Проектная работа «Вероятностный граф – как средство решения задач на вероятность»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

                          «Средняя общеобразовательная школа № 1 города Анадыря»       

(МБОУ «СОШ № 1 г. Анадыря»)

Проектная  работа

«Вероятностный граф – как средство

 решения задач на вероятность»

по математике

Выполнил:

ученик 10.1 класса

Павлов Максим

Руководитель:

Учитель математики

Ружникова Н.Н

г. Анадырь, 2023 год

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………….….3

Глава 1. Ключевые теоретические положения теории вероятности

1.1 .Определения, понятия, формулы………………………………………….…5

1.2. Вероятностный граф – наглядное средство теории вероятностей………….10

Глава 2. Практическое применение классической формулы и вероятностного графа  на примере задач ……………………………………………………..….12

2.1. Решение задач на классическое определение вероятности……………....12

2.2. Решение задач на сумму и произведение вероятностей с использованием графа……………………………………………………………………………...16

Заключение ………………………………………………………………………19

Список используемой литературы………………………….…………………..20

Приложение ………………………………………………………………….…..21

 

«Высшее назначение математики…состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает»

Н. Винер

Введение

    События, которые вокруг нас происходят можно разделить на три группы. Это достоверные события, они произойдут обязательно, невозможные события, которые не произойдут никогда, а также случайные события, которые могут случиться, а могут и не случиться. Исторически потребность исследования случайных событий возникла еще в 17 веке, это было связано с распространением азартных игр и казино, что вызвало желание людей дать числовые оценки наступления того или иного события. В 20 веке была создана теория вероятностей, которая из легкомысленной науки превратилась в полноценный раздел  математики. Быть компетентным в области теории вероятностей, значит уметь спрогнозировать свое поведение, выбрать  более выигрышную стратегию,  учитывать риски, оценивать шансы. Любую деятельность любой сферы можно проанализировать, используя статистику, рассчитать благодаря теории вероятности и заметно улучшить. Значимость теории вероятности для человечества ни у кого не вызывает сомнения, поэтому основы вероятности изучаются в школе и знания выпускников по  этому  разделу  проверяются при сдаче экзаменов. Наряду с задачами, для  решения которых требуется классическое определение вероятности, с 2022 года необходимо решить более сложную задачу, в которой не обойтись без формул сложения и умножения вероятностей. Для наглядного решения более сложных  задач выгодно использовать графические иллюстрации. А именно вероятностный граф. Гипотеза исследования состоит в том, чтобы в ходе решения некоторых вероятностных задач  применить вероятностный граф и показать, что такое решение более понятно и результативно.  

Объект исследования – задачи по теории вероятности

Предмет исследования – вероятностный граф как средство решения вероятностных задач

Цель исследовательской работы - использовать вероятностный граф, как средство решения задач на вероятность.

Задачи исследовательской работы:

- изучить главные определения, понятия, формулы по теории вероятности, необходимые для решения задач;

- рассмотреть  спектр наиболее часто встречаемых типов вероятностных задач  на экзамене;

- научиться строить вероятностный граф для решения вероятностной задачи;

-  оформить данные результаты как рекомендации для одноклассников и всех интересующихся данными задачами;

- получить личный опыт в решении вероятностных задач.

Практическая значимость проекта состоит в том, что  рассмотренный способ решения вероятностных задач поможет качественно научиться решать сложные задачи и поможет подготовиться к экзамену заинтересованным лицам. Методы исследования: изучение дополнительной литературы, сбор информации, сравнение, анализ, обобщение.

Глава 1.Ключевые теоретические положения теории вероятности

1.1 Определения и понятия

Любая точная наука изучает не просто сами события, происходящие во всем мире, она изучает их с математической точки зрения, т. е. описание событий при помощи набора определенных символов и операций над ни­ми. При этом для рассмотрения события с математической точки зрения во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности, соотношения и пропорции, которые позволяют предвидеть результат эксперимента по его начальным условиям. Однако есть множество задач, для решения которых приходится учитывать и случайные факторы, придающие исходу опыта элемент неопределенности. Теория вероятностей - математическая наука, изучающая зако­ны, присущие массовым случайным событиям и явлениям. При этом из­учаемые события и явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматрива­ет не сами реальные события и явления, а их упрощенные модели. Предметом теории вероятностей являются математи­ческие модели случайных событий. Все теории вероятности основываются на опыте.

Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти [3, c.336].Примеры случайных событий: вы­падение орла при подбрасывании монеты, выигрыш в лотерее, результат измерения чего-либо и т. п. Цель данной теории - прогноз в области случайных явлений, влияние на ход событий в этих явлениях, их контроль, огра­ничение  действия какой-либо случайности. В настоящее время нет практи­чески ни одной области науки, где в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы.

Случайным явлением (или просто: событием) называется любой исход эксперимента, который может случиться или не случиться. Явления обозначаются, как правило, заглавными буквами латин­ского алфавита: G, E, D, ...

Если появление одного явления в единичном опыте исключает появление другого, то такие явления называются несовместными. Если при рассмотрении группы явлений может произойти только одно из нескольких, то его называют единственно возможным. Наибольшее внимание математиков в течение нескольких столетий привлекают равновозможные события (выпадение одной из граней кубика) [4, с. 14]

Примеры:

а) при подбрасывании кубика возможен один из  шести исходов опыта: {2,5,3,6,5,1};

б) подбрасываем монету два раза подряд, тогда  возможные исходы опыта: {ОР, ОО, РР, РО}, где О - «орел», Р - «решка» и общее число исходов (мощность П) |П| = 4;

в) подбрасываем монету до первого появления «орла», тогда П={О, РО, РРО, РРРО,...}.

В этом случае мощность (П) называется дискретным пространством элементарных со­бытий. Обычно интересуются не тем, какой именно исход имеет место в ре­зультате опыта, а тем, принадлежит ли опыт тому или иному подмно­жеству всех опытов. Все те подмножества В, для которых по условиям экс­перимента возможен ответ одного из двух типов: «исход принадлежит В» или «исход не принадлежит В», будем называть событиями.   В примере  б) множество В={ОО, ОР, РО} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один «орел». Событие В со­стоит из трех  исходов пространства П, поэтому |В| = 3.

Суммой двух событий(объединением) событий A и B называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событий A и B обозначают A+B [3, c.339]. 

Произведением событий C и В называется событие D=C·B, состоящее в совместном исполнении события C и события В.

Противоположным по отношению к событию C называется событие , со­стоящее в непоявлении C а, значит, дополняющее его до П. Если каждое появление события С сопровождается появлением, то пи­шут С и говорят, что С предшествует или С влечет за собой .

Исторически первым понятием вероятности является то понятие, которое в настоящее время принято называть классическим, или, классической вероятностью: классической вероятностью события В называется отношение числа благоприятных исходов (обязательно наступивших) к общему числу несовместных единственно возможных и равновозможных исходов [3, с.339]: Р(В) = m/n, где m – число благоприятных исходов для В; n- общее число несовместных единственно возможных и равновозможных исходов. С точки зрения значения случайности все события можно классифицировать следующим образом:

 

Несколько событий называются совместными, если появление одного из событий в единичном эксперименте не исключает появления других событий в этом же эксперименте. В противном случае события называются несовместными.

Два события называются зависимыми, если вероят­ность одного события зависит от другого. Два события называются независимыми, если веро­ятность одного события не зависит другого. Несколько событий называются независимыми, если каждое из них и любая их комбинация остальных событий есть события независимые.  Несколько событий называются попарно независимы­ми, если любые два из этих событий независимы. Требование обычной независимости  сильнее требования попарной независимости. А это значит, что только несколько событий могут являться попарно независимы­ми, но при этом они не будут независимыми все вместе. Если же несколько событий независимы в совокуп­ности, то из этого следует их попарная независимость.  В связи с тем, что в дальнейшем часто нужно будет рассматривать вероятности одних событий в зависимости от других, то необходимо ввести еще одно понятие. Условной вероятностью P(G) называется вероят­ность события G, вычисленная при условии, что событие P уже произошло. Рассмотрим формулы для вычисления вероятностей.

Сложение вероятностей. Для произвольных событий P и G имеет место формула: P(A+G) = P(A) + P(G) -P(A*G) .

Если события A и G несовместны, то P(A*G) = 0 и формула сложения вероятностей приобретает вид P(A+G) = P(A) + P(G) .

Поскольку противоположные события дают в сумме достоверное событие, имеют место формулы P(A) + P(A) =1

Пример 1: При производстве болтиков длиной 15 мм вероятность того, что длина будет отличаться от необходимой не более чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт будет короче 14,99 мм или длиннее 15,01 мм.

Решение: Вероятность того, что длина шурупа находится в отрезке [14,99;15,01] по условию равна 0,965. Тогда вероятность противоположного события равна 1- 0,965=0,035.

Пример2: В магазине запчастей продаются новые и б/у детали. 60% деталей являются б/у, 61% –б/у или с дефектами, 5% имеют дефекты. Какова вероятность, что случайно выбранная деталь будет одновременно не новой и с дефектами.

Решение: Обозначим за A событие «выбранная случайно деталь не новая», за G событие «выбранная случайно деталь имеет дефекты». По условию задачи P(A) = 0,6,  P(G) = 0,05, а  вероятность их суммы P(A+G) = 0,61. Тогда из формулы сложения вероятностей:

P(A* G) = P(A+ G) –(P(A) + P(G)) = 0,61- (0,6 + 0,05) = 0,05.

Умножение вероятностей. Условной вероятностью  P_a (B) называется вероятность события B , вычисленную в предположении, что событие P уже произошло. События A и G называются независимыми, если появление события A не изменит вероятность события G , т. е. P_a (G)=A(G).Вероятность появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие уже сбылось: P(A* G) = P(A) *P_a (G).Для независимых событий вероятность их совместного появления P(A* G) = P(A) * P(G) .

Пример 3: Команды Барселона и Манчестер играют два матча в футбол: на своем поле и на поле соперника. Если команда Барселона играет на своем поле, то выигрывает у Манчестера с вероятностью 0,52. На чужом поле Барселона выигрывает с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что Барселона выиграет оба матча.

Решение: Возможности выигрыша в каждом из матчей не зависят друг от друга, поэтому вероятность произведения независимых событий вычисляется по формуле: P(A* G) = P(A)  P(G) = 0,52*0,3 = 0,156

Таким образом, рассмотрев понятия случайного события, достоверного, невозможного, несовместного, зависимых и независимых событий, формулы классической вероятности, суммы и произведения вероятностей, а также некоторые примеры, можно приступать к решению вероятностных задач.

1.2. Вероятностный граф – наглядное средство теории вероятностей.

Отличительной особенностью нашего подхода к решению задач по теории вероятностей является использование графов, что делает решение более наглядным и легким.

 Граф - два множества с отношением инцидентности между их элементами, называемыми вершинами и ребрами. Любое ребро связано не более чем с двумя вершинами. [2, с.26]

Дерево - связный граф без циклов. Очень важное понятие для подхода изложения теории вероятностей. При помощи дерева удобно изображать исходы того или иного испытания. [2, с.27]

Граф является вероятностным, если рядом с каждым его ребром записать соответствующую вероятность. [2, с.29]

Размеченный граф вероятностей рисуют (как правило) слева направо. Опыты (испытания) обозначаются в виде жирных точек или в виде прямоугольников, а каждый исход — сплошной линией (ветвью), идущей от соответствующей точки или прямоугольника. Около каждой ветви указывается вероятность соответствующего исхода. Сумма вероятностей на ветвях, выходящих из одного прямоугольника, равна единице. Двигаясь по ветвям и перемножая соответствующие вероятности, в конце пути мы получаем вероятность сложного события. Сложив нужные вероятности, найдем вероятность искомого события. Имеется две основные разновидности графов — неориентированные и ориентированные. Неориентированный граф — совокупность точек (вершин графа) с соединяющими некоторые из них отрезками (ребрами графа, ветвями). Ориентированный граф — это совокупность точек (вершин) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками). В этой работе мы будем пользоваться только ориентированными графами.

Правило вычисления вероятности по размеченному вероятностному графу: 1) вероятность попадания в конечную вершину (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречаемые на ребрах соответствующего маршрута

P(H) = v(1)t(3)n(2)

                                 v(1)                         v(2)

 

t(1)                t(3)                                                         j(1)                j(2)

         t(2)                            

                     n(1)              n(2)

                                                            H

Вероятность попадания в одну конечную вершину

2) если же нас интересует вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов, то вероятности соответствующих конечных вершин складываются (рис. 6.7, жирные маршруты) Вероятность попадания в несколько вершин: P(D)=gw(2) + g(2)f(1)

                                                                          g(2)                                                                         

                               g(1)

                                                                                                          f(2)                                                                                                                                                                   

      w(1)          w(2)                                                        f(1)

                             D                                                     D

Таким образом, для успешного решения задач по теории вероятностей можно использовать граф. Рассмотрим на примерах решение задач ЕГЭ на классическое определение вероятности и более сложных с применением графов.

Глава 2. Практическое применение формул и вероятностного графа

 на примере задач

2.1. Решение задач ЕГЭ на классическое определение вероятности

   В экзаменационных материалах встречаются задачи на классическое определение вероятности и более сложные задачи. Рассмотрим первую группу. В таких задачах для нахождения вероятности события делим благоприятное число исходов на общее число исходов. Рассмотрим примеры таких задач [5]

Задача	Решение:
1.   В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают пятерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?	P= благоприятные исходы / все исходы=1/10=0,1
2.   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 11 прыгунов из Финляндии и 8 прыгунов из Египта. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что десятым будет выступать прыгун из Финляндии.	P= благоприятные исходы / все исходы=11/50=0,22
3.     Миша, Леша, Настя и Аня бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет не Аня.	P= благоприятные исходы / все исходы=3/4=0,75
4.     Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 5, но не дойдя до 8.	P= благоприятные исходы / все исходы=1/4=0,25
5.     На конференцию приехали ученые из трех стран: 7 из Франции, 3 из России и 2 из Турции. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад ученого из России.	P= благоприятные исходы / все исходы=3/12=0,25
6.     В сборнике билетов по истории всего 20 билетов, в 18 из них встречается вопрос о Смутном времени. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос о Смутном времени.	P= благоприятные исходы / все исходы=18/20=0/9
7.     В сборнике билетов по биологии всего 50 билетов, в 9 из них встречается вопрос по членистоногим. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете  школьнику не достанется вопрос по членистоногим.	P= благоприятные исходы / все исходы=41/50=0,82
8.     В фирме такси в наличии 60  легковых автомобилей; 27 из них черного цвета с желтыми надписями на боках, остальные – желтого цвета с черными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями.	P= благоприятные исходы / все исходы=33/60=,55
9.     Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 55 докладов – они распределены поровну между всеми днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?	P= благоприятные исходы / все исходы=11/55=0,2
10. На олимпиаде по химии 400 участников разместили в трех аудиториях. В первых двух удалось разместить по 150 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.	P= благоприятные исходы / все исходы=100/400=0,25
11. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 75 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из Индии участвует в конкурсе. В первый день запланировано 27 выступлений. Остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из Индии состоится в третий день конкурса?	P= благоприятные исходы / все исходы=12/75=0,16
12. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 спортсменов, среди которых 13 спортсменов из России, в том числе Алексей Фомин. Найдите вероятность того, что  в первом туре Алексей Фомин будет играть с каким-либо спортсменом из России.	P= благоприятные исходы / все исходы=12/75=0,16
13. В школе 51 пятиклассник, среди них – Вася и Петя. Всех пятиклассников случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Вася и Петя окажутся в одной группе.	P= благоприятные исходы / все исходы=16/50=0,32
14. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет оба раза.	P= благоприятные исходы / все исходы=1/4=0,25
15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.	P= благоприятные исходы / все исходы=1/8=0.125
16. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Львы» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Львы» начнет игру с мячом не более одного раза.	P= благоприятные исходы / все исходы=4/8=0,5
17. В случайном эксперименте бросают две игральные два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.	P= благоприятные исходы / все исходы=3/36=1/12 0,08
18. В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.	P= благоприятные исходы / все исходы=873/900=0,97
19. Фабрика выпускает сумки. В среднем 6 сумок из 75 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.	P= благоприятные исходы / все исходы=69/75=0,92
20. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 110 качественных сумок  приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.	P= благоприятные исходы / все исходы=110/113  0,97

   Данная таблица с примерами охватывает все типы встречающихся задач на классическое определение вероятностей. Далее рассмотрим более сложную  группу задач.

2.2. Решение задач на сумму и произведение вероятностей

 с использованием графа

  Рассмотрим типичные примеры задач на сумму и произведение вероятностей и решим их с помощью графа.

Задача 1:Ковбой Джек попадает в муху на  стене с вероятность 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джек стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает с муху с вероятность 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джек видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите  вероятность того, что Джек промахнется.[6]

Решение:

                           0,4                                         0,6

                                                                                          

 

0,9                         0,1                      0,2                    0,8

 

Задача 2: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным [6]. Решение:

 

                                   0,45                  0,55

 

             Брак                    Хорошие      Брак                   Хорошие

 

              P=0,45 0,03=0,0135                P=0,55 0,01=0,0055

 

Задача 3. Игральный кубик бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. Решение:

 

                                                                                           1/6

                                                   1/6              1/6                   1/6     

4,5,6

1

Первый бросок

			3
	2

 

Второй      2/6                1/6       5/6

3,4,5,6

1,2,3,4,5,6

1

2,3,4,5,6

1,2

бросок                       4/6                                            1

P=1/6 4/6 + 1/6

Задача 4. В первой урне находятся 7 синих и 9 желтых шаров, во второй — 6 синих и 4 желтых шара. Из первой урны во вторую переложили два шара, а затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар синий[1]

Решение. Построим размеченный вероятностный граф.

Пусть событие K — извлеченный из второй урны шар оказался синим. Этому событию на графе благоприятствуют четыре маршрута. Поэтому

P(K)= +  +  +  =

	1-й шар из 1-й урны

 

                          

 

синий, желтый, желтый

                      

желтый, синий, СИНИЙ

шар из 2-й урны

                                                                                               

желтый, синий, желтый

                                                                               

Заключение

  Теория вероятностей представляет несомненную ценность для общего образования. Эта наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, но и находит практическое применение  в повседневной жизни. Так, каждому из нас каждый день приходится принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Изучение теории вероятностей требует больших усилий и терпения. Проведенная работа позволила продвинуться в данной теме. В соответствии с поставленными задачами изучены  понятия, определения и формулы вероятности. Проанализирован банк задач ЕГЭ по вероятности. Решены основные типы задач на использование классического определения вероятности. Изучен вероятностный граф. С его помощью решены задачи на сумму и произведение вероятностей – про ковбоя, фабрики, игральный кубик, шары и другие. На этих примерах показано как с помощью графа легко и просто решаются сложные вероятностные задачи. Проведенная работа способствовала подготовке к экзамену по профильной математике. Завершающим этапом работы стала учебное пособие, которое поможет подготовиться к решению вероятностных задач учащимся профильных групп.

Литература

1.     Афанасьев В.В., Суворова М.А. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов: учебное пособие. Ярославль: Академия развития, 2006. - 192 с. 

2.     Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся шк.  И  кл. с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1996. – 288 с. 

3.     Алимов Ш.А.Алгебра и начала математического анализа 10-11кл. М.: Просвещение, 2014. – 463 с.

4.     Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2005. – 112 с.

5.     https://www.time4math.ru/ege

6.     https://math-ege.sdamgia.ru/

Приложение

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

                          «Средняя общеобразовательная школа № 1 города Анадыря»

(МБОУ «СОШ № 1 г. Анадыря»)

Учебная разработка по математике

Теория вероятностей. Решение задач с помощью графов

                                                           Анадырь, 2023г

  Отличительной особенностью нашего подхода к решению задач по теории вероятностей - это использование графов, для более упрощённого решения 4 задания в ЕГЭ.

Определения

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая зако­ны, присущие массовым случайным событиям и явлениям. Предметом теории вероятностей являются математи­ческие модели случайных событий. Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию (опыту), если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти.

 Граф – это два множества с отношением инцидентности между их элементами, называемыми вершинами и ребрами. Любое ребро связано не более чем с двумя вершинами.

Дерево – это связный граф без циклов. Одно из важных понятий для изложения теории вероятностей. Так как при помощи дерева удобно изображать исходы того или иного испытания.

Граф является вероятностным, если рядом с каждым его ребром записать соответствующую вероятность.

Инструкция создания графа:

Размеченный граф вероятностей рисуют (как правило) слева направо. Опыты (испытания) обозначаются в виде жирных точек или в виде прямоугольников, а каждый исход — сплошной линией (ветвью), идущей от соответствующей точки или прямоугольника. Около каждой ветви указывается вероятность соответствующего исхода. Сумма вероятностей на ветвях, выходящих из одного прямоугольника, равна единице. Двигаясь по ветвям и перемножая соответствующие вероятности, в конце пути мы получаем вероятность сложного события. Сложив нужные вероятности, найдем вероятность искомого события.

    Имеется две основные разновидности графов — неориентированные и ориентированные. Неориентированный граф — совокупность точек (вершин графа) с соединяющими некоторые из них отрезками (ребрами графа, ветвями). Ориентированный граф — это совокупность точек (вершин) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками). В этой работе мы будем пользоваться только ориентированными графам.

Правило вычисления вероятности по размеченному вероятностному графу:

1) вероятность попадания в конечную вершину (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречаемые на ребрах соответствующего маршрута

P(H) = v(1) t(3) n(2)

                                 v(1)                         v(2)

 

 t(1)                t(3)                                                         j(1)               j(2)

        t(2)                             

                      n(1)              n(2)

                                                    H 

2) если же нас интересует вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов, то вероятности соответствующих конечных вершин складываются (жирные маршруты) P(D)=gw(2) + g(2)f(1)

                   g(2)

                            g(1)

                                                                                                                           

                                                                                                                    f(2)                           w(1)                   w(2)                                                 f(1)

                               D

                                                                                            D

Таким образом, для успешного решения задач по теории вероятностей можно использовать граф.

         Рассмотрим пример решение задач:

Задача 1: В каждой из двух групп по 25 студентов. Число студентов группы, сдавших экзамен по математике, равно 22 и 20. Случайно выбранный студент сдал экзамен по математике. Какова вероятность, что это студент первой группы? 

               Решение. Построим размеченный вероятностный граф.

					Первая, сдал
	Выбрана     группа

 

                          

					Первая, не сдал

 

                      

                                                                                             

 

                                                                             

 

Обозначаем через A событие, заключающееся в том, что случайно выбранный студент сдал экзамен. Этому событию на графе благоприятствуют два маршрута. Поэтому

                                             P(А) =    +    =

Задача 2: В первой урне находятся 7 синих и 9 желтых шаров, во второй — 6 синих и 4 желтых шара. Из первой урны во вторую переложили два шара, а затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар синий

Решение. Построим размеченный вероятностный граф.

	1-й шар из 1-й урны

 

                          

 

синий, желтый, желтый

                      

желтый, синий, СИНИЙ

шар из 2-й урны

                                                                                               

желтый, синий, желтый

                                                                               

Пусть событие K — извлеченный из второй урны шар оказался синим. Этому событию на графе благоприятствуют четыре маршрута. Поэтому

P(K)=     +    +    +    =

 Задачи для практики        

1. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2? 

Ответ: 20. 

2. На пяти одинаковых карточках написаны буквы: на двух карточках л, на остальных трех и. Выкладываются наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии? 

Ответ: 1/10. 

3. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5? 

Ответ: 4/10. 

4. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым (т.е. имеет в точности два делителя)? 

Ответ: 4/10. 

5. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы? 

Ответ: 1/10. 

6. Мастер обслуживает 5 станков. 10 % рабочего времени он проводит у первого станка, 15 % - у второго, 20 % - у третьего, 25 % - у четвертого, 30 % - у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент он находится: 1) у первого или третьего станка; 2) у второго или пятого; 3) у первого или четвертого станка; 4) у третьего или пятого; 5) у первого или второго, или четвертого станка. 

Ответ: 1) 0,3; 2) 0,45; 3) 0,35; 4) 0,5; 5) 0,5. 

7. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 30 %, вторая – 25 %, третья – 45 % всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2 %, 1 %, 3 %. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным. 

Ответ: 0,022.

8. На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60 % изготовлено первым заводом и 40 % - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 85. Определить вероятность того, что взятая наудачу лампочка будет удовлетворять стандарту. 

Ответ: 0,91. 

9. В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах: 40 % изделий изготовлено первым автоматом, остальные – вторым. Брак в продукции первого автомата составляет 3 %, второго – 2 %. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным. 

Ответ: 0,5. 

10. На фабрике машины a, b, c производят соответственно 20 %, 35 %. 45 % всех изделий. В их продукции брак составляет 3 %, 2 %, 4 %. Какова вероятность того, что случайно выбранное дефектное изделие произведено машинами a, b, c соответственно? 

Ответ: 0,194; 0,226; 0,581. 

11. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2 %, у второго – 1 %. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие со второго завода, если оно оказалось испорченным?

Ответ: 0,022.