Содержание

Введение                                                                                                           

Глава 1. Идеи учёных древности, средних веков и наших   дней

              при изучении многогранников                                                         

Глава 2. Общая характеристика многогранников                                       

           2.1   Правильные многогранники 

           2.2  Правильные звёздчатые многогранники

           2.3   Полуправильные многогранники

Глава 3. Многогранники – наука или искусство?

          3. 1 Многогранники в архитектуре

         3.2 Многогранники в искусстве

         3. 3 Многогранники в природе

3.4 Окружающие нас предметы в форме многогранников

Заключение                                             

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Как известно, почти все великие учёные древности и средних веков были выдающимися геометрами. Так,  древнегреческий философ Платон, проводивший свои беседы со своими учениками, провозгласил: «Не знающие геометрии не допускаются!». Было это примерно 2400 лет тому назад. 

            Более 20  столетий спустя, великий французский архитектор Ле  Корбюзье сказал: «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия».  Эти слова очень точно характеризуют и наше время. Ведь мир, в котором мы живём, наполнен геометрией и она окружает нас ежедневно. Например,  архитектурные сооружения главного города нашего государства – Москвы. Кто был в Москве, знает, как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу, но более всего среди них - различных многогранников!

                                                         «Теория многогранников — одна из

самых увлекательных глав геометрии».

Л. А. Люстерник

             Человек проявляет интерес к многогранникам с самого раннего детства. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как  многогранники.

               В девятом классе, приступив к изучению главы  «Многогранники», из  презентации учителя мы узнали, что история изучения многогранников уходит вглубь веков и свойства этих  удивительных геометрических  тел интересовали великие умы человечества самых разных эпох, которые строили на них свои философские теории. 

            Более всего нас заинтересовало то, что многогранники имеют огромное прикладное значение и кроме многогранников, созданных человеком, есть необычайно удивительный мир многогранников, которые создала сама природа.  Мы увидели  многогранники в архитектурных памятниках, на картинах великих художников, то есть в искусстве и попытались связать их существование с различными науками.

КУЛЬТУРА  - это  создаваемые  человеком материальные и духовные ценности.  НАУКА – систематизация  знаний об окружающем мире, человеке и их взаимосвязях.  

           Возник вопрос: К чему можно отнести многогранники  в большей степени – к науке или культуре?  Так определилась тема нашего проекта. На этот  вопрос трудно ответить, используя только материал учебника, так как он содержит, в основном,  математические понятия, мало наглядности, практически отсутствуют исторические сведения. Поэтому, работая над проектом, мы решили создать пособие для учащихся,в котором будут собраны самые интересные факты и события, связанные с изучением данной темы. Этот материал будет интересен не только ученикам, так как его можно использовать  как справочный материал на занятиях по математике, но и взрослым.

              Актуальность и выбор темы исследовательской работы определены следующими факторами: Теория многогранников  не является одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два  тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует и их применение в науке, искусстве, архитектуре. Они встречаются в живой и неживой природе, в окружающем нас мире. Кроме того, теория многогранников является современным разделом математики, она, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики. Таким образом,  данная тема актуальна, а знания по данной проблеме  являются важными для современного общества

            Проблема исследования работы состоит в изучении всех видов многогранников и областей их применения: в науке, культуре. 

            Цель: Систематизация знаний и получение новой информации о многогранниках и их практическом применении, создание печатного пособия «Многогранники» в виде брошюры с иллюстрациями.

Задачи:

1.     Собрать информацию (литература, тезисы, научные статьи, свободная энциклопедия)  по выбранной теме изучить её и систематизировать  по разделам.

2.      Рассмотреть вклад математиков различных эпох в развитие теории многогранников.

3.      Ознакомиться с  видами многогранников в научной литературе.

4.     Рассмотреть вопрос о существовании многогранников в окружающем мире.

5.     Показать связь геометрии с другими науками.

6.     Оформить собранный материал в виде брошюры с иллюстрациями.

Объект исследования: Многогранники.

Предмет исследования: Практическое применение многогранников, их связь с окружающим миром.

Гипотеза исследования: Окружающий мир говорит языком математики?

Методы исследования: Теоретические – анализ и синтез, эмпирический – сравнение, математический – визуализация данных.

 

Глава 1. Идеи учёных древности, средних веков и наших дней при изучении многогранников.

        История многогранников уходит в глубокую древность и связана с именами таких учёных как Пифагор, Евклид, Архимед, Платон и Кеплер. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Пифагор и его ученики занимались изучением правильных многогранников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

      Они полагали, что материя состоит из четырёх основных элементов: огня, земли, воздуха, воды. И каждому элементу придавалась соответствующая форма.

       Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий учѐный, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. 

             Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней XIII книге Евклида, является венцом его «Начал».

          Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники.  Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду.

          Но созвездию 5-ти Платоновых тел суждено было еще раз вспыхнуть на небосводе естествознания.

 Перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).

 Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы (рис. 1) получила название «Космического кубка» Кеплера.

 

 

 

 

 

 

   

Рис 1. Космический кубок Кеплера.

            Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних растояний от Солнца.

   Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

              Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо.

    Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры Н. Гончаров, В. Макаров и В. Морозов  (рис. 2).

Рис 2. Слева направо: Морозов-Гончаров-Макаров.

             Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.3).

 

 

 

 

 

 

Рис 3. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли.

            Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

   Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

 Итак, многогранники  изучали учёные  древности,  средних веков, и их идеи  оказались удивительного современными – это были первые попытки систематизации окружающего нас мира. Гениальное предвидение Пифагора о том, что математика откроет человечеству двери к тайне Мироздания, сбылись, хотя ждать пришлось более 2-х тысячелетий.

Глава 2. Общая характеристика многогранников

2.1   Правильные многогранники.

            Среди  разнообразных форм многогранников выделяются правильные многогранники – те, которые построены из одинаковых многоугольников, причем в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников.

     Еще в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Их пять: тетраэдр (четырехгранник – от греческого «тетра», т.е. четыре), составленный из четырех правильных треугольников, куб или гексаэдр (шестигранник – от греческого «гекса», т.е. шесть), составленный из шести квадратов, октаэдр (восьмигранник – от греческого «окта», т.е. восемь), составленный из восьми правильных треугольников, икосаэдр (двадцатигранник – от греческого «икос», т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников, и загадочный додекаэдр (двенадцатигранник – от греческого «додека», т.е. двенадцать), составленный из двенадцати правильных пятиугольников (рис 4).

 

 

              Тетраэдр                                    Куб (гексаэдр)                    Додекаэдр   

 

                                                Октаэдр                                      Икосаэдр

 

Рис 4. Правильные многогранники.

                      Эти многогранники носят название «Платоновых тел», по имени древнегреческого философа Платона, в учении которого они играли важную роль. Тетраэдр символизировал - огонь, куб - землю, октаэдр – воздух, икосаэдр – воду, а додекаэдр – Вселенную. Первые четыре многогранника были известны и до Платона, а додекаэдр был открыт философами школы Платона. Это открытие они держали в строжайшей тайне. Существует легенда об ученике Платона Гиппазе, погибшем в море во время шторма, учиненного олимпийскими богами, за разглашение этой тайны.

                   Интересен «закон взаимности» для правильных многогранников. Если соединить отрезками центры соседних граней правильного многогранника, то эти отрезки станут ребрами другого правильного многогранника: у куба – октаэдра, а у октаэдра – куба; у икосаэдра – додекаэдра, а у додекаэдра – икосаэдра; а у тетраэдра – снова тетраэдра (рис.5).

 

Рис 5. Закон взаимности правильных многогранников.

          2.2  Правильные звёздчатые многогранники.

                 Если использовать не только обычные правильные многоугольники, но и звездчатые многоугольники и разрешить им пересекаться, то можно получить очень красивые звездчатые правильные многогранники. В 1810 году французский математик Пуансо построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый      звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. Два из них знал И. Кеплер, а в 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «Платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.¹

      Существуют 4 типа правильных звездчатых многогранников. Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 6).

                  При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится так называемый большой додекаэдр. Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр (рис. 7).

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 8).

                                                                                        

                    Рис. 6.                                   Рис. 7                       Рис. 8.

         2. 3   Полуправильные многогранники.

Кроме правильных многогранников существует тринадцать полуправильных многогранников, которые носят название «тел Архимеда», поскольку он первый их описал. Это тела, составленные из многоугольников двух видов, причем в каждой вершине сходится одно и то же число многоугольников каждого вида (рис. 9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

 

 

Рис. 9. Полуправильные многогранники.

            Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их  усечения. Усечённое тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Усечением называется удаление некоторых частей тел, а в нашем случае — удаление всех частей, расположенных около вершин, вместе с самими вершинами. Для Платоновых тел это можно сделать таким образом, что и получающиеся новые грани, и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. К примеру, тетраэдр можно усечь так, что его четыре треугольные грани превратятся в четыре гексагональные, а к ним добавятся четыре правильные треугольные грани. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр.

              Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчёркивает, что грани этих многогранников, представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причём каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Эти два тела носят названия кубооктаэдр и икосододекаэдр.

     Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром» в отличие от большого ромбокубооктаэдра и большого ромбоикосододекаэдра. Если процесс усечения применить к двум квазиправильным телам — кубооктаэдру и икосододекаэдру, то новые полученные грани будут в лучшем случае прямоугольниками, но не квадратами. Однако дальнейшие модификации могут превратить эти прямоугольники в квадраты. Вот почему некоторые авторы называют большой ромбокубооктаэдр и большой ромбоикосододекаэдр «усечённым кубооктаэдром» и «усечённым икосододекаэдром» соответственно. Мы предпочитаем называть их ромбоусечённым кубооктаэдром и ромбоусечённым икосододекаэдром. Приставка «ромбо» указывает на особый способ получения квадратных граней, который был применён для построения этих двух тел из двух квазиправильных многогранников. Это даёт нам право опустить определение «малые» перед названиями двух ранее введённых тел.

    Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого). Такие варианты, отличающиеся друг от друга, как правая рука отличается от левой, называются энантиоморфными.

Вывод: Показавшиеся вначале сложными даже  названия многогранников,  оказались на практике не столь страшны, сколь поучительны и интересны. Знакомство с ними  будит любознательность и фантазию, стимулирует интерес  к познанию гармонии и к самым разным видам творчества.  Процесс изучения многогранников позволяет осознать насколько многогранен чудесный  мир этих удивительных геометрических тел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Многогранники – наука или искусство?

3. 1 Многогранники в архитектуре.

           Многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - совершенные и причудливые, широко используются в архитектуре. Одно из чудес света сохранившееся до наших дней – египетские пирамиды. Пирамидальная форма в строительстве была популярна в древнем мире. Первое чудо света: Пирамида Хеопса самое грандиозное сооружение, вот уже почти пять тысяч лет стоит на земле. (рис. 10).

 

 

Рис. 10. Пирамида Хеопса.

 

            Седьмое чудо света - Александрийский маяк или Фарос  Александ-рийский, огромный маяк, сооруженный у входа в бухту египетского города Александрия, на острове Фарос (рис. 11).

 

Рис. 11. Александрийский маяк.

Геометрические фигуры, имеющие формы многогранников можно узнать и в замечательных сооружениях, возведѐнных русскими зодчими (Собор Девы Марии (рис.12), Казанская церковь (рис. 13) и многие другие).   Это не просто красивые и большие здания, это прочные, надѐжные и уникальные сооружения, которые ещѐ много лет будут поражать своей точностью, величественностью и таинственностью.

  Рис. 12 Собор Девы Марии.      Рис. 13 Казанская  церковь.

                                                                                                

           Современная архитектура не обошла вниманием многообразие форм многогранников.  Зданий-многогранников бесконечно много. В Лондоне - здание-многогранник (рис. 14), а в Сингапуре - дом-облако (рис. 15).

Рис. 14. Здание-многогранник в Лондоне.

 Рис. 15.  Дом-облако в Сингапуре.         Рис. 16. Вилла-многогранник.

 

              Вилла - многогранник архитектора  Мануеля  (рис. 16) Виллы  в Колумбии.

                 Дом похожий на кристалл, спроектированный архитектурной командой “Atelier Tekuto”, располагается недалеко от центра Токио (рис. 17). Архитекторы при создании дома вдохновлялись двумя ключевыми вещами – “минералами” и “отражениями”. Авторы исходили из того, что существует пространство и три аспекта его освещения – прозрачное, полупрозрачное и непрозрачное. На основе этих идей и создан этот дом в деконструктивизме. Кстати, хочется заметить, что все большее значение в Японии занимает деконструктивизм – стиль, который, как мне кажется абсолютно враждебен к Фэн-Шую. Этот многогранник провоцирует людей на спор, что надо современному человеку – постоянно меняющееся и разнообразное пространство или  равновесие и покой, в котором комфортно и безопасно.

Рис. 17. Дом похожий на кристалл.

 

3. 2 Многогранники в искусстве.

         Многогранники радуют глаз и художникам. Знаменитый художник эпохи возрождения Альбрехт Дюрер, увлекавшийся геометрией, написал гравюру «Меланхолия» на переднем плане которой изображен многогранник, гранями

которого являются треугольники и пятиугольники (рис. 18). В 1525 году он даже написал трактат о пяти правильных многогранниках.

 

 

 

 

 

 

Рис. 18. Гравюра «Меланхолия».         Рис. 19. «Правильные многогранники».

          

                  Известный голландский художник М.  Эшер  (1898-1972) написал картину-фантазию на тему: «Правильные многогранники» (рис. 19).

А в 1943 году - «Рептилии» (рис. 20).

Рис. 20. «Рептилии».

             Картина Суламифи Вулфинг изображает младенца Христа внутри икосаэдра, что очень уместно, потому что икосаэдр символизирует воду, а Христос  был крещён в воде, что символизировало начало нового сознания (рис. 21).

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра (рис. 22).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 21. Картина Суламифи Вулфинг.            Рис. 22. «Тайная вечеря».

                   

         Увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах Леонардо да Винчи (1452-1519). Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Палочи (1445 – 1514) «О божественной пропорции» (рис. 23).⁴

 

Рис. 23. Иллюстрация из книги «О божественной пропорции».

3. 3 Многогранники в природе.

        Все самое красивое на Земле создано самой природой. Среди всего этого совершенства встречаются многогранники. Примером этого служит скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминающий икосаэдр (рис. 24).

 

 

 

 

 

 

             

 

Рис. 24. Скелет феодарии.

             Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

             Водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов — представляет собой сферическую оболочку (Рис. 25), сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее, чем с пятью и более, чем с семью)

 сторонами нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на двенадцать больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Это утверждение следует из известной формулы Эйлера.

 

Рис.25. Водоросль вольвокс.

         В основе структуры ДНК лежит священная геометрия. На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК. В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК  (рис. 26) составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.

Рис. 26. Молекула ДНК.

           Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную или гибкую нитевидную спираль, точнее на  правильный двадцатигранник, или икосаэдр. Есть вирусы, размножающиеся в клетках животных (позвоночных и беспозвоночных), другие облюбовали растения, третьи (их называют бактериофагами или просто фагами) паразитируют в микробах, но икосаэдрическая форма (рис. 27)  встречается у вирусов всех этих трех групп.

 

Рис. 27. Икосаэдрическая форма вирусов.

                  В 1985 году было сделано одно из выдающихся открытий в области химии. Речь идет о так называемых «фуллеренах». Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С₆₀, С₇₀, С₇₆, С₈₄, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С₆₀, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью.

Молекула фуллерена С₆₀ - усеченный икосаэдр с атомами углерода в вершинах. Он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 60 вершин и 90 ребер (60 на границе пяти- и шестиугольников и 30 на границе только шестиугольников). Направляющие ребра такого многогранника образуют некоторое подобие мозаики Пенроуза.

        В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного усеченного икосаэдра (рис. 28), атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20  правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников так, что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками.

Термин «фуллерен» берет свое начало от имени американского архитектора Бакминстера Фуллера, который, оказывается, использовал такие структуры при конструировании куполов зданий.

«Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в 1985 учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в 1992 их неожиданно обнаружили в породах докембрийского периода, то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но и природными образованиями. Сейчас фуллерены интенсивно изучают в лабораториях разных стран, пытаясь установить условия их образования, структуру, свойства и возможные сферы применения. Наиболее полно изученный представитель семейства фуллеренов — фуллерен-60 (C₆₀, его называют иногда бакминстер-фуллерен). Известны также фуллерены C₇₀ и C₈₄. Фуллерен С₆₀ получают испарением графита в атмосфере гелия. При этом образуется мелкодисперсный, похожий на сажу порошок, содержащий 10% углерода; при растворении в бензоле порошок дает раствор красного цвета, из которого и выращивают кристаллы С₆₀. Фуллерены обладают необычными химическими и физическими свойствами. Так, при высоком давлении С₆₀ становится твердым, как алмаз. Его молекулы образуют кристаллическую структуру, как бы состоящую из идеально гладких шаров, свободно вращающихся в гранецентрированной кубической решетке. Благодаря этому свойству C₆₀ можно использовать в качестве твердой смазки. Фуллерены обладают также магнитными и сверхпроводящими свойствами.

Эффективная технология выделения разработана в 1990 г., в настоящее время стали предметом интенсивных исследований десятков научных групп. За результатами этих исследований пристально наблюдают прикладные фирмы.

 

 

 

 

 

Рис. 28. Атомы углерода.

                Пчелиная ячейка представляет собой нижнюю половину усечённого икосаэдра, одного из полуправильных архимедовых тел, и это решение с точки зрения экономии воска и строительных усилий настолько разумно, что во Французской академии в XVIII в. решили: пчёлы  используют достижения высшей математики, подчиняясь божественному указанию и руководству (рис. 29).⁵

Рис. 29. Пчелиная ячейка.

        Модель молекулы метана CH4 имеет форму правильного тетраэдра (рис.30), в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре – атом углерода.   

  

    

 

 

 

 

 

Рис. 30. Модель молекулы метана.

      Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

              Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли  (рис. 31) имеют форму куба.

 

 

Рис. 31. Кристаллы и кристаллическая решётка поваренной  соли отчётливого кубического облика.

                    Получение серной кислоты, железа, особых  сортов цемента не обходится без  сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества (рис. 32)имеют форму додекаэдра.

Рис. 32. Кристаллы сернистого колчедана.

 

  Давайте подробнее остановимся на прекрасных кристаллах алмаза (рис. 33(а)-33(б)).

Рис. 33 а. Кристалл алмаза.

       Алмаз – самый дорогой и таинственный камень на Земле. Считается, что кристаллы алмазов обладают огромной энергетикой и являются носителями исторической информации, впитывая ее.

Рис. 33 б. Алмаз - октаэдрический кристалл углерода

                 Алмаз обладает многими лечебными свойствами.  Он  снижает высокую температуру, борется с инфекциями, снимает усталость и активизирует обмен веществ.

               Алмаз предохраняет от болезней желудка, устраняет бессонницу. Как амулет алмаз лечит склероз, предотвращает образование почечных камней, помогает при кожных заболеваниях, шизофрении и депрессии.

             Йоги отмечали, что энергия алмаза очень тонкая, мощная и подпитывает своими вибрациями сердце, мозг и все тонкое (эфирное) тело.

           Алмаз употреблялся как омолаживающее средство. Его тонкие вибрации стимулируют и омолаживают сердце, благотворно влияют на работу всей нервной системы, стимулирует мозговую деятельность.

        Считалось, что бриллиант в перстне укрепляет весь организм, ограждая своего владельца от болезней.

Магические свойства

         Алмаз обладает мощной целительной силой для человеческого тела и духа и усиливает влияние других камней. Но он может принести как счастье, так и несчастье.

            Алмаз является символом невинности, твердости и храбрости, совершенства, непобедимости и власти. Он укрепляет в человеке все энергетические центры, придает ему силу и мужество, приносит счастье и удачу во всех делах, защищает от сглаза и порчи.

           Человек, носящий алмаз, становится более контактным, у него уменьшаются явления негативности. Сам камень способствует раскрытию лучших сторон его хозяина.

           Алмаз с зеленым оттенком – оберег материнства.

    Считается, что алмазы нужно дарить, а не покупать самому. Но дарить его нужно с осторожностью, так как это залог любви и целомудрия. Даря алмаз, вы берете на себя обязательство хранить верность, так же как тот, кто этот дар принимает.

            На Востоке считают, что если алмаз (бриллиант) был получен в дар или перешёл по наследству, то это очень хорошо. Но если он был куплен, то его сразу нельзя носить, он должен пролежать в доме 7 лет. Украденный или приобретенный нечестным путём алмаз принесет несчастье и быструю гибель своего хозяина.

             Считается, что алмазы с внутренними дефектами может принести много неприятностей своему владельцу, поэтому с ними надо уметь обращаться.

            В древности одним из наиболее замечательных свойств алмаза считали его способность служить противоядием.

           Природа алмаза капризна и для того, чтобы камень «заиграл», очень важно, чтобы он побывал в руках опытного гранильщика. Ведь только после огранки алмаз превращается в бриллиант. Исторически первой формой огранки, появившейся в середине XIV века, стал «октаэдр». Алмаз «Шах» почти сохранил свой  естественный вид. Он имеет форму вытянутого кристалла - октаэдра, массу 88,7 карата и цвет воды с желто-бурым    оттенком (рис. 34). В начале XIX века «Шах» оказался в Персии. В 1829 году в ходе беспорядков в Тегеране был убит русский посол, автор комедии «Горе от ума» А. С. Грибоедов, и персидское правительство для разрешения конфликта подарило алмаз Николаю I.

 

Рис. 34. Алмаз «Шах».

  

         Поговорка «глаз-алмаз» тоже имеет смысл, т.к. природные алмазы используются в офтальмологии, для изготовления хрусталика глаза.

 

      Но, конечно, главное место алмазов – на ювелирном олимпе (рис. 35-36).

 

 

Рис.35. Кольцо украшено алмазом в 9 карат.

Рис. 36. Ювелирные украшения из алмазов.

 

3.4 Окружающие нас предметы в форме многогранников.

          Причудливые формы многогранников использует не только архитектура (рис. 37).

 

Рис. 37.  Многогранник смысла жизни. Техника денежного насоса.

             Так же многогранники широко используются в дизайне интерьера Современные полки имеют формы многогранников (рис. 38).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 38. Полки в форме многогранников.

           

Следующий предмет интерьера – кресло (рис. 39). В основе его форм лежит многогранник. Подобно оригами, кресло выполняется из цельного листа металла и воплощает математическую гармонию строгих геометрических форм.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 39. Кресло в форме многогранника.

      Дизайнеры интерьера придумали не только полки, но и диваны, шкафы, столы, стулья и многое другое в виде многогранников, например, автоприцеп (рис. 40).

 

Рис. 40. Стильный "пчелиный" автоприцеп.

 

      Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью, что дало возможность венгерскому инженеру

Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика», а затем и аналогичные головоломки из остальных Платоновых тел (рис.41).

Рис. 41. Кубик Рубика.

 

         Новогодний хрустальный шар в Нью-Йорке почти двухметровый в диаметре, состоящий из 672 хрустальных треугольников тоже имеет форму многогранника (рис. 42).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 42 . Новогодний хрустальный шар в Нью-Йорке.

         Примером полуправильного многогранника служит футбольный мяч, часто появляющийся на экранах телевизоров (рис. 43). Он составлен из двадцати правильных шестиугольников и двенадцати пятиугольников. Поверхность футбольного мяча изготавливают в форме усеченного икосаэдра. Он получается путем отсечения верхушек правильного многогранника – икосаэдра.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 43. Футбольный мяч.

Многие елочные игрушки – многогранники (рис. 44).

 

 

 

Рис. 44. Ёлочные игрушки – многогранники.

Вывод: Многогранники  не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два  тысячелетия, лежащее в их основе эстетическое начало,  привлекает художников, архитекторов, дизайнеров. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует широкое применение их в архитектуре и искусстве. Современные здания и старинные церкви построенные в форме многогранников скрывают в себе некую тайну, встретившись с которой, человек считает необходимым разгадать её. Именно это завораживает и интригует взгляды людей.

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэрролл

 

           Работая над проектом, мы познакомились с интереснейшим, красивейшим, загадочным миром многогранников: они связаны с такими науками, как биология, химия, встречаются в природе и окружающем нас мире. Человек применяя  формы  многогранников,  создал великие шедевры искусства и архитектурные памятники, которые являются духовным наследием и доставляют наслаждение всем временам и народам.  Мы нашли точки соприкосновения со множеством предметов и явлений.

         Отвечая на вопрос,  поставленный в начале работы над проектом, можно с уверенностью сказать, что: Многогранники находятся вокруг нас, следует только внимательнее присмотреться. Они окружают нас повсюду и мы  настолько привыкли видеть их постоянно, что порой не замечаем их красоту и изящество. Не бегите по улице, остановитесь и оглянитесь -  насколько красиво вокруг, ведь окружающий мир говорит языком математики и в этом её великая сила и великая тайна.