Управление образования администрации Новокузнецкого муниципального района

МБОУ «Куртуковская основная общеобразовательная школа»

 

XXIII районная научно-практическая конференция учащихся

 

Секция: Математика. Информатика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЕГО ВЕЛИЧЕСТВО - ПРОЦЕНТ

 

 

 

 

 

Выполнила: Таройкина Алена, 8 класс

МБОУ «Куртуковская ООШ имени В.П.Зорькина»

Руководитель: Рогачева Светлана

Александровна, учитель математики

высшей квалификационной категории

 

 

 

 

 

с. Куртуково

2018

Содержание

Введение....................................................................................................... 3

Глава 1. История возникновения  процентов ............................................... 5

1.1.     История возникновения термина и знака.............................................. 5

1.2.      Определение процента......................................................................... 7

Глава 2. Основные области применения процентов в повседневной жизни 8

2.1.     Проценты  в повседневной жизни......................................................... 8

2.2.     Интересные факты в процентах ......................................................... 10

2.3.     Проценты в нашей школе .................................................................. 11

Глава 3. Различные  виды задач на проценты и способы их решения........ 12

3.1.  Проценты  и дроби.............................................................................. 12

3.2. Способ «находить проценты данного числа»...................................... 15

3.3. Способ «находить число по его процентам» ....................................... 16

3.4.  Способ «находить процентное отношение двух  чисел».................... 17

Заключение ................................................................................................ 18

Список использованных источников.......................................................... 19

Приложение 1. Памятка –  проценты

Приложение 2. Сборник  заданий о процентах с расчетами (составлено на основе банка заданий ФИПИ (ОГЭ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

    В математике есть термин,
Именуется  «процент».
Я вам с точностью отвечу:
Проще ничего и нет.
Это, кто ещё не знает,
Одна сотая числа.
Кто процент легко считает, 
Тот повсюду голова.
Измеряются в них скидки,
Что торговцы нам дают,
Вклады в банках и кредиты,
И инфляция валют.

 

Мы познакомились с  процентами в первый  раз в 5 классе,  после чего стали замечать, что они сопровождают нас повсюду в повседневной  жизни.  Почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть счёт в сбербанке или взять кредит, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада и процентом по кредиту; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто. Регулярно мы слышим о скидках, наценках, прибыли и кредитах – всё это чаще измеряется в процентах. Современному человеку необходимо хорошо ориентироваться в большом потоке информации, принимать правильные решения в разных жизненных ситуациях. Во многих ситуациях нам помогают знания, полученные в школе, в том числе умения хорошо производить процентные расчёты.

Актуальность темы: умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как в повседневной жизни, мы сталкиваемся с ними очень часто.

Цель:  изучение информации о процентах и областей их применения в повседневной жизни. 

Задачи:

1.   Изучить историю возникновения процентов;

2.   Рассмотреть основные области применения процентов в повседневной жизни;

3.   Изучить различные виды задач на проценты и  способы их решения;

4.   Исследовать задания банка ФИПИ в  рамках подготовки к ОГЭ;

5.   Обобщить изученный материала в форме памятки.

Объект исследования: проценты.

Предмет исследования:  области применения процентных вычислений в нашей жизни, различные способы решения и виды задач на проценты.

Методы  исследования:

-     работа с учебной и научно-популярной литературой;

-     поиск информации в Интернете;

-     сравнение и анализ;

-     обобщение;

-     решение задач.

Гипотеза: из всех математических навыков, вероятно, применение процентных вычислений – наиболее полезный практический навык,  необходимый каждому современному человеку.

Практическое значение результатов работы: изучение различных видов задач на проценты позволит  пополнить знания по данной теме, которые пригодятся в дальнейшей учебе,  а также при сдаче экзаменов. Проектный продукт по исследуемой теме в форме памятки  позволит использовать обобщенную и систематизированную информацию другими учениками для повышения математической грамотности

Глава 1. История возникновения  процентов

1.1.          История возникновения термина и знака

До средних веков человечество прекрасно обходилось без процентов, но с развитием математики, торговля в Европе обрела десятичные дроби, а с ними и проценты.

Слово «процент» происходит от латинского слова «pro centum», что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми.

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова «cento» - сто, которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно «cto». Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком.  В 1685 году в Париже была опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. Постепенно завоевывая себе место, этот знак особенно часто стал появляться в печатных изданиях в начале XIX в. Широкое распространение знака % в печатных изданиях привело к тому, что уже в середине XIX в. он получил всеобщее признание как символ процента. Проценты из коммерческой практики постепенно проникли в различные отрасли техники и знания. Область применения процентов быстро расширилась, охватывая различные науки.

Идея выражения частей целого в долях родилась еще в Древнем Вавилоне. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

А в Древнем Риме были особенно распространены денежные расчеты с процентами. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

Существует предположение, что первоначально проценты возникли как особый вид дохода, который получали владельцы за отдачу в пользование плодоносящего имущества, например: домашних животных, фруктовых садов и пр. Позднее начали пускать в оборот и денежные суммы, за пользование которыми также стали взимать плату.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли много внимания обращали на умение вычислять проценты. Появились потребительские и коммерческие кредиты, доходом от предоставления которых служили проценты. Доход этот выражался обычно в определенной части имущества (вещей или денежного капитала), взятого в заем, причем эту часть впоследствии начали выражать в сотых долях имущества, пущенного в оборот.

Позже проценты стали применятся в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. В настоящее время проценты заняли прочное место не только в денежных расчетах, но и в науке и в житейской практике. С процентами теперь приходится иметь в коммерческих расчетах, хозяйственном учете, технике, физике, химии, метеорологии и прочих науках. За годы проценты получили популярность и среди населения, слово «процент» прочно вошло в лексикон нашего народа.

 

 

 

1.2. Определение процента

Процент – одна сотая часть величины или числа. Процент обозначается символом %.

Процент – это важная категория, широко используемая в науке. Основное назначение процента – определение доли чего-либо по отношению к целому. Понятие «процент» применяется при решении задач, в которых нужно найти долю от целого числа, процентное выражение одного числа через другое и число по заданному другому числу и их процентному соотношению.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского «pro mille» – с тысячи), обозначаемые ‰, по аналогии процентов.

Проценты – это «международный язык»: в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту.

В школьном курсе математики мы знакомимся с процентами в 5 классе, и уже практически с ними не расстаемся.

Глава 2. Основные области применения процентов

в повседневной жизни

2.1.          Проценты  в повседневной жизни

В повседневной жизни люди сталкиваются с процентами ежедневно.

При посещении магазинов мы видим яркие объявления о скидках и распродажах. Выгода распродаж для покупателей очевидна – это возможность приобрести качественный товар по сниженным ценам.

В последние годы в средствах массовой информации довольно часто можно услышать о повышении тарифов на коммунальные услуги, чаще все цифры озвучиваются в процентах.  Кредиты в банковской сфере выдаются людям под процент.

Также очень многие люди в целях безопасности и увеличения суммы денег хранят  свои денежные средства в банках под процентами.

На выборах победа партии или кандидата так же определяется в процентах.

 Проценты в медицине и фармацевтике

Медицинские работники ежедневно сталкиваются с умением рассчитать проценты. Одна из основных задач фармакологии – разработка лекарственных препаратов, помогающих в борьбе с тем или иным заболеванием.

Фармацевты, опытным путем, используя теоретическое знание, составляют растворы лекарственных веществ в таких пропорциях, чтобы оказать помощь организму человека, и в то же время не нанести вред.

Покупая любое лекарство больной перед его использованием внимательно изучает инструкцию к нему, в которой подробно перечислен состав препарата с указанием процентного содержания всех входящих в него веществ.

 Проценты в кулинарии

Уксус - одна из самых древних приправ, которая используется в приготовлении множества кулинарных рецептов, а также для консервации продуктов на зиму. Вот только разнообразие блюд требует различного процентного содержания уксуса. В некоторые блюда рецептура требует наличия уксуса 70%, в то время как в другие достаточно добавить 6 или 9-процентный уксус.

А так как под рукой не всегда можно найти уксус нужного процентного содержания, то приходится самостоятельно производить расчет количества воды, который необходимо добавить в уксусную кислоту, чтобы получить уксус с необходимым процентом кислоты. Ниже приведена мерная таблица расчета раствора уксуса.

Таблица 1 - Мерная таблица расчета раствора уксуса

Из расчета на 1 ст.л. уксуса 70% (уксусной эссенции)

3% раствор уксуса	22,5 столовых ложек воды
4% раствор уксуса	17 столовых ложек воды
5% раствор уксуса	13 столовых ложек воды
6% раствор уксуса	11 столовых ложек воды
7% раствор уксуса	9 столовых ложек воды
8% раствор уксуса	8 столовых ложек воды
9% раствор уксуса	7 столовых ложек воды
10% раствор уксуса	6 столовых ложек воды
30% раствор уксуса	1,5  столовых ложек воды

 

Проценты в бухгалтерии

Бухгалтер ежемесячно, начисляет заработную плату всем сотрудникам предприятия, производит отчисления в налоговую инспекцию, пенсионный фонд, в фонд социального страхования и прочие. Все отчисления рассчитываются индивидуально для каждого сотрудника, но при этом бухгалтер пользуется единой для всех процентной ставкой, например, налог на заработную плату (НДФЛ) в России составляет 13 %.

 

 

 

2.2.          Интересные факты в процентах

Умение вычислять проценты очень важно при приготовлении сплавов, например, для получения сплава золота 585 пробы необходимо 58.5% чистого золота и два основных лигатурных металла: медь (33.5%) и серебро (8%). Из-за достаточно большого количества золота, внешний вид изделия из 585 пробы не тускнеет в процессе эксплуатации.

Все живые животные и растительные существа состоят из воды: животные – на 75%,  рыбы – на 75%,  медузы – на 99%,  картофель - на 76%, помидоры - на 90%, огурцы - на 95%, яблоки - на 85%, арбузы - на 96%. Даже человек состоит из воды.  86% воды содержится в теле у новорожденного и до 50% у пожилых людей.

Если человек теряет 2% воды от массы своего тела, то у него возникает сильная жажда. Если проценты потерянной воды увеличатся до 10, то у человека начнутся галлюцинации. При потере в 12% человек не сможет восстановиться без помощи врача. При потере в 20% человек умирает.

Вода не только дарит жизнь, но может и отнимать ее, 85% всех заболеваний в мире передается с помощью воды.

Страна - крупнейший производитель кислорода в мире – Россия. В Сибири растёт примерно 25% мировых лесов,  это делает Россию самым мощным в мире переработчиком углекислого газа в ценнейший кислород.

Проценты также активно применяются в картографии.

Например, площадь нашей Кемеровской области занимает 95 500 км², что составляет 0,6% территории Российской Федерации. А численность населения Кемеровской области 2 695 028 чел (2018г), что составляет 1,8% населения России.

Также можно рассчитать сколько процентов составляет площадь Новокузнецкого района (13 290 км²) от площади Кемеровской области – 14%. А численность населения  Новокузнецкого района (50,5 тыс.человек) от населения Кемеровской области – 1,9%.

2.3. Проценты в нашей школе

Всю нашу школу можно представить в виде процентов.

Всего учащихся 148 человек,  из них 73 девочки и 75 мальчика.

Рассмотрим данные показатели в процентом соотношении от общего количества учащихся школы и построим диаграмму.

Рисунок 2 – Соотношение мальчиков и девочек в школе

В нашем 8 классе 17 человек, это составляет 11,5% от общего количества учащихся школы.

 

Глава 3. Различные  виды задач на проценты

и способы их решения

3.1. Проценты  и  дроби

С процентами мы сталкиваемся при изучении дробных чисел. Так, чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.  Например: 8% = 8:100 = 0,08.

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. Например: 0,17 = 0,17*100% = 17%.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь. Например: 2/5 = 0,4; 0,4*100% = 40%.

Итак, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов, это облегчит решение многих задач. Так, половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, одна пятая - 20%, а три пятых - 60%.

Таблица 2 – Соотношение дробей и процентов.

Действия с процентами.

Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами.

Проценты складываются и вычитаются друг с другом как обычные числа.

Например:
2% + 37% − 25% = 39% − 25% = 14%

70% − (42% +13%) = 70% − 55% = 15%

В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так.

Пусть x – это 100%.

 

Тогда, увеличив x в 2 раза, получим 2x

 Сравним полученные результаты.

 Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот.

Рассуждая таким же образом, можно доказать, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах.
Пусть x – 100%.

Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдём, во сколько раз уменьшилось x.

Вначале найдём, сколько процентов от x осталось.

100% − 80% = 20%

20% осталось от x. Обозначим остаток от x за y.

Составим пропорцию. По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x.

x : y = 100% : 20%

x : y = 5

x = 5y

Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

Поняв связь между процентами и «разами», без труда можно понять, о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные. Некоторые, наиболее часто употребляемые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже.

Таблица 3 – Значение фраз «увеличить ( уменьшить)  на ... процентов»

Увеличить на 50%	значит	увеличить в 1,5 раза
на 100%	→	в 2 раза
на 150%	→	в 2,5 раза
на 200%	→	в 3 раза
на 300%	→	в 4 раза
Уменьшить на 80%	значит	уменьшить в 5 раз
на 75%	→	в 4 раза
на 50%	→	в 2 раза
на 25%	→	в ≈ 1,33 раза
на 20%	→	в 1,25 раза

 

 

 

 

 

3.2. Способ «находить проценты данного числа»

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача: Предприятие изготовило  500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение: Найдем 60 % от 500 (общее количество насосов)

60 % = 0,6

500 * 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Задача:  Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 30% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение:  1200 костюмов составляет 100%.

1) 1200 : 100 =12 костюмов составляет 1%.

2) 12 х 30=360 костюмов нового фасона.

Ответ: 360 костюмов нового фасона.

Задача из Фипи:  В 2010 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2011 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2012 году  - на 9% по сравнению с 2011 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2012 году?

   Решение:  В 2011 г жителей составит: 100% + 8%=108% (1,08)

40000 х 1,08=43200 (чел)

Число жителей в 2012:  100% +9%=109%(1,09)

43200 х 1,09=47088 (чел)

Ответ: 47 088 человек

3.3. Способ «находить число по его процентам»

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

 Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто не сразу понятно, какой тип задачи перед нами, нужно внимательно читать текст. Если встречаются слова «который», «что составляет» или «который составляет», значит это задача второго типа  «число по его проценту».

Задача: Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение: Итак, нам неизвестно, сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик (138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге, значит ответ будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

138 : 23% = 138 : 0,23 = 600 страниц в книге

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).
Ответ: 600 страниц в книге.

Задача: За контрольную работу по математике отметку «5» получили 8

учеников, что составляет 40% всех учеников. Сколько учеников в

классе?

 Решение: Неизвестное число – 100%.

1) 8 : 40=0,2 учеников составляет 1%.

2) 0,2 х 100=20 учеников в классе.

 Ответ: 20 учеников в классе.

 

 

 

3.4.  Способ «находить процентное отношение двух  чисел»

Задача №1: Найти отношение двух чисел.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно  умножить это отношение на 100 и приписать знак %.

Задача:    из 900 га поля 288 га засажено картофелем. Какой процент

поля засажен картофелем?

 Решение: 900 га  составляют 100%.

1) 900 : 100=9 га составляет 1%.

2) 288 : 9=32%.

Ответ:  288 га картофеля составляют 32%.

 

Задача №2:  Сколько процентов одна величина составляет от другой.

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Задача: Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы?

Решение: О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16 делим на общее количество арбузов и умножаем на 100 %.

16 : 200 * 100% = 8%

Ответ: 8% – составляют незрелые арбузы от всех арбузов.

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКлючение

Роль процентов в жизни человека велика. Трудно назвать область, где бы ни применялись проценты. С помощью процентов более ярко можно донести нужную информацию до любого человека. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчёты и поэтому очень распространены. Экзамен по математике проводится в форме ОГЭ и в контрольно-измерительных материалах  присутствует задача на проценты. Поэтому нужно хорошо знать и уметь с легкостью пользоваться этой темой.

В ходе работы над данным проектом я пришла к выводу, что проценты помогают нам:

-     грамотно разбираться в большом потоке информации;

-     совершать выгодные покупки, экономя со скидками;

-     решать математические задачи.

Хорошо ориентируясь в мире процентов, мы понимаем, что выгодно брать кредит в том банке, где процент меньше; а товар выгоднее покупать тот, на который больше скидка. Таким образом, знания помогают современному человеку следить за своими расходами и повышать уровень благосостояния.

Получившаяся в результате работы памятка позволит мне с легкостью освежить знания по теме Проценты перед любым серьезным экзаменом и контрольной работой.  Надеюсь, и Вы найдете ей применение.

 
Список использованных источников

1.   Виленкин Н.Я., За страницами учебника математики / Н.Я. Виленкин, И.Я. Депмана. – М.: Просвещение, 1989г.

2.   Виленкин Н.Я., Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013г.

3.   История процентов. Такая разная математика [Электронный ресурс] -  https://rasnajamatematika.blogspot.ru/2013/05/blog-post.html

4.   Что такое процент [Электронный ресурс] -    https://www.kakprosto.ru/kak-80088-chto-takoe-procent#ixzz59d6QozMK

5.   Шурыгин В. А., Кочергина Т. И. Три основных действия с процентами. Математика вокруг нас // Юный ученый. - 2015. - №2. - с. 94-95.