Практическая работа "Показательные уравнения и неравенства"

Практическая работа

Тема:   «Решение показательных уравнений и неравенств»

Цель: научиться применять свойства показательной функции для решения показательных уравнений и неравенств, закрепить знания и умения по применению методов решения показательных уравнений и неравенств для решения практических задач.

Основные теоретические положения

Определение. Уравнение вида , где , называется показательным.

Если

Способы решения показательных уравнений.

1.      Простейшие показательные уравнения

Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.

 

Пример 1.   Ответ: x = 3.

Пример 2. 4 ∙ 2х = 1.  22 ∙ 2х = 20,  2х+2 = 20,  х + 2 = 0,  х = - 2. Ответ:  х = - 2.

2.      Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Данный способ используется, если соблюдаются  два условия:

1) основания степеней одинаковы;

2) коэффициенты перед переменной одинаковы.

Пример 1. Ответ: x = 1

Пример 2. 3х+1 – 2∙3х - 2 = 25.  3х - 2 ∙ (33 – 2) = 25,  3х - 2∙ 25 = 25, 3х - 2 = 1,  х – 2 = 0,  х = 2. Ответ: х = 2.

3.      Замена переменной

При данном способе показательное уравнение сводится к квадратному.

Способ замены переменной используют, если

а) основания степеней одинаковы;

б) показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой. Например: 3 ^2x – 4 · 3 ^х – 45 = 0

      коэффициенты перед переменной   противоположны. Например: 2 ^{2 - х} – 2 ^{х – 1} =1

Пример.

 

Пусть 4^x = а тогда уравнение можно записать в виде:

 

Сделаем обратную замену:

4^x = 4 или 4^x = 1;
х = 1  или х = 0

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 0

4.      Деление на показательную функцию

Данный способ используется, если основания степеней разные.

В уравнении вида a^x = b^x делим на b^x .

Пример.

 2^x = 3^x

Разделим обе части уравнения на 

Ответ: x = 0.

Решение простейших показательных неравенств.

Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:   

где a > 0, a ¹ 1, b – любое число.

При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции.

  Примеры.

Решить неравенство:

1) 4^5-2x<0,25.

Представим правую часть в виде: 0,25=(²⁵/₁₀₀)=(¹/₄)=4^-1;

4^5-2x<4^-1; функция у=4^х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

5-2x<-1;

— 2x<-1-5;

— 2x<-6  |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный:

x>3.

Ответ: (3; +∞).

2) 0,4^2х+1≥0,16.

Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:

0,4^2х+1≥0,4²; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

2х+1≤2;

2х≤2-1;

2х≤1  |:2

x≤0,5.

Ответ: (-∞; 0,5].

Задания для  самостоятельной работы

В а р и а н т  1

1.      Решите уравнение:                                                         

а) ;

б) ;

в)

г) =;

д) ;                   

е) ;

2.      Решите неравенство:

а) ;

б)  ;    в) .

В а р и а н т  2

1.      Решите уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2.      Решите неравенство:

а) ;  

 б) ;      в) ;

Сделайте вывод по проделанной работе

Контрольные вопросы

      1.            От чего зависит возрастание или убывание показательной функции?

      2.            Дайте определение показательного неравенства.

      3.            Какие условия должны выполняться при решении показательных неравенств?