Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №5» город Березники Пермский край

(Научное общество учащихся «Шаг в будущее»)

Направление: естественно-математическое

(математика)

Некоторые нестандартные способы счета

(легкие способы умножения)

Выполнила: Старикова Валерия Владиславовна, 7 А

Научный руководитель: Палехова Екатерина Викторовна,

учитель математики МАОУ СОШ №5

2013 год
Оглавление

Введение. 3

Глава 1. История счета. 5

1.1.  Как зарождался счет. 5

1.2.  О способах вычисления. 6

Глава 2. Способы умножения, альтернативные традиционному умножению столбиком  8

2.1.  Таблица умножения на 9 на пальцах. 8

2.2.  Умножение на одиннадцать. 9

2.3.  Перемножение чисел с помощью опорного числа. 10

2.4.  Японский способ умножения. 12

2.5.  Итальянский способ умножения. 14

2.6.  Анкетирование. 15

Заключение. 17

Библиографический список. 18

Приложение 1. 19

Приложение 2. 19

Приложение 3. 20

Приложение 4. 20

Введение

В повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому, на уроках математики, наряду с формированием основных математических понятий, изучением свойств чисел, арифметических действий, важнейшее место всегда занимает формирование вычислительных навыков и умений. Актуальность данной работы заключается в том, что сегодня значимость вычислительных навыков уменьшилась в связи с широким внедрением во все сферы человеческой деятельности электронной вычислительной техники. Однако микрокалькулятор не всегда может оказаться под рукой, да и пользоваться им без осознания вычислительных навыков невозможно. Многие не хотят утруждать себя счетом в уме и считать привычными для всех способами, которые изучаются в школе. Поэтому в работе мы решили показать, что существуют и другие способы счета, отличные от традиционного.

Объект исследования: нестандартные способы умножения.

Предмет исследования: процесс вычисления нестандартными способами умножения.

Цель: теоретическое изучение нестандартных способов умножения и экспериментальная проверка по их использованию на уроке математики.

Задачи:

¾     изучить литературу по истории счета и известным способам умножения, выбрать среди них самые легкие;

¾     научиться применять найденные способы умножения, выявить их плюсы и минусы;

¾     провести выступление в классах по данной работе, чтобы вызвать интерес учащихся к изучению математики;

¾     провести анкетирование среди учащихся на желание использовать предложенные способы умножения на уроке математики;

¾     обработать полученные данные.

Гипотеза: существуют другие способы умножения, которые легче традиционного умножения столбиком.

Методы исследования:

¾     теоретические (изучение литературы, анализ);

¾     индуктивные (движение мысли от частных суждений к общему выводу);

¾     практические (анкетирование);

¾     математические и статистические (анализ и обработка полученных данных).

Экспериментальная база исследования – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 5». Исследование проводилось в январе 2013 г.

Практическая значимость исследования заключается в том, что данный материал может быть использован на уроках математики, а также на факультативных занятиях и мероприятиях в рамках недели математики.

Глава 1. История счета

1.1.          Как зарождался счет

Искусство счета развивалось с развитием человечества. В те времена, когда человек лишь собирал в лесу плоды и охотился, ему для счета хватало четырех слов: один, два, три и много. Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.

Однако, когда люди начали заниматься животноводством и земледелием, то им уже стало необходимо пересчитывать коз в стаде или количество корзин с выращенными плодами (которых было больше трех), заготовленными на зиму.

Способов счета было придумано немало: делались зарубки на палке по числу предметов, завязывались узлы на веревке, складывались в кучу камешки. Но палку с зарубками с собой не возьмешь, да и камни таскать не очень приятно, а пастуху нужно знать – не отбилась ли какая коза от стада. И тут на помощь приходят пальцы рук – отличный счетный материал, им до сих пор пользуются не только первоклассники. А если предметов больше десяти? Конечно, можно использовать и пальцы на ногах, а дальше? Тут уже ничего не оставалось делать, как придумать десятичную систему, которой мы пользуемся сейчас.

«Пальцевое» происхождение десятичной системы подтверждается формой латинских цифр: римская цифра пять (V) – ладонь с оттопыренным большим пальцем, а римская цифра десять (X) – две скрещенные руки.

Но не все народы пошли по этому пути, хотя использовали все те же пальцы. Индейцы племени майя в Америке считали пятерками: одна пятерка – единица следующего разряда, пять пятерок – новый разряд и т.д. Ясно, что они пользовались пальцами только одной руки.

Некоторые племена использовали только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трех фаланг, то есть имели в распоряжении 12 объектов счета. Так возникла дюжина, которая сто лет назад была широко распространена и в Европе, и в России, но постепенно уступила свое место десятке (4, 9).

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует на единицу большее, хотя очень большие числа в обыденной жизни и не нужны.

1.2.          О способах вычисления

Способы вычисления, используемые в настоящее время, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XXI века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения – «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие, соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Итак, в этой главе нам удалось узнать о том, как зарождался счет и о существовании множества приемов умножения, которые не отличались своей простотой. Поэтому, в следующей главе рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения, такие как: «таблица умножение на 9 на пальцах», «умножение на одиннадцать», «перемножение чисел с помощью опорного числа», «японский способ умножения», «итальянский способ умножения».

Глава 2. Способы умножения, альтернативные традиционному умножению столбиком

2.1.   Таблица умножения на 9 на пальцах

Человеческая рука является одной из первых счетных машин. Положите обе руки рядом на стол и протяните пальцы. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева — 1, второй — 2, третий — 3, четвертый — 4 и т. д. до десятого, который будет обозначать число 10. Например, нам необходимо умножить 7 на 9. Теперь поднимите седьмой палец. Число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев направо — числом единиц. Налево от поднятого пальца лежат 6 пальцев, а направо — 3. Значит, результат умножения 7 на 9 равен 63.

Это удивительное на первый взгляд механическое умножение тотчас же станет понятным, если вспомнить, что сумма цифр в каждом произведении чисел таблицы умножения на девять равна девяти, а число десятков в произведении всегда на 1 меньше того числа, которое мы умножаем на 9. Поднятием соответствующего пальца это мы и отмечаем, а, следовательно, и умножаем (5).

Данный способ умножения очень простой и позволяет не заучивать таблицу умножения на 9, а легко посчитать результат на пальцах.

2.2.   Умножение на одиннадцать

Рассмотрим еще один интересный способ умножения, который описан в книге «Система быстрого счета по Трахтенгергу».

Основные правила умножения на 11 заключаются в следующем:

1)      последняя цифра множимого (число, которое умножается) записывается как самая правая цифра результата;

2)      каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат;

3)      первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг (2, 9).

Приведем пример: 712324 умножить на 11. Ответ записывается под 712324, по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Иногда, при сложении числа с его «соседом», в ответе получается число, состоящее из двух цифр, например, 5 и 8 в сумме дают 13. В этом случае вы пишите 3 и, как обычно, «переносите» 1.

Если описать данный метод умножения для двузначных чисел, то кратко его можно записать так. Чтобы любое двузначное число умножить на 11, следует «раздвинуть» цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как и при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Например: 1) 34×11=374, так как 3+4=7, семерку помещаем между тройкой и четверкой; 2) 68×11=748, так как 6+8=14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

Как видите, данный способ очень прост и не требует больших затрат. В примерах с двузначными числами разницы в скорости решения между описанным выше и традиционным методами практически нет. Но если на 11 умножать большие числа, то сокращенный метод может быть более эффективным.

2.3.   Перемножение чисел с помощью опорного числа

Автором способа является американец Билл Хэндли. К сожалению, об этом человеке ничего неизвестно, поэтому его биография остается загадкой. Данный способ умножения очень интересный. Он позволяет не запоминать таблицу умножения целиком, так как она изучается в школьном курсе математики. Первое правило математики Билла Хэндли выглядит так: «Чем проще метод, используемый вами для решения задачи, тем быстрее вы ее решите и тем меньше вероятность того, что вы допустите ошибку» (3, 12).

Билл Хэндли предлагает при умножении чисел использовать опорное число. В качестве опорных чисел он выбирает числа, на которые легко умножать. Опорное число полезно при перемножении чисел, находящихся близко и при возведении в квадрат. При умножении чисел до 100, в качестве  опорных, удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100. Вы, наверное, зададите вопрос, почему именно эти числа, а не другие. Ответ очень прост, потому что при умножении на 10 и 100 всего лишь следует приписать справа от числа количество нулей соответствующих числам 10 и 100. Когда берем 20 в качестве опорного числа, то 20 это 10 умноженное на 2, что легко посчитать, а 50 это половина 100, поэтому чтобы умножить на 50, можно умножить число, сначала на 100, а затем разделить результат на 2.

Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа. Тут возможны три случая:

1)      оба множителя меньше опорного;

2)      оба множителя больше опорного;

3)      один из множителей больше, а другой меньше опорного.

При умножении чисел этим способом пользуются следующими правилами:

1)      опорное число будем записывать слева от произведения в кружке;

2)      нарисуем еще два кружка, следующим образом: если множитель меньше опорного числа, то помещаем кружок под ним, если множитель больше опорного числа, то рисуем кружок над ним;

3)      разность множителей и опорного числа будем записывать в этих кружках с теми знаками, которые получились;

4)      выполним сложение накрест, учитывая правило сложения чисел с разными знаками. Это значит надо прибавить любое из чисел в кружочке к числу не прямо над (под) ним, а к тому, что расположено по диагонали, то есть над (под) другим числом в кружочке. Делать это нужно всего один раз, поэтому выбирайте тот вариант, который вам кажется легче. В любом случае результат получится один и тот же;

5)      полученный результат умножаем на опорное число, это будет промежуточный результат, который мы запишем после знака равенства;

6)      перемножаем числа в кружочках, учитывая правило перемножения чисел с разными знаками, полученный результат прибавляем к тому, что получилось в 5 пункте, это и будет ответ.

Данный способ помогает довольно быстро выполнять умножение в отличие от традиционного способа умножения столбиком. После его хорошей отработки, можно даже выполнять действия в уме. Минус данного способа в том, что он удобен для чисел близко стоящих друг к другу, а когда числа далеко находятся друг от друга, то вычисления не такие уж и простые. Хотя данный метод можно применить неоднократно.

2.4.   Японский способ умножения

Японцы не заучивают наизусть таблицу умножения, а пользуются очень простым и оригинальным способом, легко перемножая даже многозначные числа. Данный способ умножения носит еще называние «китайская грамота», «графический» или «линейный» способ умножения. По некоторым сведениям, так умножают числа и в Китае.

Счетные палочки – необходимый атрибут первоклассника. На уроках математики начальной школы с их помощью отрабатывают навыки сложения и вычитания. А вы когда-нибудь задумывались, что с их помощью можно и перемножать, достаточно быстро и легко многозначные числа? Конечно, на палочках не совсем удобно умножать числа, а вот на листке бумаге, рисуя линии – запросто. Такой способ умножения доступен каждому (8).

Предположим надо умножить 324 на 21.

На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера. Сначала 324: рисуем 3 линии, чуть ниже – 2 линии и еще ниже – 4 линии. Затем 21: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала – 2 линии, чуть правее – 1 линию. Важно: линии первого числа рисуются горизонтально сверху вниз, оставляя промежутки между каждым разрядом числа, линии второго числа – вертикально (перпендикулярно линиям первого числа) слева направо, оставляя промежутки между разрядами числа. Затем выделяем области по диагонали в направлении от нижнего правого угла к верхнему левому и считаем количество точек пересечения в каждой из областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). От количества выделенных областей, будет зависеть значимость числа. Всего их получилось 4, значит ответ - четырехзначное число. Найдем его: в первой области 6 точек пересечения, во второй – 7, в третьей – 10 и в четвертой – 4. Области, в которых количество точек выражено однозначным числом, сложности не вызывают, поэтому начнем разбирать третью область с двузначным числом, где 10 точек пересечения. От 10 в этой области оставляем только последнюю цифру, а первую переносим в соседнюю область справа налево, следовательно, в третьей области осталось число 0, а во второй теперь к имеющимся 7 точкам надо добавить перенесенную единицу. Поэтому, во второй области теперь 8 точек, а это однозначное число, значит все в порядке. Если получается опять двузначное число в области, то процесс повторяем. Составим ответ из однозначных цифр: 6804.

Достаточно простой и наглядный способ умножения чисел любой величины. Умножая числа таким способом вовсе не обязательно знать таблицу умножения. Надо всего лишь правильно начертить линии, сосчитать количество пересечений и вывести результат. Все гениальное просто. Единственный минус данного способа в том, что если в числе есть цифры больше 5, то решение выглядит громоздким и можно запутаться.

2.5.   Итальянский способ умножения

В средние века очень распространенным был способ умножения «решеткой», названный в Италии «Джелозия» (оконные жалюзи) (1, 130). Еще этот способ носит романтическое название «ревность» (или решетчатое умножение) (4, 33).

Суть этого способа умножения поясним на примере. Вычислим произведение 296 на 73. Начнем с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, – по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решетчатые ставни-жалюзи, – пишет Пачиоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь» (4, 34).

Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально – число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Однозначный результат записываем под диагональю. Цифры искомого произведения получим путем суммирования чисел, записанных между диагональными линиями (в косых полосах). При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2+1+7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от нее. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.)

Полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо). Ответ: 21 608. Итак, 296 ×73 = 21 608.

Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Недостаток этого способа заключается в построении прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

2.6.   Анкетирование

На базе муниципального автономного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 5» было проведено анкетирование в январе 2013 г. среди учеников 7 «а», 8 «а» и 8 «б» классов. В анкетировании принимало участие 67 учеников. Ученикам была предложена анкета, состоящая из трех вопросов (Приложение 1). Ответ на первый вопрос «Знаете ли вы какие-нибудь способы умножения, отличные от традиционного умножения столбиком?» показал, что только 16 знают о них, а 51 они не знакомы. Затем объяснила все пять способов умножения и задала второй вопрос «Хотели бы вы использовать предложенные способы умножения?». В результате, 10 ответили «нет», а 57 дали положительный ответ. Полученные результаты представлены в виде диаграмм в процентном соотношении (Приложение 2, 3). Ответ на последний вопрос «Какими способами вы бы хотели пользоваться в дальнейшем?» дал понять какой из способов оказался самым востребованным. Итак, на первом месте – способ умножения на 11, на втором – «японский» способ, на третьем – «итальянский» способ, на четвертом – перемножение чисел с помощью опорного числа и самый не востребованный способ – таблица умножения на 9 на пальцах (Приложение 4).

Заключение

В повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики важнейшее место всегда занимает формирование вычислительных навыков и умений.

В ходе решения поставленных задач в работе рассмотрены вкратце история счета и пять легких способов умножения. Научившись считать этими способами, приходим к выводу, что представленные нестандартные способы проще, чем традиционное умножение столбиком, но последнее для многих привычней. Из всех перечисленных нестандартных способов счета мне больше понравился «итальянский» способ умножения.

Разобрав каждый из предложенных способов, мы выделили их плюсы и минусы. Следует отметить, что способы умножения на 9 и на 11 являются частными способами умножения, а такие способы умножения, как «японский», «итальянский» и с помощью опорного числа – универсальными, так как они подходят для умножения любых чисел.

На базе муниципального автономного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 5» было проведено анкетирование 67 человек. Результат показал, что данная тема заинтересовала ребят и они хотели бы пользоваться полученной информацией в дальнейшем при изучении математики.

Я думаю, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным, поэтому я буду продолжать работу над данной темой и, может быть, мне удастся найти новый способ умножения.

Библиографический список

1.       Глейзер Г.И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.

2.       Система быстрого счета по Трахтенбергу / Э. Катлер, Р. Мак-Шейн; сокращ. пер. с англ. П.Г. Каминского и Я.О. Хаскина. – М.: Просвещение, 1967. – 137 с.

3.       Считай в уме как компьютер / Б. Хэндли; пер. с англ. Е.А. Самсонов. – Мн.: «Попурри», 2006. – 352 с.

4.       Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. ред. О.Г. Хинн; Худож. А.В. Кардашук, А.Е. Шабельник, А.О. Хоменко. – М.: АСТ, 1996. – 480 с.

5.       http://vk.com/games4smart

6.       http://4brain.ru/schitat-v-ume/_umnozhenie-na-11.php

7.       http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-35829/

8.       http://schoolmathematics.ru/umnozenie-graficeskim-cpocobom

Приложение 1

Анкета

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4