1617959
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
До повышения цен на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации осталось:
0 дней 0 часов 0 минут 0 секунд
Успейте подать заявку на курсы по минимальной цене!
ИнфоурокМатематикаПрезентацииПрезентация по математики "Фракталы: наука и искусство XXI века"

Презентация по математики "Фракталы: наука и искусство XXI века"

Лабиринт
Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Фракталы 2.ppt

библиотека
материалов
Бенуа Мандельброт
Функция Вейерштрасса
Фрактальная геометрия
Я.Вермер. Кружевница 1665-1670 гг.(слева) Компьютерная графика московского ма...
Рисунки Владимира Чернова Мыслящий лист Фрактальная женщина
ФРАКТАЛ - ART
Последовательное увеличение фрагментов множества Мандельброта из долины морск...
Лабиринт

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд
Описание слайда:

2 слайд Бенуа Мандельброт
Описание слайда:

Бенуа Мандельброт

3 слайд Функция Вейерштрасса
Описание слайда:

Функция Вейерштрасса

4 слайд Фрактальная геометрия
Описание слайда:

Фрактальная геометрия

5 слайд
Описание слайда:

6 слайд Я.Вермер. Кружевница 1665-1670 гг.(слева) Компьютерная графика московского ма
Описание слайда:

Я.Вермер. Кружевница 1665-1670 гг.(слева) Компьютерная графика московского математика Д.Вейзе(справа)

7 слайд Рисунки Владимира Чернова Мыслящий лист Фрактальная женщина
Описание слайда:

Рисунки Владимира Чернова Мыслящий лист Фрактальная женщина

8 слайд ФРАКТАЛ - ART
Описание слайда:

ФРАКТАЛ - ART

9 слайд
Описание слайда:

10 слайд Последовательное увеличение фрагментов множества Мандельброта из долины морск
Описание слайда:

Последовательное увеличение фрагментов множества Мандельброта из долины морских коньков

11 слайд
Описание слайда:

Выбранный для просмотра документ Фракталы Дудина Евгения.doc

библиотека
материалов

Содержание:


  1. Открытие фракталов

  2. Функция Вейерштрасса

  3. Фрактальная геометрия

  4. Фрактальные языки

  5. История множеств

  6. Применение фракталов в искусстве

  7. Что же нам нарисует компьютер?

  8. Заключение


























Фракталы: наука и искусство XXI века



В 1953 году я понял, что прямая линия ведёт человечество к упадку.

Тирания прямой стала абсолютной.

Прямая линия - это нечто трусливое, прочерченное по линейке, без эмоций

и размышлений; это линия, не существующая в природе. И на этом на сквозь прогнившем

фундаменте построена наша обреченная цивилизация.


Ф. ХУНДЕРТВАССЕР


  1. Открытие фракталов


Не прошло и десятка лет, как слова Волькенштейна о новом союзе науки и искусства стали сбываться в новой невиданной геометрии и новых фантастический структурах, названных фрактальными. Фракталы поразили красотой и разнообразием форм не только математиков. В 1984 году институтом Гёте была устроена выставка «Границы хаоса», представлявшая собой «живописные портреты» фрактальных структур, выполненные математиками и физиками Бременского университета под руководством Петера Рихтера и Ханца-Отто Пайтгена. Выставка обошла весь мир и имела сенсационный успех. Впервые в истории науки результаты математических расчетов демонстрировались широкой публике как произведения искусства.

Термин фрактал (от латинского fractals - изломанный, дробный) ввел в употребление в 1975 году американский математик Бенуа Мандельброт, сотрудник Исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации ТВМ. Фракталами Мандельброт назвал структуры, обладающие двумя важнейшими признаками : изломанностью и самоподобием ( любая часть структуры подобна всему целому).

Понятие фрактала во всей красоте его математических свойств и глубине физический следствий ворвалось в сознание математиков и физиков в 1983 году с опубликованием основополагающей книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Ещё в 1980 году контуры ныне всемирно известного множества Мандельброта едва проступали в первых черно-белых отпечатках, а уже в 1984 оно предстало перед ошеломленной публикой на выставке «Границы хаоса» во всем своем великолепии. Фрактальный бум охватил всю планету и стал одной из ярких примет уходящего 20 века.

Как это часто бывает с великими идеями, идея фрактала была открыта, непонята и забыта. Идея фрактала около 100 лет ожидала своего звездного часа.

Изломанные фрактальные функции, не имеющие производной ни в одной своей точке, были открыты в конце 19 века. Но по эстетическим соображениям эти «некрасивые « функции были решительно отвергнуты всеми математиками. Математику изломанных функций назвали тератологией функций и изгнали с математического Олимпа.





2. Функция Вейерштрасса


Один из первых примеров непрерывной , всюду изломанной функции дал выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс. Функция Вейерштрасса задается рядом Фурье – бесконечной суммой тригонометрических функций


W(x) =a n cos (b n πx)


Она обладает сложной изломанной структурой и является самоподобной: форма функции остается неизменной при растяжении в несколько раз вдоль оси абсцисс и в 1/а раз вдоль оси ординат. На рисунке а показана функция Вейерштрасса при а = 0,5 и b = 4 и три последовательных увеличения ее центральной части. Рисунок б получен четырехкратным увеличением вдоль оси абсцисс и двукратным увеличением вдоль оси ординат части функции, заключенной в прямоугольник на рисунке а. Остальные аналогичны.

Легко увидеть, что заключенные в прямоугольник части функции не просто похожи, а являются точными копиями предыдущего целого, т.е. функция Вейерштрасса является самоподобной в линейном классическом смысле. Вся функция сильно наоминает ситуацию с геномом человек или животного, когда одна клетка живого организма содержит информацию обо всем целом.




hello_html_2ad746d0.jpg




























Самоподобие функции Вейерштрасса: каждый последующий график есть увеличенная копия выделенного на предыдущем графике фрагмента. Все четыре графика полностью совпадают, хотя их масштабы разные.

  1. Фрактальная геометрия


Язык фрактальной геометрии природы оставался непонятным человечеству вплоть до появления в 1983 книги Мандельброта. До этого времени в течении двух с половиной тысячелетий естествоиспытатели говорили на языке геометрии Евклида. Идеально регулярные образы – прямая и плоскость, треугольник и пирамида, окружность и сфера – составляли основу этого языка и всей научной картины мира.

Потребовалось ещё 350лет кружения естествознания по прямым и окружностям, прежде чем оно обрело качественно новый язык фрактальной геометрии. Фрактальная геометрия – это революция в математике и математическом описании природы.

Широчайшая распространенность фрактальных структур в природе объясняется их разномасштабностью и самоподобием. Самоподобный (пропорциональный) рост живой формы, начинающийся в одной точке пространства и распространяющийся по всем его направлениям, описывается векторным уравнением:


r = r (M,N,),


которое при различных соотношениях между вектором экспансии М и вектором внешних сил N дает поразительное многообразие форм живой природы: форм яйца, яблока, черепа раковин и многое другое. Таким образом, принцип пропорции 0 симметрии подобия, иди, как ее часто называют, динамической симметрии, - лежит в основе организации природных фрактальный структур и обеспечивает их повсеместное распространение.


Фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Я лично, определила бы фракталы, как частички хаоса. Фракталы проявляют хаотическое поведение, благодаря которому они кажутся такими беспорядочными и случайными. Но если взглянуть достаточно близко, можно увидеть много аспектов самоподобия внутри фрактала. Например, посмотрите на дерево, затем выберите определенную ветку и изучите ее поближе. Теперь выберите связку из нескольких листьев. Для ученых, занимающихся фракталами (которых иногда называют хаологами), все эти три объекта представляются идентичными.

 

Слово хаос наводит большинство людей на мысли о чем-то беспорядочном и непредсказуемом. На самом деле, это не совсем так. Итак насколько хаотичен хаос? Ответ таков, что хаос, в действительности, достаточно упорядочен и подчиняется определенным законам. Проблема состоит в том, что отыскание этих законов может быть очень сложным. Цель изучения хаоса и фракталов — предсказать закономерность в системах, которые могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими.

Одной из идей, выросших из открытия фрактальной геометрии была идея нецелых значений для количества измерений в пространстве. Конечно, мы не можем осознать четырехмерные вещи, хотя Lucky Tesseract и активно работает в этом направлении. Мандельброт назвал нецелые измерения такие как 2.76 фрактальными измерениями. Обыкновенная евклидова геометрия утверждает, что пространство ровное и плоское. Свойства такого пространства такого пространства задают точки, линии, углы, треугольники, кубы, сферы, тетраэдры и т. д.

 

Мандельброт верил, что действительный ландшафт пространства не ровный и что в нашем мире нет ничего, что было бы совершенно плоским, круглым, то есть все фрактально. Следовательно, объект, имеющий точно 3 измерения невозможен. Вот почему концепция фрактального измерения была нужна для измерения степени неровности вещей.

 

Например, посмотрите на лист бумаги (предположим, что он двумерный), скомканный в шар. Разве он двумерный? Нет, так как у него есть длина, ширина и высота. Но он не может быть и трехмерным, потому что он сделан из одного бесконечно тонкого листа и, к тому же, он не полностью однородный. Итак, его фрактальная размерность приблизительно равна 2.5. Но его нормальная размерность, так же называемая Евклидовой размерностью будет равна 3. Все фракталы, особенно фрактальные кривые, имеют фрактальные размерности. Мандельброт часто использовал пример того, что береговая линия Англии имеет бесконечную длину.

 

Попытайтесь в атласе наложить нитку на береговую линии Англии. Затем сделайте то же самое с мореходной картой. Удивительно, но величина последнего измерения будет гораздо больше. Затем поезжайте в Англию и измерьте ее береговую линию метровой полкой. Эта длина будет еще длинней. Продолжайте этот процесс до тех пор, пока у вас в руках не окажется чертежная линейка, которой вы можете измерить береговую линию частичка за частичкой, атом за атомом. Конечно идея этого непрактичного эксперимента в том, что расстояния должны быть соизмеримы по масштабу, положению и деталям. Позже Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Англии составляет 1.25.

 

Многие объекты в природе (например, человеческое тело) состоят из множества фракталов, смешанных друг с другом, причем каждый фрактал имеет свою размерность отличную от размерности остальных. Например, двумерная поверхность человеческой сосудистой системы изгибается, ветвится, скручивается и сжимается так, что ее фрактальная размерность равна 3.0. Но если бы она была разделена на отдельные части, фрактальная размерность артерий была бы только 2.7, тогда как бронхиальные пути в легких имели бы фрактальную размерность 1.07.

Широчайшая распространенность фрактальных структур в природе объясняется их разномасштабностью и самоподобием. Форма фрактальной структуры, разглядываемая в микроскоп, с любым увеличением, видится одинаково.

Задать фрактальную структуру – значит задать не застывшую, неизменную форму, а задать принцип роста, закон изменения формы. Как правило алгоритм построения формы выглядит значительно проще, рем результат его воплощения – сама форма. Поэтому фрактал дает фантастически компактный способ описания любых экзотических фигур. Фрактал не есть конечная форма, а есть закон построения этой формы. Фрактал аккумулирует в себе идею роста. Фрактал есть ген формообразования.


  1. Фрактальные языки


Фрактальные языки можно разделить на два основных класса: линейные и нелинейные. Линейные фракталы – это фракталы, чьи алгоритмы роста определяются линейными функциями. Звезда Кох – типичный пример линейного фрактала. В линейных фракталах самоподобие проявляется в самом бесхитростном, «прямолинейном» виде: любая часть целого есть точная копия целого. В этом свойстве линейных фракталов легко убедиться, глядя на звезду Кох. Ещё одним классическим примером линейного фрактала является треугольник Серпиньского, названный в честь польского математика Вацлава Серпиньского, который впервые описал свойства этого треугольника. Алгоритм построения очевиден из рисунка: из исходного равностороннего треугольника, закрашенного черным цветом, выбрасывается вписанный в него равносторонний треугольник.

Нелинейные фракталы – это фракталы, задаваемые нелинейными алгоритмами роста. Язык нелинейных фракталов значительно богаче и разнообразнее. Более затейливыми является и самоподобие нелинейных фракталов: в них часть есть не точная, а похожая деформированная копия целого.


треугольник Серпиньского



hello_html_m223be9b9.jpghello_html_325b94d2.jpg




hello_html_5bac4975.jpghello_html_3c169293.jpg








5. История множеств

В 1918 году молодой 25 летний француз Гастон Жулиа скучал в госпитале после Первой мировой воны. Жулиа заинтересовался поведением точки на комплексной плоскости под действием простейшего квадратичного преобразования


Z n+1 = Z ²n + с, с = Const.

То, что параллельно той же проблемой занимался его соотечественник и соперник Пьер Фату, что только подогревало энтузиазм Жулиа. Оба француза могли и не спешить, ведь об их математических фантазиях скоро забыли почти на 100 лет. Комплексные числа так же возникают при решение квадратичных уравнений


ах 2 + bх + с = 0.


Вид множества Жулиа будет зависеть от выбора параметра с . Но поразительно, насколько сильной ярко выраженная нелинейность, когда ничтожным изменениям параметра с соответствуют огромные изменения формы множества Жулиа! Но есть ли хоть какая-то закономерность в бесконечном множестве Жулиа? Поиски ответа на этот вопрос, волновавший математиков ещё со времени Жулиа и Фату, привели к открытию самого фантастического объекта мира нелинейных фракталов – открытию Множества Мандельброта. Множество Мандельброта М есть множество значений параметра с, при которых последовательность, стартующая из точки Z0 = 0, остается ограниченной.


Множество Жулиа при различных параметрах с


hello_html_m3988ed92.jpghello_html_780d51a8.jpg








  1. Применение фракталов в искусстве.

Вот как пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Сhello_html_m44c1b15b.jpgальвадор Дали считал «Кружевницу» картиной, исполненной неистовой эстетической силы. Дали долго искал объяснения волшебной силы, пока не обнаружил в основе ее композиции фрактальную розетку подсолнуха с центром на иголке вышивальщицы. Две соседние однонаправленные спирали образуют фигуру, похожую на рог носорога, которую Дали считал основным формообразующим элементом в искусстве.

Рhello_html_m1d9c902a.jpgозетка подсолнечника пример спиралевидного фрактала в природе. В отличие от одной спирали раковины Наутилуса, подсолнечник имеет два противоположно закрученных семейства спиралей. Число левых и правых спиралей равно двум средним числам Фибоначчи, например 89 и 14, а их соотношение с точностью 0, 0001 равно коэффициенту золотого сечения.

Розетка подсолнечника Геометрия подсолнечника





  1. Что же нам нарисует компьютер?

Начнем с черно-белого портрета множества Мандельброта. Мы видим причудливую фигуру, кому-то кажущаяся прекрасной, а кому-то ужасной. Если бы не странные наросты, называемые почками – и торчащие из почек измятые усы дендритов, то множество выглядело бы вполне регулярным. Во-первых, оно симметрично относительно оси абсцисс. Во-вторых, его основу составляют две регулярные фигуры: кардиоида с вершинами на оси абсцисс в очках 0,25 т – 0,75 и круг радиуса 0,25 с центром на оси абсцисс в точке -1, касающийся кардиоиды в ее круглой вершине. На этом, пожалуй множество Мандельброта в терминах геометрии Евклида заканчивается, хотя замечу, что регулярные фигуры составляют основу множества.

Но основная жизнь множества М сосредоточена на его границах – и здесь начинаются удивительные вещи. Мы видим бесконечное множество малых почек, напоминающих по форме круг, касательных к кардиоиде и выстроенных как бы по росту, начиная с самых больших верхней и нижней почек.

Возможно одна из наиболее замечательных особенностей множества – быть единым упорядоченным началом в бесконечном развитии форм множеств Жулиа. Множество Мандельброта есть бесконечно эффективное хранилище информации, бесконечный каталог неисчерпаемой морфологии множеств Жулиа.

Но впереди самое завораживающее – цветные портреты множества Мандельброта. Окрашивая в разные цвета области с различной скоростью стремления в бесконечность, мы вступаем в роскошное многоцветье мира нелинейных фракталов. На цветных фотографиях, взятых из книги «Красота фракталов», показан ряд последовательных увеличений двух областей вблизи границ множества, именуемой Долиной морских коньков (рисунки 1 – 5). Часть области, взятая в рамку на предыдущем фото, дается в полном увеличении на последующем. Картины можно рассматривать бесконечно, и насей раз это не поэтическая метафора, а математическая истина: каждое новое увеличение одного и того же участка порождает новые формы.


hello_html_m159aa1e1.jpghello_html_424e790.jpg
















Рисунок 2






Рисунок 1


hello_html_m7b86b443.jpghello_html_4ee72177.jpghello_html_m8be4316.jpg










Рисунок 3 Рисунок 4 Рисунок 5



Благодаря свойству нелинейности квадратичные фракталы нелинейно самоподобны: новые фрактальные формы не копируют старые, но являются вариациями некоторых заданных тем. Темы фрактальных вариаций зависят от области вблизи границ множества Мандельброта, которую мы начинаем рассматривать под компьютерной лупой. В долине морских коньков вплоть до миллионнократного увеличения обнаруживаются все новые и новые вариации на тему «хвостов» и «глаз» морских коньков. Качественное подобие соответствующих форм множества Мандельброта и множеств Жулиа является настолько глубоким, что совпадает даже число спиралей, образующих «глаза» морских коньков, - в обоих множествах их по 29. Это наблюдение, основанное на данных компьютерных опытов, еще ждет своего обоснования методами чистой математики.


8. Заключение

Пора прощаться с Множеством Мандельброта и множеством Жулиа. Свойства этих множеств – известные и ещё не изведанные, - равно как и свойства фракталов, стали предметом многих книг, международных конференций, журнальных обзоров.. Остается заметить, что сегодня фрактальные картины этих множеств может нарисовать каждый школьник. Алгоритм интеграционного процесса настолько прост и большую часть программы занимает процедура кадрирования и выбора цвета. Примеры таких программ Пайтген и Рихтер привели в конце своей книги «Красота фракталов». Так что лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Волшебные видения мира нелинейных фракталов ещё раз заставляют задуматься о природе красоты, в основе которой лежит гармония Космоса и Хаоса. Именно на границе двух противоположностей рождается красота, и не случайно, что именно на границах множества Мандельброта буйно расцветает многообразие фрактальных форм.

Наше ощущение прекрасного возникает под влиянием гармонии порядка и беспорядка в объектах природы – тучах, деревьях, горных грядах и кристаллах снега. Мне же остается только напомнить афоризм великого Гегеля: мир есть гармония гармоний и дисгармоний.

Фракталы, безусловно, стали новой вехой в науке конца 20 века, хотя все фрактально неисчерпаемое богатство заключенных в них смыслов еще предстоит раскрыть науке 21 века. Но фракталы стали и новой страницей нового компьютерного искусства, появившегося в 20 веке и которому ещё предстоит расцвести в 21. Фрактальные картины и творчество обычных художников не сродни они?

Искусствоведы спорят, а караван компьютерного искусства идет. Как сказал Известный немецкий компьютерный график Герберт Франк: « Я думаю, что искусствоведы грядущих столетий, оглянувшись на наше время, придут к выводам, весьма отличным от тех, к которым приходят наши современники. Почитаемые ныне художники и скульпторы будут забыты, зато появление электронных средств будет провозглашено наиболее значительной переменой в истории искусства».

Итак, сегодня фракталы стали одним из выразительных средств компьютерного искусства. Но, по-видимому, нам предстоит еще осознать и более глубокую истину: все искусство имеет фрактальную природу.

























Использованная литература:


  1. Волошинов А. В., «Математика и искусство» учебное издание,

Москва, Просвещение, 2000 год

  1. Мандельброт Б.Б. «Фрактальная геометрия природы» ,

3. Тарасенко В. «»Фрактальная логика».










Лабиринт
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Содержание:

 

1.   Открытие  фракталов

2.   Функция Вейерштрасса

3.   Фрактальная геометрия

4.   Фрактальные языки

5.   История множеств

6.   Применение фракталов в искусстве

7.    Что же нам нарисует компьютер?

 

8.    Заключение

Термин фрактал (от латинского fractals - изломанный, дробный) ввел в употребление в 1975 году американский математик  Бенуа Мандельброт, сотрудник Исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации ТВМ. Фракталами  Мандельброт назвал структуры, обладающие двумя важнейшими признаками : изломанностью и самоподобием ( любая часть структуры подобна всему целому).

 

Понятие фрактала   во всей  красоте его математических свойств и глубине физический следствий ворвалось  в сознание математиков и физиков в 1983 году с опубликованием основополагающей книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Ещё в 1980 году контуры ныне всемирно известного множества  Мандельброта   едва проступали в первых черно-белых отпечатках, а уже в 1984 оно предстало перед ошеломленной публикой на выставке «Границы хаоса» во всем своем великолепии. Фрактальный бум охватил всю планету и стал одной из ярких примет  уходящего  20 века.

Общая информация
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.