Проблемное обучение на уроках математики

Проблемное обучение на уроках геометрии

(выступление на заседании ШМО    учителей математики, январь2016 года) 

Подготовила учитель математики

Шипарева Татьяна Михайловна

Важно не количество знаний, а их качество

                                                                                                             Лев Толстой

Почему тема «Проблемное обучение на уроках геометрии»? Ответ всё тот же. Современное развитие нашего общества требует нового выпускника – человека, который не только имеет определенный объём знаний, но и умеет его применить  в новой ситуации, углубить свои знания, использовать при решении возникшей проблемы. Для этого уже сейчас мы, учителя, должны научить школьников учиться этому. Об этом идет речь и в Федеральном Государственном образовательном стандарте основного  и среднего общего образования. Основное отличие нового Стандарта заключается в изменении результатов, которые мы должны получить на выходе (планируемые личностные, предметные и метапредметные результаты). Инструментом достижения данных результатов являются универсальные учебные действия (УУД). Основным подходом формирования УУД, согласно новым Стандартам, является системно-деятельностный подход. Одним из методов реализации данного подхода являются современные технологии обучения. Среди  них - технология проблемного обучения.

Что же такое проблемное обучение?  Вот как это описали И. Я. Лернер и М. Н. Скаткин: «Своеобразие проблемного обучения в том, что учащиеся систематически включаются учителем в процесс поиска доказательного решения новых для них проблем, благодаря чему они учатся самостоятельно добывать знания, применять ранее усвоенные и овладевают опытом творческой деятельности». Данную технологию нельзя назвать новой, применялась она еще в 20-е – 30-е годы в наших школах и за рубежом.

Главные цели проблемного обучения:

-                    развитие мышления и способностей учащихся, развитие творческих умений;

-                    усвоение учащимися знаний и умений, добытых в ходе активного поиска и самостоятельного решения проблем, в результате эти знания, умения более прочные, чем при традиционном обучении;

-                    оспитание активной творческой личности учащегося, умеющего видеть, ставить и разрешать нестандартные проблемы.

А.М. Матюшкин характеризует проблемную ситуацию как, «особый вид умственного взаимодействия объекта и субъекта, характеризующийся таким психическим состоянием субъекта (учащегося) при решении им задач, который требует обнаружения (открытия или усвоения) новых, ранее субъекту неизвестных знаний или способов деятельности». Иначе говоря, проблемная ситуация - это такая ситуация, при которой субъект хочет решить какие-то трудные для себя задачи, но ему не хватает данных и он должен сам их искать.

При использовании данной технологии опираюсь на основные положения теории проблемного обучения (М. И. Махмутов).  Создавая проблемные ситуации, учитываю  требования к формулировке проблемных вопросов, так как  вопрос становится проблемным при определенных условиях:  он должен содержать в себе познавательную трудность и видимые границы известного и неизвестного; вызывать удивление при сопоставлении нового с ранее известным, неудовлетворенность имеющимися знаниями и умениями.

 Десять способов создания проблемной ситуации по М.И. Махмутову:

побуждение учащихся к теоретическому объяснению явлений, фактов, внешнего несоответствия между ними.

использование учебных и жизненных ситуаций, возникающих при выполнении учащимися практических заданий в школе, дома или на производстве, в ходе наблюдений за природой.

постановка учебных практических заданий на объяснение явления или поиск путей его практического применения.

побуждение учащихся к анализу фактов и явлений действительности, порождающему противоречия между житейскими представлениями и научными понятиями об этих фактах.

выдвижение предположений (гипотез), формулировка выводов и их опытная проверка.

побуждение учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов, явлений, правил, действий, в результате которых возникает проблемная ситуация.

побуждение учащихся к предварительному обобщению новых фактов.

ознакомление учащихся с фактами, носящими как будто бы необъяснимый характер и приведшими в истории науки к постановке учебной проблемы.

организация межпредметных связей.

варьирование задачи, переформулировка вопроса.

Проблемное обучение развивает самостоятельность учеников и формирует навыки учебно-исследовательской деятельности. В настоящее время в связи с внедрением в образовательный процесс проблемное обучение является одним из эффективных процессов обучения, так как оно направлено на развитие личности ребенка, на самостоятельную добычу знаний и умений. Применяя  технологию проблемного обучения мы закладываем основы мышления. Процесс мышления имеет своим источником проблемную ситуацию, а условиями развития мышления является приобретение новых знаний путем решения проблемы.

Геометрия – это тот школьный предмет, в ходе которого идет активное развитие различных типов мышления. И в силу своей специфики, как раз на уроках геометрии достаточно просто использовать технологию проблемного обучения.

Методику применения вышеназванной технологии с успехом можно найти в учебно–методических пособиях. Мне хотелось бы привести примеры практического применения проблемных вопросов, ситуаций (скорее некоторую базу данных), которые мне удалось  найти, изучая литературу по данной проблеме и опыт коллег-математиков, опубликованный  в сети Интернет.

Типы проблемных ситуаций

        - Проблемная ситуация возникает при условии, если учащийся не знает способа решения поставленной задачи, не могут ответить на проблемный вопрос, дать объяснение новому факту в учебной или жизненной ситуации, то есть в случае осознания учащимися недостаточности прежних знаний для объяснения нового факта.

1.Учительница на уроке геометрии в 7 классе на тему «Трапеция» предложила учащимся задачу: в трапеции ABCD (BC||AD) проведена средняя линия MN. Основание |ВС| равно 8 см. |АО|=14см, |АВ|--5см. |СВ|=9см. Вычислить периметр трапеции MBCN.

Решая задачу, ребята легко находят боковые стороны новой трапеции; одно основание им известно, а найти длину второго, которое является средней линией, не могут (недостаточно знаний о трапеции). Возникает противоречие между потребностью в решении задачи и недостаточностью прежних знаний.

       - Проблемные ситуации возникают при столкновении учащихся с необходимостью использовать ранее усвоенные знания в новых практических условиях. Как правило, учителя организуют эти условия не только для того, чтобы учащиеся сумели применить свои знания на практике, но и столкнулись с фактом их недостаточности. Осознание этого факта учащимися возбуждает познавательный интерес и стимулирует поиск новых знаний.

2.Например, учитель накануне урока на тему «Объем усеченной пирамиды» дает учащимся домашнее задание - найти в окружающей жизни примеры применения усеченной пирамиды и попытаться определить ее объем. Он объясняет, что для сооружения, например, железнодорожной насыпи необходимо заранее рассчитать ее объем, чтобы определить необходимое количество строительных материалов, то есть, указывает на практическую значимость домашнего задания.

На следующий день урок начинается с беседы. Учащиеся в качестве примеров усеченной пирамиды называют формы насыпей песка, щебня, формы картонных коробок, башни, детали машин и так далее. Они рассказывают о своих попытках найти варианты решения, но вычислить объем усеченной пирамиды не могут. Возникает проблемная ситуация и потребность найти решения проблемы, имеющей (для учащихся) практическую значимость.

           - Создание проблемных ситуаций через решение задач, связанных с жизнью.Здесь происходит сталкивание противоречий теоретических знаний и практической деятельности.Школьникам предлагается выполнить такое задание, для выполнения которого у них недостаточно знаний, нужно ещё что-то новое узнать, изучить. Такие задания стимулируют познавательную деятельность, дети понимают, что выполнить его можно только после определённой теоретической подготовки. Противоречие между теоретическими знаниями и практической деятельностью приводит к проблемной ситуации, а в конечном итоге, к активизации познавательной деятельности.

3. Приступая на уроках математики к изучению теоремы Пифагора, учитель может создать проблемную ситуацию следующим образом. 
«Древнегреческий математик Пифагор, - рассказывает учитель. – путешествуя по Египту, узнал, что там для построения на земле прямого угла поступают следующим образом: берут веревку, которая состоит из трех частей – отрезков длиной в 3, 4, 5 единиц длины, и строят из нее треугольник, приняв за его вершины узлы между частями веревки, соединив начало ее и конец. Пифагор задумался: какое свойство прямоугольного треугольника лежит в основе этого способа построения прямого угла? 

3 (а)Тема «Теорема Пифагора»( 7 класс)

Задача:Для закрепления мачты нужно установить четыре троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м., а другой на земле на расстоянии 5 м. от основания мачты. Хватит ли 50метров троса для закрепления мачты?

Вопрос: Какую фигуру можно выделить из этого рисунка?

Что в этой фигуре нам известно?

Что нам нужно найти?

На данный момент найти гипотенузу мы не можем, а, значит,  и решить задачу тоже пока не можем.  Для решения этой задачи необходимо знать соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Проблема: найти соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

4. Тема урока: Периметр прямоугольника. (5 класс)

Семья Димы летом переехала в новый дом. Им отвели земельный участок прямоугольной формы. Папа решил поставить изгородь. Он попросил Диму сосчитать, сколько потребуется штакетника, для изгороди, если на 1 погонный метр изгороди требуется 10 штук? Сколько денег потратит семья, если каждый десяток стоит 50 рублей.

Сразу же начинается обсуждение задачи: Какой Дима? На какой улице его дом? Диме нужно помочь. Но как? Возникает затруднение. Придётся нам решать эту проблему. Проблемная ситуация создана.

Для её решения высказываются ребятами различные предположения (может, сходим на место и попробуем прикладывать по всей длине огорода рейки, но это очень долго; можно спросить у старших дома; может, сами попробуем найти в учебнике какое-то решение и т.д.). Вместе выдвигаем и формулируем основную гипотезу: «нужно найти периметр прямоугольника, он и будет длиной изгороди». Записываем формулу, используем её на практике. Затем делаем вывод: формула периметра прямоугольника нужна. Доводим решение задачи до конца: Диме помогли!

5 Тема «Периметр прямоугольника» (5 класс).

Семья Димы летом переехала в новый дом. Им отвели земельный участок прямоугольной формы. Папа решил поставить изгородь. Он попросил Диму сосчитать сколько потребуется штакетника, для изгороди, если на 1 погонный м. изгороди требуется 10 штук? Сколько денег потратит семья, если каждый десяток стоит 50 рублей.

Проблемная ситуация: нужно найти длину изгороди (периметр прямоугольника).

6.Тема: «Площадь прямоугольника» (5 класс).

На прошлом уроке ребята мы измеряли длину и ширину нашего класса и по формуле, нашли его периметр. Р=( а+в)х2=(6+5)х2=22м. Помните!

Посмотрите, пожалуйста, на пол. Краска сносилась, много чёрных полос. Вам нравится? Мне тоже не нравится. Я думаю, что летом нам нужно обязательно покрасить пол. Давайте с вами посчитаем, сколько денег нужно будет собрать с каждого родителя на покраску пола в классе, если 1 банка краски стоит 120 рублей и её хватает, чтобы покрасить 35 кв.м.

Проблемная ситуация. Для решения этой задачи нам нужно найти площадь пола (площадь прямоугольника).

Дорешав задачу до конца, получаем, что с каждого родителя придётся собрать по 40 рублей. А если в классе ещё что- то потребуется подкрасить, да ещё на ремонт школы?! Представляете, какие это деньги и как нам нужно беречь пол в классе и в школе.

7.Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

Проблема: не знают понятие объема и формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Учащиеся выбирают необходимую им информацию, используя текст учебника. Обсуждают решение задачи, делают вывод, записывают формулу в тетради.

8.Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 000 л воды. Можно ли плыть в этом бассейне?  

Проблема: несоответствие  единиц измерения.

Учащиеся ищут пути решения задачи, используя повествование учителя о единицах измерения объемов.

9.Все грани куба покрасили красной краской и распилили его на n³  маленьких одинаковых кубиков. Выведите формулу для нахождения количества кубиков, не имеющих ни одной окрашенной грани.

Для решения учащиеся используют окрашенную модель куба и по ней устанавливают связь между объемом и количеством маленьких кубиков.

          - Создание проблемных ситуаций через выполнение небольших исследовательских заданий.

10. Тема «Длина окружности» (5 класс)

Ещё древние греки находили длину окружности по формуле С=π ·D это диаметр окружности.

Вопрос: а что же такое π?

Работаем в парах, выполняя необходимые измерения.

1.Опоясать стакан ниткой, распрямить нитку, длина нитки примерно равна длине окружности стакана. Чтобы получить более точный результат, нужно это проделать несколько раз. Занесите данные в следующую таблицу.

С1	С2	С3	С сред.	D	π

2.Измерьте диаметр стакана линейкой. Данные занесите в таблицу.

3.Найдите значение π, как неизвестного множителя. Можно пользоваться калькулятором.

4.Каждой паре занести вычисленное значение π в таблицу на доске.

Полученные значения π

1 пара	2 пара	3 пара и т.д.
среднее арифметическое =( 1 пара +2 пара +3 пара + и т.д. (по количеству пар в классе)):3 Значение П от 3,1 до 3,2

π это бесконечная дробь, современные машины могут определить до миллиона знаков после запятой.

π =3,1415926…

Для того, чтобы легче запомнить цифры надо сосчитать количество букв в каждом слове высказывания: «это я знаю и помню прекрасно»

В дальнейшей работе мы будем использовать значение π =3,14

Исследование проведено. На уроке кроме исследовательской работы удачно использовалась работа в парах. Сотрудничество и взаимопомощь принесли желаемый результат. Проблема решена.

              - Создание проблемных ситуаций через решение задач на внимание и сравнение.

11.Тема:Сумма углов треугольника (7 класс)

Учитель читает условие задачи, ученики анализируют его и выявляют ошибки, тем самым мы можем проверить учеников на внимательность. В данных задачах следует вспомнить теорему о сумме углов треугольника, полагаясь на данную теорему, мы придем к выводу, что не все условия задач поставлены корректно, тем самым некоторые треугольники не существуют.

Задача 1.1.Построить треугольник по трем заданным углам:

Задача 1.2.Два угла треугольника равны 121º и 59º. Найти величину третьего угла.

Задача 1.3.В треугольнике АВС найдите неизвестные углы, если  на  больше , а .

Задача 1.4.Дан треугольник АВС, где . Найти .

             -Создание проблемных ситуаций через умышленно допущенные учителем ошибки.

12.Тема:Линейные уравнения с одной переменной (6 класс)

Учитель приводит готовое решение следующих примеров, в ходе которого допущены ошибки.При проверке ответ не сходится.

Ученики ищут ошибку, тем самым решают проблему, приходят к определенным выводам и решают пример уже без ошибок.

13.Изучение темы “Площадь треугольника” (геометрия 8 класс)
Самостоятельная работа
Задача: «Три маляра должны покрасить фронтон дома в форме прямоугольного треугольника со сторонами 3м и 4 м. Хватит ли им 1 банки краски, если на ней написано: площадь покрытия 10г/кв.м.?» 
Переведем задачу на математический язык:
«Найдите площадь S прямоугольного треугольника, если один из катетов 3 м, а другой – 4 м» Отдельные ученики догадались - зная формулу площади прямоугольника, смогут решить эту задачу.
Первая проблемная ситуация. 
«Как вычислить площадь прямоугольного треугольника, зная формулу для нахождения площади прямоугольника?»
Дети предлагают: достроить данный треугольник до прямоугольника.(если прямоугольный треугольник достроим до прямоугольника, то мы получим два равных треугольника, которые равны по двум катетам)
Вычисляют площадь прямоугольника, а затем находят площадь прямоугольного треугольника. 
Вторая проблемная ситуация: всегда ли можем использовать получившуюся формулу , если треугольники бывают разной формы?
Задача: «Найти площадь любого остроугольного треугольника.» При помощи наводящих вопросов ученики находят способ. Они предлагают достроить остроугольный треугольник до параллелограмма. 
Доказываем, что полученные 2 треугольника равны по 3-му признаку равенства треугольников. 
Вспоминаем формулу площади параллелограмма; 
Выводим формулу площади любого остроугольного треугольника ;Отвечаем на вопрос задачи: площадь любого остроугольного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Третья проблемная ситуация: «Найти площадь любого тупоугольного треугольника».
С этой проблемой ученики справляются быстро.
Решаем основную проблему: «Найти площадь произвольного треугольника”. Проанализировав все случаи, сделайте вывод.
Вопрос: «Чему равна площадь произвольного треугольника?»
Предполагаемый ответ учеников: «Площадь произвольного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.» И, наконец, мы решаем задачу, приведенную в начале урока.
Создание проблемных ситуаций через решение задач на внимание и сравнение

14.Найдем площадь произвольного треугольника.

Урок выведения формулы для нахождения площади треугольника начинаю с самостоятельной работы учащихся.

Ученикам предлагаю задачу: «Найти площадь S прямоугольного треугольника, если один из его катетов 3 см, а другой 4 см.»

Анализируя задачу, отдельные ученики догадываются, что они, зная формулу площади прямоугольника, смогут решить эту задачу.

Повторяем теорему о нахождении площади прямоугольника.

Создается проблемная ситуация.

Перед некоторыми учащимися возникает учебная проблема: «как вычислить площадь прямоугольного треугольника, зная формулу для нахождения площади прямоугольника?»

Чтобы решить эту проблему, дети предлагают достроить данный треугольник до прямоугольника.

Объясняется, почему: если прямоугольный треугольник достроить до прямоугольника, то мы получим два равных треугольника, которые равны по двум катетам.

А так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Значит, S = (3∙ 4): 2 = 6 (см²).

Теперь обращаю внимание учащихся на то, что решена пока только часть основной проблемы.

Далее предлагаю ученикам решить другую задачу: «Найти площадь любого остроугольного треугольника».

При помощи наводящих вопросов ученики находят способ. Они предлагают дополнить остроугольный треугольник до параллелограмма.

Дополняем треугольник до параллелограмма. Затем доказываем, что полученные два треугольника равны по третьему признаку равенства треугольников.

Ставлю вопрос: «Чему равна площадь любого остроугольного треугольника?»

Ученики отвечают, что площадь любого остроугольного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Решаем следующую учебную проблему: «Найти площадь любого тупоугольного треугольника».

Ученики с этой проблемой справляются быстро.

Теперь уже решаем проблему: «Найти площадь произвольного треугольника».

Учащиеся самостоятельно справляются с этой проблемой.

Ставлю вопрос: «Чему равна площадь произвольного треугольника?»

- Ученики отвечают, что площадь произвольного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

- Это утверждение есть теорема о площади треугольника.

               -Проблемную ситуацию можно создать, предложив ученикам задачу, для решения которой необходимы новые знания.

15.Перед изучением теоремы о средней линии треугольника рассматривается практическая задача, для решения которой надо уметь найти длину стороны треугольника, зная длину средней линии треугольника.

Задача. DE – средняя линия треугольника ABC.

Определите сторону AB, если DE = 4 см.

- Что известно по условию задачи?

- Известно, что DE – средняя линия треугольника ABC, DE = 4 см.

Требуется найти длину стороны AB.

Учащиеся пытаются самостоятельно решить задачу, но затрудняются. Создается проблемная ситуация, в результате которой выясняется, что для решения этой задачи нужны новые знания.

Далее доказываем совместно с учащимися теорему о средней линии треугольника, используя второй признак подобия треугольников.

Пользуясь этой теоремой, ученики легко решают проблему.

AB = 8 см. 

Использование технологии проблемного обучения требует от меня значительных затрат времени при подготовке уроков, т. к. сформулировать проблемный вопрос достаточно сложно,нужно продумывать каждое задание и каждое слово, чтобы они вызвали затруднение у учащихся и в то же время не отбили желания это затруднение преодолеть. Достаточно много времени тратится и на уроке на разрешение проблемы, но это время более ценно по сравнению с тем, которое тратилось бы на подачу готовых знаний. Проводя такие уроки, убедилась, что ученик, получив право выбрать способ усвоения учебного материала, сам оценивает свои способности.              

Литература 1.Селевко Г. К. Современные образовательные технологии:  Учеб. пособие – М.: Народное образование, 1998 г. 2. Махмутов М. И. Организация проблемного обучения в школе. Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1977 3.Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении.- М.: Педагогика, 1972. 4. Людмилов Д.С., Дышинский Е.А., Лурье A.M. Некоторые вопросы проблемного обучения математике: Пособие для учителей.- Пермь, 1975.     5. А.П.Попова Поурочные разработки по математике 5 класс.-М, «ВАКО», 2008. 6.     Л.А. Тапилина, Т.Л. Афанасьева. Алгебра 7 класс, Поурочные планы. Волгоград,:Изательство «Учитель»,2005. 7. Орехова О. Ю. Применение проблемного обучения на уроках  математики. / О. Ю. Орехова // Учебно-методический кабинет – [Электронный ресурс]  Режим доступа : http://ped-kopilka.ru/uchiteljam-predmetnikam/matematika/primenenie-problemnogo-obuchenija-na-urokah-matematiki.html

Заключение.

Практические аспекты реализации проблемы «Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках геометрии посредством использования современных образовательных технологий»

Проводя такие уроки, убедилась, что ученик, получив право выбрать способ усвоения учебного материала, сам оценивает свои способности и возможности.              

                                             ЛИТЕРАТУРА

3

8.     С.П. Ковалева, Алгебра 9 класс, Поурочные планы. Волгоград,:Изательство «Учитель»,2007

Русинова Л.П., Учебное пособие «Педагогический словарь по темам», Сарапул, 2010г. ― [Электронный ресурс] // Режим доступа: www.didacts.ru