходимый теоретический материал, но и даёт  педагогу огромный выигрыш во времени при прохождении материала.

 

3. Тесты

        Основное достоинство тестовой формы контроля – это простота и скорость, с которой осуществляется первая оценка уровня обученности по конкретной теме, позволяющая, к тому же, реально оценить готовность к итоговому контролю в иных формах и, в случае необходимости, откорректировать те или иные элементы темы.

4.Семинар

Форма проведения семинара очень гибкая.

На семинарах решаются следующие задачи:

- углубление, конкретизация и систематизация знаний, полученных студентами на предшествующих этапах учёбы;

- развитие навыков самостоятельной работы

- ознакомление со спецификой работы с литературой;

- профессиональное использование знаний в учебных условиях.

Типы проведения семинарских занятий:

- вопросно-ответный семинар;

- развёрнутая беседа на основе заранее данного студентам плана, обсуждение письменных рефератов;

- заслушивание устных докладов студентов с последующим их обсуждением;

- семинар – диспут;

- теоретическая конференция;

- семинар – имитационная игра;

- комментированное чтение первоисточников.

 

5. Задачное обучение.

- практико-ориентированные задачи:  выступают средством формирования у студентов системы интегрированных умений и навыков, необходимых для освоения профессиональных компетенций. Это могут быть ситуации, требующие применения умений и навыков, специфичных для профессии педагога (знания содержания предмета), ситуации, требующие организации деятельности, выбора её оптимальной структуры (организация детского коллектива, принципы организации занятий с детьми и т.п), личностно-ориентированных ситуаций (нахождение нестандартного способа решения).

- профессиональные задачи: выступают средством формирования у студентов умений определять, разрабатывать и применять оптимальные методы решения профессиональных задач. Они строятся на основе ситуаций, возникающих на различных уровнях осуществления практики и формулируются в виде производственных поручений (заданий).

Задачное обучение способно обеспечить целенаправленное, поэтапное формирование и контроль сформированности необходимых профессиональных компетенций.

 

Правила работы с книгой

 

При работе с книгой необходимо подобрать литературу, научиться правильно ее читать, вести записи. Для подбора литературы в библиотеке используются алфавитный и систематический каталоги.

Важно помнить, что рациональные навыки работы с книгой - это всегда большая экономия времени и сил.

Правильный подбор учебников рекомендуется преподавателем, читающим лекционный курс. Необходимая литература может быть также указана в методических разработках по данному курсу.

Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного уяснения предыдущего, описывая на бумаге все выкладки и вычисления (в том числе те, которые в учебнике опущены или на лекции даны для самостоятельного вывода).

При изучении любой дисциплины большую и важную роль играет самостоятельная индивидуальная работа.

Особое внимание следует обратить на определение основных понятий курса. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. Нужно добиваться точного представления о том, что изучаешь. Полезно составлять опорные конспекты. При изучении материала по учебнику полезно в тетради (на специально отведенных полях) дополнять конспект лекций. Там же следует отмечать вопросы, выделенные студентом для консультации с преподавателем.

Выводы, полученные в результате изучения, рекомендуется в конспекте выделять, чтобы они при перечитывании записей лучше запоминались.

Опыт показывает, что помогает составление листа опорных сигналов, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы и понятия. Такой лист помогает запомнить формулы, основные положения лекции, а также может служить постоянным справочником для студента.

Различают два вида чтения; первичное и вторичное. Первичное - эти внимательное, неторопливое чтение, при котором можно остановиться на трудных местах. После него не должно остаться ни одного непонятного олова. Содержание не всегда может быть понятно после первичного чтения.

Задача вторичного чтения  полное усвоение смысла целого (по счету это чтение может быть и не вторым, а третьим или четвертым).

 

Основные виды систематизированной записи прочитанного:

 

1.                  Аннотирование – предельно краткое связное описание просмотренной или прочитанной книги (статьи), ее содержания, источников, характера и назначения;

2.                  Планирование – краткая логическая организация текста, раскрывающая содержание и структуру изучаемого материала;

3.                  Тезирование – лаконичное воспроизведение основных утверждений автора без привлечения фактического материала;

4.                  Цитирование – дословное выписывание из текста выдержек, извлечений, наиболее существенно отражающих ту или иную мысль автора;

5.                  Конспектирование – краткое и последовательное изложение содержания прочитанного.

Конспект – сложный способ изложения содержания книги или статьи в логической последовательности. Конспект аккумулирует в себе предыдущие виды записи, позволяет всесторонне охватить содержание книги, статьи. Поэтому умение составлять план, тезисы, делать выписки и другие записи определяет и технологию составления конспекта

 

Методические рекомендации по составлению конспекта:

 

1.                  Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные данные на поля конспекта;

2.                  Выделите главное, составьте план;

3.                  Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте аргументацию автора;

4.                  Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи следует вести четко, ясно.

5.                  Грамотно записывайте цитаты. Цитируя, учитывайте лаконичность, значимость мысли.

В тексте конспекта желательно приводить не только тезисные положения, но и их доказательства. При оформлении конспекта необходимо стремиться к емкости каждого предложения. Мысли автора книги следует излагать кратко, заботясь о стиле и выразительности написанного. Число дополнительных элементов конспекта должно быть логически обоснованным, записи должны распределяться в определенной последовательности, отвечающей логической структуре произведения. Для уточнения и дополнения необходимо оставлять поля.

Овладение навыками конспектирования требует от студента целеустремленности, повседневной самостоятельной работы.

 

 

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ СООБЩЕНИЙ

 

ü  Текст сообщения распечатать на бумаге формата А4.

ü  По всем сторонам листа оставить поля от края листа. Размеры: левого поля - 20 мм; правого поля - 10 мм; верхнего поля - 15 мм; нижнего поля - 15 мм.

ü  Использовать шрифт Times New Roman. Цвет шрифта должен быть чёрным, кегль – 12 пт. Можно использовать компьютерные возможности акцентирования внимания на определённых терминах, применяя различные способы начертания.

ü  Заголовки следует располагать в середине строки без точки в конце и печатать прописными буквами, не подчеркивая.

ü  Для абзацев, не являющихся заголовками, установить отступ первой строки на 12,5 мм и выравнивание – по ширине. Расстояние между абзацами – 3 пт.

ü  Если в сообщении более одной страницы, то страницы следует нумеровать арабскими цифрами.

ü  Обязательно напечатать список использованных источников (название статей, сайтов, или др.  и адреса Web-страниц). В сообщении должны быть ссылки на используемую литературу.

ü  Не забудьте подписать сообщение (указать фамилию, имя учащегося, подготовившего сообщение).

 

 Основное требование к содержанию: сообщение должно быть информативно и интересно для большинства  студентов.

 

Требования к докладам и докладчикам

 

Доклады, с которыми студенты выступают на семинарских занятиях, дают возможность разнообразить формы и содержание занятий, учитывая особые интересы студентов и не ограничиваясь тематическими рамками, установленными программой учебной дисциплины. Доклады позволяют студентам реализовать свои способности к самостоятельным научным исследованиям и творчеству.

Доклады представляют собой устные сообщения продолжительностью до 10 минут.

Доклад готовится по собственной инициативе студента, т.е. никто не обязывается к выступлению с докладом, но всякий имеет право предложить своё выступление вниманию студенческой группы и преподавателя.

Тему доклада студент определяет сам, исходя из собственных научно-исследовательских интересов. Разумеется, тема должна соответствовать изучаемой дисциплине.

При подготовке доклада следует ознакомиться с литературой по избранной теме. Основными источниками должны служить научные статьи и монографии, написанные компетентными авторами и опубликованные в научных и научно-популярных изданиях. Могут быть использованы также статьи из словарей и энциклопедий. Не рекомендуется воспроизводить в докладах тексты из учебных пособий (учебники служат для подготовки обычных уроков, а не исследовательских работ).

Недопустимо использование для доклада чужих рефератов, которых в Интернете имеется великое множество. Нельзя также составлять доклад из фрагментов чужих статей и монографий.

Умение студента прочитать вслух перед аудиторией чужие тексты, скачанные из Интернета или отсканированные, не заслуживает положительной оценки. На такие «доклады» не стоит тратить учебное время.

Во избежание плагиатов, выдаваемых за самостоятельно подготовленные доклады, тексты докладов или их аннотации будут подвергаться предварительному просмотру преподавателем. ,

Автор доклада должен показать актуальность избранной темы, сформулировать цель и задачи своего исследования, т.е. кратко объяснить, что и зачем он, собственно, хочет сказать, а в завершение своей речи он должен сделать выводы и обобщения. К тексту доклада следует приложить список использованной литературы. Автор доклада должен позаботиться о том, чтобы его слушатели могли понять, в чём заключается его самостоятельная работа.

Успех и оценка доклада в немалой степени зависят от того, насколько он окажется интересным для аудитории, сможет ли он вызвать живую дискуссию.

 

Требования к оформлению мультимедийных презентаций

 

Создавая презентацию, всегда думайте о тех, для кого она создается.

Каждый слайд должен иметь простую, понятную структуру и содержать текстовые или графические элементы, несущие в себе зрительный образ как основную идею слайда.

Цепочка образов должна полностью соответствовать логике. Такой подход способствует хорошему восприятию материала и воспроизведению в памяти представленного содержания посредством ассоциаций.

Используйте короткие слова и предложения. Минимизируйте количество предлогов, наречий, прилагательных.

Заголовки должны привлекать внимание (но не занимать все место и не отвлекать).

Текст, таблицы, диаграммы, схемы в презентациях

Для того чтобы ваша презентация имела успех, следует соблюдать ряд требований по ее оформлению.

• Предпочтительно горизонтальное расположение материала.

• Наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана.

• При выборе цветового оформления слайдов презентации следует учитывать тот факт, что мультимедийные проекторы проецируют изображение на экран по-разному: светлее, чем оно есть на самом деле или темнее.

• На одном слайде рекомендуется использовать не более четырех цветов: один для фона, один-два для заголовков и один-два для текста. Достигайте сочетаемости цветов.

Для фона лучше использовать светлые тона. Цвет и размер шрифта, оформление шаблона должны быть подобраны так, чтобы все надписи читались.

Выбор размера шрифта на слайде определяется, исходя из нескольких условий:

• размера помещения и максимальной удаленностью зрителей от экрана;

• освещенности помещения и качества проекционной аппаратуры.

Текст должен читаться из самой дальней точки помещения, где происходит демонстрация.

Примерные рекомендуемые размеры шрифтов (с учетом демонстрации презентации в маленьком учебном классе):

• заголовок – 22-28 pt;

• подзаголовок – 20 -24 pt;

• текст – 18 - 22 pt;

• подписи данных в диаграммах – 18 - 22 pt;

• шрифт легенды – 16 - 22 pt;

• информация в таблицах – 18 -22 pt.

Помните, чем больше помещение и удаленнее зрители (ученики) от экрана, тем крупнее должен быть шрифт.

Наименьшую высоту буквы (h), проецируемой на экран, можно рассчитать по формуле: h = 0, 003D, где D – расстояние от учащихся, сидящих за последними столами кабинета, до экрана.

Не рекомендуется смешивать разные типы шрифтов. Нельзя злоупотреблять прописными буквами, т.к. они читаются хуже.

Количество текста на слайде регулируется с учетом назначения самой презентации и категории людей, на которых она рассчитана. (Чем младше дети, тем меньше информации на слайде должно быть).

• С точки зрения эффективного восприятия текстовой информации, один слайд в среднем должен содержать 7 - 13 строк. На слайде следует располагать список не более чем из 5-6 пунктов, в каждом из которых – не более 5-6 слов.

Текстовая информация на слайде отражает цель и содержание урока (лекции, воспитательного мероприятия). С точки зрения содержания, текст на слайде - это определения, выводы, формулы, перечень объектов и пр. Как правило, один слайд – одна идея.

• Если вы используете таблицы на слайдах, то текстовая информация в ней должна хорошо читаться. Поэтому размер шрифта определяется в соответствии с требованиями к тексту, представленными выше. Следует отметить, что шрифт таблицы, может быть на 1-2 пункта меньше, чем основной текст на слайде.

• Одну таблицу можно разместить на нескольких слайдах (с сохранением заголовков) во избежание мелкого шрифта

• Таблица в презентации может стать более наглядной, если использовать приемы выделения цветом отдельных областей таблицы.

• Размер и вид используемой диаграммы на слайде определяется в соответствии с требованиями эффективного восприятия наглядной и текстовой информации.

• С точки зрения восприятия графических объектов, на одном слайде рекомендуется размещать не более 3-х круговых диаграмм.

• Тип диаграммы должен соответствовать типу отображаемых данных.

• Данные и подписи не должны накладываться друг на друга и сливаться с графическими элементами диаграммы.

• Если при форматировании слайда есть необходимость пропорционально уменьшить размер диаграммы, то размер шрифтов должен быть увеличен с таким расчетом, чтобы текстовая информация читалась.

• Таблицы и диаграммы лучше размещать на светлом или белом фоне.

• При демонстрации таблиц и диаграмм уместно последовательное появление текстовой информации, что достигается с помощью настроек анимационных эффектов. При этом следует придерживаться следующих правил: единство стиля подачи материала; удобство восприятия текстовой и наглядной информации.

• Если вы используете схемы, то на одном слайде рекомендуется размещать не более одной схемы.

• Схема располагается в центре слайда, заполняя всю его площадь.

• Количество элементов на схеме определяется, с одной стороны, ее назначением, а с дугой – элементарным правилом «разумности» с точки зрения зрительного восприятия.

• Текстовая информация в схеме должна хорошо читаться. Поэтому размер шрифта определяется в соответствии с требованиями к тексту, представленными выше.

• При выборе цветовой гаммы и конфигурации объектов схемы помните, что схема – это наглядный образ содержания. Внешний вид схемы должен гармонично сочетаться с другими слайдами презентации.

Рисунки, фотографии

Общие требования к использованию рисунков и фотографий на слайдах:

• разумное дозирование количества фотографий и рисунков в презентации и на одном слайде (как правило, это 3-5 изображений для иллюстрации одной идеи);

• размещение фотографий и рисунков на слайде должно отвечать общим дизайн-эргономическим требованиям экранного представления информации;

• для облегчения «веса презентации», т.е уменьшения объема файла фотографии рекомендуется представлять в сжатом виде;

• все рисунки должны быть подписаны; подпись располагается снизу.

Анимации и эффекты

Одна из самых привлекательных особенностей презентации – конечно, интерактивность, что обеспечивается различными анимационными эффектами.

При создании презентации педагогу важно помнить:

· Увиденное сначала предстает перед нами как образ – мы реагируем на поведение объекта (движение, изменение формы и цвета), выделяем размер, цвет, форму, а затем обращаем внимание на содержание.

· Понимание закономерностей восприятия, грамотное, планомерное использование приемов анимации – это залог повышения эффективности восприятия материала, представленного в презентации.

· С помощью анимации создается модель какого-либо процесса, явления, наглядного решения задачи, последовательности выполнения каких-либо действий, ответов на вопросы и т.д.

· Не следует увлекаться анимациями, помня о том, что важен не внешний эффект, а содержание информации.

Планируя и оценивая презентацию, помните: анимации и эффекты – только к месту.

 

 


Литература

 

Основные источники:

 

1.      Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11-в 2 частях,  –М.:Мнемозина, 2009.

2.      Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 -11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни, - 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009.

3.      Александрова Л.А. Алгебра-и-начала-математического-анализа10. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений; под ред. А.Г. Мордковича.- 4-е изд., испр. и доп. –М.:Мнемозина, 2008.

4.      Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс, - 10-е изд. – М.: Просвещение, 2009.

5.      Дудницын Ю.П. Контрольные работы по геометрии: 10 класс: к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2009.

6.      Глазков Ю.А. Тесты по геометрии: 10 класс: : к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2012.

 

Дополнительные источники:

 

1.      Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2008.

2.       Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл.   – М., 2010.

3.      Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М.,  2010.

4.      Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2010.

5.      Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М.,  2010.

6.      Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2010.

 

Периодические издания:

 

1.             Журнал «Математика и логика»

2.             Журнал «Журнал вычислительной математики и математической физики»

 

Интернет-ресурсы:

 

1. Единое информационно-образовательное пространство колледжа NetSchool. Форма доступа: http://sgtek.ru

2.      http://www.riis.ru/PS/inet-class.html – Internet-класс по высшей математике: Вся математика, от пределов и производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и проверки статистических гипотез в среде самых популярных математических пакетов

3.      http://www.exponenta.ru/educat/class/class.asp – Образовательный математический сайт «Экспонента»

4.      http://www.edunews.ru/task/pre_c_math.htm – Государственное централизованное тестирование. Тест по математике

5.      http://matembook.chat.ru/ – Математика, высшая математика, алгебра, геометрия, дискретная математика

6.       http://www.homebook.narod.ru/index.html – Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ, дискретная математика, дифференциальные уравнения)

7.       http://mathem.h1.ru/ – Математика on-line. В помощь студенту. Основные математические формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, высшей математике, исторические данные

8.       http://www.helen.ukrbiz.net/index.htm – Контрольные работы по математике

9.       http://www.history.ru/progmath.htm – Обучающие программы по математике

10.  http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/, http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/ – Онлайн-учебник по высшей математике (1-ый и 2-ой семестры)

11.   http://www.mozg.ru/g3/rating/catalog – Каталог тестов

12.   http://www.allmath.ru/ – Математический портал

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса (специальность 09.02.03. Программирование в компьютерных системах"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 6 месяцев

Менеджер по управлению сервисами ИТ

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Учебное пособие содержит  указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по «Математика», являющейся базовой дисциплиной. Методические указания составлены  в соответствии с рабочей программой  по дисциплине «Математика»и предназначены для студентов 1-го курса, обучающихся по специальности 09.02.03.    Программирование в компьютерных системах

содержание:

Введение

Содержание самостоятельной внеаудиторной работы

Задачи профильной направленности

Ответы к задачам

Тесты для самоконтроля  по темам

Методические указания к самостоятельной работе студента

Литература

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 664 075 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 06.12.2014 2543
    • DOCX 19 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Евдокимова Марина Дмитриевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Евдокимова Марина Дмитриевна
    Евдокимова Марина Дмитриевна
    • На сайте: 9 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 6
    • Всего просмотров: 142797
    • Всего материалов: 57

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Няня

Няня

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в сфере начального общего образования

Учитель математики в начальной школе

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3650 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 127 человек из 43 регионов
  • Этот курс уже прошли 180 человек

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 203 человека из 54 регионов
  • Этот курс уже прошли 1 515 человек

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3650 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 29 человек из 17 регионов
  • Этот курс уже прошли 97 человек

Мини-курс

Детско-родительские отношения: эмоциональный аспект

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 34 человека из 21 региона

Мини-курс

Введение в инвестиции и инвестиционный процесс

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 26 человек из 13 регионов

Мини-курс

Стратегия продаж и продуктовая линейка: успех в современном бизнесе

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе