AZƏRBAYCAN RESPUBLİKASI TƏHSİL NAZİRLİYİ

 

 

NURLAN QULIYEVA

 

 

Azərbaycan Respublikası Təhsil

Nazirliyinin 26.12.2011-ci il tarixli 2172 saylı əmrinə əsasən metodik vəsait kimi təsdiq edilmişdir.

 

 

Riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisi metodikası

 

(Düşüncənin riyazi dili)

 

 

 

          * Riyaziyyat        * Konstruktiv təlim     * Bədii-elmi hekayələr         * Elmi məqalə

 

 

 

 

 

 

Bakı – “MBM” –  2012

2                                                                              Nurlan Quliyeva

 

Elmi redaktor:              N.L.Nəsrullayev           

Gəncə Dövlət Universitetinin əməkdaşı

f.-r.e.n.  

 

Rəyçilər:                      A.S.Adıgözəlov 

Azərbaycan Dövlət Pedaqoji Universitetinin əməkdaşı, prof.   

 

S.A.Mənsimov 

Təhsil Problemləri İnistitunun əməkdaşı, 

f.- r.ü.f.d. 

 

A.K.Kərimov 

Göygöl rayon Təhsil Şöbəsinin əməkdaşı,

riyaziyyat müəllimi

 

F.D.Bünyatova 

İdrak məktəbinin direktoru

 

Kompyuter və dizayn: N.S.Quliyeva Bakı, “MBM”- 2012, 132 səh.

 

 

Kitab riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisinə aid metodik göstərişlərdən, dərs nümunələrindən və riyazi anlayışların bədiiləşdiyi elmi hekayələrdən ibarətdir. Müəllif, vəsaitdə riyaziyyatın həyatadakı rolunu göstərməklə, elmi həyatiləşdiməyə, yaradıcı öyrənmənin mahiyyətini açmağa çalışmışdır. Kitabdakı tövsiyyələr elmin anlam yolu ilə qavranılması üçün yaradıcı təfəkkürün formalaşmasına xidmət edir. Metodik vəsait orta məktəb şagirdləri, tələbələr və müəllimlər üçün nəzərdə tutulmuşdur. 

 

 

© Nurlan Quliyeva, 2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Elmi redaktordan

 

Metodik vəsait riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisinə həsr olunmuş, konstruktivizm nəzəriyyəsinin prinsiplərinə əsasən işlənmişdir. Kitabda təfəkkürü inkişaf etdirən riyaziyyat elmi ilə idrakı proseslərə əsaslanan konstruktiv təlimin uğurlu vəhdəti yaranmışdır. 

Kitab üç bölümdən ibarətdir. “Riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisi metodikası” adlanan kitabın birinci bölümü metodiki araşdırmalardan və konstruktiv təlimlə tədris olunmuş riyaziyyat dərslərindan ibarətdir. Buradakı metodiki araşdırmalar müəllim işini istiqamətləndirmək üçün nəzərdə tutulmuşdur. Nümunələrdəki mövzular ətrafında aparılan araşdırmalar isə dərsləri genişləndirərək mövzu ilə bağlı fəsli əhatə edərək yeni bilikləri yaradır. Kitabdakı araşdırmaların maraqlı cəhətlərindən biri sualların qoyuluşunda və cavabların  məntiqli olmasındadır ki, bu da öz növbəsində yaradıcı təfəkkürdə gələcək bilikləri də yaradır. 

Fikirlərimi müəllifin konstruktiv təlimlə tədris etdiyi “Xətti funksiya və onun qrafiki” mövzusu üzərində aydınlaşdırmaq istəyirəm. Müəllif mözunun tədrisi zamanı xətti funksiyanı qüvvət funksiyası şəklində göstərir. 

 

 

 Şagirdlər qüvvət üstünü dəyişməklə xətti funksiyadan gələcəkdə tədris olunacaq silsilə funksiyalar alırlar və onlar haqqında müəyyən mülahizələr söyləyirlər. Sonda isə

xətti funksiyanı iqtisadiyyata-bazara tətbiq etməklə elmlə həyatı əlaqələndirirlər.

 “Düşüncənin riyazi dili” adlanan ikinci bölüm riyazi hekayələrdən ibarətdir. Burada müəllif riyazi qanunauyğunluluqları obrazlara çevdiyi riyazi anlayışların dilindən izah edir. Zənnimcə, riyaziyyatın müxtəlif sahələrinə aid olan  bu cür elmi hekayələr təfəkkürün inkişafında müstəsna rol oynaya bilərlər.

 Üçüncü bölümdə isə gənc mütəxəssisin təcrübi mülahizələrini, nəzəri qənaətlərini özündə əks etdirən elmi məqaləsi yer almışdır.

Ümumiyyətlə, kitabdakı bütün mövzulada riyaziyyatı həyatın və elmin müxtəlif sahələri ilə birləşdirən, yaradıcı öyrənməyə təkan verən riyazi və məntiqi suallar, düşündürücü cavablar vardır. 

Fikrimcə, riyaziyyat dərslərinin konstruktiv təlimlə tədrisi riyazi təfəkkürün inkişafında və şagirdin şəxsiyyət kimi formalaşmasında mühüm rol oynadığından kitab təhsil islahatlarına uyğundur və müəllifin fikirləri təqdirəlayiqdir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GİRİŞ

 

Təhsil ölkənin beynəlxalq aləmdə rolunu müəyyən edən əsas amillərdən  biridir. Dövlətin maddi-mənəvi dəyərlərinin və strateji gücünün göstəricisidir. 

Müasir təhsildə Amerika və inkişaf etmiş Avropa ölkələrinin yaradıcı öyrənməyə əsaslanan pedaqoji texnologiyalarının xüsusi rolu vardır. Yeni pedaqoji texnologiyalar, İKT–nin inkişafı, informasiya cəmiyyətinin formalaşması zamanla tədrisin forma və məzmununu dəyişir. Təhsil genişlənərək bəşəri xarakter alır və dünya evində yeni təhsil sistemi yaradır. Bu sistemdə yer tutmaq üçün ölkəmizdə təhsil islahatları aparılır. İslahatların əsas məqsədlərindən biri ənənəvi yaddaş məktəbini təfəkkür məktəbinə çevirməkdir. 

Təfəkkürə əsaslanan pedaqoji texnologiyalardan biri konstruktiv təlimdir. Konstruktiv təlimin əsasında konstruktivizm nəzəriyyəsi durur (Konstruktivizm - konstruktor sözündən götürülüb. “Yaradıcı öyrənmə” deməkdir. Müəllifi Aleksandr Mixalevic Kandır). Nəzəriyyə şüurla bağlı olan psixologiyadan, təhsilə dair təqdiqatlardan, nevrologiya elmindən qidalanır. Təhsildə fərdi yanaşmanı üstün tutur. Konstruktivizm nəzəriyyəsinin əsaslandığı sosial  və koqnitiv (idraka əsaslanan) fərziyyələr öyrənmədə mühüm rol oynayır və öyrənmə nəzəriyyəsi kimi qəbul olunmuşdur. Bu metoda görə, tədris zamanı sinifdə müəllim yox, şagird əsas götürülür və sərbəst düşünmə şagird təfəkkürünü inkişaf etdirir. 

Ümumiyyətlə, pedaqoji texnologiyalar çoxdur və onların hər birinin öz məqsədi və istiqaməti vardır. Mən tədrisdə konstruktivizm nəzəriyyəsinə əsaslanan və məntiqi bilik strukturları Fatma xanım Bünyatova tərəfindən işlənmiş konstruktiv təlim metoduna üstünlük verir, dərslərimi  konstruktiv təlimlə tədris edirəm. Mövzuları düzgün planlaşdırdıqda metodun prinsipləri ilə riyaziyyatın qanunauyğunluluqları üst-üstə düşdür. Belə ki, riyazi baxımdan mövzunu anlayıb başa düşmək, onu biliyə çevirərək tapşırıqları həll etmək üçün güclü təsəvvürə malik olmaq, xəyalında canlandırdığın obyekt haqqında mühakimə yürütmək, faktları dəqiqləşdirib mövzuya tətbiq etmək lazımdır. Bu isə konstruktiv nəzəriyyəsinin əsaslandığı konqnitiv (idraka əsaslanan) nəzəriyyənin, öyrənmək, qabaqcadan xəbər vermək, araşdırmaq, yaratmaq, təhlil etmək kimi prinsiplərinə uyğundur. Digər tərəfdən riyaziyyat fənni öz daxilində idraka əsaslanan elmdir və onun özülü qədimdən  yaradıcılıq üzərində qurulmuşdur. 

Mən “Riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisi metodikası” adlandırdığım bu kitabı yazmaqla konstruktiv təlimin mahiyyətini açmaq, riyaziyyat fənninin tədrisində metodun üstün cəhətlərini göstərmək istəmişəm. “Yaradıcı öyrənmə” prinsipinə əsaslanan konstruktiv təlim riyaziyyat elmini yaratmır. Müəllim dərsə yaradıcı yanaşdıqda şagirdlərin yaradıcılıq qabuliyyəti üzə çıxır. Onlar idraka əsaslanaraq yeni biliklərini yaradır və onu həyatla əlaqələndirərək biliyin həyatdakı yerini müəyyənləşdirirlər. Mövzulararası və fənlərarası bağlılıqdan istifadə edib gələcəkdə öyrənəcəkləri mövzular haqqında fikir söyləyirlər. 

“Riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisi metodikası” adlandırdığım birinci fəsildə “Həqiqi ədədlər”, “Tənlik”, “Bərabərsizlik”, “Törəmə”, “İnteqral”, “Komplaks ədədlər”, “Funksiya” və “İbtidai sinif” adlı bölmələr vardır. Hər bölmə adını daşıdığı sahə ilə bağlı qısa məlumatlardan, metodiki araşdırmalardan və dərs nümunələrindən ibarətdir. 

İkinci bölüm “Düşüncənin riyazi dili” adlanır. Burada obrazları riyaziyyatdan olan elmi hadisələr bədiiləşmişdir. 

Üçüncü bölümdə isə müəllifin  maraqlı elmi məqaləsi verilib.

 

 

 

I B Ö L Ü M

 

RİYAZİYYATIN KONSTRUKTİV

 TƏLİMLƏ TƏDRİSİ METODİKASI

 

§ 1. Həqiqi ədədlər

 

1.1. Həqiqi ədədlər

 

Riyaziyyat dərslərinin uğurlu alınması şağirdlərin baza biliklərindən, müəllimlərin yeni təlim texnologiyalarından və texnologiyalardan istifadə etmə bacarıqlarından asılıdır. 

Yeni təlim texnologiyalarından olan konstruktiv təlim yaradıcı təfəkkürün formalaşması, biliklər bazasının yaradılması üçün bir metodikadır. O həmçinin idraka əsaslanaraq bazaya görə, yeni biliklərin düşünülmüş çəkildə qavranılmasına, təfəkkürdə gələcək biliklin yaradılmasına xidmət edir. 

Fikirlərimi VI sinifdə tədris etdiyim “Ən böyük ortaq bölən” mövzusu üzərində aydınlaşdırmaq istəyirəm. Məncə, bu mövzunu tədris etməzdən əvvəl fənn və metodun tələblərini nəzərə alaraq natural ədədlər, ədədlərin bölünmə əlamətləri, sadə və mürəkkəb ədədlər, ədədin sadə vuruqlara ayrılması və ədədin bölənlərinin sayının tapılması qaydasını mənimsətmək lazımdır. 

 

Natural ədədlər

 

“Ədəd” sözü yunan sözü olan “artimos” sözündən götürülmüşdür. Hesabla-ədədlər haqqındakı elmlə bağlı yaranmışdır. 

“Rəqəm” sözü (ərəbcə “sıfır”) əsl mənası “boş yer” olan (həmin mənanı verən “sunya sanskrit” sözünün tərcüməsidir) ərəb sözündən götürülmüşdür.

Əşyaları saymaq üçün və ya eyni növ əşyaların sıra nömrəsini göstərmək üçün istifadə olunan ədədlərə natural ədədlər deyilir.

Natural sıra natural ədədlər çoxluğunu yaradır. Natural ədədlər çoxluğu N ilə işarə olnur. Çoxluq 1-dən başlayır və sonsuzdur.

 

Qeyd. Evklid (eramızdan əvvəl III əsr) natural ədədə “vahidlərdən ibarər çoxluq kimi” tərif verirdi.

Onluq say sisitemində natural ədəd mərtəbə toplananlarının cəmi 

 

kimi yazılır.

 

Bölünmə əlamətləri

 

1)     Yalniz sonu sıfır və ya cüt rəqəmlə qurtaran natural ədədlər 2-yə bölünür.

2)     Yalnız sonu sıfır və ya beş rəqəmi ilə qurtaran natural ədədlər 5-ə bölünür.

3)     Yalnız sonu sıfırla qurtaran natural ədədlər 10-a bölünür.

4)     Verilmiş ədəddin yalnız son iki rəqəminin yazıldığı ardıcıllıqla əmələ gətirdiyi ədəd, 4-ə (25-ə) bölünürsə və ya hər ikisi sıfırdırsa, bu ədəd özü 4-ə (25-ə) bölünür.

5)     Rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünən ədəd 3-ə bölünür. 6) Rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünən ədəd 9-a bölünür.

 

 

 

Natural ədədin sadə vuruqlarına ayrılması

 

Yalnız özünə və vahidə bölünən natural ədədə sadə ədəd deyilir.

Məsələn: 2,3,5,...

İkidən çox böləni olan natural ədədə mürəkkəb ədəd deyilir.

Məsələn: 4, 8, 36,...

1 nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir.

Ədədin sadə vuruqların hasili şəklində göstərilməsinə onun sadə vuruqlarına ayrılması deyilir.

Məsələn:  

Ədədin bölənlərinin sayının tapılması üçün ədədin sadə vuruqlarına ayrılışındakı hər bir müxtəlif sadə vuruqların sayının üzərinə bir əlavə edib cəmləri vurmaq lazımdır. 

Məsələn:  şəklində sadə vuruqlarına

ayrılmış ədədin bölənlərinin sayı aşağıdakı kimi tapılır.

 

İki və daha çox ədədi bölən ən böyük bölənin tapılması “Ən böyük ortaq bölən – VI sinif” mövzusunda ətraflı izah edilmişdir. 

 və  natural ədədlərinin ən böyük ortaq böləni

 

kimi işarə edilir.

Ən kiçik ortaq bölünən  və  ədələrinə bölünən ən

kiçik natural ədəddir. 

İki ədədin ən kiçik ortaq bölünənini tapmaq üçün

1)               Bu ədədlər sadə vuruqlarına ayrılır;

2)               Birinci ədədin ayrılışı götürülür və ikinci ədədin ayrılışındakı birincidə olmayan vuruqlar birinciyə vuruq kimi əlavə edilir.

3)               Hasil tapılır.

Ən kiçik ortaq bölən  kimi yazılır.

 üçün aşağıdakı qaydalar

doğrudur.

       

  

  

2)   

3)   

 

 

 

 

 

 

1.2. Ən böyük ortaq bölən – VI sinif

 

 Mövzunu konstruktiv təlimlə tədris etməyi planlaşdırmışdım. Dərsin birinci hissəsində mövzu ətrafında axtarış apardıq. 

Dərsə mövzunun adının araşdırmaqla başladıq. İlk sualım belə oldu.

Sual.  Bölən nədir? Siz bu riyazi anlayışı neçə başa düşürsünüz?  

Cavab:                                              

1)     Natural ədədi qalıqsız bölən ədədə onun böləni deyilir.

2)     Bölən bölmənin kompanentlərindən biridir ( yazılışında  bölünən,  bölən,  qismətdir).

3)     Bölən ədədin neçə yerə bölündüyünü göstərir.

4)     Hasil və vuruqlardan biri məlum olduqda o biri vuruğu tapmaq üçün hasilin bölündüyü ədəd böləndir.  

Şagirdlərin cavablarını dinləyərək onların bölən haqqında anlayış və bilkilərinin çərçivəsini öyrəndim. Bu anlam və biliyin inkişafı üçün növbəti tapşırığım belə oldu:

Tapşırıq. Ədədlər fikirləşin və onların bölənlərini tapın.

Cavab. 

             

              

              

Cavablardan sonra onlara belə bir tapşırıq  verdim: 

Tapşırıq. Ədədlərin ortaq bölənlərini göstərin.                 

    Cavab. 

             12/ 1, 2, 3, 4, 6, 12

             24/ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

             36/ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 36

Məqsədə çatmaq üçün bölənlərdən ən böyüyünü tapmağı tapşırıram. 

Tapşırıq. Ortaq bölənlərin ən böyüyünü tapın. 

Müzakirədən sonra belə bir qərara gəlirik ki, ən böyük ortaq bölən 12-dir və ən kiçiyi 1-dir. Burada mən belə bir şərh verirəm. 1 bütün ədədlərin ortaq bölənidir və o hər bir ədəddə vardır. 

Ədədlərin vahidə hasili və nisbəti özünü verir. 

Məsələn.   

Sual. Ədədlərin bölənlərinə diqqətlə baxdıqda bölənlər sizə nəyi xatırladır? Onlara hansı cədvəldə rast gəlmək olar.

       

               

               

Cavab. Vurmanı – bölənləri uyğun qruplaşdırıb vurduqda vurma cədvəli alınır.  cütlərinin hasili ,   cütlərinin hasili ,   cütlərinin hasili  ve-

rir.

Tapşırıq. 

      Şifahi        və          ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini

tapaq. 

            ·                  ·           

Cavab. Ortaq vuruq  dir. 

 Şagirdlər bu tapşırıqdan sonra aşağıdakı ədədlərin şifahi ortaq bölənini tapdılar.  və  in ən böyük ortaq böləni  dir.  in ən böyük ortaq böləni  dir.

33 və 11 in ən böyük ortaq böləni  dir.

Dərsi müxtəlif tip misalların həlli ilə davam etdiririk. 

Tapşırıq. Verilmiş ədədlərin ən böyük ortaq bölənini tapaq. 

  

Cavab.

  

  

  

Ədədlərdə  hasili ortaq vuruq olduğu üçün  ən

böyük ortaq böləndir.

Nəticəni yoxlayırıq:  

 

Nəticə.

1)   ədədlərini sadə vuruqlarına ayırdıq.

2)  Ən büyük ortaq böləni tapdıq .

3)  Nəticəni yoxladıq.  

         Tərif.   və         natural ədədlərinin hər ikisinin qalıqsız

bölündüyü ən böyük natural ədədə həmin ədədlərin ən böyük ortaq böləni deyilir.  və  natural ədədlərinin ən böyük ortaq böləni

 kimi işarə edilir.

 

       Əgər           ədədi           ədədinə     qalıqsız    bölünürsə,

.

 

Tapşırıq.  və

 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapın.

Cavab.

1)         və      nin ən böyük ortaq böləni  dür.

2)           

Qeyd: Ortaq bölənləri bir olan ədədlər qarşılıqlı sadə ədədlər adlanır.

 və  ədədləri qarşılıqlı sadə ədədlər olduqda,

 - dir.

Nəhayət, dərs boyu apardığımız müzakirələri yekunlaşdırırıq.

 

Nəticə. Ədədlər böyük olduqda ən böyük ortaq böləni tapmaq üçün ədədləri sadə vuruqlarına ayırmaq və ortaq sadə vuruqların hasilini tapmaq lazımdır.

  

  

 

Beləliklə, dərsin birinci hissəsindəki araşdırılmaları yekunlaşdırdıq.

Dərsin ikinci hissəsində şagirdlər qrupların işçi vərəqlərində tərtib olunmuş misalları işləyərək onun təqdimatını etdilər. 

 

İşçi vərəqlərindən birinin nümunəsi:  

Qrup1.

1) Ən böyük ortaq böləni tapın.

a)   

b)   

2)                çoxluğundan elementləri qar-

şılıqlı sadə ədədlər olan alt çoxluq yazın.

3)               Fikirləşib üç rəqəmli iki ədəd yazın və onların ən böyük ortaq vuruqlarını tapın.

4)               Ortaq böləni  olan ədədləri tapın. 

5)               Ədədin bölənlərinin sayını tapın.

a)    

b)   

Şagirdlər işçi vərəqlərində olan tapşırıqları yerinə yetirdikdən sonra işlərini təqdim etdilər. Təqdimat qiymətləndirildi, səhvlər araşdırılaraq düzəldildi.

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. Funksiya

 

2.1. Xətti funksiya və onun qrafiki – VII sinif 

 

 “Xətti funksiya və onun qrafiki” mövzusu vıı sinifdə tədris olunarkən şagirdlər funksiyalar haqqında yetərincə məlumat alırlar. Lakin, yeni təlim texnologiyalarından istifadə etməklə mövzuya yaradıcı yanaşsaq xətti funksiyanı qüvvət funksiyası  şəklində göstərməklə ondan

silsilə funksiyalar ala bilərik.    

“Xətti funksiya və onun qrafiki” mövzunun izahına

“funksiya” sözünün araşdırılmasından başlamaq əlverişlidir. 

 “Funksiya” latıncadan tərcümədə (funtio-latın sözüdür) icra, fəaliyyət mənasını verir. “Funksiya” sözünü riyaziyyata ilk dəfə Leybnis (1646-1716) daxil etmişdir.

Funksiyanın kəmiyyətlər arasındakı asılılıq olduğunu nəzərə alaraq dərsdə şagirdlərlə birlikdə təfəkkür və elm arasındakı asılılığı araşdırdıq.  Aydın olur ki, şagirdin bilik qazanmaq funksiyası onun təfəkküründən asılıdır. Təfəkkür burada arqument, bilik isə təfəkkürdən asılı olaraq qavranılan elmdir. Sonra funksiyanı riyazi anlayış kimi izahını veririk.

Sual. Funksiyanı necə başa düşürsünüz?  

Cavab:

1)               Funksiya iki dəyişən kəmiyyət arasındakı asılılıqdır.

2)               Dəyişənlərdən biri sərbəst dəyişəndir.  ilə

işarə olunur.

3)               İkinci dəyişən kəmiyyət asılı dəyişən kəmiyyətdir. ilə işarə olunur.

4)                funksiyadır. Burada  sərbəst,  asılı dəyi-

şəndir.

 

Tapşırıq. Funksional asılığa aid misallar göstərin.

Cavab: 

1)  Çaylarda suyun artması yağıntıdan asılıdır.

2)  Qaynama temperaturdan asılıdır.

3)  Zəlzələlərin yaranması textonik hərəkətlərdən asılıdır.

4)  Kvadratın sahəsi onun tərəfinin uzunluğundan asılıdır .

Funksiyalar haqqında olan fikirləri ümumiləşdirib aşağıdakı şərhi verirəm.

 

Müəllimin şərhi:  şəklində olan funksiyaya xətti funksiya deyilir. Burada  və dəyişən kəmiyyətlərdir. - sərbəst dəyişən (arqument),  - asılı

dəyişəndir (funksiyadır). Sərbəst dəyişən funksiyanın təyin oblastını, asılı dəyişən qiymətlər çoxluğunu əmələ gətirir. Xətti funksiyada dəyişənlər arasındakı asılılıq xəttidir.

 və  ədədlərdir.  mütənasiblik əmsalı,  sərbəst həd-

dir.

Tərif. Koordinatları  tənliyini ödəyən  

nöqtələrinin həndəsi yerinə  funksiyasının qrafiki de-

yilir.

Sual:   funksiyası haqqında nə deyə bilərsiniz?

Cavab:  

1)  Xətti funksiyadır.

	-1,5	0
	0	3

2)  Sərbəst dəyişənin (-in) dərəcəsi va-

hiddir.

3)  Qrafiki düz xətdir.

4)  Asılı dəyişən -  arqumentdən asılı olaraq dəyi-

şir.

 

Araşdırmaları ümumiləşdirib funksiyanın qrafıkini qururuq (Şəkil1).

Sonra  

düsturunda  və –ni ar-

dıcıl olaraq sıfır qəbul edirik. Xüsusi hallar alınır. Aldığımız funksiyaların sxematik  qrafiklərini qururuq. 

a)  düstu-

runda          yazırıq.

 funksiyası alı-

nır.           olduqda,

düz

mütənasibliyini       ifadə

edən xətti funksiyanın qrafiki I və III koordinat rüblərin-

dən,  olduqda isə  funksiyasının qrafiki II və

IV koordinat rüblərindən keçir (Şəkil 2).

b)  Xətti funksiyanın analitik ifadəsi olan

 düsturunda  olarsa, olduqda,

 

 olur.  düz xətti I və III koordinat rübləri-nin,  düz xətti isə II və IV koordinat rüblərinin

tənbölənidir (Şəkil 3).

c)    düs-

turunda  olduqda,  olur. Bu

xətti funksiyanın qrafiki ordinat oxunun       nöqtəsindən

keçən və absis oxuna paralel olan düz xətlərdir. Şəkil4.

Yeni təlim texnologiyalarının üstünlüklərindən biri gələcəkdə tədris olunacaq mövzular haqqında müəyyən mühakimələr söyləməkdir. Xətti funksiyaya bu baxımdan yanaşdıqda aşağıdakı funksiyalar alınır.   xətti funksiyada -in dərəcəsi dir.  - in ye

rinə  yazıram.           - ə müxtəlif həqiqi qiymətlər verməklə

(mənfi, müsbət, tam, kəsr və sıfır) silsilə  funksiyalar  alırıq.  

Tapşırıq:   funksiyası   olduqda,  

   şəklinə düşür. Funksiyada   - ə müxtəlif həqiqi

qiymətlər verin və  aldığınız funksiyaları yazın.

Cavab:  

1)   olduqda, olur.

2)   olduqda,  olur.

3)   olduqda, olur.

4)   olduqda, olur.

5)   olduqda,  olur.

6)   duqda,   olur. 

Alınan funksiyaları birlikdə araşdırırıq.

1)   olduqda,  olur.  düz mütənasib

asılılığı ifadə edən xətti funksiyadır. Funksiyanı  yuxarıda araşdırmışıq. 

2)   olduqda, olur. Kvadratik funksiyadır,

qrafiki paraboladır.

                olduqda,

 olur. Bu halda

funksiyanın qrafiki koordinat          başlanğıcından keçən və qolları yuxarı yönəlmış parabola olur.

olduqda,  olur. Funk-

siyanın           qrafiki olan parabola koordinat başlanğıcından keçməklə aşağıya doğru yönəlir (Şəkil5).

      3)            

olur.      Bu

funksiyanın qrafıki kubik paraboladır.

 olduqda,

funksiyasının qrafıki koordinat başlanğıcından keçməklə I və III rüblərdə yerləşir.

 olduqda,

başlan-ğıcına görə simmetrik olmaqla II və IV rüblərdə yerləşır (Şəkil 6).

 

4)   olduqda, olur. Sıfır üstlü kəmiyyət vahid (x⁰ = 1) olduğundan funksiya  şəklində xətti funksiyaya çevrilir. Onun qrafiki ordinat oxunun  

nöqtəsindən keçən və absis oxuna paralel olan düz xətlərdir.

5)  olduqda, olur.

Mənfi üstlü kəmiyyətin bir kəsrə bərabər, onun sürətinin vahid, məxrəcinin müsbət üstlü kəmiyyətə bərabər olduqunu nəzərə aldıqda   alınır. 

          olduqda,   düsturu ilə

verilən ədədi funksiyaya tərs mütənasiblik funksiyası deyərək onun qrafikinin hiperbola əyrisi olduğunu qeyd edirik.

              olduqda,

  funksiyasının qrafiki I və III rüblərdə,  olduqda

isə II və IV rüblərdə yerləşir (Şəkil7). duqda,  olur. Qüv-

vət        funksiyasıdır,

qrafiki hiperbola əyrisidir.  olduq-

da,  funksi-

yasının qrafiki I rübdə,  olduqda isə IV rübdə yerləşir (Şəkil 8).

 

Konstruktiv təlim nəinki fəndaxili, həm də fənlərarası əlaqə yaratmağa imkan verir. Riyaziyyat həyatın bütün sahələrində var və dəqiq elmlərin əsasında dayanır. İqtisadiyyat isə demək olar ki, riyaziyyat üzərində qurulub.

Belə ki, bütün maliyyə işlərinin əsasında riyazi hesablamalar durur. Digər tərəfdən, iqtisadiyyatın xüsusi sahəsi olan riyazi iqtisad, iqtisadi məsələləri riyaziyyatın köməyi ilə həll edir, bankların, ölkələrin ümumi vəziyyətini müəyyənləşdirən iqtisadçılar statistikanın nəticələrinə və riyazi iqtisadın düsturlarına əsasən  proqnozlar verirlər. 

Riyaziyyatn iqtisadiyyatda rolunu və xətti funksiyaların əhəmiyyətini göstərmək məqsədilə bazar iqtisadiyyatında mühüm rol oynayan tələb və təklif funksiyalarının izahını verib qrafiklərini qurdum. 

Müəllimin şərhi: Tələb funksiyası bazarın vəziyyətini alıcı baxımından izah edir. Alıcı maraqlı olur ki, az pula daha çox mal alsın. Lakin, yeni alıcı ona əsaslı təsir edə bilmir. Qiymətə görə bazarın tələbi meydana gəlir. Satılan malın sayı qiymətdən asılı olaraq dəyişir. Qiymət azaldıqca daha çox mal satılır və əksinə.

Burada qiymət sərbəst dəyişəndir. Satılan malın miqdarı yeni tələb          qiymətinə       görə müəyyənləşir və o asılı dəyişəndir. 

Tələb          funksiyası ümumi şəkildə  y = b – kx düsturu ilə

ifadə olunur (Şəkil 9).

Təklif  funksiyası bazarın vəziyyətini satıcı baxımından (daha böyük mənada)  izah edir. Yəni, satıcı bazara mal təklif edən hər bir kəs ola bilər. Onu maraqlandıran münasib qiymətə daha çox mal satmaqla qazanc etməkdir. Qazanc artdıqca isə satılan malın sayı da artır.

Təklif funksiyası ümumi şəkildə y = b + k düsturu ilə

iradə olunur (Şəkil 10).

Tələb və təklif funksiyalarını      misallar üzərində izah edək. 

Fərz            edək   ki, təklif           funksiyası   düstu-

ru ilə verilmişdir.

Burada  – qiymə-ti, –satılacaq malın miqdarını gös-

tərir. 

 xətti funksiyasının qrafiki düz xətdir.  Onun

qrafıkini qurmaq üçün bu düz xəttin iki nöqtəsini müəyyənləşdiririk.

 

 

Göründüyü kimi qiymət artdıqca satış sıfıra yaxınlaşır. Satılacaq malın miqdarı və qiyməti müsbət ədədlər olduğundan qrafikin I rübədəki hissəsinə baxırıq.

Fərz edək ki, təklif funksiyası  düsturu ilə verilmişdir. Burada qazanc   və satılacaq malın miqdarı  arasında düz mütənasib asılılıq var. 

 

 

Göründüyü kimi həm qazanc, həm də malın miqdarı artır. 

Adətən, alıcı çox almaq, satıcı münasib qiymətə satıb qazanmaq istəyir. Maraqlar qiymətdə toqquşur. Bu məsələdə iqtisadçılar müəyyən proqnozlar verir, infilyasiyanı hesablayırlar. Belə ki, bazar həm alıcının, həm də satıcının marağına cavab verməlidir. Bazardakı mal üçün ortaq miqdar və qiymət hesablanmalıdır. Bununçün   və  düsturlarında sol tərəflərin bərabərliyindən

sağ tərəflərin bərabərliyini yazdıq və aldığımız tənliyi həll etdik.

 

 

 

 

 

 

Tapdığımız  bazarın tələb və təklifini ödəyən alqı-

satqı qiyməti olur. Yəni, bu qiymətə satıcı satmaq istədiyi bütün malı satır, alıcı isə almaq istədiyi miqdarı alır. Buna tarazlıq qiyməti deyilir.  - in qiymətini istənilən funksiya-

da yerinə yazmaqla satılan malın miqdarı tapırıq. 

Riyaziyyat elmi idrakın inkişafına xidmət edir. Onu konstruktiv təlimlə tədris etmək fəndaxili mövzular arasındakı əlaqəni daha da möhkəmləndirir, başqa fənlərlə vəhdəti şagird təfəkküründə yeni dünya yaradır. 

 

 

2.2. Funksiyanın təyin oblastı və qiymətlər

çoxluğunun tapılması–X sinif

 

Riyaziyyat bəzən, yalnız rəqəmlərdən, ədədlərdən, düsturlardan və qanunlardan ibarət bir elm təəssuratı bağışlayır. Əslində isə o həyatın düsturlar şəklində yazılışıdır. Geniş əhatə dairəsi olan funksiyalar buna əyani misal ola bilər. 

Funksiyaları sabit və dəyişən kəmiyyətləri aydınlaşdıraraq izah etmək məqsədəuyğundur. Belə ki, həyati hadisələrdə bəzi kəmiyyətlər sabit qalır, bəziləri isə dəyişir.

Məsələn: , üçbucağın daxili bucaqla-

rının cəmi, sərbəsrdüşmə təcili, sutkanın uzunluğu və s. sabit kəmiyyətlərdir. 

Təbiət hadisələrini öyrənərkən kəmiyyətlər arasında asılılıq olduğunu görürük. Məsələn, sürət yerdəyişmə sabit olarsa, zamandan asılı dəyişən kəmiyyət olur (Yerdəyişmə sabit olmazsa, sürət həm yerdəyişmə, həm də zamandan asılı olaraq dəyişir. Bu halda funksiyaya çoxdəyişənli funksiya deyilir).  Ağırlıq qüvvəsi cismin kütləsindən asılıdır (. Bu cür asılılıqlar funksional asılılıqlar-

dır.

“Funksiyanın təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu”nun tapılması mövzusunu tədris edərkən yuxarıdakı fikirlər ətrafında müzakirələr aparmaqla funksiyanın həyatdakı yerini və rolunu müəyyənləşdirdim. Sonra funksiyanın təyin oblastı və qiymətlər çoxluğunu tapmaq üçün funksiya haqqındakı bütün məlumatları araşdırdıq. Şagirdlərin araşdırmaq, yaratmaq, təhlil etmək kimi yaradıcılıq qabiliyyətlərinə əsaslanaraq dərsi sual-cavab üstündə qurdum.

İlk sualım belə oldu.

Sual: Funksiya nədir? 

Cavab. 

1)  Kəmiyyətlər arasında asılılıqdır.

2)  Funksiya funksiyanal asıllığın ifadəsidir.

3)  Tərif.  dəyişəninin hər bir qiymətinə  dəyişəninin

müəyyən bir qiymətini qarşı qoyma qaydası (qanunu) verilmişsə, onda deyirlər ki,   dəyişəni  dəyişəninin funk-

siyasıdır.

4)  Təcil sürət dəyişməsinin zamana görə funksiyasıdır.

5)  Funksiya iki dəyişən kəmiyyət arasında asılılıqdır.

Sual: Funksional asılılığı necə başa düşürsünüz?

Cavab. 

1)     Funksiya sözünün mənası icra (fəaliyyət) olduğundan funksional asılılıq bir və ya bir neçə kəmiyyətin dəyışməsinə görə digər kəmiyyətin dəyişməsidir.

2)     Fəsillərin dəyişməsi zamandan, küləklər isti və soyuq hava kütlələrinin yerdəyişməsindən, cismin temperaturu ona verilən istilik miqdarından və s. funksional asılıdır.

3)     Funksional asılıqda sərbəst dəyişən kəmiyyətin hər bir qiymətinə asılı dəyışıən kəmiyyətin yeganə qiyməti uyğun gəlir. 

1)   ədədi çoxluğundan götürülmüş hər bir x-ə  çoxluğundan yeganə y ədədini qarşı qoyan qaydaya  çox-

luğunda verilmiş ədədi funksiya deyilir.

2)  Burada -ə sərbəst dəyişən və ya funksiyanın arqumenti, -ə asılı dəyişən və ya  arqumentinin funksiyası

deyilir.

3)   çoxluğu funksiyanın təyin oblastı adlanır və  

kimi işarə olunur. 

4)   şərtini ödəyir və funksiyanın

qiymətlər çoxluğu və ya qiymətlər oblastı adlanır,  ki-

mi işarə olunur.

Tapşırıq:

 düsturları ilə verilmiş funksi-

yaların təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu göstərin.

Tapşırıqların cavablarını siniflə birgə araşdırdıq.

 Cavab.

1)    funksiyası xətti funksiyadır. 

Funksiyaların qrafiki düz xətdir. Onların təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

2)    funksiyasının qrafiki absis oxuna paralel olan

düz xətlərdir. 

Funksiyaların təyin oblastı həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

Funksiyaların qiymətlər oblastı 

 

olur.

3)    qüvvət funksiyasının ( xüsusi halı

kvadratik funksiyasıdır) təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur. 

 

Funksiyanın qiymətlər oblastı  olduqda, müsbət həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

 olduqda isə, mənfi həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

 kvadratik funksiyasının təyin oblastı

həqiqi ədədlər çoxluğudur. Qiymətlər çoxluğu parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatı olan -dən 

(-nın işarəsindən asılı

olaraq müəyyənləşir.

 olur.

 olur.

 qüvvət funksiyasının ( kubik

funksiyası qüvvət funksiyasını xüsusi halıdır) təyin oblastı  həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 üçün  olur. Ona

görə də  funksiyasının qiymətlər oblastı da hə-

qiqi ədədlər çoxluğudur.  funk-

siyasının qrafiki koordinat başlanğıcından keçməklə I və

III rüblərdə,  olduqda,  funksiyasının qra-

fiki koordinat başlanğıcına görə simmetrik olmaqla II və IV rüblərdə yerləşsə də qiymətlər oblastı yenə R olur.

5)  funksiyasının həm təyin oblastı, həm də qiymətlər çoxluğu  çoxluğudur.

 funksiyasının təyin oblastı  şərtini ödə-

yən ədədlər çoxluğu, qiymətlər çoxluğu musbət həqiqi ədədlər çoxluğudur.

  olduqda təyin oblastı  şərtini

ödəyən ədədlər çoxluğu,  olduqda, müsbət həqiqi ədədlər çoxluğu,  olduqda, mənfi həqiqi ədədlər

çoxluğu olur.

yin oblastı ( çoxluğudur, yəni R-dir.

      İstənilən       üçün                   olduğundan, funk-

siyasının qiymətlər oblastı  aralığı, yəni mənfi

olmayan həqiqi ədədlər çoxluğudur.

2) Şəkildə   funk-

siyasının        qrafiki təsvir edilmişdir (Şəkil 12).

Tərif:  vahiddən fərqli

hər hansı müsbər ədəd ol-

maqla  düsturu ilə

verilən ədədi funksiyaya

əsası  olan üstlü funksiya deyilir.

Üstlü funksiyanın təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

Üstlü funksiyanın qiymətlər çoxluğu müsbət həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

Tərs funksiyanı izah edib loqarifmik funksiyanın təyin oblastını və qiymətlər çöxluğunu tapmaq olar. 

Verilmiş funksional asılılıqda arqument ilə funksiya öz rollarını dəyişdikdə, yeni funksiya alınır ki, buna verilən funksiyaya nisbətən tərs funksiya deyilir.

Üstlü və loqarifmik funksiyalar qarşılıqlı tərs funksiyalardır.

 olduqda  düsturu ilə verilən ədə-

di funksiyaya loqarifmik funksiya deyilir.

1)     Loqarifmik funksiyanın təyin oblastı müsbət həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

2)     Loqarifmik funksiyanın qiymətlər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

Bilikləhi möhkəmləndirmək məqsədilə aşağıdakı çalışmalara baxırıq.

Tapşırıq: Bir neçə funksiya yazaq və onların təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu tapaq.

,

 

Cavablar:

1)       funksiyaları

xətti funksiyadır. Onların təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur.

2)     ,  funksiyanın təyin oblastını və qiymətlər

çoxluğunu tapaq.

 

Həlli:

 

 

 

 

3)      funksiyanın təyin oblastını və qiymətlər

çoxluğunu tapaq.

Həlli: Funksiya  – in məxrəci sıfra çevirən qiymətində təyin olunmayıb. 9 ədədi məxrəci sıfra çevirir.

 

 

 

 

 

Araşdırmanı dərslikdəki çalışmaları həll etməklə davam etdiririk. Xüsusi hallarla rastlaşırıq. 

  - İstənilən ədədin kvadratı müsbət ədəd ol-

duğundan funksiyanın məxrəci heç vaxt sıfıra çevrilmir və

 -dir.

  - funksiyanın təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur. Çünki,  həmişə müsbət ədəddir.

Çalışma:  funksiyasının təyin oblastını

tapaq.

Həlli:

  

 bərabərsizliyini həll edib funksiyanın sıfır-

larını tapıb aralıqlarda funksiyanın işarəsini müəyyənləşdirir və bərabərsizliyimizi ödəyən aralığı qeyd edirik

 

 

 

 bərabərsizliyin həllər çoxluğu  aralı-

ğıdır.

 olduğundan  olur.

                      funksiyanın        təyin         oblastı

     bərabərsizliklərinin     həllər     çoxluğunun

kəsişdiyı aralıqdır.

 

Dərsin “Təssəvvürlərin əks olunması” adlanan ikinci hissəsində şagirdlər qrupların işçi vərəqlərində tərtib olunmuş misalları həll etdilər. 

İşçi vərəqlərindən birinin nümunəsi:  

Qrup1.

1)               Funksiya hansı üsullarla verilir?

2)               Tərs mütənasib və düz mütənasib asılılığı necə başa düşürsünüz?

3)               funksiyasının qrafikini qurun

4)                funksiyanın təyin oblastını tapın.

5)                funksiyasının qiymətlər çoxluğu-

nu tapın.

Şagirdlər işçi vərəqlərində olan tapşırıqları yerinə yetirdikdən sonra hər qrupdan bir seçilmiş şagird işi təqdim etdi.  

Konstruktiv təlimlə qurulmuş riyaziyyat dərsində funksiyalar haqqındakı biliklər genişləndi, müxtəlif funksiyaların təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu tapıldı.

 

 

 

§ 3. Tənlik

 

3.1. Tənlik

 

“Tənlik”lərlə bağlı fəsillər orta məktəb kursu boyunca sinifdən-sinifə keçdikcə genişlənir. Belə ki, xətti tənliklər haqqındakı biliklər dəqiqləşdirildikdən sonra kvadrat tənlik və ikidəyişənlı tənliklərin həll qaydaları araşdırılır. Müxtəlif siniflərdə ikidəyişənli tənliklər sisteminin fərqli formalarının və nahayət, çoxdəyişənli tənliklər sisteminin həll qaydaları izah edilir. Triqonometrik, üstlü, loqarifmik və sadə diferensial tənliklərə baxılır.

Fikrimcə, müxtəlif tip tənlikləri həll etmək üçün xüsusi qaydalardan əvvəl xətti və kavadrat tənliklər, onların həll qaydaları və tənliyin kökü haqqındakı biliklər mənimsətmək lazımdır.

Tənlikdən əvvəl bərabərlik və eynilik haqqındakı məlumatlara nəzər salmaq istəyirəm. Tarixi məlumatlara görə, qədim yunan alimləri bərabərlik, böyük və kiçik işarələrindən istifadə etmişdirlər (işarələr indiki formada olmasa da). İndiki şəkildəki bərabərlik (=) işarəsini ilk dəfə ingilis həkimi Robert Rekord (1510-1558) özünün cəbrə aid əsərində işlətmişdir.

Tərif. Bir-biri ilə”=” işarəsi ilə bağlanan iki cəbri ifadəyə bərabərlik deyilir.

Məsələn:  

     

    Birinci ədədi, ikinci hərfi bərabərlikdir.

Tərif: Hərflərin bütün mümkün qiymətlərində doğru olan bərabərliyə eynilik deyilir. 

1)   

2)   

3)   

4)   

5)   

6)   

7)   

8)    

Hərfi bərabərliklər həmişə hərflərin bütün mümkün qiymətlərində bərabər olmurlar. Onda hərfin bərabərliyi doğru edən qiyməti axtarılır.

Tərif. Qiymətinin tapılması tələb olunan hərfin daxil olduğu bərabərliyə tənlik deyilir.

Tənlikdəki hərf məhcul və ya dəyişən adlanır.

Tərif.  dəyişənindən asılı olan  ifadələri üçün  bərabərliyinə birdəyişənli tənlik deyilir

(birdəyişənli tənlik xətti, kvadrat və s. tənliklər ola bilər).

Tənliyi doğru ədədi bərabərliyə çevirən hər bir -ə

onun kökü deyilir.

Tənliyin kökləri çoxluğuna onun həlli deyilir.Tənliyi həll etmək onun bütün köklərini tapmaq və ya kökünün olmadığını göstərməkdən ibarətdir.

Birdəyişənli tənlikdə dəyişənin dərəcəsi qədər tənliyin kökü var. 

Məsələn: Xətti tənliyin bir, kvadrat tənliyin iki, dəyişəninin dərəcəsi üç olan tənliyin üç və s. kökü var. Amma burada bəzi məqamları qeyd etmək lazımdır.

1)     Tənliyin kökü olmur(.

2)     Kənar köklər alınır və ya köklər itir (Bu halla əsasən, irrasional, triqonometrik, üstlü və loqarifmik tənliklərin həlli zamanı rastlaşırıq. Funksiyaların xassələindən və tənliyin hər tərəfini müəyyən bir ifadəyə vurub-bölməkdən və s. alınır).

3)      kvadrat tənliyinin diskiriminantın işarəsindən ( ) asılı olmayaraq iki kökü ol-

duğunu aşağı siniflərdən qeyd etmək olar (Orta məktəb kursunda kavadrat tənliyin  olan halda iki,  ol-

duqda bir-birinə bərabər bir kökü olduğu qeyd edilir. X sinifdə kompleks ədədlərin tədrisi zamanı  olduqda

da iki kök tapılır).

Tərif.  hər hansı ədədlər, və məchul olduqda

  yaxud,  şəklin-

də olan tənliyə ikiməchullu xətti tənlik deyilir.

Dəyişənlərin ikiməchullu xətti tənliyi doğru bərabərliyə çevirən qiymətləri cütünə ikiməchullu xətti tənliyin həlli deyilir. 

Ayrılıqda götürülmüş  tənliyinin sonsuz

sayda kökü var. Çünki, düstur xətti funksiyanın analitik ifadəsidir.

 və  dəyişənləri bir tənliklə deyil ikiməchullu iki tənlik-

lə bağlıdırsa, onda verilmiş tənliklər ikidəyişənli tənliklər sistemini əmələ gətirir.

 

İkidəyişənli xətti tənliklər sisteminin həlli  cütüdür.

İkidəyişənli ikidərəcəli tənliklər sisteminin həlli bir və ya kökləri üst-üstə düşən iki ədədlər cütü olur. Yuksək dərəcəli ənliklərdə həll cütləri ikidən çox olur.

Tənliklər sistemi cəbri toplama, əvəzetmə və qrafik üsulla həll edilir.

1)     Cəbri toplama üsulu. Bu üsulun mahiyyəti, məchulların birini yox edib, o birini tapmaqdan ibarətdir. Sonra tapılan məchulun qiyməti tənliklərdən birində yerinə qoyub o biri məchulu tapırlar.

2)     Əvəzetmə üsulu. Bu üsulla sistemi həll edərkən tənliklərin birindən məchulun birini o biri vasitəsilə ifadə edib, ikincidə yazmaqla birməchullu tənlik alırlar. Tənlik həll edilərək məchulun qiyməti tapılır və əvəzetmə yerinə yazılmaqla ikinci məchul hesablanır.

3)     Qrafik üsul. Sistemdəki tənliklər ayrı-ayrılıqda funksiya olduğundan sistemin həllər çoxluğunu müəyyən etmək üçün hər bir tənliyin qrafikini qurub, onların kəsışmə nöqtəsını tapırlar. Kəsişmə nöqtəsinin koordinatları sistemin həlli olur.

Tənliklərin köməyi ilə müxtəlif tip məsələlər həll edilir. Tənlik qurmaq-məsələdə verilən (məlum) və axtarılan (məchul) kəmiyyətlər arasındakı əlaqəni riyazi şəkildə ifadə etməkdir.

Tənlik qurmaqla məsələ həlli adətən üç mərhələyə bölünür.

1)               Məchulu -lə ( və s. ilə işarə etmək olar) işarə

edərək, məsələdə verilənlərə əsasən tənlik qurulur;

2)               Alınan tənlik həll edilir;

3)               Məsələnin məzmununa uyğun gələn( məsələnin şərtini ödəyən) həll seçilir.

Tənliyə aid fikirlərimi aşağıdakı dərs nümunələrində göstərmışəm.

 

 

 

3.2. Triqonometrik tənliklərin həlli – X sinif

 

Dərsin məqsədi: şagirdlərin triqonometrik tənliklərin həlli haqqındakı biliklərini formalaşdırmaq, tənliklərin həll üsullarını araşdıraraq onlar üzərində yeni biliklər qurmaq, şagirdlərin qruplarda qarşılıqlı fəaliyyətlərini inkişaf etdirməkdir.           

 Konsruktiv təlimlə tədris etdiyim dərsin axtarış adlanan birinci hissəsində qarşıya qoyduğum məqsəd, şagirdlərin tənlik və triqonometriya haqqındakı biliklərini möhkəmləndirərək  onları əlaqəli şəkildə inkişaf etdirmək idi. Mövzu çox geniş və ağır olduğundan əsas məqamlara baxdıq, düsturları xatırlamaq üçün qaydalardan istifadə etdik.

Əvvəlcə mövzunun adı ilə əlaqədar olaraq triqonometriya və tənlik haqqındakı bilikləri araşdırdıq. Sonra triqonometrik tənliklərin həll üsulları ilə tanış olduq.

Sual. Triqonometriya haqqında nə deyə bilərsiniz? 

Cavab. 

Triqonometriya-yunanca trígono “üçbucaq” və métron “ölçü” sözlərindən götürülmüşdür. 

Triqonometriya həndəsənin, yəni riyaziyyatın bir hissəsi olub üçbucaqların tərəflərinin uzunluğu və bucaqları arasındakı münasibətləri öyrədir.

Triqonometriyanın əsas vəzifəsi üçbucağın verilmiş hər hansı üç parametri (yan tərəfi, bucağı, meridian və s.) əsasında yerdə qalanlarını təyin etməkdən ibarətdir.

Bununçün köməkçi vasitə kimi triqonometrik ifadələrdən istifadə edilir.

Sual: Triqonometrik funksiyalar düzbucaqlı üçbucaqda hansı münasibətləri müəyyənləşdirir.

Cavablar:  

1)     Verilmiş bucağın sinusu = qarşı katet/hipotenuz 

2)     Verilmiş bucağın kosinusu = qonşu katet/hipotenuz 

3)     Verilmiş bucağın tangensi=qarşı katet/qonşu katet  4)Verilmiş bucağın kotangensi=qonşu katet/qarşı katet  Sual. Tənliyi necə başa düşürsünüz?

Cavab. 

1)  Tənlik ədədlərindən biri naməlum olan bərabərlikdir. 

 

2)  Tənlikdə bərabərliyin sağı və solu bərabərdir.

3)  Tənlikdə məchul ədəd axtarılır.

Tapşırıq.  tənliyini bərabərliyə çevirən

məhculun qiymətləri hansıdır və necə tapılır?

Cavab.

1)  4 tənliyi sıfra bərabər edir. 2)  tənliyi tən edir.

3)  Kvadrat tənliyi həll edib köklərini tapırıq .

4)  Viyet teoreminin köməyi ilə  tapılır (Köklərin

hasili sərbəst həddə, cəmi əks işarə ilə bir dərəcəli dəyişənin əmsalına bərabərdir).

Şagirdlər cavabları ümumiləşdirərək belə nəticəyə gəlirlər:  

1)  Dəyişəni olan bərabərliyə tənlik deyilir.

2)  Dəyişənin tənliyi doğru bərabərliyə çevirən qiymətinə tənliyin kökü deyilir.

Tapşırıq.  Sadə triqonometrik tənlikləri sadalayın.

      Cavab.       

  

  

  

  

  

      

  

Sual.  Triqonometrik tənliklər necə həll olunur?

Cavab. 

1)  Kvadrat tənlik kimi həll olunur.

2)  Triqonometrik eyniliklərin köməyi ilə sadələşdirilir. 

3)  Əvəzetmə aparmaqla cəbri tənliyə gətirilir.

4)  Tənliyə köməkçi bucaq daxil etməklə həll edirlər.

Bilikləri ümumiləşdirib müxtəlif üsullarla həll olunan triqonometrik tənliklərin həllinə baxırıq.

Nəticə:

Triqonometriya üçbucağın bucaqları və tərəfləri arasında münasibəti müəyyənləşdirir. 

Sadə triqonometrik tənliklərdə arqument məchul kəmiyyətdir.

Triqonometrik tənlikdə triqonometrik ifadə məchul kəmiyyətdir.

Triqonometrik tənliklər müxtəlif üsullarla həll edilərək sadə triqonometrik tənlik şəklinə gətirilir.

Triqonometrik       ifadənin         müəyyənləşdirdiyi    məchul kəmiyyət – bucaq sadə triqonometrik tənliyin köməyi ilə həll edilir.

Dərslikdəki misallar üzərində araşdırmaları davam edirik.

 Misal.  tənliyi tən olduğunu nə-

zərə alaraq həll edək.

Həlli:

 və 3 tənliyi sıfra çevirir.

 tənliyinin həlli yoxdur. Çünki funksiya

 aralığında qiymət alır.

 

  

  

Misal.  tənliyini həll

edək.

Həlli:

 (tənliyin hər tərəfini

 - ə bölürük)

     

     əvəzləməsi aparaq.

                               

     

     

     

    

     

Müəllimin şərhi: tənliyinin həllinin tapılması üsulu kö-

məkçi bucaq daxil etmə üsulu adlanır. tənliyinin hər tərəfini  ifadə-

sinə bölməklə köməkçi bucaq daxil edib

  

eyniliyini nəzərə alsaq tənliyin həlli üçün

 

düsturu alınar.

Tənliyi həll edərkən  bucağın hansı rübə

düşdüyünü nəzərə almaq vacibdir.

Misal.    tənliyini həll edək.

Həll:  

(

  

  

  

  

  

Çalışmaların həlli siniflə birlikdə araşdırdıq. Şagirdlər yeni bilikləri hazır şəkildə deyil, təfəkkürü inkişaf etdirməklə əldə etdilər. 

Dərsin ikinci hissəsində şagirdlər qrupların işçi vərəqlərində tərtib olunmuş misalları işləyib onun təqdimatını edirlər. 

İşçi vərəqlərindən birinin nümunəsi:  

Qrup 1.

1)  Bir neçə triqonolmetrik tənlik yazın.

2)   tənliyi həll edin.

3)   tənliyi həll edin.

4)  Sinuslar teoreminin riyazi ifadəsini yazın.

5)   tənliyi həll edin.

Şagirdlər işçi vərəqlərində olan tapşırıqları yerinə yetirdikdən sonra hər qrupdan bir seçilmiş şagird işi təqdim edir. Qiymətləndirmə aparılır.

 

 

 

 

 

3.3 Tənlik qurmaqla məsələ  həlli – VII, VIII sinif

 

Konstruktiv təlim texnologiyasının tətbiqi ilə qurduğum bu dərs özündə interaktiv texnologiyanı əks etdirir və burada fərdi yaradıcılıq ictimailəşərək genişlənir və daha da dərin çalarlar yaradır. 

Dərsin məqsədi: şagirdlərin “Tənlik qurmaqla məsələ həlli” haqqındakı biliklərini genişləndirmək, onları zənginləşdirərək yeni biliyə çevirmək və şagirdlərin qruplarda qarşılıqlı fəaliyyətlərini inkişaf etdirmək idi.

Dərsə axtarışla başladım. Dərsdə tənlik və məsələ haqqındakı bilikləri təkrarlayaraq genişləndirdik, müxtəlif tip məsələləri həll etdik. 

İlk sualım belə oldu.

Sual. Tənliyi necə başa düşürsünüz?

Cavab.

1)Tənlik ədədlərindən biri naməlum olan bərabərlikdir. 

 

2)  Tənlik eynilikdən fərqli olaraq ona daxil olan hərfin istənilən deyil, müəyyən qiymətlərində doğrudur.

3)  Tənlikdə məchul ədəd axtarılır.

Cavabları ümumiləşdirərək belə nəticəyə gəlirik: 

1)  Dəyişəni olan bərabərliyə tənlik deyilir.

2)  Dəyişənin tənliyi doğru bərabərliyə çevirən qiymətinə tənliyin kökü deyilir.

Tapşırıq.  tənliklərin-

dən məsələ tərtib edin.

Cavab.

1)   kitab satıldıqdan sonra  kitab qaldı. Necə kitab

var idi?

2)  Aysel atasından 5 manat pul aldıqdan sonra  ma-

nat pulu oldu. Onun əvvəlcə neçə manat pulu vardı?

3)  Ağ  və qarakürələrin sayı, qırmızı və

sarı  kürələrin sayına bərabərdi. Neçə sarı kürə var?

Tənliklərdən məsələ tərtib etdikdən sonra görürük ki, tənliklər hesablayıcının əməyini sadələşdirir. Ona görə də bir çox məsələləri həll edərkən məsələnin tipinə uyğun

tənlik və tənliklər sistemi qurmaq lazım gəlir. Tənlik qurarkən axtarılan kəmiyyəti məchul –  qəbul edib mə-

sələni şərtə uyğun “riyazi dilə” keçiririk. 

 Tənlik qurmaqla məsələ həllinə orta məktəb kursunda geniş yer verilir. Riyaziyyatın əksər sahələrini, fizika, kimya, astronomiya və s. elmlərin bəzi sahələrini əhatə edir. 

Çalışma həllinə ədədin hissəsinin tapılmasına aid məsələdən başlayıram.

Müəllimin şərhi: Ədədin hissəsini tapmaq üçün ədədi hissə göstərən kəsrə vurmaq lazımdır.

Məsələ: İki bağlamada  dəftər var və birinci bağlamadakı dəftərlərin sayı ikinci bağlamadakının  hissəsinə

bərabərdir. Hər bağlamada neçə dəftər var?

Həlli: 

I   bağlama                         II  bağlama

                                              

     

     

II  b.   

    I b.   

Dərsdə əsas məqsədim fiziki tipli məsələləri araşdırmaq idi.

Sual. Sürət dedikdə nə başa düşürsünüz?

Cavab. 

1)  Sürət hərəkətdir.

2)  Cismin nə qədər tez və ya gec irəliləməsini göstərir.

3)  Zaman çoxaldıqca sürət azalır.

4)  Qət edilən yol sürətdən asılıdır.

Müəllimin şərhi: Sürət cismin yerdəyişməsinin bu yerdəyişməyə sərf olunan zamana nisbətinə bərabər olan fiziki kəmiyyətdir.

, sürətin vahidi   - dir.

    , yerdəyişmənin vahidi  - dir.

, zamanın vahidi  - dır.

Məsələ. İki məntəqə arasındakı məsafəni velosipedçi sürətlə getdi və sürətlə geri qayıtdı. O geri qayıdanda getdiyindən dəqiqə çox vaxt sərf etdi. Məntəqələr arasındakı məsafəni tapın. 

Həlli: Məsələnin xəritəsini tərtib edirik. Məntəqələri A və B ilə işarə edirik. 

A məntəqəsi (getdi)              B məntəqəsi(qayıtdı)

                                   

                         

Gedilən və qayıdılan yollar bərabər olduğundan,  düsturuna görə aşağıdakı tənliyi yaza bilərik.

 

 

 

 

 

Məsələ. Teploxod iki körpü arasındakı məsafəni çayın axını ilə , çayın axınına qarşı  getmişdir. Çayın axma sürəti  olarsa, bu korpülər arasndakı

məsafəni tapın.

Müəllimin şərhi. Teploxod axın ilə hərəkət etdikdə axma sürəti teploxodun sürətinə əlavə olunur, teploxod çayın axınına qarşı hərəkət etdikdə sürəti azalır. Axın sürəti teploxodun sürətindən çıxılır.

Həlli:

    Ikörpü                                                II körpü                                   

                                                         

                                                          

 Körpülər arasında məsafə dəyışməz qaldığından  düsturundan aşağıdakı tənliyi yazar və tənlik-

dən məchul kəmiyyəti – , yəni teploxodun sürətini tapmaqla körpülər arasındakı məsafəni hesablaya bilərik. 

 

 

 (teploxodun sürəti)

     

(körpülər arasındakı məsafə).

Məsələlərin həllini şagirdlərlə birlikdə araşdırırıq. Şagirdlər yeni bilikləri hazır şəkildə deyil, təfəkkürü inkişaf etdirməklə əldə edirlər. Belə məsələlərin həlli zamanı sözlərlə yazılan planı məsələnin şərtinə uyğun tərtib edilmiş xəritə əvəz edir. Riyazi model daha anlaşıqlı, vaxt baxımından qənaətli olur.

Dərsin ikinci hissəsində şagirdlər qrupların işçi vərəqlərində tərtib olunmuş misalları həll edib onu təqdimatını edirlər. 

İşçi vərəqlərindən birinin nümunəsi:  

Qpup 1.

1)       Bir neçə tənlik yazın.

2)       Məsələ tərtib edin.

3)       hissəsi  olan ədədi tapın.

4)       Vektorial kəmiyyətlər hansılardı.

5)       Ramil  yolun bir hissəsini  sürətlə velo-

sipedlə, qalan yolu isə  sürətlə avtobusla gedərək, bütün yola  vaxt sərf etdi. O, avtobusla neçə saat

yol getdi?

Konstruktiv təlim texnologiyasının tətbiqi ilə qurulan dərsdə şagirdlər tənlik və məsələ haqqında olan biliklərini dərinləşdirdilər. Fizika tipli məsələlərin həllinə yaradıcı yanaşmaqla yeni biliklər əldə etdilər. 

İki fənn arasında uğurlu keçiddən bəhrələnərək dərsdə interaktiv pedaqoji texnologiyaları tətbiq etməklə tədris proqramındakı materialı mənimsətməyə çalışdım. Fikrimcə, məqsədimə nail oldum.

 

 

 

 

§ 4. Bərabərsizlik

 

4.1. Bərabərsizlik

 

Ölçülən kəmiyyətlərin müqayisəsi zamanı onların bərabər olmasından çox böyük və ya kiçik olması əhəmiyyətli olur. Qərbi Avropa riyaziyyatçıları (XV-XVIəsrlərdə) öz əsərləində bərabər, böyük və kiçik sözlərindən istifadə etmişlər. Böyük və kiçik işarəsi ( indiki şəkildə 1861-ci

ildən işlədilməyə başlamışdır.

Tərif. Bir-biri ilə böyük  və ya kiçik  işarəsi ilə

bağlı olan iki ədədə və ya iki cəbri ifadəyə bərabərsizlik deyilir.

Tərif. Verilmiş a və b ədədləri üçün  bərabərsizliyi yalnız və yalnız  fərqi müsbət olduqda doğrudur.

 

  

Buradan aşağıdakılar alınır:

1)               Hər bir mənfi ədəd sıfırdan kiçikdir;

2)               Hər bir müsbət ədəd sıfırdan böyükdür;

3)               İstənilən müsbət ədəd istənilən mənfi ədəddən böyükdür.

Bərabərsizliklərin bir çox xassələri var.  olarsa,  olar.

2)                 olar.

3)                olarsa, istənilən  ədədi üçün

  olar.

4)                 istənilən ədəddirsə,

a)                olduqda,             ,

b)                olduqda,              olur.

5)                olar.

6)                olar.

7)                olar.

8)               isə istənilən    ədədi üçün   .

9)               bərabərsizliyində  və  eyni işarəli isə , müxtəlif işarəli olduqda  olur.

10)             olduqda  olduq-

da . 

Xassənin doğruluğu  funksiyası-

nın  monotonluq xassəsindindən alınır. Məlumdur ki,  olduqda  funksiyası azalan,  olduq-

da artan funksiyadır.

11)             bərabərsizliyini  əsasından   loqarifmləmək olar. Bu zaman

  bərabərsizliyi,  isə

 bərabərsizliyi alınır.

Bərabərsizlikləri həll edərkən aralıqların yazılışını bilmək vacibdir. Burada aşağıdakı hallar ola bilər.

1)      verilmiş hər hansı ədəd,  də-

yişən kəmiyyətdir)

2)                      

3)      

4)      

5)      (burada       və verilmiş

ədədlər,  isə                       şərtini ödəyən ədədlər çoxluğu-

dur).

6)      

7)      

8)      

Tərif.  

şəklində olan bərabərsizliklərə birdəyişənli xətti bərabərsizliklər deyilir.

Bərabərsizliklərdə –dəyişən, -dəyişənin əmsalı, –

sərbəst hədd adlanır.

Bərabərsizliyi həll etmək onun həllər çoxluğunu tapmaq deməkdir.

 bərabərsizliyini həll edək. 

 

Burada iki hal olur.

I   hal:  

 

II  hal:  

)

 şəklində olan

ikidərəcəli (dərəcə ikidən yüksək də ola bilər) birdəyişənli bərabərsizliklər isə intervallar üsulu ilə həll olunur.

 Bu üsulla “Funksiyanın təyin oblastı və qiymətlər çoxluğunun tapılması – x sinif” mövzusunda izahlı çalışma həlli və bərabərsizliklərin həllinə aid olan “Üstlü bərabərsizliklərin həlli – X sinif” mövzusunda qeyd verilmişdir.

 

 

 

4.2. Üstlü bərabərsizliklərin həlli – X sinif

 

Üstlü bərabərsizlikləri həll edərkən bərabərsizliklərin həll qaydalarını və üstlü funksiyanın xassələrini bilmək lazımdır. Hər iki sahədən mövzunun tədrisinə qədər şagirdlərin müəyyən qədər biliklərinin olmasına baxmayaraq həll zamanı mövzunu mümkün qədər genişləndirməliyik. Bərabərsizlik anlayışının izahından riyazi bərabərsizliyə, qüvvət anlayışından üslü funksiyaya və xassələrinə keçməklə bərabərsizlikləri həll etmək, loqarifmanın izahını vermək olar.

Dərsi aşağıdakı formada planlaşdırdım.

Sual. Həyatda hansı bərabərsizlik var?

Cavab:

1)               İqtisadi bərabərsizlik

2)               Sosial bərabərsizlik

3)               Kənd və şəhər arasında bərabərsizlik – təhsilin təşkilinə görə

4)               Gender bərabərsizliyi – bərabərliyi

Bu cavablardan biri ətrafında müzakirə aparıb bərabərsizliyi dəqiqləşdirmək və müqayisə olunan tərəflərin riyazi ifadəsini yazmaq olar. 

Məsələn. Gender bərabərsizliyi – burada çox vaxt bərabərlik olduğu deyilir.

 - lə qadın və kişinin imkanlarını işarə edirik – gender

bərabərliyi kimi baxırıq. İmkanları müəyyən kateqoriyalara bölürük. 5 ballıq sistemlə qiymətləndiririk.

                               Kişi                           Qadın

Bərabərlik olsa                         =                 

Azadlıq                                   >               

      Təhsil                                          >                     

      Məsuliyyət                                   <                      

Kateqoriyalardan ədədi orta çıxartsaq

 

 

Gender bərabərliyində - bərabərsizliyində kişi böyük oldu.

Sual. Riyazi bərabərsizliklər haqqında nə deyə bilərsiniz?

Cavab: 

1)     Bərabərsizlik - böyük (>) və ya kiçik (<) işarəsi ilə bağlanan iki ədədi və ya hərfi ifadədir.

2)     Bərabərsizliyin həlli - dəyişənin bərabərsizliyi doğru edən qiymətidir.

3)     Xətti bərabərsizliklərin həllər çoxluğu sadə çevimələrlə tapılır.

4)     Dərəcəsi yüksək olan bərabərsizliklər intervallar metodu ilə həll olunur.

Qeyd. Dəyişəninin dərəcəsi iki və yüksək olan bərabərsizliklərin həllər çoxluğu intervallar metodu ilə müəyyənləşir. Asan anlaşılması üçün bərabərsizliyə tənlik kimi baxıb kökləri (yəni funksiyanın sıfırlarını) tapmaq və onları ədəd oxu üzərində qeyd edib ədəd oxunu intervallara ayırmaq lazımdır. İstənilən aralıqdan bir qiymət götürüb tənlikdə-bərabərsizlikdə yerinə yazmaqla işarəni müəyyənləşdiririk. Qalan intervallarda işarə növbələşir. Bərabərsizliyin işarəsinə uyğun aralıq və aralıqların birləşməsı bərabərsizliyin həll çoxluğu olur.

Bərabərsizliyin geniş tətbiq sahəsi var. Yuxarıdakı ümumi qaydalar saxlanmaqla hər sahənin özünə uyğun həll qaydaları var. Üstlü bərabərsizliklər də üstlü funksiyanın xassələrini nəzərə almaqla həll edilir. 

Tərif. Qüvvət  üstündə məchulu olan bərabərsizləyə üstlü bərabərsizlik deyilir.

Məsələn:   

Lakin bərabərsizliklərin həll qaydalarını araşdırmazdan əvvəl üstlü funksiya və onun xassələri təkrarlamaq lazımdır. Çünki, üstlü bərabərsizliklərin həlli üstlü funksiyaların monotonluq xassələrinə əsaslanır.

Şagirdlərdən üstlü funksiyna haqqında nə bildiklərini şoruşuram. Cavabları siniflə birlikdə müzakirə edərək araşdırırıq.

Sual. Üstlü funksiyanı necə başa düşürsünüz?

Cavab: şəklində olan funksiyaya üstlü

funksiya deyilir.

Üstlü funksiyanın aşağıdakı xassələri var.

1)               Üstlü funksiyanın təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

2)               Üstlü funksiyanın qiymətlər çoxluğu müsbət həqiqi ədədlər çoxluğudur.

 

3)                olur, yəni funksiyanın qra-

fıki ordinat oxunu (0,1) nöqtəsində kəsir.

4)                olarsa,  – in müsbət qiymətlərində , mənfi qiymətlərində isə  olur.

5)               Əsas vahiddən böyük olduqda üstlü funksiya artan olur.

6)               olarsa,             olduqda ;    

              olduqda              olar.

7)                olduqda üstlü funksiya azalandır.

8)               olarsa,            olduqda          ;           olduqda

                  ;            olduqda isə                olar.

9)               İstənilən  ədədləri üçün 

 

bərabərlikləri və istənilən  üçün

 

doğrudur.

Üstlü funksiyanın xassələrinin izahı zamanı üstlü bərabərsizliklər haqqında təsəvvür yaranır. Üstlü bərabərsizliklərin həll qaydasını verib müxtəlif tip çalışmaların həllinə baxırıq.

Müxtəlif tip üstlü bərabərsizlikləri həll edərkən onları sadələşdirib  və ya  bərabərsizliklərinin

həllinə gətirirlər. Bu bərabərsizliklər üstlü funksiyanın monotonluq (artıb azalan olması) xassəsinə əsasən həll edilir.

1)   olduqda, ,

2)   olduqda,

 olur.

Misal.    

Həlli: 

  

     

)

Misal.    

Həlli: 

   

   

    

Bərabərsizliyi intervallar metodu ilə həll edərək

  alırıq.

Misal.   

     Həlli: 

           

  

  

Misal.   

Həlli: 

 

əvəzləməsi aparaq)

  

 Bərabərsizliyi intervallar metodu ilə həll edərək  alırıq.

   əvəzləməsini nəzərə alaq.

  

  

Misal.   bərabərsizliyini həll edək.

Həlli.  bərabərsizliyinin hər iki tərəfini 5 əsasına

görə loqarifmləyək.

  

   

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 5. Törəmə

 

5.1. Törəmə

 

Törəmə anlayışı əyriyə toxunanın çəkilməsi və hərəkətin dəyişmə sürətinin təyini məsələlərinin həlli sayəsində yaranmışdır. Əsasən, XVII əsrdə formalaşmışdır. Onu daha çox inkişaf etdirən alman riyaziyyatçısı və filosofu Q.Leybnis (1646-1716) və ingilis riyaziyyatçısı İ.Nyuton (1643-1727) olmuşdur.

Törəmənin izahı üçün funksiyanın limiti, funksiyanın kəsilməzliyi, arqument artımı və funksiya artımı anlayışları  aydınlaşdırılmalıdır.

Fərz edək ki,  funksiyası  nöqtəsinin hər hansı ətrafında ( aralığına -nın ətrafı deyilir və funksiya  nöqtəsində təyin olunmaya da bilər) təyin olun-

muşdur. Əgər arqumentin bu ətrafa daxil olan qiymətlərindən -ya yığılan istənilən

 ardıcıllığı üçün funksi-

yanın            uyğun            qiymətlərindən           düzəldilmiş

 ardıcıllığı -ya yığılırsa,

ədədinə ) funksiyasının  nöqtəsində limiti deyilir və  kimi işarə olunur.

Tutaq ki, ) funksiyası  aralığında təyin olunmuşdur və . Əgər

 

olarsa, bu funksiyaya  nöqtəsində kəsilməz

funksiya deyilir.      aralığının bütün nöqtələrində kəsilməz olan funk-

siyaya bu aralıqda kəsilməz funksiya deyilir.

 və  arqument ( nöqtəsi qeyd olunmuş  nöqtəsinin hər hansı ətrafından götürülmüş nöqtədir),  və  onlara uyğun funksiya qiymətləri isə

  fərqi arqument artımı,

   isə funksiya artımı adlanır. 

Tərif. Funksiya artımının  arqu-

ment artımına  nisbətinin arqument artımı şıfra yaxınlaşdıqda (yəni, olduqda) həqiqi, müəy-

yən, sonlu limitı varsa, bu limitə funksiyanın x₀ nöqtəsində törəməsi deyilir.

 

Nöqtədə törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir.

 

Törəmə qaydaları

 

 olarsa,

                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Törəmə cədvəli

 

həqiqi ədəddir)

 

        

 

 

 

 

 

 

 

5.2. Mürəkkəb funksiyanın və tərs  funksiyanın törəməsi - XI sinif

 

 Mövzunun tədrisi zamanı törəmə anlayışının izahından və qüvvət funksiyasından istifadə edərək silsilə funksiyalar yaradır və onların törəmələrini tapırıq. Mürəkkəb funksiyanı qüvvət şəklində göstərərək mürəkkəb funksiyanın törəməsi düsturunu açıqlayır, üstlü və loqarifmik funksiyaların qarşılıqlı tərs funksiyalar olduğunu göstərərək üstlü funksiyanın törəməsi düstirundan loqarifmik funksiyanın törəməsi düsturunu alırıq.

Dərsə törəmənin necə başa düşüldüyünü soruşmaqla başlayıram.

Cavab:

1)  Törəmə yeninin yaranmasıdır.

2)  Canlıların artımıdır.

3)  Böyümədir.

4)  Nəsillərin dəyişməsidir.

Cavablardan alınır ki, törəmə varlıqların zamana görə dəyişməsidir. Bu isə sürətdir. Burada sürət funksiya, dəyişən varlıq isə arqumentdir.

Tapşırıq:

Riyazi baxımdan törəməni izah edin.

Cavab:

1)     Törəmə sürətdir - yolun zamana görə birinci tərtib törəməsi sürətdir.

2)     Törəmə təcildi - yolun zamana görə ikinci tərtib törəməsi təcildir.

3)     Törəmə arqument artımı sıfra yaxınlaşdıqda funksiya artımının arqument artımına olan nisbətinin limitinə bərabərdir. 

 

4)     Törəmə iş, təzyiq, enerji və sairədir.

Cavablardan biri ətrafında sabitin törəməsinin sıfır olduğunu aydınlaşdırırıq. Belə ki, yolun zamana görə birinci tərtib törəməsi sürətdir. Yol və ya zaman dəyişmirsə sürət yoxdu. Yəni, sürəti həyat qəbul etsək o məkansız-yolsuz və zamansız mövcud deyil – nisbilik nəzəriyyəsi. Sabit dəyişməzlik olduğundan törəməsi sıfır olur. 

Dəyişənin törəməsi vahiddir. 

 

 - ə qiymətlər verməklə müxtəlif funk-

siyalar almaq və x' = 1 – in riyazi izahından istifadə edib onların törəmələrini tapmaq olar.

  

  

  

  

 şəklində yazmaqla mürək-

kəb funksiya alırıq. 

Sual.  funksiyası haqqında nə deyə bi-

lərsiniz?

Cavab:

1)     Mürəkkəb funksiyadır. Çünki,  – in asılı olduğu  dəyişəni  – dən asılıdır.

2)     Qüvvət şəklində verilmiş mürəkkəb funksiyadır. Funksiya qüvvət altındakı arqumetdən, arqument isə qüvvətdən asılıdır.

3)       funksiyası  funksiyaların kompozisiyasından ibarətdir. Mürəkkəb funksiyanın  düsturu ilə eynigüclüdür (kompazisiyasına  

– nin mürəkkəb funksiyası deyilir). 

 düsturunda  olduğunu nəzə-

rə alıb aşağıdakı nəticəni alırıq. 

  

  

  

Onda düstur aşağıdakı kimi olur. 

  

Mürəkkəb funksiya ümumi şəkildə  şəklində göstərildiyindən   olur.

Qeyd: Mürəkkəb funksiya ilə çoxdəyişənli funksiyanı eyniləşdirmək olmaz. Mürəkkəb funksiyada bir sərbəst dəyişən bir neçə münasibəti ifadə edərək bir funksiyadan asılı olur. Yəni, burada mahiyyət etibarı ilə iki dəyişən arasındakı asılılığa baxılır. Çoxdəyişənli funksiyada isə üç və daha çox dəyişənlər arasındakı asılılığa baxılır.

Məsələn:  

 Mürəkkəb funksiyanı izah etmək məqsədilə ailələrin yaşamasını hesablayan düstur tərtib etdim. 

                    

Modeldə  - arqumenti ilə tərəflər arasındakı münasibətləri,  -funksiyası ilə ailəni işarə etdim. Yəni, ailələr

münasibətlərin  funksiyasıdır. Münasibətlərin olmadığı halda  funksiya təyin olunur, mənfi olduğu halda

 təyin olunmur.  isə ailəyə kənar təsirləri

göstərir. aralığında təyin olunduqda funk-

siya müsbət qiymətlər alır. Yəni ailə yaşayır. Şərtlər pozulduqda ailələr qurulmur, yaxud dağılır. 

 funksiyasında  

qəbul etsək  şəklində üstlü funksiya alarıq.

 (Üstlü və triqonometrik

funksiyaların törəmələrinin tapılması qaydası sonrakı dərslərdə birinci və ikinci görkəmli limitlərlə isbat olunur).

Sual:

Üstlü funksiyanın tərs funksiyası haqqında nə deyə bilərsiniz? 

Cavab:

1)  Üstlü funksiyanın tərs funksiyası loqarifmik funksiyadır.

2)   

3)   

4)  Tərs funksiya verilmiş aralıqda təyin olunan funksiyanın təyin oblastı ilə qiymətlər çoxluğunun yerinin dəyişməsindən alındığından loqarifmik funksiya üçün

 

olur.    

Şərh: Üstlü funksiyanın tərsi loqarifmik funksiya olduğundan loqarifmanın törəməsi üstlü funksiyanın törəməsinin tərsidir.   funksiyalarının qarşı-

lıqlı tərs olduğuna görə 

 

olur.

Xüsusi halda  olarsa  funksiyasının törə-

məsi üçün aşağıdakı düstur alınır.

 

Misal.  Mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapın.

1)   

2)   

3)   

4)   

5)   

Həlli:

     

  

  

2)   

  

  

3)   

  

     

      

5)  

  

 

Misal. funksiyasının tərs funksiyanın

törəməsini tapın. Həlli: 

 

     

Sonrakı dərslərdə bu mövzuya yenidən baxılır. Müxtəlif funksiyaların mürəkkəb və tərs funksiyalarının törəmələri tapılır. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 6. İnteqral

 

6.1. İnteqral

 

Diferensiallama əməlində  verilir. Onun törəməsini, yəni  şərtini ödəyən  

funksiyasını tapmaq tələb olunur. İnteqrallama əməlində   funksiyası verilir, törəməsi bu funksiya olan,

yəni şərtini ödəyən   funksiyasını

tapmaq tələb olunur. Deməli, inteqrallama əməli diferensiallama əməlinin tərs əməlidir.

Tərif. Verilmiş aralıqdan götürülən bütün x-lər üçün  olarsa, onda  funksiyasına  funksi-

yasının ibtidai funksiyası deyilir ( aralıq dedikdə, parça, interval, yarıminterval və s. başa düşülür).  ibtidai funksiyanın ümumi ifadəsidir. Yəni,

funksiyanın heç olmazsa bir ibtidai funksiyası varsa, onda onun sonsuz sayda ibtidai funksiyası var.

Tərif. Verilmiş  funksiyasının bütün ibtidai funksi-

yalarının ümumi ifadəsinə onun qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və

 

kimi işarə edilir ( “inteqral ef iks de iks” kimi oxunur).

Diferensiallama və inteqrallama əməli qarşılıqlı tərs əməllər olduğundan inteqral cədvəli törəmə cədvəlindən alınır.

 

 

İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən  inteqral cədvəli

 

( k və C sabitlərdi)

 

İbtidai funksiyanın müəyyənləşməsi, qeyri-müəyyən inteqralın tapılması, müəyyən inteqralın hesablaması mahiyyət etibarı ilə oxşardırlar. Lakin, parçada verilmiş funksiyanın müəyyən inteqralını hesablamaq üçün onun ixtiyari ibtidai funksiyasının parçada artımını hesablamaq lazımdır. 

İbtidai funksiya və inteqralın ortaq xassələrini konstruktiv təlimlə tədris etdiyim “Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu. Müəyyən inteqralın xassələri - XI sinif” mövzusunda araşdırmışıq.

 

 

6.2. Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu. Müəyyən inteqralın

 xassələri - XI sinif

 

Mövzunun tədrisi zamanı inteqral anlayışının izahına nəzər salmaq və qeyri-müəyyən inteqrala aid bilikləri əyrixətli trapesiyanın sahəsininə aid biliklərlə birləşdirmək məqsədəuyğundur.

İnteqralın ayrı-ayrı hissələri birləşdirən tam olduğunu qeyd edib inteqral sxem və inteqral sxem topologiyası haqqında məlumat verirəm. Müasir kompyuterlərin inteqral sxemlər əsasında qurulduğunu, İnteqral sxem topologiyalarının hüquqi qorunması haqqında AZƏRBAYCAN RESPUBLİKASININ QANUNUN varlığını qeyd edirəm.

Belə ki, kompyuterin inteqral sxemi geniş funksiyaların kiçik həcmdə yerləşməsi, qanundakı İnteqral sxem həyatın bütün sahələrinə aid qanunları birləşdirən bir sxem olduğunu aydınlaşdırırıq. Mənanı açıqlanmaq üçün inteqral işarəsinin latın sözü olan “summa”nın baş hərifi olduğunu qeyd edirəm. Yəni, inteqrallama sözün mənasına uyğun olaraq cəmləmə funksiyasını yerinə yetirir. Sonra inteqralın riyazi mənasının araşdırılmasına keçirik.

Sual. İnteqral haqqında nə deyə bilərsiniz?

 

Cavab:

1)     İbtidai funksiyanın tapılması inteqrallama deməkdir.

2)     İBTİDAİ FUNKSİYA - verilmiş aralıqdan bütün -lər üçün  münasibəti ödənilirsə, onda deyirlər ki,

 funksiyası funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

3)     İNTEQRAL – işarəsi latınca “summa” sözünün baş hərfindən götürülmüşdür. Bu işarəni riyaziyyata Leybnisin tələbəsi İvan Bernulli daxil etmişdir.

4)     İNTEQRALLAMA - verilmiş funksiyanın bütün ibtidai funksiyalarını tapmaq deməkdir.

İnteqrallamaya, törəməsi məlum olan funksiyanın axtarılması əməli kimi baxıb törəməyə görə inteqralın düsturlarını alır və inteqralları həll edirik (Alacağımız funksiyanın törəməsi inteqralaltı funksiya bərabər olmalıdır. Çünki, inteqral və diferensial qarşılıqlı tərs əməllərdir).

 

1)               Qüvvət funksiyasının inteqralı

  

     

 

2)               Sabitin inteqralı.

  

  

3)               Cəmin-fərqin ibtidai funksiyası – inteqralı

 funksiyası  funksiyası isə in

ibtidai funksiyasıdırsa, onda funksiyası da

funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

Teoremin şərtinə görə  

olduğunu nəzərə alıb, cəmin törəməsi haqqında teoremi tətbiq etsək 

 

4)               Mürəkkəb funksiyanın ibtidai funksiyası  funksiyası in ibtidai funksiyasıdırsa,  istənilən sabitlər olduqda  funksiyası   funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. 

  

 olduğundan mürəkkəb funksiyanın dife-

rensiallanması qaydasına görə 

  

 

Bu qaydanı bütün funksiyaların inteqralının isbatına və qaydalara tətbiq etmək olar.

Qeyri-müəyyən inteqralın düsturları müəyyən inteqral üçün doğrudur. Lakin, burada sahə tapılır. Bütün funksiyaların müstəvidə təsvir olunduqlarını qeyd edib, parçada verilmiş funksiyanın müstəvidə sahə tutduğunu göstəririk. Bu sahəni əyrixətli trapesiyanın sahəsini kiçik düzbucaqlara bölərək hesablamaq mümkün olduğunu deyirəm (Əyrixətli trapesiya  oxudan ayrılmış  parçasından,  düz xətlərindən və verilmiş funksiyanın

qrafıkindən ibarətdir). Lakin bunun üçün əvvəlki dərsdə öyrəndiyimiz teorem daha əlverişlidir. 

Teorem.  funksiyası  – parçasında kəsilməz, mənfi olmayan funksiya olduqda  olarsa, ib-

tidai funksiyanın artımı əyrixətli trapesiyanın sahəsinə bərabərdir ( ibtidai funksiyadır).

 

Nəticələri ümumiləşdirərək müəyyən inteqralın tərifini vermək və Nyuton-Leybnis düsturunun ifadəsini yazmaq olar.

Tərif. Verilmiş  parçasında kəsilməz   funksiyasının  ibtidai funksiyasının bu parçaya uyğun

 artımına   parçasında müəy-

yən inteqralı deyilir və   kimi yazılır.

               

Bərabərlik Nyuton-Leybnis düsturudur.

Müəyyən inteqralların həlli zamanı qeyri-müəyyən inteqralın və müəyyən inteqralın xassələrindən, ümumi qaydalardan (hissə-hissə inteqrallama və dəyişənin əvəz edilməsi üsulu da daxil olmaqla) istifadə edilir. 

  

Xassələr

 

1)                

 

2)                

 

3)                

 

4)               İstənilən  üçün 

 

 

5)               İstənilən  ədədi üçün

 

6)                

 

7)                tək funksiya olduqda

 

 

8)               cüt funksiya olduqda

 

İndi hasilin və nisbətin inteqralını hesablamaq üçün istifadə olunan dəyişənin əvəz edilməsi və hissə-hissə inteqrallama düsturlarına baxaq.

 

9)               Dəyişənin əvəz edilməsi  funksiyası  parçasında təyin olunmuş kəsilməz funksiyadır və  inteqralı verilir. İnteqralaltı funksiya mürəkkəb  yaxud bir neçə funksiyanın hasilindən (nisbətindən) ibarət funksiya olarsa,  

inteqralında                    əvəzləməsi aparsaq                           

olur və  inteqral

 

düsturu ilə hesablanır.

 

10)             parçasında təyin olunmuş kəsilməz   funksiyalarının törəmələri də hə-

min parçada kəsilməzdirsə, 

   

                  

 

hissə-hissə inteqrallama düsturu doğrudur.

 

Misal. Müəyyən inteqralları hesablayaq.

1)    

2)    

3)   

4)   

Həlli.

 

2)   = 

       

3)   

4)   

 

Misal. Mürəkkəb funksiyaların müəyyən inteqrallarını hesablayaq.

1)   

2)   

Həlli.

1)   

2)   

 

Misal. Aşağıdakı inteqralları hesablayaq: 

1)   

2)    

Həlli.

1)    

2)    

Misal.  bərabərsizliyini həll edək.

Həlli.

    

      

      

  

  

  

 şəti ödənmir. Ona görə

də, bəabərsizliyin həlli  aralığı olur.

 

 

 

 

 

 

§ 7. Kompleks ədədlər

 

7.1. Kompleks ədədlər

 

Kompleks ədədlərin riyaziyyata daxil olması kvadrat və kub tənliklərin tənliklərin həlli ilə əlaqədardır. Kvadrat tənliklərin həlli zamanı diskriminant sıfırdan kiçik olduqda tənliyin kökü olmadığı qəbul edilmişdir (Yəni mənfi ədədlərin kvadrat kökü yoxdur - belə ədədlər var və onlar xəyali ədədlərdir).

Kub tənliklərinTartalli qaydası ilə həlli zamanı məlum oldu ki, bəzən xəyali ədədlər üzərində əməliyyat aparmadan həqiqi kök almaq mümükün deyildir. Tartalli qaydasına görə,

 

 tənliyinin kökü 

 

düsturu ilə tapılır. Buradakı  aşağıdakı sistemin həl-

ləridir.

 

Mənfi ədədin kvadrat kökü italyan riyaziyyatçısı Kardano (16-cı əsrin ortalarında) tərəfindən kub tənliklərin həlli zamanı tapılmışdır. Kardano bu ədədləri “sofistik”, yəni “anlaşılmaz” ədədlər adlandırmışdır. XVII əsrin 30-cu illərində Dekart indiyə kimi işlədilən “xəyali ədəd” adını tətbiq edir. Xəyali ədədlərin əksinə olaraq əvvəllər məlum olan ədədləri (musbət və mənfi, həmçinin irrasional) həqiqi ədədlər adlandırırlar. 

Həqiqi və xəyali ədədlərin cəminə kompleks ədədlər deyilir ().

Bu anlayış ilk dəfə 1831- ci ildə Qauss tərəfindən tətbiq edilmişdir. “Kompleks” sözünün tərcüməsi “birgə” deməkdir. 

Çox vaxt kompleks ədədi xəyali ədəd adlandırmışlar. Günümüzdə isə bəzən kompleks ədədlərə virtual ədələr də deyilir.

Kompleks ədəd  şəklində olur. Burada  və  hə-

qiqi ədədlər,  isə xəyali vahiddir. 

Kompleks ədədləri konstruktiv təlimlə tədris etdiyim “Kompleks ədədlər çoxluğu və kompleks ədədlər üzərində əməllər – X sinif” mövzusunda aşağıdakı kimi araşdırmışıq.

 

 

7.2.  Kompleks ədədlər çoxluğu və kompleks ədədlər üzərində əməllər–X sinif

 

Mövzunu konstruktiv təlimlə tədris etdim. Dərsdə ədəd anlayışını genişləndirib kompleks sözünü izahın edərək kompleks ədədləri aydınlaşdırdıq və kompleks ədədlər çoxluğunu aldıq. Rasional ədədlər üzərində əməllərin qaydalarına əsaslanaraq kompleks ədədlər üzərində əməlləri yerinə yetirdik.

Əvvəlcə sinfi qruplara ayırıb, həqiqi, kompleks, ədəd və  virtual adlandırdım. Qrupa ayrılmamışdan əvvəl şagirdlərə kartlarda sual payladım. Sualları riyazi və sözlü məntiqə əsasən tərtib etmişdim. Sualların cavabı qrupların adı idi. Şagirdlər cavablarına görə qruplarını tapdılar.

Səhvlərini birgə düzəltdilər. Mənsə nəzarət etdim. Kartlardan nümunə.

1)   

2)  Müvəffəqiyyət əldə etmək üçün necə biliyə sahib olmaq lazımdır?

3)   

4)  Bir ailənin üç üzvü dünya səyahətinə çıxmağı planlaşdırdı. Baba, ata və nəvə. Baba qoca idi. Xəyalən gəzdi. Ata pul toplamağa başladı. Nəvə İnternetdən istifadə etdi. Sizcə hansı səyahət daha real idi?

Sinfin təşkilindən sonra mövzunu araşdırdıq.

Sual. Ədəd anlayışını necə başa düşürsünüz?

Cavab. 

1)               Ədəd varlıqların miqdarını göstərir.

2)               Ədəd varlıqların say xarakteristikası üçün istifadə olunan anlayışdır. 

3)               Ədədlə kəmiyyətlərin ölçüsü müəyyən olunur.

4)               Ədədlər çoxluqlar yaradırlar. 

Sual. Ədədlər hansı çoxluqları yaradırlar?

Cavab.

1)  Natural ədədlər çoxluğunu  

2)  Tam ədədlər çoxluğunu  

3)  Rasional ədədlər çoxluğunu

4)  Həqiqi ədədlər çoxluğunu  

Tapşırıq. Natural ədədlər çoxluğunu pillə-pillə həqiqi ədədlər çoxluğuna qədər genişləndirin.  

Cavab.

1)     Sayma zamanı istifadə olunan ədədlər natural ədədlərdir. 

 natural ədəd deyil. Ən kiçik natural ədəd  dir. 

 

2)     Natural ədədlər çoxluğunu 0 və natural ədədlərin əksi ilə genişləndirdikdə tam ədədlər çoxluğunu alırıq.

 

3)     Tam ədədlər çoxluğunu   şəkilli rasional ədədlərlə genişləndirdikdə rasional ədədlər çoxluğunu alırıq.

 

4)     Rasional ədədlər çoxluğunu irrasional - kök altından tam ədəd kimi çıxa bilməyən ədədlərlə genişləndirib həqiqi ədədlər çoxluğunu alırıq və onu  ilə işarə edirik.

Tapşırıq. Tənliyi həll edək. 

 

Həlli.   

                   tənliyin kökü yoxdur.

Orta məktəbdə köklər haqqında məlumat verərkən müsbət ədədin tək dərəcədən bir, cüt dərəcədən əks işarəli iki kökü olduğu qeyd edirik. Cüt dərəcədən mənfi ədədin isə kökü yoxdur deyilir. Əslində kökaltında kökün dərəcəsi qədər ədəd var. Mənfi ədəd də kökaltından xəyali ədəd kimi çıxır. Belə ədədi ədədlər çoxluğunda göstərmək üçün ədəd anlayışını genişləndirmək və kompleks ədədin tərifini vermək lazımdır.

Tənliyin kökü var və kompleks ədəddir deyirəm. Kompleks haqqında fikirlərini soruşuram.

Sual.  Kompleks sözünü necə başa düşürsünüz? Cavab:

1)  İnsanın hansısa cəhətinə görə kompleksi olur. 

2)  Ticarət, heyvandarlıq, yaşayış kompleksi var.

3)  Kompleks müalicə aparılır.

4)  Fənlər kompleks halda tədris olunur.

Müəllimin şərhi: Kompleks birdən çox hissədən ibarət olan və bu hissələrin bir-biriylə əlaqəli olduğunu göstərən bir tamdır. Maddi cəhətdən baxdıqda müəyyən varlıqların cəmidir. Psixoloji cəhətdən xülyadır. Kompleks ədəd bu iki cəhətin hər ikisini özündə birləşdirir.

 ( xəyali vahiddir) olduğunu qeyd edib  tənliyinin kökünü tapırıq. Dərsin əvvəlində

tənliyin kökü yoxdur demişdik.  

münasibətinə görə alırıq.

 xəyali ədəddir. ni

daxil etdikdən sonra həqiqi ədədlər çoxluğunu elə genişləndirmək lazımdır ki, bütün ədədlər yeni yaranan kompleks ədədlər çoxluğunda olsun və əməllər ödənsin. Bu 

 

şəklidir.

  şəklində olan kompleks ədədə cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədəd deyilir.      və  həqiqi,  virtual ədəddir.  xəyali ədəddir. Kompleks ədədin tərsi, əksi,

qoşması var və kompleks ədədlər üzərində əməllər demək olar ki, həqiqi ədədlər çoxluğundakı kimidir. Kompleks ədədlər çoxluğu bütün ədədləri daxilinə aldığından əməllər yerinə yetirilərkən həqiqi ədədlərin qanunauyğunluğu pozulmamalıdır.    formasıda bütün ədədləri göstərmək olur.

 Məsələn.  

Tapşırıq.  Əks, tərs və qoşma kompleks ədədləri yazın.

Cavab.

1)      

2)      

3)      -dir.

Sual.  kompleks ədədləri

üzərində cəbri əməlləri necə yerinə yetirmək olar (onlara ikihədli kimi baxaq).

Cavab.

1)  Kompleks ədədlər ikihədli şəklindədirlər.

2)  Kompleks ədədləri çoxhədlilər kimi toplamaq (çıxmaq) olar.

 

3)  Kompleks ədədlərin vurulması çoxhədlilərin vurulması kimidir.

  

=   

Burada  nəzərə alınır.

4)  Ədədləri çoxhədli kimi böldükdə nəticə vermir.

İzahat: Kompleks ədədlərin nisbətini tapmaq üçün bölünəni və böləni məxrəcin qoşmasına vurmaq lazımdır.

Tapşırıq.  nisbətini tapaq.

Həlli:  nisbətini tapmaq üçün kəsrin surət və məx-

rəcini bölənin qoşmasına vurub hesablayaq aşağıdakı düsturu alırıq.

 

Dərs prossesində zəruri halda mövzunu izah etdim. Kompleks sözünün aydınlaşması kompleks ədəd və kompleks ədədlər çoxluğunun qavranılmasına kömək etdi. Kompleks ədədlər üzərində əməlləri şagirdlər biliklərinə əsaslanaraq yerinə yetirdilər. Nisbətin düsturunu qadaya əsasən aldılar. Ümumiyyətlə riyaziyyatda dusturları əzbərləməkdənsə, onların alınması qaydasını yadda saxlamaq əlverişlidir.

Misal. Hesablayın:   

Həlli.

  

  

  

Tapşırıq. İki kompleks ədəd yazaq. Onların cəmini, fərqini, hasilini və nisbətini tapaq. Həlli. 

 

İndi bu kompleks ədədlərinin cəmini, fərqini, hasilini və nisbətini tapaq.

1)    

2)    

 

3)    

4)    

 

Misal.Tənliyi həll edək.

  

Həlli. 

  

 

 

Mövzunun araşdırılmasını yekunlaşdırdıqdan sonra işçi vərəqlərində tərtib etdiyim sualları qruplara təqdim etdim.

 

İşçi vərəqlərindən nümunə: 

1)  Tam və rasional ədədlər çoxluğunun kəsişməsi hansı çoxluqdur?

2)  Həqiqi ədəd kompleks ədəd şəklində necə göstərilir?

3)  i – nin tək dərəcədən qüvvətlərini yazıb hesablayın.

4)  Hesablayın:

a)  ( 0,2 + 5i) + ( 0,3 – 2i) 

b)  ( i + 1)¹⁶ 

c)    

5)  tənliyini həll edin.

Şagirdlər işçi vərəqlərindəki misalları həll etdikdən sonra qruplardan seçilmiş bir nəfər işi təqdim etdi. 

Sonda dərs müddətində müəyyən kateqoriyalara görə apardığım  qiymətləndirməni şagirdlərin də rəyini nəzərə almaqla yekunlaşdırdım.

Kompleks ədədlərin daha ətraflı araşdırılmasını  sonrakı mövzularda davam etdiririk. Həmin mövzulardakı bəzi əsas məqamları da burada qeyd etmək istəyirəm.

Kompleks ədədlər haqqındakı izahatlardan gördük ki,  şəklindəki komplaeks ədəd  həqiqi ədəd

cütü vasitəsilə verilir. Ona görə də, bu ədədi koordinat müstəvisində  nöqtəsinin koordinatları kimi baxmaq olar. Daha doğrusu  koordinat başlanğıcından  nöqtəsinə yönəlmiş radius vektor kimi baxmaq

olar. Kompleks ədədlərin vektorlar kimi göstərilməsi onlar üzərində olan əməllərin həndəsi təsvir olunmasına imkan verir. Kompleks ədədlərin toplanması, çıxılması və ədədə vurulması vektorların toplanması, çıxılması və ədədə vurulmasına uyğun gəlir. 

Həndəsi təsvir nöqtənin polyar koordinatlarını da izah edir. Belə ki, nöqtələr müstəvidə yalnız dekart   deyil, həm də polyar  koordinatları ilə göstərilirlər.

Şəkil 13.

 

Fərz           edək   ki,         şəklində

kompleks ədəd verilmişdir. Ədədin modulunu və arqumentini araşdıraraq onu triqonometrik şəkildə göstərək.

Kompleks ədədi göstərən         vektorun uzunluğuna          bu kompleks ədədin modulu deyilir. 

        kompleks ədədinin modulu |            | - dir və 

hərfi ilə işarə olunur. 

 

düsturu ilə hesablanır.

Absis oxu ilə  kompleks ədədini göstərən  vektoru arasındakı  bucağına,   kompleks

ədədinin arqumenti deyilir.

Sıfra bərabər olmayan hər bir kompleks ədədin birbirindən tam dövrlərin sayı (yəni ) qədər arqumenti

vardır.  kompleks ədədinin koordinatları arasında

üçbucağın elementləri arasındakı asılılığı ifadə edən triqonometrik ifadələr doğrudur. 

 

və ya

 

Düsturlar nöqtənin polyar və Dekart koordinatları arasındakı asılılığı göstərir.  bucağını  - dan  və  nin işarəsini nəzərə almaqla tapırıq. 

 

Onlar triqonometrik şəkli verilmiş kompleks ədədlərin üzərində əməlləri yerinə yetirməyi asanlaşdırır.

 

 

 kimi verilmiş kompleks ədədləri vurmaq, bölmək, qüvvətə yüksəltmək və kök almaq üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə edilir.

1)   

2)   

3)   

4)   

 

 

 

§ 8. İbtidai sinif

 

8.1. Həndəsi fiqurlar - III sinif

 

Mövzunun araşdırılmasına başlamazdan əvvəl yeni təlim texnologiyalarının tətbiqi ilə keçirilən dərslərdə hansı prinsiplərin əsas götürüldüyünü aydınlaşdırmaq istəyirəm. 

Fikrimcə, bunlar aşağıdakılardır:  1) Dərsin mövzusu və məqsədi.

2)               Şagirdlərin tədris olunacaq mövzuya aid bilik və bacarıqları.

3)               Şagirdin idrakı-təfəkkür və təxəyyülü.

4)               İKT və əyaniliklər.

Dərsdə vaxt bölgüsü düzgün aparılmalıdır. 

1)     Təlim üsulunu nəzərə almaqla sinfin təşkili – 2 dəqiqə.

2)     Mövzunun araşdırılması – 20 dəqiqə (Araşdırma nəticəsində şagirdlər yeni biliklərini yaratmalıdırlar).

3)     Biliklərin yoxlanması – 8 dəqiqə.

4)     Təqdimat – 13 dəqiqə (Qrup tərəfindən seçilmiş lider və ya bütün qrup üzvləri işi təqdim etməlidirlər). 

5)     Ev tapşırığı - 2 dəqiqə.

6)     Qiymətləndirmə - dərs prosesi boyu müxtəlif kateqoriyalara görə-əməkdaşlıq, fəallıq və s. müəllim tərəfindən aparılır. Hər qrupun təqdimatdan sonra şagirdlərin də rəyi nəzərə alınmaqla yekunlaşır.

Fikirlərimi III sinif riyaziyyat dərsliyin üzərində aydınlaşdırmaq istəyirəm.

III sinif – Həndəsi fiqurlar.

Dərslikdə bu mövzu bir neçə saat üçün nəzərdə tutulub. Həndəsənin stereometriya bölməsinə aiddir. Məqsəd fəza fiqurları - kub, düzbucaqlı prizma, piramida, silindr, konus və kürə ilə tanışlıqdır. 

Dərsi planlaşdırarkən nəzərə almaq lazımdır ki, şagirdlər müstəvi fiqurları – üçbucaq və dördbucaqlılar, düz xətlərin qarşılıqlı vəziyyəti, bucaqların növləri haqqında məlumatlıdırlar. Fəza fiqurları formasıda cisimləri həyatda görüblər.

Mövzuya başlamazdan əvvəl fəza haqqında məlumat verdim. Tanış olacağımız həndəsi fiqurların fəza fiqurları olduğunu dedim. Fəza və müstəvi fiqurlarının fərqini aydınlaşdırdım. Yəni, şagirdlər bildilər ki, müstəvi fiqurları müstəvi üzərində olur. Fəza fiqurları ya tamamilə fəzada yerləşir, ya da onu bir hissəsi müstəvidə bir hissəsi fəzada yerləşir.

Sinfin fəza fiquru şəklində olduğunu dedim. Şagirdlərdən otaq haqqında fikirlərini soruşdum. Aşağıdakı kimi cavab verdilər. 

-     Otaq altı düzbucaqlıdan ibarətdir. 8 təpəsi var. Hər təpədən 3 xətt çıxır.

 Otağa oxşayan cisimləri sadaladılar.

-     Kibrit qutusu, kitab, dəftər, su çəni və s.

Düzbucaqlıları üz, xətlərin üzləri birləşdirən tillər, qarşıqarşıya olan üzlərin paralel və bərabər olduğunu izah edərək prizma anlayışını verdim. 

Kuba üzləri kvadrat olan prizma (paralelopiped) kimi baxdıq. 6 kvadratdan, 8 təpədən, tillərdən ibarət olduğunu qeyd etdik. 

Müasir dərslərdə əsas tədris vəsaiti dərsliklə yanaşı kompyuter və projektordur. Mövzunu tədris edərkən həndəsi fiqurların Paint, CorelDRAW X3 kimi proqramlarda şəklini çəkmək əlverişlidir. 

Şəkil14. 

Şəkil 14.

Məsələn: Piramida haqqında məlumat verərkən CorelDRAW X3 proqramında dördbucaqlı (istənilən çoxbucaqlı ola bilər) çəkib  alətlərdən istifadə edərək piramida aldım.

 Ümumiyyətlə, Misir ehramlarına görə pramidanı şagirdlər tez qavrayırlar. Oturacağının 4 bucaqlı, üzlərinin üçbucaq olduğunu dedilər. 

Silindri düzbucaqlını bir tərəfi ətrafında fırlamaqla aldıq. Kompyuter qrafikası ilə çəkilmiş şəkil və kartondan hazırlanmış model təsəvvürü tamamladı. Şagirdlər cismin oturacaqlarının iki dairədən ibarət olduğunu dedilər. Üzü göstərmək üçün modeli kəsdim. Düzbucaqlı alındı. 

Konusu düzbucaqlı üçbucağı düz bucaq əmələ gətirən tərəflərindən biri ətrafında  fırladaraq alırıq. Şagirdlər dondurmaya, kosa papağına  bənzəyən cisim aldığımızı söylədilər. 

Mövzudakı sonuncu həndəsi fiqur kürədi. Dərsi maraqlı yekunlaşdırmaq üçün kürəni hekayəyə, riyazi ifadələri bədii obrazlara çevirdim. Hekayə kitabın ikinci hissəsində verilib. Şəkil 15

 

 

 

8.2. Paralel və perpendikulyar  düz xətlər – III sinif

 

Mövzunun adından aydındır ki, dərsdə paralel və perpendikulyar  düz xətlərin izahlı şəkildə tərifini verməliyik. Buna həndəsədə ilk anlayışlardan olan xəttin nə olduğunu açıqlamaqla başladıq. Xətti açıqlayarkən şüa və parçanı, iki xəttin qarşılıqlı vəziyyətinin araşdırarkən paralellik və perpendikulyarlığı izah etdik. Perpendikulyarlığa çarpaz düz xətlərin xüsusi halı kimi baxıb, iti, kor, düz, açıq və tam bucaqları araşdırdıq. 

İlk soruşduğum şəkildə təsvir etdiyim xətlərın adı oldu (Şəkil 16).

Sual: Necə xətlər var?  

Cavab:  

Düz xətlər var.

Əyri xətlər var.

Uzun xətlər var.

Qısa xətlər var.

Müəllimin şərhi: Düz xətt hər iki tərəfə sonsuz uzanır.

Xətt çəkirəm. Şagirdlərə onu bir neçə hissəyə bölməyi tapşırıram. 

Sual. Şəkildəki xətlər haqqında nə deyə bilərsiniz?

Cavab.

Xətt hər iki tərəfə uzanır.

Bir tərəfdən uzanır.

Sağa və ya sola uzanır.

Heç bir tərəfə uzanmır.

        

Müəllimin şərhi: Hər iki tərəfdən məhdud (yəni-heç bir tərəfdən uzanmayan xətlər) düz xətt parçadır. 

Şüanın başlanğıc nöqtəsi var. Şüa bir istiqamətdə sonsuz uzanır (Günəş işıq şüası saçır).

 Şəkil 17. Sual:

 

Düz xətlər hansı vəziyyətdə olur?

Cavab:

Düz xətlər kəsişmir.

Düz xətlər üst-üstə düşür.

Düz xətlər kəsişir.

Müəllimin şərhi: Kəsişməyən düz xətlər paraleldir. Kitab və dəftərlərimizin qarşı-qarşıya olan tərəfləri paraleldir.

Müxtəlif vəziyyətdə kəsişən düz xətlər çəkirəm.

Sual:

Kəsişən xətlər haqqında nə deyə bilərsiniz?

Cavab:

İki kəsişən düz xəttin bir ortaq nöqtəsi var. 

Düz xətlər müxtəlif bucaq altında kəsişirlər. 

Düz xətlər düz bucaq altında kəsişirlər.

Müəllimin şərhi: İki duz xətt düz bucaq altında kəsişirsə perpendikulyardır.

Şagirdlər dərslikdə şəkilləri verilmiş (düz xətlərin kəsişməsindən alınan) bucaqların adlarını söylədilər. Küçəni paralel məktəbi isə küçəyə perpendikulyar düz xətlə təsvir edib məktəbimizin yerini göstərdilər.

Dərsin “Təssəvvürlərin əks olunması” hissəsində şagirdlər qrupların işçi vərəqlərində tərtib olunmuş misalları həll etdilər. 

İşçi vərəqlərindən birinin nümunəsi: 

Qrup 1.

1)               Düz xətt çəkin.

2)               Şüanı necə təsəvvür edirsiniz?

3)               Düz xətlərin qarşılıqlı vəziyyətini göstərin.

4)               Ətrafınızdakı paralel düz xətləri göstərin.

5)               Bucaqların növlərini deyin.

6)               Perpendikulyar düz xətlər hansı bucaq altında kəsişirlər?

Sonda qrupların təqdimatı oldu. Dərs prosesində müxtəlif kateqoriyalara görə apardığım qiymətləndirmə yekunlaşdı.

 

 

 

 

 

II B Ö L Ü M

 

DÜŞÜNCƏNİN RİYAZİ DİLİ

 

(ELMİ-BƏDİİ HEKAYƏLƏ, MİNİATÜRLƏR)

 

 

 

1.  Ala-dəymiş

 

 

Qarpız yaşıl tağların arasından boylanıb:  

-        Özümdən yoxdu! – dedi. – Kürəşəkilliyəm. Günəş də mənə bənzəyir.

Günəş hirsindən qızararaq alov püskürdü. İsti nəfəsi külək olub Yer səthində əsdi. Bostanın oynatdı, tağları araladı. İsti küləklər çətirsiz qarpızı çatlatdı. 

Yemiş:

-        Nə oldu, Günəbənzər! – dedi.

Qarpız özünü sındırmadı.

-        Nə olacaq ki! Şirinliyimdən çatladım. Niyə istehza edirsən! Kainat da mənə bənzəyir.

-        Sənə yox, kürəyə. 

-        Kürə də məndədi, sfera da. – Çatını göstərdi. – Qabığım sfera, daxilim kürədi. – Şişərək iki yerə bölündü. Qırmızımtıl, kalımsoy idi. – Kəsiyim isə dairədir. Diqqətlə baxsan dairənin kənarındakı çevrəni də görərsən. 

Yemiş gülərək söylədi:

-        Tamamilə həndəsi fiqurlarmışsan ki! 

-        Sənsə, uzaqbaşı ellips ola bilərsən...

Şamba söhbətin bu yerində dözməyib:

-        Biz ellipsvari də oluruq, kürəşəkilli də! - dedi. -  Sənsə, qırmızımtıl, hələ yetişməmiş qarpızsan. 

Balacanın sözü Günəşə xoş gəldi. Gülümsəyib nəfəsi ilə bostanı oxşadı. 

-        Kalla da danışmaq asandı, dəymişlə də. Vay aladəymış əlindən. – söylədi. - Aladəymiş olmayın!

 

 

 

2.  Münasibət

 

Triqonometriya səmada yarandı. Həyat üçbucağında  (ömür, əməl və əbədiyyət) münasibətlərini müəyyənləşirdi. Əbədiyyəti əməllərin yasama nisbəti kimi qəbul etdi. Zamanı xeyrə və ya şərə bölərək adamların həyata baxış bucaqlarını hesabladı.

Triqonometriya özünü təsdiqləmək üçün fəzadan müstəviyə endi. Düzbucaqlı üçbucaqda bucaq (əbədiyyəthəyata baxış) və tərəflər (əməllərin zamana-ömrə nisbəti) arasında münasibət oldu.

Verilmiş bucağın sinusu =qarşı katet/hipotenuz 

Verilmiş bucağın kosinusu= qonşu katet/hipotenuz 

Verilmiş bucağın tangensi= qarşı katet/qonşu katet  Verilmiş bucağın kotangensi= qonşu katet/qarşı katet 

Sonra elmin dərin qatlarına baş vurdu. Triqonometrik eynilikləri, sinuslar və kosinuslar teoremini ifadə etdi. İrəlilədikcə əməlinin nəticələrinə - xeyir yaxud, şər olduguna fikir vermədi. Bir vaxt ayıldı ki,  tənlikdə məchul olub. Əvvəlcə özünü tapmalıdı. Tənlik isə onu qaydalara uyğun (cəbri tənliyə gətirmək, yardımçı bucaq daxil etmək, triqonometrik ifadələri qiymətləndirmək… ) həll etdi.

Bu yerdə özünü hakim sayan triqonometriya Təbiətə və qanunlara tabe olduğunu anladı. O, həyat naminə münasibətlərdən şəri uzaqlaşdırdı. Əbədiyyətə qovuşmaq üçün xeyri ömürə yoldaş etdi.

 

 

 

 

3.  Qələm

 

Sehirli qələm müstəvidə bir necə xətt çəkdi. Onları nizamlayıb adlandırdı. Birinci xəttə toxunmadı. O, kainatın dərinliklərinə doğru sonsuz uzandı. İkinci düz xətti kəsdi. Şüa oldu. Üçüncü düz xətti isə hər iki tərəfdən kəsib parça adlandırdı.

Sonsuzluğuna qürrələnən düz xətt şüaya:

-     Bir bunun boy-buxununa bax! – dedi. – Bir tərəfə uzanaraq mənə tay olmaq istəyir. Unutma ki, sən yarım düz xətsən.

-     Onda iki mən ol! - Şüa cavab verdi.

Düz xətt qatlandı. Bucaq oldu.

-     Kor bucaq oldun. 

-     Fərqi nədi? Bucaq ortaq təpəli iki şüa deyilmi?

-     Doğrudu. Adı ki bucaqdı.

Xətt hirslənib tərəflərini düz saxladı.

-     Düz bucaq oldun. Özünü öymə. Açıl, bir dənə düz xətt ol.

Düz xətt dilxor bükülərək iti bucaq oldu.

Şüa lovğalanaraq:

-     Bir daha mübahisə etməyin! – dedi.- Sizlərdən qüdrətliyəm. Günəş də işıq şüası saçır. – Parçaya baxdı. – Sənsə çox kiçiksən.

-     Doğrudur. Lakin, sən mənsiz nə ədədi şüa, nə də şkala ola bilərsən. Kəmiyyətləri ölçmək qüdrətin olmaz.

Sehirli qələm ağıllı balacadan (parçadan) razı halda düz xətti açdı. Yanında onu kəsməyən ikinci düz xətt çəkdi. Onları paralel düz xətlər adlandırdı. Mübahisəni kəsdiyini zənn etdi. Az keçmiş mübahisə qızışdı. Xətlər kəsişdi. Sehirli qələm bu dəfə onları düz bucaq altında kəsişdirib perpendikulyar adlandırdı.

-     Düz dayanıb, düzgün mübarizə aparın! 

Xətlər qələmin əmrindən çıxıb istədikləri kimi kəsişdilər. Əyildilər. 

Qələmsə, sakit halda:

-     Həyat mübarizədir! Güclü qalib gələcək! – deyərək DÜZün qələbəsini arzuladı.  

 

 

 

4.  Təfəkkür dünyası

 

Kainat yarandığı gündən Allah sevgisindən güc aldı. Ümumdünya cazibə qanunu qalaktikanı, planetləri vəhdətdə saxladı. Tamlığa can atan bütün yarımlar bu sevdaya həyat verdilər. Bütün münasibətləri elə ilk gündən funksiyalar müəyyənləşdirdi.

Rəvayətə görə, riyaziyyat ölkəsində funksiyalar ailəsi yaşayırdı. Təfəkkür dünyasında onun mühüm yeri vardı. Ana arqumentlə ata funksiya çox xoşbəxt idilər. Ata ana funksiyanın sərbəst fikirlərinə hörmətlə yanaşır, ondan asılı olaraq dəyişirdi. Bir gün arqument müəyyən olunmuş səddi keçdi. Funksiya ətrafındakıların qınağına tuş gəldi.

İnteqral dostuna hirsləndi.

-  Sən necə kişisən ki, ailəni sərbəst buraxmısan! Mən inteqralam. İşarəm altında olan bütün münasibətlər – funksiyalar mənə tabedirlər. 

Sözlər funksiyaya ağır gəldi. Arqumentdən ayrıldı. Arqument sıfra bərabər-tənlik, funksiya sıfır-koordinat başlanğıcı oldu. Ayrılıqda mənalarını itirdilər. Kor-peşman barışdılar.

Ailə övladlarını başına toplayıb həyatına davam etdi. Müxtəlif münasibətləri ifadə edən övladlar böyüyərək funksiyalar oldular. Ata onlardan razı idi. Lakin, kiçik oğlu ərkəsöyünlük, özbaşınalıq edirdi. Funksiya keçmiş günlərini, səhvlərini xatırladı.  O, y = kx + b münasibətini ifadə edən oğlunu danladı.

Oğul:

-  Ata, ailəmiz sərbəstdir. – dedi. – İstədiyimiz kimi hərəkət edə bilərik.

Ata acıqlanıb y = kx + b - də b = o etdi. y = kx funksiyası arqumentin sıfır qiymətində sıfıra çevrildi.

Oğul atadan incidi. 

-  Məni sən sıfır etdin. Ailəmi dağıtdın.

-  Günah özündədir. Sərbəst idiniz...

-  Xanımım səhv etdi - sıfır oldu. Ayrıldıq.

-  Hələ yaxşı qurtarmısan. Allahın səni sevib. Mənfiyə düşsəysdi mənliyini, mənəviyyatını itirərdin.

-  Qadındakı gücə bax!

-  Bəs bilmirsən qadın yıxmayan ev yüz il tikili qalar!

-  Qardaşlarım necə yaşayırlar? Kvadrat, kök və kəsr funksiyaları deyirəm.

-  Onların da hər biri üçün arqument – qadın təhlükəsi var! Kvadrat funksiya arqumentdən asılı olaraq sıfra çevrilə, əmsala görə mənfi ola bilər.

-  y = münasibətini ifadə edən qardaşım xoş-

bəxtdi. Kökün qanunları onu həmişə müsbət edir.

-  Doğrudur... Unutma ki, kökaltı ifadə sıfır ola bilər. Normal yaşayışımız üçün hamımız diqqətli olmalıyıq. Kəsr funksiyanı ifadə edən oğlumun həyatı da arqumentdən asılıdır.

-  Niyə? 

-  Arqumentin məxrəci sıfra çevirən qiymətində oğlum sonsuzluqda yox olur! Axı sifra bölmə əməli yoxdu. Gənc funksiya xeyli fikrə getdi.

-  Deməli, biz funksiyaları arqumentlər idarə edir!

-  Düzdür. Bizlər yenilməz, məğrur, güclü görünürük!

Lakin, hamımız bizi idarə edən o qadından asılıyıq!

 

 

 

 

5.  Qanun

 

Riyaziyyat təfəkkür dünyasını fəth edərək:

-        Elmlərin şahıyam! – dedi.

Təfəkkür:

-        Oğul, böyük danışma! – söylədi. – Səni təxəyyülümdə yaradıb öz dünyamda böyütmüşəm.

-        Ustad, hirslənməyin! Mən nəinki dünyanın, hətta bütün kainatın şahıyam.  Axı elmlər dünyanı öyrənir.

-        Belə de... Elmdə şahlığını qəbul etdik. Dünyada şahlığını sübut et!

Riyaziyyat xeyli fikrə getdi. Təxəyyül köməyinə gəldi. Sözə başladı.

-        Dünyanı riyazi qanunlar idarə edir. – dedi. - Böyük partlayışdan sonra dünya zərrə-zərrə toplanaraq yarandı. İndi hissə-hissə çıxılaraq məhvə doğru gedir.

Allah yaratdıqlarına sevgisinin qüvvətini bəxş etmişdir. Lakin nifrət onu bölür və ya kök altına salır.

Yaşam həyatın sürətindən asılıdır. Sürətsə, zamana görə dəyişən məkanın törəməsidir. Xeyrin törəməsi xeyirxahları, bədinki isə bədxahları yaradır...

Təfəkkür ağıllı riyaziyyatın sözünü kəsib:

-        Xeyirxahları inteqralla, bədxahları kök altına sal! – dedi. - Qoy xeyir yüksəlsin, şər alçalsın.

Riyaziyyat qələbəsinə sevindi.

-        Oldu! Dünyanı riyazi qanunlarla yaşadacağam!

Təfəkkür gülümsəyərək susdu. Qəlbində:

-        Bizi Yaradan yaşadır! – söylədi. 

 

 

 

 

 

 

6.  Çoxüzlü

 

Zaman səthi sonlu sayda müstəvi çoxbucaqlıdan ibarət olan məkanda durmadan irəliləyir, zamanla təfəkkürü kamilləşdirəcəyinə inanırdı. O, həyatı qaydaya saldığını fikirləşərkən müstəvi fiqurlarının narazılığı fəzanı bürüdü. 

Müstəvi fiqurları:

-        Ədalətsizlikdir! – dedilər. – Fəzadakı cisimlər əsasən, düzbucaqlı çoxbucaqlılar üzərində qurulubdur.  Ayrılıb müstəvi fiqurları olacağıq.

Fəza susdu. Zaman dayanmaq, yaşam məhv olmaq təhlükəsi ilə üzləşdi. 

Məsələnin ciddiləşdiyini görüb təfəkkür işə qarışdı.

-        Dostlar, gəlin yaşama zərər vurmadan problemimizi həll edək! Nədən narazısınız ?

Prizma:

-        Oturacaqlqrım istənilən çoxbucaqlı, yan səthim düzbucaqlılardan ibarətdir. Əsasən düz (tilləri perpendikulyar) və düzgün (tərəfləri bərabər) olan halıma baxılır, həllim zamanı düzbucaqlının və düzbucaqlı üçbucağın 

düsturlarından (– Pifaqor teoremi)

istifadə olunur. Düzlərlə yaşadıöıma görə başqa çoxbucaqlılar məndən inciyir!

Paralelopiped onunla razılaşdı. Kub problemi olmadığını, onsuz da düz bucaqlardan ibarət olduğunu dedi. 

Silindr və konus kölgələrinə baxaraq kədərləndilər. Görüntülərində düz bucaq yox idi. 

Təfəkkür bu cisimlərin obrazlarını oxşadı.

-        Silindr sən düzbucaqlı üçbucağın katetlərindən biri ətrafında fırlanmasından, Konus sən isə düzbucaqlının tərəflərindən biri ətrafında fırlanmasından alınmısan. 

Pramida tillərində perpendikulyarlıq tapmayıb:

-        Oturacağım çoxbucaqlı, yan səthim ortaq təpəli üçbucaqlardan ibarətdir. – söylədi. - Məndə müstəvi fəzaya yüksəlir. Bu yersiz söhbətləri yığışdırın. Dostluğumuza kölgə salmayın!

Prizma piramidadan narazı qaldı.

-        Sənin düz bucaq problemin yoxdu. Ona görə, arxayın danışırsan.

-        Düzlük özümdədir. Görmürsən necə möhtəşəməm! 

Təfəkkür çoxüzlüləri dinləyərək fikrə getdi. Dahilərdən birinin “Danış ki, görüm səni!” sözlərini xatırlayıb gülümsədi.

-        Sizi başa düşdüm. Adınız çoxüzlü olsa da, həlləriniz düzdən asılıdır. Ey çoxbucaqlılar, real olun. Düzbucaqlıların hesabına ayaq üstə dayandığınızı qəbul edin. Formanızdan asılı olmayaraq düz olmağa çalışın. Ədaləti zamanın ixtiyarına buraxın. Allahın köməyi ilə düzlər həmişə qalib gəlir!

Zaman ağıllı təfəkkürün sözlərindən xoşlanıb öz axarına düşdü. 

-        Günün yox, tarixin qalibi olmağa çalışın! – söylədi.

 

 

 

7.  Həqiqət

 

Həqiqət həyat yollarda zamanını itirib uzaqdan işartı kimi görünən elm diyarına üz tutdu. İlk rastlaşdığı riyazi qanunauyğunluqlar oldu. O özünü elmdə tapacağına ümid edirdi. Elmsə ona həyatdakı rolunu anlatmağa çalışdı. 

Elm yaranmanı p ilə işarə etdi. Həqiqət varolmanın 

şəklində hissəsi oldu. Kəsrə uyğun ədəd isə   kimi ta-

pıldı. Sonra yaşamın həyatın neçə faizini təşkil etdiyi müəyyənləşdirdi. 

 yasamının  düsturu ilə he-

sablandı. 

Həqiqət həyatın əsasında dayanmaq istəyirdi. Onun hissəsi olduğuna kədərləndi.

Elm:

-        Təmkinli ol, dostum! – dedi. – Həyatın işıqlı üzü, haqqın səsi sənsən! 

-        Təəssüf! Belə vəziyyətdə görünməyən üz, eşidilməyən səs ola bilərəm!

-        Yox, məni sən yaşadırsan.– söyləyərək Elm nur saçdı. - Məndə yaşayırsan!

Həqiqət elmin dərin qatlarına baş vurdu. Hər addımında açıqlanmalı olan məhcullarla rastlaşdı. Anladı ki, elm dəryasıda üzmək də olar, itmək də. 

Həqiqət Elmdə hissə göstərən ədədə uyğun kəsr olmasına kədərlənsə də qanunların-dürüstlüyün izahı olduğuna sevindi. 

O,   hissəsinə uyğun qiyməti k olan elmi  düsturu ilə müəyyən etdi.  - i d olan elimin həyatiliyini isə

 

düsturu ilə hesabladı.

Beləliklə, həyatda itmiş Həqiqət özünü Elmdə tapdı. Uduzduğunu qəbul etməyərək yaşama da bir elm kimi baxdı.

 

 

 

 

 

III B Ö L Ü M

 

Elmi məqalə

 

Orta məktəb müəlliminin təcrübi mülahizələri

Üçüncü sinif riyaziyyat dərsliyi barədə

 

Müasir zəmanənin yeniyetməsi qlobal dünyada, informasiya cəmiyyətində yaşayır. Onun təfəkkürü inkişaf etməsə, ətrafında baş verən hadisələri lazımınca anlamaq iqtidarında olmaz. Sağlam düşüncəli fərd yetişdirmək isə ailə və məktəbin birgə fəaliyyəti nəticəsində mümkündür. Məktəblərdə həmişə təlim və tərbiyə işləri paralel aparılıb. Lakin bu gün dünya ilə ayaqlaşmaq üçün pedoqoji-sosial tələblər dəyişib. Artıq həm ailədə, həm də məktəbdə yeniyetmə yaşına çatmış şagirdlərə yetgin, sərbəst fikir yürüdəcək, qərar verəcək şəxs kimi baxmaq tələb olunur. Müstəqillik dönəmində ölkəmizdə keçirilən mütərəqqi təhsil islahatlarının da əsas məqsədlərindən biri də məhz budur.

 Müasir tələblərə uyğun olaraq dərsləri yeni pedaqoji texnologiyaların və İKT tətbiqi ilə tədris etmək lazımdır. Kurikulumla keçirilən bu cür interaktiv dərslərdə şagirdlərin təfəkkürü inkişafına xüsusi fikirverilir, köhnə biliklər əsasında yeni biliklər yaranır. 

Yeni interaktiv texnologiyalardan biri də əsas müddaları tanınmış pedoqoq-metodist Fatma Bunyatova təfəfindən işlənmiş konstruktiv təlim metodu, fikrimizcə, milli təhsil sistemində daha səmərəli sayıla bilər.

F.Bünyatova çoxillik təcrübəsinə əsaslanaraq, konstruktiv təlimdə məntiqi bilik strukturlarını yarada bilmişdir. Yeni interaktiv texnologiyalar nəinki müəllim və şagirdlərə, hətta dərsliklərə, eləcə də dərs vəsaitlərinə, metodiki ədəbiyyata da müasir tələblər baxımından yanaşmağı tələb edir. 

Məktəblərimizdə zamanın tələbinə uyğun olaraq interaktiv dərslər keçirilir. Lakin yeni pedaqoji texnologiyalara əsaslanaraq tərtib edilmiş dərsliklərimiz əsasən ibtidai sinfi əhatə edir. Son illər müxtəlif sinif şagirdləri üçün nəşr olunmuş dərsliklər ilə tanış oldum və riyaziyyat kitabındakı bəzi məqamlar diqqətimi çəkdi. Üçüncü sinif üçün dərslik kitabı keyfiyyətli və nəfis tərtibatla işlənmişdir. Riyaziyyatda dərslərarası bağlılıq var. Kitabdakı mövzularda pilləlik prinsipi gözlənmış, yeni pedaqoji texnologiyaların tələbinə uyğun olaraq mövzulararası, fənlərarası əlaqə genişləndirilmişdir. Dərslik, yaxşı mənada, elmi baxımdan dar çərçivədən çıxır. Bu isə şagirdlərinin dünyagörüşünün formalaşması baxımından əhəmiyyətlidir. Digər təfəfdən tapşırıqların mətnlərində millilik var. Kitabda həndəsə, fizika tipli  məsələlərlə yanaşı vətənimizin coğrafiyasını öyrədən, işğal olunmuş ərazilərini xatırladan tapşırıqlar da yer alır. Dərsliyin birinci bölməsində II sinifdə keçirilənlərin təkrarı verilib: 100 dairəsində hesab əməlləri, müxtəlif tip məsələlərin həlli, müstəvi və fəza-həndəsi fiqurları yada salınır. Sonrakı bölmələrində 1000 dairəsində ədədlər üzərində əməllər, sürətli hesablama üsulları, uzunluq, kütlə, zaman, tutum-həcm anlayışları aydın izah olunub. Vurma və bölməyə həm riyazi, həm də məntiqi cəhətdən baxılıb. Qalıqlı bölmə və yuvarlaqlaşdırma sinfə uyğundur. Tənlik qurma ilə məsələ həlli mövzusunda ağır məsələlər var. 

Dərsliyin bir bölməsində bütün həndəsə kursu konspetləşdirilib. Söz ehtiyat hissəsinə baxaq: nöqtə , düz xətt, parça, şüa, bucaq (növləri), paralel düz xətlər, kəsişən düz xətlər, perpendikulyar düz xətlər, üçbucaq, bərabərtərəfli üçbucaq, bərabəryanlı üçbucaq, müxtəliftərəfli üçbucaq, çoxbucaqlı, dördbucaqlı, trapesiya, paraleloqram, düzbucaqlı, kvadrat, romb, kub, düzbucaqlı prizma, piramida, konus, silindr, kürə, fəza fiqurlarının elementləri (təpə, til, üz) və açılışı, perimetr, sahə, simmetriya... Bunlar, sadəcə sözlər deyil, hər birinin arxasıda biliklər sistemi durur. Anlayışlar və fiqurlar haqqında məlumatlar sadə şəkildə verildiyindən müstəvi fiqurlarını müəyyən mənada başa düşmək olar. Lakin stereometriyanın üçüncü sinif şagirdi tərəfindən qavranılması bir müəllim kimi bizdə şübhə yaradır. Əsasən 10-11 siniflərdə tədris olunan  kub, düzbucaqlı prizma, piramida, konus, silindr, kürə, fəza fiqurlarının elementləri (təpə, til, üz) və onların açılışı yuxarı sinif şagirdləri tərəfindən də çətinliklə anlaşılır. Şagirdlər xəyalən fiqurları təsvir edə bilmədiklərinə görə məsələ həllərində yanlış nəticələr alırlar.

Fikrimizcə, əgər fəza fiqurlarını keçmək vacibdirsə, kub, piramida və kürə haqqında məlumat vermək kifayətdir. Müəllim dərsi texnologiyanın tətbiqi ilə keçdiyindən kvadratdan kubun, çoxbucaqlıdan piramidanın, dairədən kürənin alındığını əyanı göstərə bilər.  Şagirddə cismin elementləri haqqında təsəvvür yaranar. Mövzu anlaşılarsa, kubu prizma və onun növləri, piramidanı tetraedr, kürəni sfera ilə əlaqələndirib dərsi genişləndirmək mümkündür...

 

V-XI siniflər informatika dərslikləri haqqında 

 

Müasir insan informasiya cəmiyyətində yaşayır və o informasiya mədəniyyətinə yiyələnməlidir. Yeni nəsildə informasiya mədəniyyətini isə insanların intellektual inkişafını təmin edən yeni təhsil sistemi, İKT- dan istifadə bacarığı, kompyuter və İnternet texnologiyalarından bəhrələnərək məlumat vasitələrini asan və tez əldə etmək imkanı formalaşdırır. Bunları nəzərə alaraq, orta məktəbdə çalışan bir müəllim kimi təhsil sistemində xüsusi yeri olan və gələcək intellektuallarımızı formalaşdıracaq informatika dərsliklərini araşdırıb fikirlərimizi bölüşmək istəyirik. 

Orta məktəb informatika dərslikləri aşağıdakı sahələr üzrə işlənmişdir: 1) İnformatika və onun tarixi; 2) Proqramlaşdırma; 3) Sistem və tətbiqi proqramlar; 4) İnternet və kompyuter texnologiyaları.

Dərsliklərdə informasiyann qəbulu, emalı, saxlanması və ötürülməsinin üsul və vasitələri tədris olunur: informatikanın əsas məqsədi də budur. Yerli məktəblər üçün nəzərdə yutulan kitablarda milliliyə xüsusi önəm verilib. Mövzuların izahında qədim tariximizə, milli mədəniyyətimizə istinadlar edilib. Fənlərarasi əlaqələr çox uğurlu alınıb. İKT həyatın, elmin bütün sahələrini əhatə etdiyindən, bu çox vacib amil sayılmalıdır və X-XI sinif dərsliklərində xüsusilə aydın görünür. Kompyuterlər hesablama qurğusu kimi yaranandığından informatika riyaziyyat, dünyaşöhrətli yerlimiz Lütfi Zadənin qeyri-səlis məntiqinə görə isə məntiq elmi ilə də bağlıdır.

V      siniflər üçün nəzərdə tutulmuş dərslikdə kompyuterin geniş imkanları və obyekt haqqında yetərincə məlumat verilib. “Windows” əməliyyat sistemi haqqında qısa məlumatdan sonra əsas menyuya (başla) nəzər salınmış, “Paint” və “Word Pad” proqramları ətraflı izah olunur. Bu amil isə gələcəkdə şagirdlərin informatika bilgilərinin inkişaf etdirilməsi üçün çox vacibdir. Təkrar və biliklərin möhkəmlənməsi üçün verilən testlər dərsliyi tam əhatə edir. İnformatika I sinifdən tədris edildiyindən iş masası və əsas piktoproqramlar - simgələr haqqında şagirdlərin məlumatı olur. Lakin V sinifdə bütün elmlərin bünövrəsi möhkəmləndiyindən belə məsələlər dərindən, ətraflı izah edilməlidir. “Windows” əməliyyat sistemi ilə paralel əvvəlki (“MS-DOS”) və yeni yaradılan (“Windows Vista”) əməliyyat sistemlərindən də geniş məlumat vermək lazımdır. Fikrimizcə, proqramlaşdırmanın izahında “MSDOS” proqramının böyük köməyi var. 

VI     sinif dərsliyinin I bölməsındə keçilmişlərə ötəri baxılır. İnformatikaya aid vacıb və gərəkli məlumatlar təkrarlanır. Belə bölmə dərsliklərin hamısında olmalıdır. Sonrakı bölmələrdə “Microsoft Word” – mətn prosessoru və “Microsoft Power Point” proqramları ətraflı tədris olunur. Tədris prosesinə dair mətnlər Azərbaycan Respublikası Prezidentinini sərəncamlarına, tarixə, dövlət atributlarına və b. aiddir. Proqramların yüngül şəkildə aşağı siniflərdən tədris olunması məqsədəuyğundur. Çünki yeni təlim texnologiyalarına əsasən tədris olunan dərslərdə təqdimatlar “Microsoft Power Point” proqramında hazırlanır. “Microsoft Word” isə paketin ilk tədris olunan mətn redaktorudur. Dərsliyin artırmasında “Window”sun simğələri haqqında vacib qisa izahatlar var.

VII   sinifdə inrormatika elminin əsasında duran informasiya və informasiya prosesləri tədris olunur. Kompyuterin aparat təminatı - mikropressor və qurğuları, proqram təminatı - əsasən sistem proqramlarından olan “Windows” sistem mühiti ətraflı izah edilmişdir. Tətbiqi proqramlardan “Paint” qrafik redaktoru verilmişdir. Düşünürük ki, bu mövzu ayrıca bölmə kimi deyil iş masasın piktoproqramlarının izahı zamanı uyğun yerlərdə verilməlidir: proqram haqqında məlumatları xatırlatmaq və genişləndirmək şərtilə. Alqoritmin izahı gələcək proqramlaşdırmaya hazırlıq üçün vacibdir. Hər mövzunun sonunda yoxlama sualları və tapşırıqlar var. Lakin onlar testləri əvəz etmir. Yekunlaşdırıcı testlər mütləq olmalıdır. 

VIII  sinfin informasiya və proqramlaşdırmaya aid bölmələri VII sinfin uyğun bölmələrinin davamı və daha ətraflı izahıdır. Alqoritmik dil proqramlaşdırma dillərindən biri ilə paralel izah olunarsa, daha effektli alınar. Kömpyuterin riyazi əsasları say sistemlərini, ölçü vahidlərini – ikilik ölçü sistemi üzərində, məntiqi əsasları klassik məntiqə əsaslanan, Doğru (1), Yalan (0) ikili hesabın simvolları ilə ifadə edilməsini göstərir və Lütfi Zadənin qeyrisəlis məntiqi ilə yekunlaşır. Nəhayət kitabın sonunda kommunikasiya texnologiyaları, İnternet, “Outlook Express” proqramı haqqında geniş məlumat verilir. Bu cəhətlər təqdirəlayiq hal kimi dəyərləndirilməlidir. Praktik işlər də bu baxımdan əhəmiyyətlidir. İnternetin əsaslarının VIII sinifdə tədrisi gecikmiş hal sayıla bilər, fikrimizcə bu bilikləri daha tez öyrətmək lazımdır. Müasir dərslərdə şagirdlər təqdimat hazırlayarkən, təcrübi olaraq 7-8 dəqiqə İnternetdən istifadə etməli, məlumat axtarmalıdırlar. 

IX     sinifdə proqramlaşdırmaya geniş yer verilib. “Turbo Pascal” redaktoru ilə “Pascal” proqramlaşdırma dilinin operatorları izah edilib, proqram hazırlığı tam aydınlaşdırılıb. Dərslikdə bacarıqlı proqramçı işi var. Kitabın sonrakı bölmələri “Microsoft Office” proqramlar paketinin “Microsoft Word”, “Microsoft Excel” proqramları və informasiya cəmiyyəti haqqındadır. Hər üç bölümdə məlumatlar qisa və yığcamdır. Aşağı siniflərdə “Microsoft Word” və informasiya cəmiyyəti mövzuları tədris olunduğundan, onlar haqqında verilən məlumatlar kifayət qədər sayıla bilər. “Microsoft Excel” isə paketin ən böyük, çoxfunksiyalı proqramıdır. Bu mənada dərslikdə tədris materialının azlığı hiss olunur, praktk testlər isə ümumiyyətlə yoxdur.

X      sinif dərsliyinin I bölümündə İnternet xidmətləri geniş yer alıb. Bölmədə elektron təhsil və elektron poçtdan şəbəkəyə qədər mövzulara qısa nəzəri məlumat verilir. İnternetin potensial istifadəçisi və gələcəyin tələbəsi üçün bu məlumatlar  yetərincə deyil. “Microsoft Office” proqramlarından “Misrosoft Access” və “Misrosoft Publisher” hissələri ətraflı izah edilib. “Misrosoft Access”də məlumatlar bazası yaradarkən, coğrafiyaya istinad edilib. Fənlərarası əlaqə, biliklərin möhkəmlədilməsi üçün maraqlı və faydalı forma sayıla  bilər. Lakin dərsin tədrisində zəif oxuyan şagirdlər coğrafiya biliklərini ortaya qoyub proqramın öhdəsindən gələ bilmirlər. Fikrimizcə, belə halda sadə tapşırıq vermək lazımdır. Məsələn, sinifin anket və imtahan cədvəlini hazırlamaq kimi sadə tapşırıqlar. Qoy şagirdlər bunu məlumatlar bazasaı əsasında işləsinlər. Veb proqramlaşdırmada əsasən HTML faylları və onların yaradılmasında istifadə olunun proqrama baxılır. Sadəlik üçün hazır veb-saytlar təklif edən şəbəkə resurslarına da baxmaq olar. Kitabda məlumatların qorunmasını təmin edəcək maraqlı mətnlər var.

XI     sinif dərsliyi müasir tələblərə cavab verir. Şagirdlərdə informasiya mədəniyyətini formalaşdırmaq istəyən müəlliflər təhsildə texnologiyaların əhəmiyyətini xüsusi vurğulayır, TİMS – təhsilin idarə olunma sistemini izah edir, elmi və texniki innovasiyalardan geniş söhbət açırlar. Şəbəkə texnologiyaları şəbəkə əməliyyat sistemi, modelləşmə kompyuter modelinin qurulması ilə yekunlaşır. Geniş tətbiq sahəsinə malik olan kompyuter qrafikasının növləri - rastr, vektor, fraktal qrafikalar nəzəri aydınlaşdırılır. Qrafikaya aid görüntüləri almaq üçün istifadə olunan “Paint”, “Adoble PhotoShop”, “OpenOffice.org” və s. proqramlarına baxılır. Fikrimizcə, dərslik tələbolunan səviyyədədir və onun özünəməxsusluğu fəsillərin sonundakı tarixi məlumatlarda, testlərdə, layihələrdə, tənqidi baxışlardadır.

Əlbəttə, ən yüksək səviyyəli dərslik belə orta məktəbdə  dərsi keçən müəllimin təcrübəsinə, biliyinə, metod və dərsi aparma   bacarığı ilə birləşdirilmirsə, tədris və təlimdə yüksək nəticələr əldə edilə bilməz. Bu mülahizələrimizi də məhz milli təhsilimizdə yüksək nəticələr əldə etmək məqsədi ilə qələmə aldıq...

“Ədalət” qəzeti, 2011

 

 

 

 

ƏDƏBİYYAT SİYAHISI

 

1.      Nayma Qəhrəmanova, Cəmilə Əsgərova. Riyaziyyat 2. Bakı2011

2.      N.Qəhrəmanova, C.Əsgərova, Leyla Qurbanova. Riyaziyyat 3. Bakı, Altun Kitab 2010

3.      M.C.Mərdanov,        M.H.Yaqubov,          H.N.Ağayev,

A.B.İbrahimov. Cəbr 6. Bakı, Çaşıoğlu 2006.

4.      M.C.Mərdanov, M.H.Yaqubov, S.S.Mirzəyev, A.B.İbrahimov, K.M.Bədəlova, S.K.Məmişov. Cəbr7. Bakı, Çaşıoğlu 2011.

5.      M.C.Mərdanov, M.H.Yaqubov, S.S.Mirzəyev, A.B.İbrahimov, A.İ.Quliyev, V.X.Həbibov, İ.F.Əliyev.  Cəbr 8. Bakı, Çaşıoğlu 2011.

6.      M.C.Mərdanov, M.H.Yaqubov, S.S.Mirzəyev, A.B.İbrahimov, İ.H.Hüseynov, M.A.Kərimov,  Cəbr 9. Bakı, Çaşıoğlu 2005.

7.      M.C.Mərdanov, M.H.Yaqubov, S.S.Mirzəyev, A.B.İbrahimov, İ.H.Hüseynov, M.A.Kərimov,  Cəbr və analızin başlanğıcı 10. Bakı, Çaşıoğlu 2007.

8.      Misir Mərdanov, Məmməd Yaqubov, Sabir Mirzəyev, Ağabala İbrahimov, İlham Hüseynov, Məmməd Kərimov, Əbdürrəhim Quliyev,  Cəbr və analizin başlanğıcı 11. Bakı, Çaşıoğlu 2009

9.      M.C.Mərdanov,        S.S.Mirzəyev,          R.H.Həsənov, C.C.Hacıyev. Həndəsə. 10. Bakı, Çaşıoğlu 2010.

10.   M.N.Yaqubov, İ.M.Abdullayev, Ə.H.Yaqubov, N.A.Kərimli, A.H.Bağırov, H.N.Ağayev, M.M.Vəliyev,

Riyaziyyat. Bakı-2006

11.   R.Məmmədov, H.Xəlilov, M.Heydərov, B.İsgəndərov, Ş.Hüseynov Riyaziyyat. “Maarif” nəşriyyatı Bakı1976.

13.   P.H.Məmmədov, H.M.Xəlilov, Ş.T.Hüseynov,

Tənliklər və bərabərsizliklər. “Maarif” nəşriyyatı Bakı1991.

14.   M.Y.Vıqodski, Elementar riyaziyyatdan məlumat kitabı. “Maarif” nəşriyyatı Bakı-1965

15.   Tayyup Oral, İlyas Həsənov, Cəbr. Bakı, “Maarif” nəşriyyatı, 2001

16.   Fatma Bünyatova, Konstruktiv təlim: mahiyyət, prinsip, vəzifələr və dərslərdən nümunələr, Bakı-2008

 

 

 

Riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisi metodikası (Düşüncənin riyazi dili)    129

 

 

YENI YAZARLAR VƏ SƏNƏTÇILƏR QURUMU

 ASSOCIATION OF NEW WRITERS AND ARTIST

 

 

“İntellektual, Kulturoloji və Bədii Ədəbiyyat Kitabxanası” № 6

 

Redaksiya heyəti: Elçin Əfəndiyev, Nizami Cəfərov (sədr), Çingiz Əlioğlu, Nizaməddin Şəmsizadə, Aydın Xan (Əbilov) (məsul redaktor), Arif Əmrahoğlu, Azər Turan, Bəsti Əlibəyli (məsul katib), Elçin

Hüseynbəyli, Səlim Babullaoğlu

 

Bədii redaktor: Aydın Xan (Əbilov), yazıçı-kulturoloq  

Korrektor: Günay Şıxəliyeva

 

Nurlan Quliyeva peşəkar bədii yaradıcılığa tələbəlik illərindən başlayıb, yerli və mərkəzi mətbuatda hekayələri işıq üzü görüb, müxtəlif ədəbi saytlarda fantastik nəsr nümunələri yayımlanır. Gənc müəllifin oxuculara təqdim olunan ilk – “Sirli Kainat” kitabında fantastik, elmifantastik povest və hekayələr, eləcə də mənzum təmsil, miniatürlər yer alıb. Povestlərdə kainatda, qalaktikalarda, planetimizdə gedən təbii prosseslərdən, mövcudluğu təxmin olunan sivilizasiyalararası əlaqələrdən, gənclərin romantik eşq məcaralarından bəhs edilir. Təmsillərdə isə heyvanların timsalında mərdlik, məğrurluq, zəhmətkeşlik aşılanır. Hekayələrin əsasında müxtəlif hadisələrə yazıçının maraqlı münasibəti durur. Ailə münasibətlərinin sirlərini açıqlamağa çalışan müəllif qəribə nəticələrə gəlir. Kitab geniş oxucu kütləsinə ünvanlanıb.

 

Müəlliflik hüququ Azərbaycan Respublikasının qanunvericiliyinə və əlaqədar beynəlxalq sənədlərə uyğun qorunur. Müəllifin razılığı olmadan kitabın bütöv halda, yaxud hər hansı bir hissəsinin nəşri, eləcə də elektron informasiya daşıyıcılarında, İnternetdə yayımı yasaqdır. Bu qadağa kitabın elmi mənbə kimi istifadəsinə, araşdırma və tədqiqatlar üçün ədəbiyyat kimi göstərilməsinə şamil olunmur.

 

 

© Nurlan Quliyeva, 2012

©YYSQ – “İKBƏK” seriyası - 2012   

 

 

 

MÜNDƏRİCAT

 

Elmi redaktordan ...................................................................... 3 GİRİŞ ....................................................................................... 5  

I B Ö L Ü M. RİYAZİYYATIN KONSTRUKTİV TƏLİMLƏ

TƏDRİSİ METODİKASI ........................................................... 7 § 1. Həqiqi ədədlər ................................................................... 7

1.1. Həqiqi ədədlər ................................................................... 7 1.2. Ən böyük ortaq bölən – VI sinif ....................................... 11

§ 2. Funksiya .......................................................................... 17

2.1. Xətti funksiya və onun qrafiki – VII sinif .......................... 17

2.2. Funksiyanın təyin oblastı və qiymətlər çoxluğunun

tapılması–x sinif ..................................................................... 28 § 3. Tənlik .............................................................................. 38

3.1. Tənlik .............................................................................. 38

3.2. Triqonometrik tənliklərin həlli – X sinif ............................. 42 3.3 Tənlik qurmaqla məsələ həlli – VII, VIII sinif .................... 49 § 4. Bərabərsizlik ................................................................... 55

4.1. Bərabərsizlik ................................................................... 55 4.2. Üstlü bərabərsizliklərin həlli – X sinif ............................... 59 § 5. Törəmə ............................................................................ 66

5.1. Törəmə ............................................................................ 66

5.2. Mürəkkəb funksiyanın və tərs funksiyanın törəməsi - XI

sinif ......................................................................................... 70 § 6. İnteqral ............................................................................ 77

6.1. İnteqral ............................................................................ 77

6.2. Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu. Müəyyən

inteqralın xassələri - XI sinif ................................................... 79 § 7. Kompleks ədədlər ........................................................... 88

7.1. Kompleks ədədlər ........................................................... 88

7.2.  Kompleks ədədlər çoxluğu və kompleks ədədlər üzərində

əməllər–X sinif ....................................................................... 89 § 8. İbtidai sinif ..................................................................... 100

8.1. Həndəsi fiqurlar - III sinif ............................................... 100

8.2. Paralel və perpendikulyar düz xətlər – III sinif .............. 104

Riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisi metodikası

(Düşüncənin riyazi dili)                                                                                      131

 

II B Ö L Ü M. DÜŞÜNCƏNİN RİYAZİ DİLİ (ELMİ-BƏDİİ

HEKAYƏLƏ, MİNİATÜRLƏR) .............................................. 107

1.  Ala-dəymiş ....................................................................... 107

2.  Münasibət ........................................................................ 109

3.  Qələm .............................................................................. 110

4.  Təfəkkür dünyası ............................................................. 112

5.  Qanun .............................................................................. 114

6.  Çoxüzlü ............................................................................ 115 7. Həqiqət ............................................................................. 117  

III B Ö L Ü M. ELMI MƏQALƏ.  ........................................... 119 Orta məktəb müəlliminin təcrübi mülahizələri ...................... 119 Üçüncü sinif riyaziyyat dərsliyi barədə ................................. 119 V-XI siniflər informatika dərslikləri haqqında ........................ 122

ƏDƏBİYYAT SİYAHISI ......................................................... 127

 

132                                                                        Nurlan Quliyeva

 

 

 

 

Quliyeva Nurlan Səəddin qızı riyaziyyat-informatika müəllimi

 

 

 

Riyaziyyatın konstruktiv təlimlə tədrisi metodikası

 

 

 

 

 

 

________________________________

Yığılmağa verilib: 05.01.2012

Çapa imzalanıb: 16.01.2012

Tiraj: 200

Şərti çap vərəqi: 8,25

«MBM» mətbəəsində çap olunub.